直线型倒立摆的力学分析
自动化实验-倒立摆实验-附仿真结果图
一、直线一级倒立摆的仿真(一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型.图2 直线一级倒立摆模型φ摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
图3 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:把这个等式代入式1中,就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程:力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向,由于θ=π+φ,cosφ= −cosθ,sinφ= −sin θ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程:设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<〈1，则可以进行近似处理:。
用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：或如果令v = x，则有：把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为:方程组对解代数方程,得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：设则有：实际系统的模型参数如下:M 小车质量1。
096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0 。
1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0。
2 5mI 摆杆惯量0。
0034 kg＊m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数:摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程:(二)倒立摆的PID调节：经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
2021年直线一级倒立摆系统实验报告
直线一级倒立摆系统试验汇报西北工业大学姓名: 张云虎探测制导与控制技术学号: 3009251.试验参数介绍g 重力加速度9.8m/s2.依据试验指导书给受力分析结合newton定律得出动力学方程: 分析水平方向协力有:M=F-f-N （1）分析摆杆水平方向受力得;N-Fs=m（x+lsinθ) ps: Fs=0即N=m+ml cosθ-ml sinθ（2）把（2）带入（1）得到:（M+m）+f+ ml cosθ-ml sinθ=F（3）对垂直方向协力进行分析得到:-P+mg+Fh=m(l-lcosθ) ps:Fh=0即P-mg= ml sinθ+ml cosθ（4）力矩平衡方程:Plsinθ+Nlcosθ+I=0 （5）把公式（2）（4）带进（5）得到:（I+m）θ+mglsinθ=-ml（6）近似化处理得到:(I+m )-mglф=ml(M+m)+f -ml=u写出状态空间模型:=Ax+Buy=Cx+Du==+ф+ u== +ф+ u 写成矩阵形式, 带入参数化简以下:= = uy= = + u3.MATLAB分析:>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]A =0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0>> B=[0;1;0;3]B =13>> C1=[1 0 0 0]C1 =1 0 0 0>> C2=[0 0 1 0]C2 =0 0 1 0>> C=[C1;C2]C =1 0 0 00 0 1 0>> D=[0;0]D =D1 =>> D2=[0]D2 =状态空间模型以下:>> sys1=ss(A,B,C,D)sys1 =a =x1 x2 x3 x4x1 0 1 0 0x2 0 0 0 0x3 0 0 0 1x4 0 0 29.4 0b =u1x1 0x2 1x3 0x4 3c =x1 x2 x3 x4y1 1 0 0 0y2 0 0 1 0d =u1y1 0y2 0Continuous-time state-space model.4.利用MATLAB判定系统能控性与观性: >> Qc=ctrb(A,B);>> Qo1=obsv(A,C1);>> Qo2=obsv(A,C2);>> rank(Qc)ans =4>> rank(Qo1)ans =2>> rank(Qo2)ans =2>> rank(obsv(A,C))ans =4因为rank(ctrb（A.B）)=4,所以系统可控;因为rank（obsv(A,C1)）=2,所以输出1不可观察;因为rank（obsv(A,C2)）=2,所以输出2不可观察;因为rank（obsv（A, C）=4, 所以由全部输出是可观察。
直线型倒立摆的力学分析
倒立摆的力学应用一、综述、杂技表演中，艺人用手托起一根立起的竹竿时，他会通过手臂的不断移动来保持平衡，使竹竿不倒，人和竹竿组成的这个系统就叫做一级倒立摆系统。
假如两根竹竿上下立在一起（自由连接），下面一根杆和作直线运动的小车自由连接，这个就叫做二级倒立摆系统。
倒立摆是常用的进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，是检验各种控制理论的重要工具。
同时，倒立摆在实际应用中也有着广泛的应用。
如：机器人的站立于行走问题类似于双倒立摆系统；在火箭飞行器的飞行过程中保持正确姿态；通信卫星保持稳定姿态以使卫星天线一直指向地球，并使太阳能电池板指向太阳；多极火箭发射的垂直度问题也可以简化为一个多级倒立摆模型。
作为控制课的一部分，我们于本学期开始进行在直线型倒立摆上开展控制实验，为了解决状态空间法设计控制算法的基本问题，对倒立摆进行力学建模是必要的。
用于倒立摆系统建模的主要方法有两种:一种是采用牛顿力学的分析方法，分别对小车和倒立摆进行动力学分析，列出其动力学方程，联立采用小角度线性化得到倒立摆系统的近似线性模型。
另一种是拉格朗日方法，将倒立摆系统作为一个整体分析，建立系统的动态微分方程，再采用小角度线性化的方法得到倒立摆系统的近似模型。
下面将先后用这两种方法分别对一级和二级倒立摆进行建模。
二、力学分析1、用动力学方程求解一级倒立摆的运动微分方程直线型电机一级倒立摆由直线运动的摆杆底座和一级摆杆组成。
如图1：其中，为了简化模型，可以认为摆杆和底座为刚体，忽略空气阻力和摆杆与底座轴承的摩擦力。
