天津市滨海新区塘沽滨海中学2019_2020学年高一下学期期中数学试题
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合M ={x|x 2?7x +6<0,x ∈Z}，N =(1,5)，则M ∩N =( )A. (1,5)B. {2,3，4}C. (1,6)D. {5}2. 命题“?x ∈R ，tanx ≠1”的否定是( )A. ?x ?R ，tanx ≠1B. ?x ∈R ，tanx =1C. ?x ?R ，tanx ≠1D. ?x ∈R ，tanx =13. 对于实数a,b,c ，有下列命题：①若a >b ，则ac >bc ；②若ac 2③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c?a >bc?b ．其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知a =243，b =425，c =2513，则( )A. b <c<="" p="">B. a <c<="" p="">C. b <a<="" p="">D. c <b<="" p="">5. “lgx >lgy ”是“10x >10y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=x 3+2x +sinx ，若f(a)+f(1?2a)>0，则实数a 的取值范围是() A. (1,+∞) B. (?∞,1) C. D.7. 设a >b >0，且ab =2，则a 2+1a (a?b )的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=(12)x?1+b 的图像不经过第一象限，则实数b 的取值范围是( )A. b <?1B. b ≤?1C. b ≤?2D. b <?29. 设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(?3)=0，则x ?f(x)<0的解集是() A. {x|?33} B. {x|x <?3或0<3}C. {x|x 3}D. {x|?3<0或0<3}<="" p="">二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 函数y =ln (3?x )+√2x ?4的定义域是__________．11. 设函数f(x)={1+log 2(2?x),x <1,2x?1,x ≥1,则f(?2)+f(2)=______．12.函数f(x)={x,x≥0,x2,x<0的单调递增区间是________，单调递减区间是________．13.若x+2y=1，则2x+4y的最小值是____________；14.设函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈R都有(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0，则f(?3)与f(?π)的大小关系是__________．15.设函数f(x)(x∈R)的周期为3，当x∈[?2,1)时，f(x)={x+a?,??2?x<0(12)x,?0≤x<1,则f(132)=；若f(x)有最小值，无最大值，则实数a的取值范围为____________________．三、解答题（本大题共4小题，共45.0分）16.已知集合A={x|0<2x+a≤3}，B={x|?12<x<2}．< p="">(1)当a=1时，求(?R B)∪A；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．17.关于二次函数f(x)=x2+(m?1)x+1(1)若?x∈R，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．18.已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).(1)当c=b时，解关于x的不等式f(x)>1；(2)若f(x)的值域为[1,+∞)，关于x的不等式f(x)<a的解集为(m,m+4)，求实数a的值．< p="">19.设函数f(x)=x2+ax+b的两个零点分别是2和?4；(1)求函数f(x)的解析式；(2)当函数f(x)的定义域是[?2,2]时，求函数f(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查描述法、区间法表示集合，以及一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：M={x|1<x< p="">∴M∩N={2,3，4}．故选：B．2.答案：D解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为?x∈R，tanx=1，故选：D根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题．根据不等式的性质逐项进行判定即可．【解答】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc=0，所以①错误．②∵ac2<bc2，< p="">∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a<b，所以②正确；< p="">③因为a<b<0，< p="">所以a2>ab>0，ab>b2>0，所以a2>ab>b2；所以③正确；④若c>a>b>0，则c?a>0,c?b>0,且c?b>c?a>0，所以1c?a >1c?b>0，因为a>b>0，所以ac?a >bc?b，所以④正确．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性比较数的大小，难度一般．【解答】解：a=243,b=425=245，因为函数f(x)=2x单调递增，43>45，所以243>245，即a>b;a=243=423,c=2513=523，因为函数g(x)=x23在[0,+∞)上单调递增，4<5，所以423<523，即a<c，< p="">综上所述得b<a<c，< p="">故选A．5.答案：A解析：解：∵lgx>lgy，∴x>y>0，∵10x>10y，∴x>y，∴x>y>0?x>y，反之则不能，∴lgx>lgy是“10x>10y”的充分不必要条件，故选A．根据已知条件lgx>lgy，求出x，y的范围，再根据指数的性质根据10x>10y，求出x，y的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；此题主要考查指数函数和对数函数的性质及其单调性，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f(x)=x3+2x+sinx，∴f(?x)=?x3?2x?sinx=?