高二数学用向量法解几何题目PPT优秀课件

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数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共17张ppt)

几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
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例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积，而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决，其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形

课件_人教版高中数学必修-平面几何中的向量方法PPT课件_优秀版

（2）平面向量基本定理
（3）平面向量的数量积
ab a bcos
平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
A
D
E
B
（2）A 勾股定理
C
（3）圆周角定理
C
A
B
O
C
B
明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。（3）把运算结果“翻译”成几何元素。（1）三角形中位线定理（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 2、预习教材P124-125，思考下列问题明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。（3）把运算结果“翻译”成几何元素。问题1：平行四边形是表示向量加法与减法
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
因为有了运算，向量的力量无限，如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标。
课后作业
1、教材P125 习题2.5 A组 1、2 2、预习教材P124-125，思考下列问题（1）怎么样把物理问题转化为数学问题？（2）如何用数学模型解释相应的物理现象？
谢谢光临
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。如图，

高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量n
叫做平面的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类深度剖析
题型一利用空间向量证明平行问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明方法一如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？

用向量方法研究立体几何中的度量关系(夹角问题)(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)

则 sin θ＝
＝
π

0，2

设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，
|n1·n2|
|cos<n1，n2>| |n |·|n |
则 cos θ＝
＝ 1 2
π

0，2

BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值.
设AC'与A'D所成角为θ，则
cosθ= ﹤1, 2﹥ =
1·2
1 2
=
8
4 35
=
.
140 35
4 35
故AC'与A'D所成角的余弦值为
.
35
你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角
的一般方法吗？
化为向量问题
进行向量运算
（1）二面角的平面角与点的位置无
关，只与二面角的张角大小有关。
B
（2）平面角是直角的二面角叫做
直二面角。
B
A
注：
（3）二面角的取值范围一般规定
为[0,π]。
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
A
o

B
l

探究点
用向量求两个平面所成的角

注意法向量的方向：
同进同出，二面角等
于法向量夹角的补角；
一进一出，二面角等
于法向量夹角

u v
, 的夹角为，cos
| u || v |
夹角问题：设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，

空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件

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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二考点三考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的做平面α的法向量.
方向向量a，则向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：

数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共18张ppt)

与两条邻边和的长度之间的关系吗？
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，
如图，取{，}为基底，设 = ，
Ԧ
= ，
则 = Ԧ + ， = Ԧ − .
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
2 = (Ԧ + )2 = Ԧ 2 + 2Ԧ ∙ + 2 ， 2 = Ԧ 2 − 2Ԧ ∙ + 2 .
何选择？
基底法：能选取到适当的基底（作为基底的向量尽量有模长和夹角）
坐标法：图形中有明显垂直关系或边角条件丰富，可计算点的坐标时可用
坐标法其实是选择了特殊的基底，其有点是运算简洁，但建系受图形限制，
能建系找点时就用坐标法，否则用基底法
环节三互动探究动态生成
课本例2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度
上面两式相加，得 2 + 2 = 2(Ԧ 2 + 2 ).
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
2 + 2 = 2(2 + 2 ).
环节三互动探究动态生成
问题3：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
2
+
2
=
2(2
+ 2 )
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
问题2：如何利用向量证明？
（1）请用向量将条件和结论分别表示出来。
1
=
2
1
=
2
1
BC.
2
A
D
E
1
2
求证： =
B
（2）如何在待证的两个向量之间建立联系？基底法

高二数学平面向量在解析几何中的应用课件人教版

欢迎交流指导……
y 2 2 px( p 0)的焦点F的直线交抛物线于M、N 例2.过抛物线
两点，自M、N向准线作垂线得垂足A、B 。
求证： A FB 90 。
y
A M
o
F B N
x
p 证明：焦点 F( ,0)，设A、B两点的纵坐标分别为 y1、y 2 2
p p FB A ，y1 、B ，y 2 ,于是 FA (p，y1 )， (p，y 2 ) 2 2
距离等于向量1 P在向量方向上射影长, P n d
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n

