SARS的传播分析模型
关于SARS传播和影响的数学模型
关于SARS传播和影响问题的模型摘要本文首先采用Logistic模型、人工神经网络两个方法对SARS疫情公布的数据进行分析挖掘后，建立了不同的传染病模型来对疫情的变化趋势给出预测，从而为预防控制提供了可靠、足够的信息。
然后又考虑到证券市场被视为国民经济的晴雨表，因此在收集医药类、交通运输类等行业的股票价格的基础上，分别使用“事件分析法”、Markov 链建立数学模型对SARS给股市的影响进行分析预测。
在对早期模型进行合理性与实用性评价的基础上，对它的参数确定方法进行改进，消除了对港粤地区经验性数据的依赖，建立的二阶Logistic回归模型能就本地已知数据预测疫情发展趋势，给出预测值并拟合出疫情走势图。
并且该模型的决定系数R2高达99.02%，这表明预测值与实际值无显著性差异，拟合效果很好。
由疫情走势图可推算出发病高峰为4月29日及持续时间，且能体现出预防措施对疫情走势有明显的影响，也即随着预防指数K(t)的增大，累计发病人数N(t)趋于稳定。
因此该模型可为疾病的预防和控制提供有效的信息。
又考虑到本问题是一个动态预测问题，故建立了误差逆传播神经网络模型(BP,Back-Propagation)。
经过理论分析和多次实验确定其为三层结构的BP网络模型，节点数分别为（5，6，5），激励函数为双曲正切函数。
该模型能够根据前五天的累计患者数预测出未来五天的累计患者数。
首先，将已知65个数据分为13组，分别作为网络的输入、输出端输入网络，进行学习。
然后，用训练过的网络预测未知数据，正确率达99.9%以上。
最后，考虑到网络初值对模型灵敏度的影响，提出了初始化的合理建议，并将其与早期模型进行了比较。
在分析SARS对证券市场的影响时，由于这是一个突发事件，缺乏历史数据，所以SARS对股市产生的影响很难用传统的计量模型进行分析，因而采用“事件分析法”对其进行研究：利用一个相对短时期的股票价格的变化情况来分析和衡量该事件的影响程度。
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1
SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文SARS 传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；严格隔离能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地1/ 2报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足...。
sars疫情分析模型
SARS疫情分析模型徐凯2003年9月kernxu@摘要本文先分析评价了题目附件1的模型，进而建立了两个宏观SARS疫情模型、一个微观模型和一个SARS影响旅游的模型。
利用这些模型，准确的预测了北京的疫情发展、旅游业复苏时间，解释了北京统计值的偏差，评价了卫生部门隔离措施。
模型形式简单，结构巧妙，拟合、预测效果极好，远优于原模型。
运算利用指数曲线拟合、差分方程、计算机程序递归模拟等。
一、问题的分析与假设“非典”传播有很多特殊的性质，比如：a.潜伏期是否传播及潜伏期长短没有准确的说法；b.发病期传染几率变化，发病后第３到５天达到最强；c.传播途径较多，人为隔离对传播有较大的影响；d.不易确诊，出现症状后的三天内，病毒检出率基本为零。
于是，要从微观角度定量分析非典传播规律，成为一件复杂的事。
考虑到我们掌握的资料多数为宏观统计资料。
本文中我们先从宏观角度建立了两个模型，这两个模型形式较为简单，我们对一些医学界也无法确定的结论，一律用统计值取代。
比如：a.采用平均传染率来避免讨论传染率的变化；b.认为潜伏期可以传染；c.认为隔离后不能传染给他人；d.依据有关部门的统计资料，认为北京的潜伏期为5。
在掌握宏观规律的基础上，考虑了部分微观因素，我们又建立了一个微观模型。
并且作了新的假设，由于前后假设有所矛盾，为防止混淆，这些假设会在后文中介绍。
二、本文参数说明三、早期SARS疫情分析模型(题目附件1)的评价由于题目附件1所建立的模型，对我们建立新模型有着重要的价值，而原文介绍较为简略，所以我先做简要分析：根据《SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测》[1]一文所建立的模型：考虑传染期限L对直接传染基数的影响，并且认为L=20（天）。
从而对应模型为：N(t)=N0*(1+K)t当0<=t<=20 (1)N(t)=(1+K)*N(t-1)-K*N(t-20) 当t>20 (2)其中，（2）式利用“递归公式”将到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
SARS的传播分析模型
SARS 的传播分析模型摘要SARS 疫情的爆发给我国国民经济发展和日常生活秩序都产生了严重的影响。