(x3+2x+sinx)=?f(x)，则f(x)是奇函数，函数的导数f′(x)=3x2+2+cosx>0，则函数f(x)是增函数，则由f(a)+f(1?2a)>0，，得f(a)>?f(1?2a)=f(2a?1)，得a>2a?1，得a<1，即实数a的取值范围是(?∞,1)，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．由a>b>0，a(a?b)>0，可得a2+1a(a?b)=a2?ab+1a(a?b)+2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a>b>0，∴a(a?b)>0，ab=2，∴a2+1a(a?b)=a2?ab+1a(a?b)+2≥2√(a2?ab)?1a2?ab+2=4，当且仅当a(a?b)=1，ab=2即a=√3，b=2√33时等号成立．故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数函数及其性质，属于基础题．根据指数函数性质即可得到答案．【解答】解：∵函数f(x)=(12)x?1+b 为减函数，且图象不经过第一象限，∴可知f (0)=2+b ≤0，得到b ≤?2，故选C ． 9.答案：D解析：由x ?f(x)<0，得{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0而f(?3)=0,f(3)=0，即{x <0f(x)>f(?3)或{x >0f(x)<f(3)< p="">解得{x|?3<="" <0或0解析：【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．【解答】解：由{?3?x >0?2x ?4≥0，解得2≤x <3．∴函数y =ln (3?x )+√2x ?4的定义域是[2,3)．故答案为[2,3)．11.答案：5解析：【分析】本题考查分段函数求值，直接代入函数解析式求解即可．【解答】解：∵f(x)={1+log 2(2?x),x <12x?1,x ≥1，∴f(?2)=1+log 24=3，f(2)=22?1=2，∴f(?2)+f(2)=5．故答案为5．12.答案：(0,+∞) (?∞,0)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调区间，涉及到一次函数和二次函数的单调性．【解答】解：由题意可知：当x ≥0时，函数f(x)=x 为单调增函数；当x <0时，函数f(x)=x 2在(?∞,0)上单调递减，所以函数f(x)={x,x ≥0,x 2,x <0的单调递增区间是(0,+∞), 单调递减区间是(?∞,0),故答案为(0,+∞),(?∞,0).13.答案：2√2解析：解：由题意知2x +4y ≥2√2x ?22y=2√2x+2y =2√2．∴2x +4y 的最小值是2√2．14.答案：f(?3)>f(?π)解析：由(x 1?x2)[f(x1)?f(x2)]>0得f(x)是R 上的单调递增函数，又?3>?π，∴f(?3)>f(?π)．15.答案：√22；(1,52]解析：【分析】本题主要考查了分段函数模型和函数的最值，属于中档题．【解答】解：f (132)=f(12)=√22，若f(x)有最小值，无最大值，则{?2+a ≤12a >1，解得1故答案为√22；(1,52]．16.答案：解：(1)当a =1时，集合A ={x|0<2x +1≤3}={x|?12<="">∵B ={x|?12<2}，<="" p="">∴?R B ={x|x ≤?12或x ≥2}，∴(?R B)∪A ={x|x ≤1或x ≥2}；(2)若A ∩B =A ，则A ?B ，∵A ={x|0<2x +a ≤3}={x|?a 2<="">2}，易知A ≠?，∴{?a 2≥?123?a 2<2, 解得?1∴实数a 的取值范围是(?1,1]．解析：本题考查了集合的混合运算，考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题．(1)求出当a =1时集合A ，根据并集和补集的定义写出(?R B)∪A ；(2)根据A ∩B =A 可得A ?B ，由此列出不等式组求出a 的取值范围．17.答案：解：(1)∵?x ∈R ，f(x)>0恒成立，∴△=(m ?1)2?4<0∴m 2?2m ?3<0解得?1<="">(2)∵f(x)=0在区间[0,2]上有解，又f(0)=1≠0∴f(x)=0在区间(0,2]上有解由x 2+(m ?1)x +1=0得m =1?(x +1x )…(8分)当0因此实数m 的取值范围是：(?∞,?1]…(12分)解析：(1)由题意可得△=(m ?1)2?4<0，解不等式可求(2)由f(0)=1≠0可知f(x)=0在区间(0,2]上有解，由x 2+(m ?1)x +1=0得m =1?(x +1x )，结合基本不等式可求m 的范围本题主要考查了二次函数的恒成立与基本不等式在函数的最值求解中的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识18.答案：解：(1)当c =b 时，由 f(x)>1得，所以当时，原不等式的解集为；当b =2时，原不等式的解集为(?∞,?1)?(?1,+∞)；当b >2时，原不等式的解集为(?∞,1?b)?(?1,+∞)．(2)由f(x)的值域为[1,+∞)，得4c?b 24=1，又关于x 的不等式f(x)所以m ，m +4是方程f(x)=a 的两个根，即x 2+bx +c ?a =0的两根之差为4.所以4=√b 2?4(c ?a)，则{b 2?4(c ?a)=16,4c ?b 2=4,解得a =5．解析：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，韦达定理；(1)根据b =c 解出不等式的两根，然后根据b 的范围写出原不等式的解集；(2)利用不等式的值域为[1,+∞)，得4c?b 24=1，找到b ，c 的关系，再解不等式f(x)定理解得a 的值． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2+ax +b 的两个零点分别是2和?4；∴f(x)=x 2+ax +b =(x ?2)(x +4)=x 2+2x ?8，(2)由(1)得：f(x)=(x +1)2?9，对称轴x =?1，∴f(x)在[?2,?1)单调递减，在(?1,2]单调递增，f(?1)=?9，f(?2)=?8，f(2)=0，∴f(x)min =?9，f(x)max =0，∴函数f(x)的值域是：[?9,0]．解析：(1)根据函数的零点，即f(x)=0的根，从而求出函数的解析式；(2)根据函数的解析式求出函数的单调区间，从而得到函数的最值，进而求出函数的值域；本题考查了二次函数的解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道基础题．</f(3)<></a<c，<></c，<></b<0，<></b，所以②正确；<></bc2，<></x<></a的解集为(m,m+4)，求实数a的值．<> </x<2}．<>。