图中，m 为摆杆质量，M 为摆杆底座的质量，L 为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度，I 为摆杆惯量,F 为加在小车上的力，x 为小车在x 轴上的的位移，Φ为摆杆与y 轴正方向的夹角。
小车与摆杆的受力分析如图2所示。
其中N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量，b 为小车的阻尼系数。
θ为摆杆与y 轴负方向的夹角。
(完整)倒立摆实验报告
专业实验报告摆杆受力和力矩分析θmg VH θX V X H图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩（1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。
当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：2()I ml mgl mlx θθ+-=1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG s ml I s mgl=+- （2） 倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量 ，kg m=0.109 % 摆杆质量 ，kg0.1β= % 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G s s =- （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x x θθ= （4）由2()I ml mgl mlx θθ+-=得出状态空间模型001001000000001330044x x x x x g g lμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5） μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001 xx x y （6） 由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）010000001000100029.403x x x x x μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）00x μθθ⎤⎥⎡⎤⎥'+⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎥⎦作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大易作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正装Ax B Cx μ+= 1n x ⎥⎥⎥⎦，1n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111n n nn a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1n B b ⎥⎥⎥⎦，]n C c =。
倒立摆的动力学模型
倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。
本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。
一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。
倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。
二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。
重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。
将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。
三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。
假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。
四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。
开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。
闭环控制往往使用PID控制器。
PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。
五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。
此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。
六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。
通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。
倒立摆
(4-2)
其中 i＝1,2,3……n， f i 为系统在第 i 个广义坐标上的外力， 在一级顺摆系统中， 系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为 x, φ 。 首先计算系统的动能：
T = TM + Tm
其中
TM , Tm 分别为小车的动能，摆杆 1 的动能。
小车的动能：
TM =
. 2 1 Mx 2
下面计算摆杆的动能：
运行程序得到：
k11 = 0 k12 = − k13 = 0 k14 = 0 k15 = −
3 4l
. .
3g 4l
设 X = {x, x, φ , φ} ，系统状态空间方程为：
& = AX + Bu X y = CX + Du
©Googol 2005
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第 4 章 直线一级顺摆建模和实验
则有：
(4-3)
⎡x⎤ ⎢ &⎥ ⎡ x ⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢ x ⎥ + ⎡0⎤ u y=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣φ ⎦ ⎣0 0 1 0⎦ ⎢φ ⎥ ⎣0⎦ ⎢ &⎥ ⎢φ ⎦ ⎥ ⎣
通过转化可以得到：
&& = − φ
摆杆角度和小车位置的传递函数为：
3g 3 & φ− & x 4l 4l