尽早的控制疫情蔓延，科学准确的预测疫情的发展趋势以指导疫情处理措施的安排，稳定群众心理都有重要的实际意义。
文中对2003年SARS 的相关统计数据进行分析处理，根据疫情高峰前期感染人数增长率0>r 和后期0<r 两种情况分别建立模型，同时对有关SARS 疫情的相关数据进行拟合，分别得出两个阶段的疫情发展趋势曲线方程66.10835.1311962.22++-=t t x 和5.2165363.57+-=t x ，对疫情的趋势进行了清晰的描述，并对疫情发展的相关数据进行预测，如假设政府推迟α天采取隔离等疫情防治措施，受感染的人数将为： 66.108)(35.131)(1962.22++⋅++⋅-ααt t ；比实际增加：αα⋅+⋅++⋅-35.1311962.2)(1962.222t t ；而如果提前α天进行隔离处理，受感染人数将相应减少：αα⋅+-⋅+⋅-35.131)(1962.21962.222t t ；通过对相应模型的分析可以看出在疫情时期，早发现早汇报，早隔离早治疗能很好的阻滞疫情的蔓延，减少感染人群的基数，缩短疫情周期；然而推迟对发病情况的处理则会加速疫情发展，延长疫情时间。
第三问的模型及其求解利用了灰色预测模型以及函数拟合模型对北京旅游业受到SARS 的影响度进行预测。
利用灰色预测模型对2003年2月至8月间没有SARS 的情况下旅游人数进行预测，并通过与实际旅游人数的统计值进行比较，得出这7个月间旅游人数减少了71.145万人。
对于8月后期，由于SARS 疫情有所减轻，旅游人数开始逐渐回升，这种情况下采用函数拟合模型对旅游人数进行预测，并求出每个月对应的恢复系数ρ，得出实际值比预测值减少0344.17万人。
综合以上分析得出，SARS 期间，北京因此减少的外来旅游人数共162.7444万人。
SARS传播数学模型
SARS 的传播问题模型一 SI 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人。
模型构成根据假设，每个病人每天可使()s t λ个健康人变为病人，因为病人人数为()Ni t ，所以每天共有()()Ns t i t λ个健康人被感染，于是Nsi λ就是病人人数Ni 的增加率，即有diNNsi dt λ= （1）又因为()()1s t i t += （2）再记初始时刻（t=0）病人的比例为0i，则()()01,0dii i i dt i λ=-= （3）对方程（5）的解有()01111ti t i λ-=⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭（4）由（5），（6）式可知，第一， 当12i =时，didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时刻： 101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭ （5）这时病人增加的最快，预示着传染病高潮的到来，提前5天采取严格的隔离措施可以推迟传染病高潮的到来，为医疗卫生部门迎接高潮做好充分的准备。
推迟5天则会使感染者更多；第二， 当t →∞时1i →，所有人终将被感染，全变为病人，显然，这与实际不符，故必须对上模型做出修正。
模型二 SIS 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、 每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人；3、每天被治愈的病人人数占病人总人数的比例为常数μ，称为日治愈率。
病人治愈后成为仍可被感染的健康人，显然，1μ是该传染病的平均传染期。
sars的传播2003数学建模题目
sars的传播2003数学建模题目在2003年，严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndrome，简称SARS）的爆发引起了全球范围内的恐慌。
为了更好地了解SARS的传播特点和控制措施，我们可以应用数学建模的方法来分析SARS的传播规律，并提出相关的应对策略。
1. SARS的传播模型为了探究SARS的传播规律，我们可以采用传染病的基本传播模型——SIR模型。
SIR模型将人群分为三类：易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
根据该模型，我们可以列出如下的微分方程：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S，I和R分别表示易感者、感染者和康复者的数量；β表示传染率；γ表示康复率。
2. 参数估计与模型拟合要对SARS的传播模型进行参数估计和模型拟合，我们需要收集大量的疫情数据。
通过对实际数据进行统计学分析，我们可以获得β和γ的估计值，并将其代入SIR模型方程中进行模型拟合。
通过与实际数据的对比，我们可以评估模型的拟合效果以及参数的准确性。
3. 传播速率和传播方式SARS的传播速率直接影响到其传播范围和传播强度。