2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一（下）期中数学试卷后附详细解析参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）以下命题正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．4．（5分）在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或5．（5分）已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C．5D．256．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米8．（5分）若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sin B •sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．（5分）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．212．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．（5分）已知平面向量，，若，则实数k＝．14．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．15．（5分）侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为；外接球表面积为．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为．17．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．18．（5分）已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为．三．解答题（本大题共4小题，共60分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cos A+a cos C＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，P A⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面P AD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在复平面内，复数z＝i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z 所在象限．【解答】解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i＝﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）以下命题正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的数量积的性质以及向量的加减运算判断选项的正误即可．【解答】解：＝0，所以A不正确；＝，所以B不正确；，所以C正确；是与共线的向量，是与共线的向量，所以D不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的运算以及向量的加减运算，是基础题．3．（5分）如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是×＝1，∴原平面图形的面积是1×2＝2，故选：D．【点评】本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．4．（5分）在△ABC中，已知a＝2，，，则B＝（）A．B．C．或D．或【分析】由题意利用正弦定理，求得B的值．【解答】解：△ABC中，∵已知a＝2，，，则由正弦定理可得＝，即＝，求得sin B＝，∴B＝或B＝，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．5．（5分）已知向量＝（2，1），＝10，|+|＝，则||＝（）A．B．C．5D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|＝两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|＝，||＝∴（+）2＝2+2+2＝50，得||＝5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．6．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性表示，是基础题．7．（5分）如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米【分析】设AB＝xm，根据俯角的定义得到∠MAC＝45°，∠MAD＝30°，由平行线的性质得到∠D＝30°，∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质得BC＝AB＝x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB＝AB，即100+x＝x，解出x即可．【解答】解：设AB＝xm，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD+BC＝100+x，∴DB＝AB，即100+x＝x，解得x＝50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．【点评】此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．8．（5分）若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，即可计算圆锥的侧面积．【解答】解：如图所示，设圆锥的底面半径为r，则高为h＝2r，所以圆锥的体积为V圆锥＝π•r2•2r＝，r＝1，h＝2，l＝＝＝，则此圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π•1•＝π．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的体积与侧面积的计算问题，是基础题．9．