运筹学基础笔记(一纸开卷)

第一章线性规划及单纯形法

●线性规划：目标函数和约束条件均为线性的优化问题。

●优化模型解决步骤：1建立模型；2求解；3讨论解的性质和灵敏度分

析。

●线性规划的标准型

z’=-z

（2）bi＜0：等式、不等式两端乘（-1）

（3）约束条件为不等式：“≤”时左边加松弛变量；“≥”时左边减剩余变量；松弛变量（剩余变量）≥0，均未转化为利润，故目标函数系数为零

（4）取值无约束变量：例如x代表产品当年计划数和上年计划数之差，此时可正可负。令x=x’-x’’，其中x’≥0,x’’≥0，将其代入线性规划模型

（5）x≤0的情况：令x’=-x，x’≥0

（6）p≤x≤q的情况：先将条件平移成0≤x-p≤q-p，再令x’=x-p，然后添加一个松弛变量xi及约束x’+xi=q-p

●积极（紧）约束和非积极（非紧）约束：

在最优解处满足等式的约束——积极（紧）;在最优解处满足严格不等式的约束——非积极（非紧）

●A为m×n（m＜n），秩为m。

B为A中m×m满秩子矩阵，称为线性规划问题的一个基（基阵）;B中每一个列向量Pj为基向量;A中除去B的部分向量为非基向量，组成的矩阵用N表示;Pj对应的变量xj为基变量X B

m个约束方程解出m个基变量唯一解

●基解中最多有m个非零分量，故基解数目不超过C n m

●凸集：如果集合D中任意两点X1和X2，其连线上的所有点也都是集合

D中的点，称D为凸集。即对任何X1，X2∈D，有X= aX1+(1-a)X2∈D，0＜a＜1

●凸组合：X1，X2…，Xk是n维欧氏空间中的k个点，

若有一组数μ1, μ2, …, μk满足0 ≤μi≤1 (i=1,…,k)，而且μ1+μ2+ …+μk=1，那么X=μ1X1+μ2X2+ …+ μkXk是点X1，X2…，Xk的凸组合。

●顶点：凸集D，点X∈D，若找不到两个不同的点X1，X2∈D，使得X=

X为D的顶点。

判断是否为最优，如为否，则转换到相邻的基可行解（相

邻顶点），并使目标函数值不断增大，直到找到最优解为止。

•

原理：

步骤:

-M）

构造一个辅助线性规划，其目标函数是人工变量之和并要求实施最小化

（用单纯形法的话，必须化为标准型），而约束方程组是已加入人工变量的等

式。用单纯形法求解（需先化标准形式）：

若得到最优解并目标函数值为0，表明所有人工变量都已取零值，第一

阶段的最优解便是原问题的一个基可行解，进入第二阶段。

若否，则原问题无可行解，停止计算。

第二阶段：将第一阶段的最终表，删去人工变量，并将目标函数行的系数，换

成原问题的目标函数系数，这就得到了第二阶段的初始单纯形表。

不确定条件下的线性优化

第二章对偶理论与灵敏度分析

(上面是对称形式的)

若原问题第k个约束为等式，则对偶问题第k个变量是自由变量；反之亦然。

(下表为非对称形式的情况,此时，只要目标函数是求max就对应左边,求min

就对应表中右边.与约束的具体形式无关.)

对偶问题最终单纯形表的关系

●定理1(弱对偶定理)

如果X̅, Y̅分别为原问题(P)和对偶问题(D)的可行解,则有C X̅≤Y̅b。

推论：

●定理2(最优性)

●定理3：

对偶定理（强对偶性）

●互补松弛定理

●影子价格

-市场价格是价值的客观体现，相对稳定

-影子价格有赖于资源的利用情况，相对易变

●灵敏度分析(B为最初单纯形表中基)