在SARS爆发期间，我们可以通过统计病例的增长速率来估计SARS的传播速率。
此外，研究发现，SARS主要通过空气飞沫传播，在密闭环境中飞沫的传播距离较远，因此需要采取相应的防控措施，如戴口罩、保持良好的通风等。
4. 人群的易感性和免疫力SARS的传播过程中，人群的易感性和免疫力起着重要的作用。
通过研究易感者和感染者的流行病学数据，我们可以了解人群的易感性和免疫力对于传播过程的影响。
同时，针对易感者的接种疫苗和提高人群的免疫力也是有效控制SARS传播的策略之一。
5. 社会干预措施的效果评估为了控制SARS的传播，社会干预措施起到了至关重要的作用。
例如，早期的病例隔离、密切接触者的追踪和隔离、社交距离的维持等都可以有效降低SARS的传播风险。
考虑自愈的SARS传播模型
参数意义及确定 (1)σ是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系 数 易知σ= λq其中， λ为一天内一个患病者与他人的接 触率， λ = 每天治愈和病死的人数 总人口 ， q为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率 (2)g是SARS感染者的日发病率 , μ是SARS感染者的日 自愈率。假定每个SARS感染者的实际潜伏期天数服 从区间[1，H]上的均匀分布。也就是 说，SARS感染者以均等的概率在这H天之中的任何 一天发病或者自愈。(H为潜伏期天数）容易得到： g+ μ =1/H. (3)z是患病人群每天被隔离的比率，反映了社会的 警觉程度及政府措施的力度。
• (5)不考虑在SARS传播期间人口的自然出生 和自然死亡； • (6)所研究地区的人口总量一定，不考虑该 段时间内人口的迁入迁出；
三、符号说明
• N——我们所研究区域的人口总数； • S——易感类，该类成员没有染上SARS，也 没有免疫能力，可以被传染上SARS； • E——潜伏期类，该类成员已经感染了SARS 病毒，但尚处于潜伏期，还不是SARS患者， 不能把病毒传染给S类成员； Iu— — 患病未被发现类，该类成员已经成为 真正的SARS患者，能够把病毒传染给S类成 员；
考虑自愈的SARS 的传播模型
报告人：李腾、郭志科、孙鹏鹏
一、模型的说明
• 根据sars的的传播规律，可以将人群分成易 感染者、潜伏期病人、未发现的病人、已 发现的病人、及治愈（或死亡）而具有免 疫力的人五类。
• 根据每一类人在人群中的不同作用，考虑 了自愈和控制建立了微分方程模型和模拟 模型，研究了疫情随各参数的（包括自愈 率）变化的规律。
3、微分方程的建立：
s ' S E ' S gE E ' z ci R ' c E i
SARS模型
一、问题的重述SARS 作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
现在的问题是针对SARS 的传播建立数学模型，要求如下：（1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个真正能够预测且能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，提出建议，并指出难点所在；另外对卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
问题二要求建立SARS 传播模型。
一个健康人被传染过程为：健康人→潜伏类人→病人→退出者（包括死亡者和治愈者）通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型。
在SARS 传播过程中，政府的干预起较大作用，以政府采取措施控制疫情的时刻0t 作为分割点，分别考虑0t 前后两阶段，称之为控制前阶段和控制后阶段。
疫情发展规律主要由日接触率()t λ制约，在不同的阶段()t λ的影响因素不同。
控制前，因按自然传播规律传播，故()t λ可视为常量；同时，在疫情初期，人们的防范意识比较弱,再加上非典自身的传播特点,在许多地区出现一个病人传染很多人的现象,即“超级传染事件”(SSE 事件)[1]；随着人们防范意识的增强, SSE 事件发生的概率减小,因此SSE 事件在非典的发展早期起着重要作用。
而SSE 事件作为超级传染事件，特性在于在较短的时间内，即可使传染者数目增幅较大。
因此可将SSE 事件对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。
控制后，)(t λ受人们防范意识的影响，而引起人们防范意识变化的原因主要有两方面，一方面来自因对疫情的恐慌而迫使人们自身加强防范意识，用警惕指标()t h 来刻划，另一方面由于政府政策，法律法规的颁布等而加强的防范意识，用政府措施力度()t g 来刻划。
SARS传播模型
SARS 传播模型摘 要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS 疫情数据进行了分析处理，把北京地区 SARS 疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。
