2003年安徽省高中数学竞赛_初赛_试卷及解析

2003年安徽省高中数学竞赛_初赛_试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.定义：A −B
={x|x ∈A 且x ∉B } .若M ={x |1≤x ≤2002,x ∈N + } .
N ={y |2≤y ≤2003,y ∈N + }，则N −M 等于（）.
A. M
B. N
C. {1}
D. {2003} 2.函数f (x )
=−(cosx )lg |x |的部分图像是图的（）.
A. B.
C. D.
3.若不等式√a +√b ≤m √a 2+b 2
4
对所有正实数 a 、b 都成立，则m 的最小值是（）.
A. 2
B. √2
C. 23
4 D. 4 4.曲线2x 2
−xy −y 2−x −2y −1=0和3x 2−4xy +y 2−3x +y =0 的交
点有（）个.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 无穷多 5.设0＜a ＜1.若 x 1=a,x 2=a x 1,x 3=a x 2,x 4=a x 3,⋯,x n =a x n−1,⋯，则数列
{x n }（）.
A. 递增
B. 奇数项增，偶数项减
C. 递减
D. 偶数项增，奇数项减
6.在边长为1的正方体C 内，作一个内切大球O 1，再在C 内的一个角顶内，作小球O 2 ，使它与大球外切，同时与正方体的三个面相切.则球O 2的面积为（）. A. (7−4√3)π B. (7+4√3)π C. 2−√3
2
π D. 2+√
3
2
π
第II 卷（非选择题）
二、填空题
7.若直线y
=x +k 与曲线 x =√1−y 2恰有一个公共点，则 k 的取值范围是
________________________.
8.在(4x 2−2x −5)(1+1x
2)5的展开式中，常数项为_________________. 9.设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sinθ+icosθ)
n
=sinnθ+
icosnθ成立，则这种 n 的总个数为____.
10.三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字小，则称这个数为凹数，如504、764等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位数中凹数共有____________个. 11.已知a
=(cosα,sinα) ，b =(cosβ,sinβ)，a 和b 之间有关系式|ka +b |=
√3|a −kb | ，其中k ＞0 .则a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ 的最小值为__________________________. 12.已知x 、y 、z 均为正整数.则方程x +y +z =15有_______________________组解.
三、解答题
13.设 ，函数x )=ax 2+x −a (|x |≤1).
（1）若|a |≤1 ，试证：|f (x )|≤5
4 ； （2）求使函数f (x )有最大值17
8的a 的值.
14.已知 A(√5,0) 和曲线 x 2
4−y 2
=1(2≤x ≤2√5,y ≥0)上的点 P 1,P 2,⋯,P n .
是否存在n ，使得|P 1A |,|P 2A |,⋯,|P n A |称等差数列，且公差 d ∈(1
5√5
)？若存在，求
出n 可取的所有值；若不存在，说明理由，（取√5=2.24）
15.某市A 有4个郊县（B 、C 、D 、E ），如图.现有5种颜色，问有多少种不同的着色方法，使得相邻两块不同色，且每块只涂一种颜色？
16.如图，ΔABC 的外接圆圆心为O ，以ΔABC 各边为对称轴.求得O 的三个对称点O 1、
O 2、O 3.现将各点均擦去，仅保留O 1、O 2、O 3，试根据这三个点重新作出ΔABC .
参考答案
1.D
【解析】1.
M ={x |1≤x ≤2002,x ∈N + }， N ={y |2≤y ≤2003,y ∈N + }，所以N −M = {2003}.
故答案为：D 2.A
【解析】2.
∵f(x)＝－(cos x)lg|x|，
∴f(－x)＝－[cos(－x)]lg|－x|＝－(cos x)lg|x|＝f(x)(x≠0)，
∴函数f(x)＝－(cos x)lg|x|为偶函数，故其图像关于y 轴对称，可排除B ，D ； 又当0<x<1时，cos x ＞0，lg|x|＜0，
∴当0<x<1时，f(x)＝－(cos x)lg|x|＞0，故可排除C. 故选A 3.C
【解析】3.