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sin B •sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．2【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求向量数量积．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则E（﹣1，1），F（1，y），（0≤y≤1）．∴，，＝2+y（y﹣1）＝y2﹣y+2＝（y﹣）2+，∴当y＝时，则取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．12．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AB＝，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③C1A∥NB1C；④平面AMC1⊥平面CBA1．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】对于①，由等腰三角形知C1M⊥A1B1，从而证明C1M⊥平面A1ABB1，对于②，不妨设AA1＝1，则BB1＝1，AB＝，BN＝，从而利用三角形相似证明，对于③，连接BC1，交B1C于点P，连接NP，从而利用线面平行判定定理证明，对于④，利用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明．【解答】解：由题意知，△A1B1C1是以A1B1为底边的等腰三角形，又∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又∵平面A1B1C1⊥平面平面A1ABB1，C1M⊂平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面平面A1ABB1＝A1B1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确，不妨设AA1＝1，则BB1＝1，AB＝，BN＝，则△AA1B∽△BNB1，则∠BNB1+∠NBA1＝，则A1B⊥NB1，故②正确，连接BC1，交B1C于点P，连接NP，易证NP∥C1A，又由NP⊂平面NB1C，C1A⊄平面NB1C，故C1A∥平面NB1C，故③正确，∵A1B⊥AM，C1M⊥A1B，∴A1B⊥平面AMC1，又∵A1B⊂平面CBA1，∴平面AMC1⊥平面CBA1，故④正确，故选：D．【点评】本题考查了空间中垂直与平行的判断与证明，属于中档题．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13．（5分）已知平面向量，，若，则实数k＝3或﹣1．【分析】根据即可得出3﹣k（k﹣2）＝0，然后解出k的值即可．【解答】解：∵，且，∴3﹣k（k﹣2）＝0，解得k＝﹣1或3．故答案为：﹣1或3．【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）已知复数z满足z（2﹣i）＝|3﹣4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是2﹣i．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：由z（2﹣i）＝|3﹣4i|，得z＝＝，则．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．15．（5分）侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为24；外接球表面积为25π．【分析】直接由棱柱体积公式求正四棱柱的体积；求出正四棱住的对角线长，可得其外接球的半径，代入球的表面积公式求其外接球的表面积．【解答】解：由题意，侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为V＝；正四棱住的对角线长为，则正四棱住的外接球的半径为r＝，外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝25π．故答案为：24；25π．【点评】本题考查正四棱住体积的求法，考查正四棱住外接球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为．【分析】利用等体积法，转化求解点C1到平面EBD的距离．【解答】解：，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，BE＝DE＝，BD＝2，设点C1到平面EBD的距离为h，则＝，所以×h＝，解得h＝．故答案为：．【点评】本题考查点线面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．17．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，c＝3，且，则A＝；＝．【分析】由已知利用正弦定理、余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan A的值，结合A的范围可求出角A的值，根据余弦定理进而可求b的值，利用正弦定理即可求解．【解答】解：由2ab sin C＝（b2+c2﹣a2），得2ab sin C＝••2bc＝2bc cos A，可得a sin C＝c cos A，即sin A sin C＝sin C cos A，由sin C≠0，可得tan A＝，由A∈（0，π），可得A＝，又，c＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即13＝b2+9﹣6b×，整理得b2﹣3b﹣4＝0，得b＝4或b＝﹣1（舍），所以＝＝．故答案为：，．【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．18．（5分）已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A＝，且，则λ的值为﹣．【分析】由题意画出图形，设△ABC的外接圆半径为R，根据三角形外心的性质可得：OD⊥AB、OE⊥AC，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出•和•，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后利用正弦定理、余弦定理化简，求出λ的值．