由于医务人员人群是SARS 病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。
通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS 传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：aa q p p t u q t pu t u C t i )24)(())()(()(2212--+++=-，恢复期模型的解为：)(1)(220t u k k z d C t i -+-=。
从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。
关键词：SARS ，三次样条插值，高次多项式拟合0. 引 言SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。
我们从整个抗击SARS 的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。
1. 问题分析由于SARS 主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS 病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS 病的高发人群，其主要是被住院的病人传染。
而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。
同时临床统计数据表明SARS 病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。
SARS传染扩散的动力学随机模型
SARS传染扩散的动力学随机模型一、本文概述本文旨在探讨SARS（严重急性呼吸综合症）传染扩散的动力学随机模型。
通过对SARS疫情传播过程的分析，构建符合其传播特性的动力学随机模型，以揭示其传播规律，预测疫情发展趋势，并为制定有效的防控策略提供科学依据。
本文将首先回顾SARS疫情的历史背景和传播特点，然后介绍动力学随机模型在传染病传播研究中的应用，接着阐述SARS传染扩散动力学随机模型的构建过程，包括模型的假设、参数设定、方程推导等。
本文将通过实际疫情数据的拟合和模型预测结果的对比分析，评估模型的准确性和实用性，并探讨模型在公共卫生应急管理中的应用前景。
二、SARS传染扩散动力学基础SARS（严重急性呼吸综合征）是一种由SARS冠状病毒引起的传染病，其传染扩散的过程涉及多个动力学因素。
理解这些动力学基础对于建立有效的防控策略和预测疾病传播趋势至关重要。
SARS的传染过程遵循一定的流行病学规律。
其基本再生数（R0）描述了在没有外界干预的情况下，一个感染者平均能够传染给多少人的数量。
R0值的大小直接决定了疾病传播的速度和范围。
SARS的R0值较高，表明其具有较强的传播能力。
SARS的传播途径主要是通过短距离飞沫、接触患者呼吸道分泌物及密切接触传播。
这意味着在密闭、通风不良的环境中，SARS病毒的传播风险会显著增加。
因此，控制环境因素，如提高室内通风、减少人群聚集等，对于阻断SARS传播至关重要。
个体的易感性也是影响SARS传播的重要因素。
年龄、性别、基础疾病等因素都会影响个体对SARS病毒的抵抗力。
老年人和患有慢性疾病的人群通常更容易感染并出现严重症状。
因此，针对这些高风险人群采取特殊防护措施，如接种疫苗、提供医疗救助等，是控制SARS传播的关键。
社会行为因素也会对SARS的传播产生影响。
例如，公众对疾病的认知程度、防控措施的遵守情况、医疗资源的配置等都会直接或间接地影响SARS的传播动态。
因此，加强公众教育、提高防控意识、优化医疗资源分配等社会层面的措施也是控制SARS传播的重要手段。
SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型SARS传播的数学模型摘要SARS(严重急性呼吸道综合症，，俗称⾮典型肺炎)是21世纪第⼀个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和⼈民⽣活带来了很⼤影响。
为了能定量的研究传染病的传播的规律，⼈们建⽴了各类模型来预测、控制疾病的发⽣发展。
本题中给出了⼀个早期指数模型，它在短期内有⼀定的合理性与实⽤性，认为该模型可以预测疫情发展的⼤致趋势，但是却存在着⽤短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。
基于此，我们考虑应该引进新的参数，建⽴更优的模型。