因为√a +√b ≤√2(a +b )≤√2√a 2+b 22
. 当且仅当a =b 时等号成立.
所以，m
≥23
4 ，即
m 的最小值为2
34 .
故答案为：C 4.D
【解析】4.
2x 2−xy −y 2−x −2y −1=0 ，即 2x +y +1=0 或 x −y −1=0 . 3x 2−4xy +y 2−3x +y =0，即 3x −y =0 或x −y −1=0.
所以，已知两曲线可以化成两直线，且有一对直线重合.故两曲线有无穷多个公共点. 故答案为：D
5.B
【解析】5. （1）x 1=a 1 ， x 2=a x 1，因为0＜a ＜1，则 a 1＜a x 1，x 1＜x 2.
（2）x 1
=a 1，x 3=a x 2，1=a 0，x 2=a x 1.而0＜x 1，则⊳a x 1 .于是，a 1＜a x 2 ，
x 1＜x 3
依次类推得x 1＜x 3＜x 5＜⋯ . （3）x
2x 4
=a x 1−x 3＞a 0
=1，则x 2＞x 4.
依此类推得x 2＞x 4＞x 6⋯. 故数列{x n }奇数项增，偶数项减. 故答案为：B 6.A
【解析】6.
如图所示，设球O 2的半径为r ，且设球O 2作在∠D′内.则O 1、O 2对角线 BD′上.设
∠AD′B =θ，则sinθ=
√3
.在ΔD′EO 2 中，D′O 2
=
r sinθ
=√3r ， O 1O 2=r +12
.
于是，2[√3r
+(r +12
)]=BD′=√3.
r =
2−√32
，4πr 2
=(7−4√3)π.
故答案为：A
7.−1<k ≤1或k =−√2
【解析】7. 试题曲线x =√1−y 2表示的是半圆，画出图像，再把直线y =x+k 进行平移，找出与
曲线x =√1−y 2恰有一个公共点时k 的取值为−1<k ≤1或k =−√2．
8.15
【解析】8.
试题分析：把所给的式子利用二项式定理展开化为 （4x 2﹣2x ﹣5）•[1+5x ﹣2+10x ﹣4+10x
﹣
6
+5x ﹣8+x ﹣10]，由此求得展开式的常数项．
详解： ∵(4x 2
−2x −5)(1+
1x 2
)5
=（4x 2﹣2x ﹣5）∙[C 50.(x −2)0+C 51.(x −2)1+
C 52.(x −2)2
+⋯……+C 55.(x −2)5=（4x 2﹣2x ﹣5）•[1+5x ﹣2+10x ﹣4+10x ﹣6+5x ﹣8+x ﹣10]，
故在常数项为 4×5﹣5=15， 故答案为 15． 9.501
【解析】9.
(sinθ+icosθ)n
=[i (cosθ−isinθ)]n
=i n [cos (−θ)+isin (−θ)]n
=i n (cosnθ−isinnθ)=i n−1(sinnθ+icosnθ). .
如果i
n−1
(sinnθ+icosnθ)=sinnθ+icosnθ，则 i
n−1
=1.
于是，n =4k +1≤2003,k (k ≥0)为整数.
故符合条件的n 的个数为[2003−1
4
]+1=501.
故答案为：501 10.240
【解析】10.
当十位数为0时，符合条件的凹数有9×8个， 当十位数为1时，符合条件的凹数有8×7个， ……
当十位数为7时，符合条件的凹数有2×1个. 故共有72+56+42+30+20+12+6+2=240. 故答案为：240 11.1
2
【解析】11. 由|ka +b |
2
=(√3|a −kb |)2
得
8k =(3−k )2a 2+(3k 2−1)b 2.
故a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =(3−k )2a 2+(3k 2−1)b 2
8k
.
因为a =(cosα,sinα)，b =(cosβ,sinβ) ，所以，
a 2=1，b
2
=1，a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =k 2+14k
.