−3 2 s Φ(s) = 4l 3g X (s) s2 + 4l 摆杆角度和小车加速度的传递函数为： −3 Φ(s) 4l = 3g V (s) s2 + 4l
或直接利用计算可控性矩阵的 ctrb 命令和计算可观性的矩阵 obsv 命令来计 算。
©Googol 2005
112
第 4 章 直线一级顺摆建模和实验
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。
因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。
系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。
我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。
对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。
在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。
令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。
其次，我们需要确定系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。
最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。
牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。
具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。
2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。
3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。
直线一级倒立摆文档
0 0 1 0
0 I ml 2 ( M m) I mMl 2 B 0 ml 2 ( M m ) I mMl C I 44
带入参数得线性化后的系统参数矩阵为
1 0 0 0 0.0883167 0.629317 A 0 0 0 0 0.235655 27.8285
图. 4 Simulink 框图
图. 5 小车位置图
图. 6 摆杆与垂直方向角度图
Y轴
φ 摆杆 l F
X轴 小 X
图2
车
导轨
图 3 是将小车与摆杆分开受力分析的示意图。其中（a）图是小车的受力分析示意图， （b）图是摆杆的受力分析示意图。其中 N 和 P 分别为小车与摆杆相互作用的水平和垂直方 向的分量。执行装置的正方向由图. 2 所示的矢量方向确定。
P N F 小 (a)
图. 3 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
(3) (4)
cos ml 2 sin F bx ml (M m) x
分析摆杆垂直方向上的合力，可以得到下面的方程：
P mg m
即：
d2 (l cos 2 cos P mg ml
根据式(9)可得到如下的状态空间方程：
AX Bu X Y CX
其中
X x1
x2
x3
x4
T
1 0 ( I ml 2 )b 0 ( M m) I mMl 2 A 0 0 mlb 0 ( M m) I mMl 2
0 m 2l 2 g ( M m) I mMl 2 0 ( M m)mgl ( M m) I mMl 2
直线一级倒立摆实验报告
Gs KDs2 KPs KI
s
相当于给系统增加了一个位于原点的开环极点和两个位置可变的开环零点，因此 对于低阶已知数学模型的系统，根据期望的性能指标可以采用根轨迹法确定PID 参数。
2、频域法确定PID参数 对于已知频率特性曲线的系统，PID控制器相当于 给频率特性曲线增加了积分环节和一个二阶微分环节，通过调整PID参数，可以 改变PID控制器的频率特性，进而改变闭环系统的频率特性。
当摆杆被控时，小车的运动的位移也受到导轨实际长度的限制。因此，输出量除 了摆杆角度外，还有一个小车运动的位移。位移与输入量小车加速度之间的关系 为：
X (s) 1
Rs s2
控制系统结构图:
1
s2
Transfer Fcn1
Pos
3
In1 Out1
Step
s2+-29.4
Addห้องสมุดไป่ตู้
Transfer Fcn
Step 0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pos.
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ang.
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由曲线可以看出，系统角度超调量为33.6%，调整时间接近0.55秒，位移变化平 稳，角度输出稳定。故这组参数可以作为PID控制参数；
2、基于计算机MATLAB 平台进行现场倒立摆控制，绘制实验曲线； 直线一级倒立摆系统是小车在光滑的导轨上运动，小车上铰链了一根摆杆，
ppt直线一级倒立摆(课件材料)
由上图可知，小车位移的单位阶跃响应和单位脉冲响应都是发散的，说 明该系统不稳定
技术资料
15
控制器设计
PID校正设计
频域法校正设计
极点配置法校正 设计
技术资料
16
PID控制原理及试凑法
结构框图及传函
控制器设计 （PID）
技术资料
17
G(s)
控制器设计 （PID）
增大系统的比例系数一般将加快系统的 响应，在有静态误差的情况下有利于减 小静差，但是过大的比例系数会使系统 有较大的超调甚至产生震荡，使稳定性 变坏。
arcsin( 0.4 ) 0.24
0.4 1
0.24
所以：σ≤0.2
技术资料
26
参数选择
控制器设计 （频域法）
取超调量σ=0.25， 55, K 2.464
则
设调节时间 ts 0.2s
则：c
K0
ts
1538.4.780
当：c m 1358..7408 时 0 0
技术资料
频域法校正的优点是可以很直观的表现响应与频率之间的 关系，可以直接改变低频段、中频段、高频段增益，可以 直观改变穿越频率，增加低频增益和使高频增益快速衰减。 缺点是比较麻烦，运算过程复杂。
PID法校正的优点是操作简单，对自动化专业知识的要求 低，但是不能准确的改变系统参数，通过比例、微分、积 分三个系数的调节得到预期的控制效果。
-177
y
z
-178
无宽脉冲幅值：0.05
d
-179
-180
-181
实验结果表明PID与频域法校正系统性
-182
能基本一致，极点配置法因为需要控制
小车位移所以调节时间略大
直线三级倒立摆
=
1 2
m3
⎜⎛ ⎜⎝
⎜⎛ ⎝
d (xpend3) ⎟⎞2 dt ⎠
+
⎜⎛ ⎝
d ( ypend3) dt
⎟⎞2 ⎠
⎟⎞ ⎟⎠
T '' m3
=
1 2
J
.