由于SARS是新发传染病，⼈们对其的有效防治⼿段还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进⼀个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；⼜由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们⼜引⼊了参数r，⽤来表⽰发病率。
在假设所研究地区⼈⼝为理想状态下的⼈群、对该病普遍易感等前提下，我们应⽤Logistic回归结合地区SARS发病的疫情资料，⽤Matlab软件模拟，得到了⼀个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流⾏趋势以及控制措施有效性的定量评估。
由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS⾼峰期的到来时间，可能累计最⼤发病数，在测控和拟合世界上优于早期模型。
同时，我们也通过Matlab语⾔对北京疫情的计算和实际数据进⾏了拟合，进⽽验证了这个模型的可靠性。
应⽤SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进⾏分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病⼈数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间。
本⽂亦分析了海外旅游⼈数受SARS的影响情况，并⽤Matlab语⾔对2003年以前的每个⽉份旅游⼈数与⽉份进⾏数据拟合，进⽽估算出正常情况下2003年的旅游⼈数。
在SARS的影响下，求出每个⽉份⼈数的减少率，拟合出⽉份与减少率的曲线图，从图中可以看出旅游⼈数在9⽉份开始恢复。
sars传播模型
12-541
假设： 1.统计数据是可靠的 2.病人处于潜伏期时不传染他人 3.采取的所有控制措施对于阻止病毒的传播都是有 效的 4.不考虑地区的流入流出人口
,
即
病毒的基本传播率。② 是反，Kf未反馈系数 定义输入信号为当前SARS的在社会上的传播状况，输出信号 为一段时间后（1 day）SARS的传播状况
SARS传播情况也可以近似的看成一个负反馈系统，将 当前的SARS感染情况视为输入信号，一段时间后（1 day） 的感染情况作为输出信号。 初始时，感染人数较少，SARS不受重视，病毒得以在 人群中快速传播。一段时候后，感染人数上升到一定数 量，卫生部门开始采取措施，公众也认识到了病毒的危 险性，此时传播速度受到抑制。
SARS传播的数学模型
SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。
根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。
以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。
当λ1 =1.5 和λ2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS 病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。
他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。
本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。
关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。
而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。
二、模型的假设1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。
2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。
3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。
【精品】SARS传播模型29058
【关键字】精品SARS传播模型摘要：本文中我们对北京地区4月20日-6月8日的SARS疫情数据进行了分析处理，把北京地区SARS疫情分为两个时期：感染期（4月20日-5月16日）和恢复期（5月17日-6月8日）。
由于医务人员人群是SARS病的高发人群，所以我们在本文的模型中把病人人群分为医务人员病人人群和非医务人员病人人群。
通过分析文中附件1的数据，我们建立了两个时期SARS传播的微分方程模型，并得到了模型的解，感染期模型的解为：，恢复期模型的解为：。
从模型解的曲线与实际数据的比较，我们发现该模型的解与实际数据是非常吻合的。
关键词：SARS，三次样条插值，高次多项式拟合0. 引言SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是一种新的、传染性很强的疾病，它在我国部分地区的暴发与蔓延，严重威胁了人民的健康与生命安全，影响我国的社会稳定与经济发展。