因为k ＞0，k
2
+1≥
2k ，则k 2
+1
4k ≥2k 4k =1
2
. 所以，a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ 的最小值为12
. 故答案为：1
2
12.91
【解析】12.
将15写成15个1，即1+1+…+1=15，其中14个加号任取2个，并把这两个加号分隔的1合并成一个数得到的方程得解，故解得个数是C 142
=91个.
故答案为：91 13.(1)见解析（2）a =−2
【解析】13.
（1）|f (x )|=|ax 2+x −a |
=|a (x 2−1)+x |
≤|a (x 2−1)|+|x |≤|x 2−1|+|x |
=1−|x
2|
+|x |=−(|x |−12
)2+54
≤5
4
.
（2）当a =0时，f (x )=x (|x |≤1)的最大值是f (1)=1，与题设矛盾.
当a
≠0 时，f (x ) 为二次函数.
（ⅰ）当a ＞0 时，其开口向上，故最大值只能在x
=−1或 x =1 时取得.而
f (−1)=a −1−a =−1，矛盾.f (1)=a +1−a =1也矛盾.
（ⅱ）当a ＜0 时，最大值同样不会再x
=1 和x =−1上取得，故使得f (x )=
ax 2+x −a (|x |≤1) 有最大值 178
，只能等价于 {
−1＜−1
2a ＜1,f (−12a )=178,a ＜0 ⇒{
a ＜−12,
(a +2)(a +18)=0
⇒a=−2.
14.n=3,4,5,⋯,14
【解析】14.
因为d＞0，则数列时递增数列，故|P1A|为最小，|P m A|为最大.
如图，曲线x2
4
−y2=1(2≤x≤2√5,y≥0)为双曲线一部分，A(√5,0)是它的右
焦点，则右准线l的方程为x=
√5，e=
√5
2
.
由题意，等差数列的第一项为|P1A|=√5−2，第n项为|P n A|=3.于是，有3=(√5−2)+(n−1)d.
解得d=5−√5
n−1
(n＞1) .
因为d∈(1
5
,
√5
)，故1
5
＜5−√5
n−15
.
解得n∈(5√5−4,26−5√5).
因为n为正整数，所以，n的最大值为14.
于是，当n≤14时，这14个点钟任意连续的n个点都能得到等差数列.
又因为是等差数列，所以，n≥3.
因此，n=3,4,5,⋯,14.
15.420种
【解析】15.
符合要求的涂色方法至少要用三种颜色，所以，可分三类办法涂色：
（1）用五种颜色，有P55=120种方法.
（2）用四种颜色，选四种颜色的方法有C54种.其中选一种颜色涂A有C41种，剩下4块涂三种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选一组不相邻区域的方法有2种（B、D或C、E），从余下的三种颜色中选一种涂这不相邻区域有C31种，最后余下两种颜色
涂两个区域的方法有P22种.根据乘法原理有C54⋅C41⋅C31⋅P22=240种方法.
（3）用三种颜色.选三种颜色有C53种方法.A、B和D、C和E各涂一种颜色有P33种，故得C53P53=60种方法.
据加法原理，共有120+240+60=420种.
16.见解析
【解析】16.
（1）连结OA、OC、O2A、O2C，则这四条线段相等，OAO2C是菱形.所以，
O2C AO.
同理，OAO3B也是菱形，AO∥O3B.于是，O3B∥O2C .从而，BCO2O3为平行四边形，故BC∥O2O3 .
（2）同理可证AC∥O1O3，AB∥O1O2 .
（3）由对称性可知OO2⊥AC，OO1⊥BC，OO3⊥AB.OO3⊥O1O2可见O为
ΔO1O2O3三条高线的交点.
（4）有了上面的分析，可见解法如下：
当已知O1、O2、O3时，先作出以它们为顶点的ΔO1O2O3三边上的高，得交点O .然后分别作线段OO1、OO2、OO3的中垂线，三条中垂线两两的交点即为A、B、C.。