【解答】解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得•＝﹣•＝﹣c2，•＝﹣•＝﹣b2，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得＝＝＝2R，由，两边点乘，可得•（•）+•（•）＝2λ2，即﹣••c cos B﹣••b cos C＝2λR2，所以﹣•2R（c cos B+b cos C）＝2λR2，所以﹣（c•+b•）＝2λR，所以﹣a＝2λR，所以λ＝﹣＝﹣sin A＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查正弦定理，三角形外心的性质，向量数量积的运算，向量的线性运算，以及两角和的正弦公式的应用，考查转化思想和运算能力，属于难题．三．解答题（本大题共4小题，共60分）19．已知向量，．（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值．【分析】（1）可求出，然后设与的夹角为θ，然后即可求出cosθ的值，进而可得出θ的值；（2）根据进行向量数量积的运算即可求出的值；（3）可求出，然后根据即可求出k的值．【解答】解：（1）∵，，∴，，，设向量与的夹角为θ，则，又由θ∈[0，π]，，即向量与的夹角为；（2）＝；（3），且，∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c﹣2b）cos A+a cos C＝0．（1）求A；（2）若a＝4，b+c＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由余弦定理可求bc，然后结合三角形的面积公式可求．【解答】解：（1）因为（c﹣2b）cos A+a cos C＝0，由正弦定理得sin C cos A﹣2sin B cos A+sin A cos C＝0，故sin（A+C）＝2sin B cos A，所以sin B＝2sin B cos A，因为sin B＞0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；（2）a＝4，b+c＝2，A＝，由余弦定理得cos A＝＝＝＝，故bc＝4，△ABC的面积S＝＝＝．【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：AC⊥BD1；（3）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．【分析】（1）连结AD1、CD1，可证∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角，再由△AD1C是等边三角形得答案；（2）证明AC⊥平面BDD1，即可得到AC⊥BD1；（3）证明C1D∥平面AB1D1，C1B∥平面AB1D1，再由平面与平面平行的判定可得平面AB1D1∥平面BDC1．【解答】解：（1）连结AD1、CD1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC＝60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°；证明：（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，又AC⊥BD，且DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；证明：（3）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D是平行四边形，得AB1∥C1D，又∵AB1⊂平面AB1D1，C1D⊄平面AB1D1，∴C1D∥平面AB1D1，同理可证C1B∥平面AB1D1．又C1B∩C1D＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1．【点评】本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查线面垂直的判定与性质，考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，P A⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面P AD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．【分析】（1）设BD与AC的交点为O，连结EO，证明EO∥PB，然后证明PB∥平面AEC．（2）求解P A＝1，说明直线PC与平面P AD所成角为∠CPD，通过求解三角形推出结果即可．（3）解：平面AMN与平面PBC互相垂直，理由如下：证明P A⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面P AB．得到AM⊥BC．AM⊥PB，即可证明AM ⊥平面PBC，然后证明平面AMN⊥平面PBC．【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵底面ABCD是矩形，∴O是BD的中点，又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．（2）解：∵，又，∴P A＝1，又P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD，在矩形ABCD中AD⊥CD，且P A、AD∈平面P AD，所以CD⊥平面P AD，则直线PC与平面P AD所成角为∠CPD，所以，所以直线PC与平面P AD所成角的正切值为．（3）解：平面AMN与平面PBC互相垂直，理由如下：因为P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又P A⋂AB＝A，且P A，AB⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．因为AM⊂平面P AB，所以AM⊥BC．因为P A＝AB，M为线段PB的中点，所以AM⊥PB，又PB⋂BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AM⊥平面PBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．。