我们从整个抗击SARS的斗争中得到了许多重要的经验和教训，同时也认识到定量地研究传染病的传播规律、预测传染病发展趋势的必要性和重要性。
1. 问题分析由于SARS主要是通过近距离的飞沫传播，与病人有过密切接触的人群就很可能被感染，成为SARS 病人，所以我们在模型里假设健康者只要与病人接触，则感染为病人，且由于医务人员每天都直接与病人接触，所以医务人员人群是SARS病的高发人群，其主要是被住院的病人传染。
而普通病人即非医务人员的病人，主要是由一些病人在发病后未及时被隔离治疗而与健康人接触，并使其感染病毒，因此我们在模型里把病人分为医务人员病人和普通病人。
同时临床统计数据表明SARS病的潜伏期为2-12天，一般在4-5天，治愈后的病人没有出现再次患病现象，所以我们也假定治愈后的病人具有免疫力。
虽然SARS病在2002年底到2003年初就在我国各地市广泛传播，但是疫情数据并没有精确的得到统计，从4月20日后，国家卫生部才在专门的网站上发布各地的SARS疫情数据，本文中我们只对北京地区4月20日-6月8日的数据进行分析。
SARS疾病传播的数学模型
SARS传播的数学模型摘要本文针对SARS的传播建立了数学模型。
首先，对附件1提供的早期模型，认为“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。
模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，不失为一种方法，但在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。
故借鉴法存在一定的适用范围，且不能对首发城市进行预测。
对于第二问，在分析常用传染病模型的局限性后，文中把患者所处的状态明确划分为潜伏阶段、发病阶段和隔离阶段，根据各阶段的转化关系建立了第一个数学模型。
考虑到发病和被隔离等事件发生的随机性，本文在原有模型的基础上适当改进，建立了随机模拟模型。
通过对5月10日以前数据的拟合，并经过500次模拟，对北京的疫情进行了预测：7月上旬北京将基本解除疫情，累计病例约2800多人。
预测结果与实际情况符合得很好。
另外，改变有关参数，发现提前5天采取严格的隔离措施，将使疫情解除的时间提前约10天，累计人数降至1958人；若延迟5天采取措施，疫情将推迟11天，累计人数达4487人。
根据这些预测，文中对卫生部门采取控制措施提出了相关建议。
对第三个问题，本文研究SARS 对入境旅游人数的影响，建立了数学模型。
通过数据拟合的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测9~12月份入境旅游人数分别为24.02，36.06，33.04，25.85万人。
与往年同期相比，9月降低了23.5个百分点，10月以后影响逐步减小，经济进入恢复时期。
对于第四个问题，给报刊写了一篇通俗短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。
最后在模型的评价中，对该模型优于原附件1模型的方面作了说明，特别说明了建立一个真正能预测和为预防、控制提供可靠、足够的信息的模型需要满足的条件和困难之处。
一、问题的提出2002年至2003年，SARS（严重急性呼吸道综合症,俗称非典型肺炎）悄然无息地靠近我们的生活，在潜伏一段时间后忽然爆发，在全球掀起了轩然大波。
SARS传播的数学模型
如果不存在自愈
此模型的缺陷
模型中各变量的取值只能根据已有的数据拟合，模型 的精确度严重的依赖于所给的数据的准确度，不具有 预测性 对于不同的地区需要重新确定各变量的取值，计算量 大，缺乏一般的原则和算法
基于Small－World－Network的 模拟模型
基于Small－World－Network的模拟模型
节点总数为100000的时候的图像
对Q、L的讨论
2。固定L=10,运用MATLAB做患病人数 关于模拟天数和Q的取值的三维图像。
观察：随着Q的增大，图像峰值的大小变 化以及到达峰值的速度变化。
将整个模型节点数控制在2000时候的图像
节点总数为100000的时候的图像
对参数J的讨论
取定Q＝0。1，L＝10，V＝0，改变J的 值。
负反馈模型
什么叫负反馈？
将放大器的输出信号（电压或电流），按一定路径回送 到放大器输入端的过程称为反馈。施加反馈的放大器称 为反馈放大器。它是由一个基本放大器和反馈网络构成 的闭合环路。如图：
什么叫负反馈？
给出反馈系数Kf 以及闭环增益Af 的定义，当反 馈系数Kf<0时，系统是负反馈的，反之，系统 是正反馈的。 负反馈具有自我调节作用，正是我们需要的
模型的建立
算法的设计 结果的分析
模型的建立
用Small－World－Network模型 模拟现代社会网络（N，K，P） 模型中每个节点的状态（S，E， Im，Ii，R）
符号说明