θ p3 3
2
=
1 6
m3l3 2
.
θ3
2
©Googol 2005
156
第 7 章 直线三级倒立摆
Tm 4
=
1 2
m4
⎜⎛ ⎜⎝
⎜⎛ ⎝
d (xmass1) dt
θ3 摆杆 2 与竖直方向的夹角
F 作用在系统上的外力 利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为：
.
.
.
L(q, q) = T (q, q) −V (q, q)
其中 L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的 势能。
d dt
∂L
.
∂ qi
− ∂L ∂qi
=
fi
其中 i＝1,2,3……n， fi 为系统在第 i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统
+
k14θ 3
+
k15
.
x+
k16
.
θ1 +
k17
.
θ2 +
k18
.
θ3
+ k19
..
x
⎪ ..
.
.
.
.
..
⎨θ 2 = k21 x + k22θ1 + k23θ 2 + k24θ 3 + k25 x+ k26 θ1 + k27 θ 2 + k28 θ3 + k29 x
直线型一阶倒立摆1---概念篇
直线型⼀阶倒⽴摆1---概念篇⼀、倒⽴摆系统的研究⽬的和意义倒⽴摆控制系统（InvertedPendulumSystem简称IPS）是⼀个复杂的、不稳定的、⾮线性系统，是进⾏控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒⽴摆的典型性在于：作为被控对象，它是⼀个⾼阶次、不稳定、多变量、⾮线性、强耦合的复杂被控系统，可以有效地反应出控制中的许多问题。
对倒⽴摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如⾮线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒⽴摆的控制，⽤来检验新的控制⽅法是否有较强的处理⾮线性和不稳定性问题的能⼒。
同时，其控制⽅法在军⼯、航天、机器⼈和⼀般⼯业过程领域中都有着⼴泛的⽤途，如机器⼈⾏⾛过程中的平衡控制、⽕箭发射中的垂直度控制和卫星飞⾏中的姿态控制等。
倒⽴摆的种类有很多，接其澎式可分为：悬挂式倒⽴摆、旋转式倒⽴摆、环形倒⽴摆和平⾯倒⽴摆；按级数可分为：⼀级、⼆级、三级、四级、多级等；接其运动轨道可分为：⽔平式、倾斜式；按控制电机⼜可分为：单电机和多级电机。
研究倒⽴摆系统具有的挑战意义不仅仅是由于级数的增加⽽产⽣的控制难度，并且由于他的本⾝所具有的复杂性、不稳定性以及⾮线性的特点进⽽不断研究拓展的新的理论⽅法，以应⽤到新的控制对象中，提供更好的实验理论和实验平台。
对于机器⼈的直⽴⾏⾛，航天飞⾏器的飞⾏平稳控制都具有⾮常⼤的意义，不断进⾏理论与⼯业的实践结合，推动科学技术的发展，更加⼴泛的应⽤到经济活动中。
这对于航空航天技术的进步具有⾮常⼤的理论意义和实际意义，具有⾮常⼴阔的研究前景。
⼆、直线型⼀阶倒⽴摆原理倒⽴摆系统⼤致可以分为控制器、运动平台、受控杆三部分。
直线型⼀阶倒⽴摆的控制器可以⽤计算机或者单⽚机实现，运动平台为直线型、受控杆为均匀质量铁杆。
受控杆与运动平台相连。
直线型⼀阶倒⽴摆受控过程如下：状态⼀:系统处于⾃然稳定状态即受控杆⾃然下垂、运动平台速度为零、控制器未⼯作。
倒立摆基本原理
倒立摆基本原理前言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都会有大量的优秀论文出现。
第一部分倒立摆系统介绍一、倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
倒立摆受力分析范文
倒立摆受力分析范文倒立摆是一种经典的物理实验，通过分析倒立摆的受力情况，可以帮助我们更好地理解力学原理。
倒立摆由一个可以旋转的杆连接一个质点，在竖直方向上放置，在没有外力的情况下，质点的位置会发生变化。
接下来，我们将对倒立摆的受力进行详细分析。
首先，我们来看杆的受力情况。
杆在摆动过程中，既需要支撑质点的重力，又需要承受质点产生的向心力。
在杆的上端有一根绳子或者直接有一杆支持摆的中心，这根绳子或者杆对于杆的支持起到关键的作用。
1.重力：质点受到重力的作用，重力的大小与质量成正比，方向指向地心。
重力的作用在杆上产生了一个扭矩，试图使杆旋转。