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合2{|40}M x x x =-<，{|3}N x x =<，则M N =I （ ） A ．(1,3) B ．(0,3) C ．(0,4) D ．∅【答案】B【解析】解一元二次不等式及绝对值不等式，对两个集合进行化简，进而可求出交集. 【详解】解：解240x x -<得，04x <<；解3x <得，33x -<<， 所以{|04}M x x =<<，{|33}N x x =-<<，∴(0,3)M N =I . 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集求解.本题的关键是正确求出不等式的解.2．命题“x ∀∈R ，2210x x -+≥”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，20210x x -+≥ B ．0x ∃∈R ，200210x x -+≤ C ．0x ∃∈R ，200210x x -+< D ．0x ∃∈R ，200210x x -+>【答案】C【解析】利用含有量词的命题否定的方法进行求解，改变量词，否定结论. 【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为0x ∃∈R ，200210x x -+<， 故选: C . 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定方法，主要方法是“改变量词，否定结论”，侧重考查逻辑推理的核心素养.3．下列命题中正确的是（ ） A ．若0ab >，a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 【答案】A【解析】根据不等式性质证明A 成立，举反例说明B,C,D 错误 【详解】因为0ab >，a b >，所以11,a b ab ab b a>>，A 正确 若,0a b c >=，则22ac bc =，所以B 错误； 若21>，21>，则2211-=-，所以C 错误； 若21>，21-<-，则11-=-，所以D 错误 综上选A. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.4．设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .【考点】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.5．“0a b <<”是“11()()44a b>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】根据底数大于0小于1的指数函数在R 上为减函数，先判断“0a b <<”⇒“11()()44ab>”的真假，与“11()()44ab>”⇒“0a b <<”的真假，然后根据充要条件的定义得到结论． 【详解】当“0a b <<”时，“11()()44ab>”成立，故“0a b <<”是“11()()44ab>”的充分条件； 当“11()()44ab>”时，“a b <”成立，但“0a b <<”不一定成立，故“0a b <<”是“11()()44a b >”的不必要条件故“0a b <<”是“11()()44ab>”充分不必要条件 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义及指数函数的单调性，其中根据指数函数的单调性，判断“0a b <<”⇒“11()()44ab>”的真假，与“11()()44ab>”⇒“0a b <<”的真假，是解答本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．6．己知3()f x x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1),(2,)-∞-+∞U B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(,2),(1,)-∞-+∞U【答案】C【解析】由单调性的性质可知3()f x x x =+在R 上为增函数，从而可知22a a ->，进而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：因为3,y x y x ==在在R 上为增函数，所以3()f x x x =+在R 上为增函数， 则222(2)()220f a f a a a a a ->⇒->⇒+-<，解得：21a -<<， 即a 的取值范围为(2,1)-， 故选: C. 【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是判断函数的单调性.7．已知a b >，1ab =，则22a b a b+-的最小值是（ ）A ．BC ．2D ．1【解析】结合题的条件，将式子变形得到222a b a b a b a b+=-+--，之后应用基本不等式求得结果. 【详解】222()22a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+---， ∵a b > ∴0a b ->∴2a b a b -+≥=-（当a b -= 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值，考查式子的变形，即化归与转化的数学思想方法.题目已知a b >即0a b ->，由于题目是考查式子的最小值，故考虑用基本不等式来求解，要使原式符合基本不等式的运算，即需配成1x x⋅的形式，需要对式子进行配凑，通过配凑后将原式转化为2a b a b-+-就可以利用基本不等式来运算了. 8．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变,剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据题意得到n 年后质量是原来的14n⎛⎫ ⎪⎝⎭，该物质余下质量不超过原有的1%，得到只需要1134100nn ⎛⎫≤⇒> ⎪⎝⎭.【详解】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，依此类推，得到n 年后质量是原来的14n⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需要1134100nn ⎛⎫≤⇒> ⎪⎝⎭ 故结果为4. 故答案为B.本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题．9．若()f x 是R 上奇函数，满足在()0,+∞ 内()1122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()0xf x > 的解集是（ ）A ．{}11x x x -或B ．{}101x x x <-<<或 C ．{}101x x x -<或D ．{}1001x x x -<<<<或【答案】D【解析】先在()0,+∞内化简不等式，再解指数不等式，最后根据奇函数性质得结果. 【详解】在()0,+∞内()0xf x >等价于()0f x >，11110,,012222x xx ⎛⎫⎛⎫->>∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()x 00f x <<时，因为()f x 是R 上奇函数，所以由()0f x <得10x -<<,综上解集是{}1001x x x -<<<<或，选D. 【点睛】本题考查利用奇偶性与单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题10．