N－－区域人口总数； S－－易感染类人群 E－－潜伏类人群 Iu－－患病未被发现类人群 Ii－－患病已被发现类人群 R－－免疫类人群 H－－潜伏期天数； L－－传染期天数； P－－SWN模型中每条边“断键重连”的选中概率 J－－ SWN模型中每条边再次“断键重连”的选中概 率 Q－－S类成员被感染的概率
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SARS 的传播分析模型摘要SARS 疫情的爆发给我国国民经济发展和日常生活秩序都产生了严重的影响。
尽早的控制疫情蔓延，科学准确的预测疫情的发展趋势以指导疫情处理措施的安排，稳定群众心理都有重要的实际意义。
文中对2003年SARS 的相关统计数据进行分析处理，根据疫情高峰前期感染人数增长率0>r 和后期0<r 两种情况分别建立模型，同时对有关SARS 疫情的相关数据进行拟合，分别得出两个阶段的疫情发展趋势曲线方程66.10835.1311962.22++-=t t x 和5.2165363.57+-=t x ，对疫情的趋势进行了清晰的描述，并对疫情发展的相关数据进行预测，如假设政府推迟α天采取隔离等疫情防治措施，受感染的人数将为： 66.108)(35.131)(1962.22++⋅++⋅-ααt t ；比实际增加：αα⋅+⋅++⋅-35.1311962.2)(1962.222t t ；而如果提前α天进行隔离处理，受感染人数将相应减少：αα⋅+-⋅+⋅-35.131)(1962.21962.222t t ；通过对相应模型的分析可以看出在疫情时期，早发现早汇报，早隔离早治疗能很好的阻滞疫情的蔓延，减少感染人群的基数，缩短疫情周期；然而推迟对发病情况的处理则会加速疫情发展，延长疫情时间。
第三问的模型及其求解利用了灰色预测模型以及函数拟合模型对北京旅游业受到SARS 的影响度进行预测。
利用灰色预测模型对2003年2月至8月间没有SARS 的情况下旅游人数进行预测，并通过与实际旅游人数的统计值进行比较，得出这7个月间旅游人数减少了71.145万人。
对于8月后期，由于SARS 疫情有所减轻，旅游人数开始逐渐回升，这种情况下采用函数拟合模型对旅游人数进行预测，并求出每个月对应的恢复系数ρ，得出实际值比预测值减少0344.17万人。
综合以上分析得出，SARS 期间，北京因此减少的外来旅游人数共162.7444万人。
关键词：SARS 发展预测 灰色预测 函数拟合 多项式拟合一、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
题目要求我们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做会遇到的困难，并对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
二、问题分析2003年SARS疫情的爆发给我国带来了非常严重的影响，国民经济发展和日常生活秩序都产生了一定的波动。
科学准确的预测疫情的发展趋势对于政府安排疫情处理措施，稳定群众心理都有重要的实际意义。
文中已给出一个疫情初始阶段的预测分析模型，即malthus模型，并要求分析其合理性和适用性。
在对该模型进行分析之前必须要了解其适用的范围和要求，之后再结合SARS发展的不同阶段对模型进行分析检验，得出对模型的评价和改进意见。
在问题1的基础之上建立新的模型，为了更准确合理，模型中需要考虑更多的实际因素并作为模型的变量来处理。
材料中给出了SARS疫情的相关数据，为了更好的对疫情进行预测，建立合适的模型，首先需要对数据进行分析并挖掘出其中的隐含信息，在此基础上建立的模型才能有更高的准确率和可信度。
针对问题3，对经济某方面影响，题中给了对外来旅游人数的影响，故可选择该项作为SARS对经济的影响方面来研究。
考察附件给出的数据，有1997年1月到2003年8月的北京市外来旅游人口数，经过分析，我们得知大概在2004年1月的时候恢复到正常水平。
所以我们只需要计算从2003年2月开始到2004年1月预测北京市外来旅游人口数与在SARS影响下的真实数据之间的差值即为该方面的损失。
具体思路是：首先利用灰色预测模型，对给出的数据，通过MATLAB编程的方法求出预测数据。
然后选取2003年2月到2004年1月之间的数据作为研究对象，由于材料中给出了2到8月分的数据了，此时分为两部分计算，一部分2003年2月到8月预测值与真实值的差，另一部通过函数拟合模型预测2003年9月到2004年1月的实际值，然后用灰色预测模型的数值与其相减得到这期间的损失。
两部分损失加起来即为在SARS 影响期间外来旅游人口损失值。
三、模型假设1、疫区人口稳定，即不考虑出生、死亡、迁入、迁出及其他因素引起的情况；2、每个人具有相同的传染期，并在传染期内不会死亡；3、在此模型中所涉及到的时间t 均以天为计量单位；4、确诊病人被隔离后不再具有传染性；5、确诊病人死亡的原因均认为由SARS 造成；6、病人经治愈后具有长期免疫力。
四、符号说明1、r ：传染率；2、x ：累积病人数；3、t ： 时间；4、σ：均方差；5、α：推迟隔离处理的天数6、i x ：实际值；7、i xˆ：理论（预测）值； 8、i S ：减少的旅游人数； 9、i ρ：旅游人数恢复率。