2.向心力：倒立摆在摆动时，质点会受到向心力的作用。
向心力的大小与质点的速度和杆的长度成正比，方向指向杆的旋转中心。
向心力的作用在杆上也产生了一个扭矩，试图阻碍杆的旋转。
对于杆的受力，我们可以使用力矩平衡来分析。
力矩平衡要求系统中所有力矩的和为零。
在倒立摆的摆动过程中，杆受到的两个力矩分别是重力产生的力矩和向心力产生的力矩。
1.重力产生的力矩：重力的大小为mg，作用点到杆旋转中心的距离为L1，根据力矩平衡，重力产生的力矩为mgl1，方向垂直于杆。
2.向心力产生的力矩：向心力的大小为mv²/R，作用点到杆旋转中心的距离为L2，根据力矩平衡，向心力产生的力矩为mV^2/R，方向垂直于杆。
由于摆动过程中，杆的角加速度不为零，所以力矩平衡要求上述两个力矩的和为零，即mgl1+mV^2/R=0，整理后得到l1=-V^2(R/g)。
在上述分析中，我们可以看到，当速度V增大时，l1减小，杆的支持点趋近于质点位置，反之亦然。
这说明在倒立摆的摆动过程中，质点的速度和杆的长度是相互关联的。
另外，我们也可以对杆的受力进行力的平衡分析。
1.竖直方向力的平衡：杆上受到的重力和向心力的合力与张力之和为零。
即mg+mv²/R=T，其中T为绳子或者杆的张力。
如果绳子不可伸长，则mg+mv²/R=F，其中F为杆的支持力。
倒立摆模型
直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理直线一级倒立摆系统的组成本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。
控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被控制量是摆的偏角和小台车的位移。
系统的构成示意如图1所示。
图1系统示意图应用牛顿力学方法建立系统的数学模型在以上假设的前提下，来分析系统的运动情况。
采用隔离的办法，首先分析倒立摆系统的受力情况。
一、小台车的受力分析设小台车的质量为[]M kg ，[]f N 为由电机提供的x 方向的驱动力，[]w f N 为系统的外部干扰作用力，2[]kg m ξ⋅为小车和轨道的摩擦系数，[/]K Nm s 为电动机动特性影响因数，则根据小车水平方向所受的合力，可得如下方程： ()()w F Mx f f f K x ξ=+--+ （1） 其中[]F f N 表示摆的水平运动对台车的作用力，其方向与驱动力[]f N 的方向相反。
二、摆杆的受力分析以小台车与摆的节点为坐标原点，取坐标系如图1。
那么，摆的运动由水平方向，铅直方向以及旋转方向的运动来构成。
记摆的质心距节点的距离为[]L m , 摆的质量为[]m kg ，摆的偏移角为ϕ，那么摆的质心沿各个运动方向的位移分别为：● 水平方向 sin []x L m ϕ+● 铅直方向 cos []L m ϕ● 旋转方向 []rad ϕ且各个方向的运动方程可以表示为：22[sin ]H d f m x L dtϕ=+ （2） 22[cos ]V d f mg m L dtϕ-= （3） sin cos V H J Lf Lf ϕηϕϕϕ+=- （4）其中[]H f N 和[]V f N 分别表示作用在节点上的沿水平方向和铅直方向的反作用力。
记转动惯量为2/3J mL =，摩擦系数为η，则由(2)和(3) 求得[]H f N 和[]V f N ，并代入(4)，得2()cos sin J mL mL x mLg ϕϕηϕϕ++=-+ （5）由于摆的水平方向的推力F f 等于摆的水平运动作用在台车上的阻力H f , 即F H f f = （6）将（2）式中的H f 代入（1）式，得到小台车的运动方程为：2()()(cos )(sin )()w M m x K x mL mL f f ξϕϕϕϕ++++-=+ （7）由（5）式和（7）式可得出倒立摆系统的数学模型为如下方程组：22()()(cos )(sin )()()cos sin w M m x K x mL mL f f J mL mL x mLg ξϕϕϕϕϕϕηϕϕ⎧++++-=+⎪⎨++=-+⎪⎩ （8）直线一级倒立摆系统的结构参数台车的质量(M ) 0.445[kg ]摆的质量(m)0.210[kg]重力加速度(g) 9.8[2m s]/质心距节点的距离(L) 0.305[m]台车与轨道的摩擦系数（ξ） 0.925 2⋅[]kg m摆节点处的摩擦系数（η） 0.06[//]N rad s 电动机动特性影响因数（K） 7.877[/]Nm s。