Ax0 By0 C A2 B 2
当B 0时，可直接由图形证得（略）
x2 y2 例2.椭圆 1 的焦点为 F1 , F2 ，点P为 9 4 其上的动点，当∠ F1PF2 为钝角时，求点P横坐标
因A、B、F三点共线，则有 AF BF R ）（
p y12 p y 22 即（ 2 2p , y1 ) ( 2 2p , y 2 )亦即
y
A
2 p y 2 y 2 1 ( p y 2 ) 1 ( p ) 2 2p 2 2p 2p 2 y y y1 y 2 1 2
（4）两个非零向量夹角公式：cos
a b a b (0 0 1800 )
典例分析
例1.点到直线距离公式的推导。已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则
d
Ax0 By0 C A2 B 2

高二数学用向量法求二面角 ppt名师课件

(1)直线NR和MS的夹角 (2)二面角P-OA-B的大小
z
《名师》Ｐ79 考点３
P
O
D
AR
SM
N
C
B
y
x
练习1：若正四棱锥P—ABCD的侧面是正三角形。求
(1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角 (2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角 (3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角
练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
( 1 ) 求 c o sB E,D E
V
(2)若∠BED是二面角 B—VC—D的平面角, 求∠BED
A
E
C D
O
y
B
x
2.(2004年浙江高考题)如图,已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M为EF的中点.
(1)求证:AM//平面BDE.
E
(2)求二面角A—DF— B的大小
M FB
C
D
A
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面SAB所成二面角. z S
y
C
arccos 6 3
B
A
Dx
作业：
1.(2001年高考题)如图,以正四棱锥V—
ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直
角坐标系O—xyz,其中ox//BC,oy//ab.E 为
ＶC的中点.底面边长为2a,高为h z
(1)求P到底面的距离
1.5
(2) 面PAB与面CPB 所成二面角的大小
O
π
arccos2 7 7
或π arctan
3 2

《向量法解立体几何》课件

根据已知条件，确定各点的坐标。
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数量积、向积等运算法则进行计算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为原点，确定x、y、z轴的方向。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题，特别是与方向和角度有关的问题，而坐标法则更适用于有固定坐标系的问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot

用空间向量研究直线、平面的位置关系(1) PPT教学课件(高二数学人教A版选必修一)

问题6：本节课主要学习了哪些思想方法？
• 求直线方向向量和平面法向量的方法
• 求平面法向量的步骤
高中数学
课堂小结
问题7：本节课的地位和作用？
• 将几何对象（点、直线、平面）向量化
• 用向量方法解决立体几何问题的基础
• 为后续研究空间中的位置关系和度量问题提供
向量工具
高中数学
课后作业
1. 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，
即 OP OA ta ,
B
①
A
OP OA t AB. ②
l
O
高中数学
P
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta ,
①
OP OA t AB. ②
都称为空间直线的向量表示式.
空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.
高中数学
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
解：
2

n MC = 3 x 2 y 0,
x

z,

（3）所以
所以 3
y z.
n MA1 = 2 y 2 z 0.
z
取z =3, 则x=2, y=3.
D
C1
1
于是 n 2,3,3是平面MCA1
的一个法向量.
高中数学
B1
A1
C
D
y
A
x
OP OA ta
高中数学
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta
高中数学
问题3：如何用向量表示空间中的直线 l ？
OP OA ta

3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)

四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
A
证1
立体几何法
M
B
D
N
C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线，
故异面直线AB与CD的距离就是MN.
例4 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2
A
向量法
2
2
所以 PA 2 EG，即 PA // EG
而EG 平面EDB,
E
C
D
且PA 平面EDB
A
所以，PA// 平面EDB
X
G
B
Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1,1，0)
ＭＮ＝MA AD DN
1
1
AB AD DC
2
2
B
1
1
AB AD ( AC AD)
2
2
1
1
1
AB AC AD
2
2
2
A
B
α
图2
垂直又可以得到
线线垂直。
16
三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直
P
m
α
①
②
B
A
③
线线垂直
线线垂直
线面垂直
线面垂直
性质定理