五、模型建立5.1 问题1的求解 5.1.1 模型一中参数K ：平均每病人每天可传染的人数（K 一般为小数）， L ：平均每个病人可以直接感染他人的时间（单位：天）， t ：时间 (单位天)，0N ：初始时刻的病例数。
5.1.2 模型一的建立()t K N t N )1(0+⋅=该模型表示时间t 时的传染病人数与人口基数0N 、每个病人每天可传染人数K 以及时间t 的关系。
5.1.3 模型一的分析通过对该模型表示的意义及其形式可以确定为malthus模型。
malthus模型用来模拟种群生长规律、肿瘤生长以及传染病发展趋势具有较好的效果。
但是这是建立在研究对象发展初期而言，当发展到一定阶段后，由于环境等因素变化，如果继续用该模型，得出的结果将越来越偏离实际。
从问题一中的模型建立过程可以看出，模型考虑到了一些具体实际，如根据传染病人在被发现前后对外界造成直接传染的期限值，在此期限后他失去传染作用，把到达L天的病人从可以引发直接传染的基数中去掉，即减少传染病人基数。
另外，模型还考虑了感染者在传染病发展的不同阶段其传染他人的平均概率K 会发生变化，即从开始至到高峰期间均采用同样的K值，高峰期后10天范围内对K值进行调整，最后将其保持不变。
模型中K的值应该是变动的，为了达到较好的效果，K值随着时间的推进而产生变化。
模型一建立后还通过利用给出的数据进行了计算结果的检测分析。
以香港的疫情计算分析为例，从2月15日第一例病例到3月17日开始公布正式数据，再到4月1日进入高峰期，估计出香港疫情从开始到高峰期大约经过45天，从高峰期回落到1/10以下大约要40天，再到基本结束疫情还要近一个月的时间。
模型得出的疫情发展趋势为有关部门应对疫情发展的不同阶段提供了依据和参考标准，有利于更好更及时的应对疫情，采取有力措施阻止疫情继续蔓延。
同时模型对疫情结束时间的预测也为稳定群众的心理起到了一定的作用。
然而模型仍存在一些缺陷，如模型没有考虑治愈之后不再感染患病或者不愈死亡的病人数量对总基数的影响；另外就是对K值和L值的选择不是非常的科学和符合实际。
事实上K值，即每个病人每天与健康人的接触率，是随着疫情的不断发展以及人们对疫情认知程度的不断加深而不断变化的，它的取值应该要更合理的衡量确定，L值表示传染病人在被发现前后对外界造成直接传染的期限值，它和K值一样在疫情的不同阶段会有很大的变化，特别是疫情初期到疫情高峰期的差异更明显。
通过以上分析，该模型适合在短时间内K值和L值变化不大的情况下对传染病人数进行预测分析，对于长期的预测则要通过更加复杂的模型进行解决。
5.2 问题2的求解问题二要求建立较问题一中模型更佳的模型，为此进行如下分析解决过程：材料中给出了不同时间累积病人数、治愈人数等相关信息，为了更好的发现数据之间的关系，在建立模型之前首先要对数据进行分析。
观察附件二的数据，可得出一组实际累积病例数，数据随时间变化如下：由图可知，在5月15日以及5月16日两天实际累计病人数达到最大，之后便逐渐减少。
进一步分析得出：在5月15日之前，传染率0r；在5月15日>之后，传染率0r。
通过以上分析，所以我们可以将时间分为两个阶段，并分<别建立以下两个模型对问题进行分析。
图一：累积病人数与时间的关系5.2.1 模型一：抛物线模型将4月20日到5月15日的实际累计病人数的数据，进行Excel 多项式拟合分析，所得结果如下图例二：图二：4月20日至5月15日累计病人数得到表达式为：66.10835.1311962.22++-=t t x 同时得到2R 值为0.9959，通过拟合得到的2R 值很接近1，因此模型一拟合的准确率较高，效果也较接近现实数据。
另外再对模型结果进行分析。
通过均方差计算公式：()25ˆ26121∑=-=i i ixxσ（其中是i x ˆ理论病例数，i x 是实际病例数）可得36.012121=σ。
通过该模型得到结果的均方差较小，再次说明模型的预测值与实际数据之间有较高的吻合度。
同时，利用得到的感染病人与时间的增长关系，可以得出，如果推迟α天采取隔离措施，受感染的人数将为： 66.108)(35.131)(1962.22++⋅++⋅-ααt t ；比实际增加：αα⋅+⋅++⋅-35.1311962.2)(1962.222t t 。
如果提前α天进行隔离处理，受感染人数将相应减少：αα⋅+-⋅+⋅-35.131)(1962.21962.222t t ；5.2.2 模型二：线性回归模型模型二是针对传染率0<r 建立的。
从所给数据及其与时间的关系可以看出，从5月16日开始，记5月16日为0=t 时刻，之后实际病例开始减少。
分析实际病例与时间的关系，发现病例数呈直线下降趋势。
故用一次线性方程进行拟合。
得到的结果如下图例三：图例三：5月16日之后累计病人数拟合后可得表达式为：5.2165363.57+-=t x同时得到991.02=R ，同样，得到的2R 值比较接近1，说明模型二的拟合准确率和数据拟合度都比较高。
再对模型二得出的结果进行方差分析，得到均方差46392.622=σ。