Δb′=B−1Δb

ΔP j′=B−1ΔP j

(c j−z j)′=c j−∑a ij y i∗

m

i=1

●参数线性规划

步骤：（1）令λ=0求解得到最终单纯形表；（2）将λC*或λb*项反映到最终单

纯形表中（C直接反映，b用Δ变化值代入）；（3）确定表中现有解<对应C变

化>（基<对应b变化>）允许λ的变动范围，当λ变动超过这个范围时，用单

纯形法或者对偶单纯形法求取新的解；（4）重复第（3）步，直到划定λ变化

后表中解（基）也会变化的所有λ的范围。

第三章运输问题

结论：（1）运输问题一定有有限最优解

（2）基可行解中基变量个数为m+n-1

●确定初始基可行解的方法

-最小元素法

-沃格尔（Vogel）法

（罚数：次小单位运价和最小单位运价之差）

每轮在罚数最大的那一行/列里最小单位运价的空格里填上可能的最大数值；

供/需彻底满足后划去相应的行/列，下一轮在未划去行、列中继续计算罚数—

—沃格尔法可作为规模较小运输问题最优解的近似解

●解的最优性检验

-闭回路法（回路的顶点，除了空格外，其他全为填有数字的格<基变量格>）

空格增加1，带来的费用的增加即为该空格的检验数，所有检验数全为非负，

则盖解为最优解。

-位势法

●方案调整（解的改进）

●产销不平衡问题

-产大于销，增加m个松弛变量，相当于增加一个假想销地B n+1，对应的单位

成本c i(n+1)=0，对应的物品数量实际上是就地存储在A i的物品数量。

-销大于产的情形，增加n个松弛变量，相当于增加一个假想的产地A m+1，对

应的单位成本c(m+1)j=0,对应的物品数量实际上是各销地B j所需物品的欠缺额。

第四章目标规划

目标约束：求一组决策变量的满意值，使决策结果与给定目标总偏差最小，目

标约束是软约束，软约束是等式:

其中d+，d-≥0；d+·d-=0

同一级目标的大P相同，权重系数比可能是收益的比值等等。

●目标规划图解法

（1）画绝对约束可行域；（2）画目标约束满意域；（3）得到多个可行满意解；

（4）取Z min。

•minZ=f(d-+d+)，画出的可行域是一条直线

•当找得到目标约束可行域的时候，函数Z中的偏差变量取值为0，Z min=0

•-当目标约束只是部分满足时，已得到满足的目标约束偏差变量值为0，

未得到满足的偏差变量的值可由约束等式代入点坐标求解。

•-同单纯线性规划一样，最优解一定会出现在可行域端点上。

•目标规划的单纯形法

✓把偏差变量当作决策变量

✓当检验数中各优先因子的系数P i全为非负（对应求最小值）时，所有的

目标要求均能满足；若检验数中有的优先因子系数还有负数，说明该因

子对应的各目标并未全部满足，目标函数里对应的偏差偏差变量不取0。

目标为求最小值时，可认为是超出0的部分最小；目标为求最大值时，可认为

是与任意大数M的差距最小。

第五章整数规划

（ILP问题，松弛问题是一个线性规划）

解决办法：

•割平面法

适用于中小型问题、混合整数规划问题，收敛速度较慢，割平面取法不唯一。

步骤：（1）解松弛问题的最优解，判断是否整数；（2）若不满足整数约束（最

终单纯形表中b i0不为整数），则在非整数b i0中选择具有最大分数/小数部分的

非整分量所在行按下式构造割平面约束：

Σ(-f i0,j)x j≤-f i0

其中，x j为非基变量

j为非基变量所在列的列编号

f i0,j为选定行中，非基变量系数小数部分

f i0为选定行b i0小数部分，0＜f i0＜1

（3）在上面的约束条件加入松弛变量，化为等式后，直接并入之前的最终

单纯形表中，用对偶单纯形法进行计算（增加的约束条件中的松弛变量作为

新增的基变量），得到一个新的最终单纯形表；（4）若已经为整数解，即为

最优解，若否，则重复上述步骤。

•分支定界法

“分支”缩减搜索最优解的范围，“定界”提高搜索效率。

步骤：(1) 先解整数规划问题(A)的松弛问题(B)

(2) 分三种情形：

①(B)无可行解→(A)无可行解。②(B)最优解符合(A)要求，停。③(B)最优解不符

合(A)要求，转(3)