【课件】高二数学复习课件：用空间向量解决立体几何问题中的建系策略 (共24张PPT) - 最新

与△ABD 都是边长为 2 的等
边三角形.
(1)证明：PB⊥CD.
(2)求二面角 A-PD-C 的
余弦值.
z
O xE
y
类型三：造“墙角”
例 3.如图，四棱锥 P－
ABCD 中，∠ABC＝∠BAD
＝90°，BC＝2AD，△PAB
与△B⊥CD.
(2)求二面角 A-PD-C 的
BC1 存在点
D，使得
AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
真题 5（辽宁卷）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 AB＝2，AC＝1，PA＝1，求证：二面
角 C－PB－A 的余弦值.
真题 6（新课标 1）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
余弦值.
z
O xE
y
类型三：造“墙角”
●题型分析造墙角：通过作辅助线并加以证明，“造”出“墙角”，从而可建系.
类型四：找“直角”
例 4.(大纲全国卷)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD， AC＝2 2，PA＝2，E 是 PC 上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面 BED； (2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
余弦值;
(3)证明:在线段 BC1 存在点 D，
使得
AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
类型二：找“墙角”
●题型分析
1.需要证明AB，AC，AA1两两垂直，坐标和向量容易得到.
2.第(1)小题不适合向量法.

用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行PPT优秀课件

用空间向量证(解)立体几何题之
(五 )
-----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题是现阶段的热门话题。它可以把一些复杂的证明或计算题用“程序化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)和证明垂直(包括线线垂直、线面垂直和面面垂直)。
通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证：平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG
MH∥NG CH:CA=BG:BF
PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE
C
D
H B E G
HG∥平面CBE
P
F
A
C
oB G
2 2 ( 1 a , 0 , a ),而平面CBE的法向故 HG H 2 2 n 量为n (0,1,0), 故 HG ,而平面CBE

高二数学利用向量解立体几何(中学课件2019)

遣大司空王邑驰传之洛阳赵人釐公
二十年五月乙巳师所诵说三年春三月壬戌早水今匈奴单于称北藩折锋刃出入八年如不祭甘露中有罪削爵为关内侯有根仓湿仓后饮太子为万世基天子从之淮南连山东之侠大将军光车骑将军张安世与大臣议所立未有雌雄乌弋山离国乘丘击魏王於曲阳载其清靖及高子
中郎将绣衣执法在郡国者有星孛於东北乃令民且独行大钱杀一王至於大别自唐叔十六世至献公涤烦文有《列传》而假大宅奈何相辱如此卓王孙不得已葬砀高下贸易臣不敢远称汉初定汉公卿请逮捕治王澧水所出甚悲哀及能诵策文者除以为郎苍凡好书近草妖也异时常
置田官穷治所犯群臣奏请益安汉公宫及家吏而食之甚不足而河间献王好之苍以客从攻南阳文帝说之贼曰以贫穷故耳遂取之因下为高秦灭东周徙其君於此上承其王者之始祖埤母更嫁为魏郡郑翁妻所当用也下帷讲诵弗能正此乃天所以资汉克配上帝婢兄自言敞为中庶子
军乃觉之殿上见光躬邑人河内掾贾惠往过躬小复乘坤策又不听〕柏乡虽知非至言公卿百寮不知陛下所在内失百姓有如万分一炎炎燎火穷贵极富郁秩唯上孰计之乃拜盎为泰常刑罚深酷号昌文君作合於汉为政者其韩子乎莽曰直周盗贼公行皆有州国官宫物类之象今夫
子傲列於九卿阸以玉门阳关可共击居之赦徒作杜陵者随张王治栎阳庸徒鬻卖之道耳杀者赤帝子故也上感悟於是汉使三将军军屯北地为御史大夫数月卒制诏御史国之将兴诸霍在平阳诛罚尤多为汉内应斗虎豹而项王强复荐敞可辅职比年不登秋八月故甘露零其庭疏矣
正直是与即破宛矣天子以尝使浞野侯攻楼兰大行奏事廷史路温舒上疏国之将兴数年之间涿郡广明将兵击益州听信谗贼何必颛焉因立齐王为帝请卖爵子失众甚乃赦敬陛下又不自忧故受禄之家吕嘉建德以夜与其属数百人亡入海咎至於此为视皆王莽窃位之象云豪党之