倒立摆实验报告
《线性系统理论》课程——倒立摆实验报告基本情况实验完成了基本要求，通过pid、极点配置、根轨迹、和ldr方法调试运行一级倒立摆，设计新的pid参数，调试运行状态，逐渐使一级倒立摆稳定，完成了实验的基本要求。
在对一级倒立摆完成实验的基础上，进一步对二级倒立摆进行了分析研究。
这其中的工作主要包括针对LDR方法运行demo，观察系统稳定性，快速性，调整系统参数，查看有什么问题，并且针对问题提出修改意见。
在多次试验后，对系统有了进一步的了解，便开始着手二级倒立摆极点配置方法的实现问题。
这部分继续学习了极点配置的方法，通过编写m文件，计算K，仿真运行系统，查看系统图像，查看调节时间，超调量等。
逐渐调试参数，使系统指标顺利达到。
最后是进行试验，进一步调整系统参数。
在这一个过程中，经验很重要，同时偶然因素也起到了重要的作用。
所以调试一个系统真的不容易。
这一部分的内容在第六节中进行了较为详细的介绍收获对倒立摆的系统原理有了更深层次的了解掌握了pid、极点配置、根轨迹、ldr方法设计系统学会了一些调试运行系统的经验加强了和同学之间的交流，锻炼了软件实现编程能力改进意见这里我有一个小小的建议，这是我在做实验的时候遇到了问题总结。
系统参数含义还不是很清楚。
在这个方面尤其是参数对应着系统的具体实际含义不明确，只能在尝试凑参数，有时出现了一个问题，不知道是哪个参数引起的，所以影响了效率，结果也不是很明显。
改进意见：共有四次实验，第一次实验安排不变但是试验后，负责人要收集问题，主要是要老师来解决的，在第二次实验前针对上一次的问题进行集体讲解一下，尤其是与物理的联系，不要仅仅是自己做实验吧，第三次和第一次相同，第四次与第二次相同。
在这个完成后，如果课堂有时间，可以进行了一个小小的试验心得介绍，和大家交流心得体会。
或者是老师统一解决一下这个总体过程中的问题，我觉得这样结果会更好一点。
下面是具体的详细报告一、倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
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倒立摆的力学应用一、综述、杂技表演中，艺人用手托起一根立起的竹竿时，他会通过手臂的不断移动来保持平衡，使竹竿不倒，人和竹竿组成的这个系统就叫做一级倒立摆系统。
假如两根竹竿上下立在一起（自由连接），下面一根杆和作直线运动的小车自由连接，这个就叫做二级倒立摆系统。
倒立摆是常用的进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，是检验各种控制理论的重要工具。
同时，倒立摆在实际应用中也有着广泛的应用。
如：机器人的站立于行走问题类似于双倒立摆系统；在火箭飞行器的飞行过程中保持正确姿态；通信卫星保持稳定姿态以使卫星天线一直指向地球，并使太阳能电池板指向太阳；多极火箭发射的垂直度问题也可以简化为一个多级倒立摆模型。
作为控制课的一部分，我们于本学期开始进行在直线型倒立摆上开展控制实验，为了解决状态空间法设计控制算法的基本问题，对倒立摆进行力学建模是必要的。
用于倒立摆系统建模的主要方法有两种:一种是采用牛顿力学的分析方法，分别对小车和倒立摆进行动力学分析，列出其动力学方程，联立采用小角度线性化得到倒立摆系统的近似线性模型。
另一种是拉格朗日方法，将倒立摆系统作为一个整体分析，建立系统的动态微分方程，再采用小角度线性化的方法得到倒立摆系统的近似模型。
下面将先后用这两种方法分别对一级和二级倒立摆进行建模。
二、力学分析1、用动力学方程求解一级倒立摆的运动微分方程直线型电机一级倒立摆由直线运动的摆杆底座和一级摆杆组成。
如图1：其中，为了简化模型，可以认为摆杆和底座为刚体，忽略空气阻力和摆杆与底座轴承的摩擦力。
图中，m 为摆杆质量，M 为摆杆底座的质量，L 为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度，I 为摆杆惯量,F 为加在小车上的力，x 为小车在x 轴上的的位移，Φ为摆杆与y 轴正方向的夹角。
小车与摆杆的受力分析如图2所示。
其中N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量，b 为小车的阻尼系数。
θ为摆杆与y 轴负方向的夹角。