(3) 估整数解S0，作下界

(4) 选(B)解中不符合整数条件的分量xj(xj= bj)分支，作(B)的后续问题(C)：(B)加

约束xj≤[bj];(D)：(B)加约束xj≥[bj]+1

✓优点：

(1) 任何模型均可用（纯整数，混合整数）；(2) 思路简单、灵活；

(3) 速度快

✓注意事项：(1) 分支变量选择原则：

——按目标函数系数：选系数绝对值最大变量先分（对目标值升降影响最大)。

——按使用者经验，对各整数变量排定重要性的优先顺序。

(2) 分支节点选择：——深探法(后进先出法)：最后打开的节点最先选，尽快

找到整数解。整数解质量可能不高。

——广探法：选目标函数当前最大值节点，找到的整数解质量高，但是可能比

较慢。

•隐枚举法（部分枚举）

用来求解0-1问题（变量按目标函数系数值排序）

•指派问题：n个人n件事，一一对应，费用c ij，总费用最小。

✓解法：匈牙利算法（变换系数矩阵C n×n）

1. 行削减:每行中所有元素减去该行最小值

2. 列削减:新表中每列中所有元素减去该列最小值

3. 检查是否可得出最优解: 可通过覆盖所有零元素所需的最小直线数来判

断，若直线数等于行数目，则可以得出最优解，转步骤6，否则转步骤4。

确定独立0元素，若有n个独立0元素，即得到了最优解。对不止一个0

的。选定了一个独立0元素○0后，同行/列的要划掉成Φ。

确定覆盖零元素最少直线数目：（1）对没有○0的行打√；（2）在已经打√的

行中，对Φ所在列打√；（3）在已打√的列中，对○0所在行打√；（4）重复

（2）（3），直到找不到可以打√的行或列；（5）对没有打√的行画横线，对

打√的列画垂线，即得最少直线。

4. 若直线数小于行的数量，按以下方法调整

--从未被直线覆盖的数字中（整行或列）减去这些数字中的最小值

--在这些直线的交点上的数，加上上述最小值

--其他在直线但不在交点上的数保持不变

5. 重复步骤3和4，直至可能找出最优指派

6. 在零元素的位置上一个一个地指派任务。从只有一个零元素的行或列开

始，指定一个任务后，将该行和列划去，继续进行直至完全划去

第八章图与网络分析

•一个图可以表示为：G=(V, E)，其中V--点集，E--边集

V: {v1,v2……v7}；E: {e1, e2……e9}；ek=(vi, vj)

|V|=n(G) 顶点个数，|E|=m(G) 边数

•每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向边的图，叫

有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图

•一个图上，两点之间多于一条边的，称为多重边（有向图中两点间不

同方向的两条边，不是多重边）。不含环和多重边的图称为简单图；含

有多重边或环的图称为多重图.

•完全图：简单图G = (V, E)，每对顶点间都有边.有n个顶点的无向完全

图记为Kn，Kn中m=n(n-1)/2。有向完全图：每一对顶点间有且仅有一

条有向边的简单图。

•二分（部）图/偶图：图G = (V, E)的点集可以分为两个非空子集X和

Y，使得E中每条边的两个端点必有一个端点属于X，另一个端点属于

Y，亦可记做G = (X, Y, E)

•以点v为端点的边数称为v的次，记为d(v)。d=1，悬挂；=0，孤立；

奇点、偶点

任何图中，各点的次数和等于边数的2倍。任何图中，奇点个数必为偶数

个。

有向图中，d(vi)(次)=d+(vi)(出次)+d-(vi)（入次）

•子图：图G1=(V1, E1)与G2=(V2, E2)：

- 若V1⊆V2, E1⊆E2，则称G1为G2之子图。

- 如果V1=V2，则G1为生成子图（支撑子图）

•补图：无向简单图G=(V, E)，|V|=n，Kn边集为E’，则G’=(V, E’-E)为G

的补图

•网络：若将图G的每一条边e都对应一个实数w(e)，称w(e)为边的

权，并称图G为一个网络或赋权图

•给定两个图G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)：

并：G1∪G2=(V1∪V2, E1∪E2)；交：G1∩G2=(V1∩V2, E1∩E2)减：

G1 -

G2 = (V1, E1-E2)；环和：G1⊕G2=(G1∪G2)-(G1∩G2)

•

同构：图

G

与H

，若它们的点间存在一一对应，且保持同样的相邻关