对摆杆水平方向进行受力分析可得：22(sin )t d N m x l d θ=+ （1）即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- （2）对底座水平方向进行受力分析可得：Mx F N bx =-- （3）将（2）式代入（3）得2()sin M m x bx ml ml F θθθ+++-= （4）对摆杆垂直方向上的合力进行分析可得：22(cos )d P mg m l dt θ-=- （5）对于摆杆，力矩平衡方程为：sin cos Pl Nl I θθθ--= （6）再从几何关系分析：+θφ=π,cos cos θφ=-，sin sin θφ=-， 故等式前面有号负号。
,合并（5）（6），有22()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=-因为是小角度变化，故设Φ约等于0图2所以，cos 1θ=-，sin θθ=-，20d dt θ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
按照惯例，把控制输入力F 记为u 。
线性化后可得2()()m M x ml bx u I ml mgl mlx φφφ+-+=+-=接下来，用控制方面的知识进行状态空间计算： 对上式进行拉普拉斯变化（初始条件为0），可得：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mglX s s M m X s s ml s s bX s s U s φφφ+-=+-+=由于输出角度为Φ，求解第一行可得：222()()[]()I ml gX s s ml sφ+=- 即22()()()s mls X s I ml s mgl φ=+-再令a x =，有 22()()()s mla s I ml s mglφ=+-将该式代入方程组（10）的第二个方程，可得：22324()/()()()lg /s mls qb I ml s M m mgls U s s bm s qq qφ=+++-- 其中22[()()()]q m M I ml ml =++- 设系统的状态空间方程为：X AX Bu y CX Du=+=+去状态变量：1x x =，2x x =，3x φ=，4x φ=，则状态向量为，[]T X x x φφ=对方程2()()m M x ml bx u I ml mgl mlxφφφ+-+=+-=求代数方程，可得2222222222()()()()()()()()()x xI ml bx m l g I ml u x M m I Mml M m I Mml M m I Mml mlbx mlg M m mluM m I Mml M m I Mml M m I Mml φφφφφ=-++=++++++++=-+=++++++++2、用拉格朗日方程来求解二级倒立摆的运动微分方程为了简化模型，作如下假设：小车在水平导轨上作直线运动;各摆杆及小车均为刚体；由于采用磁悬浮轨道，小车所受摩擦力忽略不计；两摆杆之间的连接处无摩擦且质量不计；两摆杆质量及绕其质心转动的转动惯量相同，长度为2l ；质量为m,转动惯量为J 。
小车质量为M ，水平方向上的位移为x ，计摆杆质心坐标为Gi （xi,yi ），摆杆与竖直方向的夹角为θ，记顺时针为正。
小车所受控制力合力为u 。
小车的动能为：2012T Mx = 摆杆的动能为：22211()22i i i i T m x y J θ=++系统的总动能为：222222201211122211111()()22222T T T T Mx m x y J m x y J θθ=++=++++++ 总势能为：1122V m gy m gy =+第1级摆杆的质心坐标为：11111(sin ,cos )G x l l θθ=+第2级摆杆的质心坐标为：211221122(sin sin ,cos cos )G x l l l l θθθθ=+++把坐标代入原式，可得：22222212112212122221212121211()2cos cos cos cos 2211sin sin ()2cos cos 22L T V M m x m l m l mx l mx l l l J mgl mgl θθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-=+++++++-+--对各项求变分有：0dL dx= 222111212121212121112sin sin cos cos sin 2sin sin sin 22dL mx l l l mgl l d θθθθθθθθθθθθθθθ=--+++ 22222121212121112211sin cos sin sin cos sin sin sin 22dL mx l l l mgl l d θθθθθθθθθθθθθθθ=--+++2211112222x (2)2cos 2sin cos sin L d M m x m l m l m l m l dtδδθθθθθθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=++-+-122221111212212221122sin 2cos cos cos sin cos sin cos 2L d m l mxl mxl l l l J dtδδθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-++---2222222221121121212sin cos cos cos sin cos sin cos 2L d m l mxl mxl l l l J dtδδθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-++---根据拉格朗日方程L d q L Q dt qδδδδ⎛⎫ ⎪⎝⎭-= ，可得：2211112222(2)2cos 2sin cos sin M m x m l m l m l m l u θθθθθθθθ++-+-=22211121212121212222211112122122211112sin sin cos cos sin 2sin sin sin 22(22sin 2cos cos cos sin cos sin cos 2)mx l l l mgl l m l mxl mxl l l l J uθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ--+++--++---=22222222112112121222222121212121112sin cos cos cos sin cos sin cos 211(sin cos sin sin cos sin sin sin )22m l mxl mxl l l l J mx l l l mgl l uθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-++------+++=假设初始状态下1θ、2θ均为0；且在平衡位置有微小的转动，故：112212sin ;sin ;cos 1;cos 1θθθθθθ==== 略去二阶小项：21θ、22θ代入上式化简：12(2)2M m x m l m l u θθ+++=221212(2)2l mlx J ml ml mg θθθ+++= 22212()2l mlx J ml ml mg θθθ+++=这就是二级倒立摆的基本方程,该系统状态空间方程的求解与一级倒立摆的求解方式相同，这里已重点解决了力学推导问题，不再赘述拉普拉斯变化等控制方程求解过程。
通过查阅相关资料，发现用动力学基本方程分析该问题可以得到与上式相同的结果。
这也进一步验证了拉格朗日方法的正确性。
对于大摆幅的二级倒立摆系统，带有三角函数的运动微分方程无疑给出了更精确的描述方式，给非线性控制提供了基础。
三、分析结论本文对一级和二级倒立摆的力学建模为设计控制算法提供了基本模型。
通过比较可以发现，拉格朗日方程在对复杂结构与系统的建模中更加简洁方便:用拉格朗日方法可以避免对系统内力进行分析。
相对较为简单、有效。
用拉格朗日方程建立数学模型是，不必去分析作用于系统各个质点或刚体上的力、力矩、速度、加速度等物理量、而将力学的基本定律表现为数学形式。
拉格朗日方程具有如下特点：（1）它以广义坐标表示运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一样的。
（2）只用分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
（3）拉格朗日方程是以能量观点建立起的运动方程。
只用从系统的动能与势能，还有主动力，从而大大简化了建模过程。
通过查阅相关文献可以看到，一些专家学者也是利用拉格朗日方程和矩阵的一些技巧推出了n 阶倒立摆的力学模型，这也反映出了拉格朗日方程在工程中的广泛应用。