函数y =___________________．【答案】[2)+∞，【解析】由4x ﹣16≥0即可求得函数的定义域． 【详解】∵4x ﹣16≥0，∴4x ≥16， ∴x ≥2，故答案为[2，+∞）． 【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．11．已知函数2,1()(2),1x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(4)f =________.【答案】1【解析】根据分段函数的解析式逐步计算即可. 【详解】0(4)(2)(0)21f f f ====.故答案为：1 【点睛】本题考查分段函数的函数值，属于基础题.12．若21x y +=，且42x y z =+，则z 的最小值是________.【答案】【解析】直接利用均值不等式结合指数运算计算得到答案. 【详解】∵21x y +=，∴42x y z =+≥==，当且仅当122x y ==即14x =，12y =时取等号，即z 的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．若函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩对R 上的任意实数1x ，2x （12x x ≠），恒有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则a 的取值范围为________. 【答案】[1,2].【解析】首先根据题中条件，可以确定函数()f x 在R 上单调递增，结合分段函数单调增的条件，列出不等式组，求得结果. 【详解】∵对R 上的任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()[()()]0x x f x f x -->成立， ∴()f x 在R 上单调递增，∴22022100(2)0(21)01a a a a a -⎧≥⎪⎪->⎨⎪-+-⨯≤-⨯+-⎪⎩，解得12a ≤≤，∴a 的取值范围为[1,2]. 故答案为：[1,2]. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数在定义域上单调增求参数的取值范围，在解题的过程中，注意要求每一段上单调增且接口处不减，属于中档题目.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】【解析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R上单调递减，由)()3ff x =，结合())2f x a f +≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值. 【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a的最大值为故答案为：-【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.三、双空题15．已知函数2()2||3f x x x =-++，则()f x 的单调递増区间为________和________. 【答案】(,1)-∞- (0,1).【解析】将函数的解析式变形可得2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，结合二次函数的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧-++≥=-++=⎨--+<⎩，当0x ≥时，2()23f x x x =-++，在区间[0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；当0x <时，2()23f x x x =--+，在区间(,1)-∞-上为增函数，在(1,0)-上为减函数， 则()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(0,1)； 故答案为：(,1)-∞-和(0,1). 【点睛】本题考查函数单调性的判断，涉及分段函数以及二次函数的性质，属于基础题.四、解答题16．已知集合{|131}A x m x m =+≤≤-，2{|11100}B x x x =-+≤. （1）若3m =，求A B U 和()R A B ⋂ð； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|110}A B x x =≤≤U ；(){}{|14}810R A B x x x x ⋂=≤<⋃<≤ð （2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）将3m =代入可得集合A ，解一元二次不等式可得集合B ，再根据交集、并集和补集的运算即可得解.（2）根据交集运算意义，可知A 为B 的子集，分类讨论A =∅与A ≠∅两种情况，即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）3m =时，集合{|131}{|48}A x m x m x x =+≤≤-=≤≤，2{|11100}{|110}B x x x x x =-+≤=≤≤.∴{|110}A B x x =≤≤U ， 因为{|4R A x x =<ð或8}x >，所以(){}{|14}810R A B x x x x ⋂=≤<⋃<≤ð.（2）∵集合{|131}A x m x m =+≤≤-，{|110}B x x =≤≤.A B A =I ，∴A B ⊆，当A =∅时，131m m +>-，解得1m <.当A ≠∅时，131113110m m m m +≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得1113m ≤≤，∴实数m 的取值范围是11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集的简单运算，一元二次不等式解法，根据集合的关系求参数的取值范围，注意讨论是否为空集的情况，属于基础题. 17．已知二次函数2()23f x x x =-.（1）若()0f x t +≥对于x R ∀∈恒成立，求t 的取值范围；（2）若()()g x f x mx =-+，当[1,2]x ∈时，若()g x 的最大值为2，求m 的值. 【答案】（1）98≥t ；（2）1m =. 【解析】（1）将二次函数()f x 解析式代入，结合二次函数性质及恒成立问题可知0∆≤，即可求得t 的取值范围；（2）将()f x 的解析式代入，并求得()g x 的对称轴；根据[1,2]x ∈，分离讨论对称轴的位置，即可由最大值求得m 的值，舍去不符合要求的解即可.【详解】（1）()0f x t +≥对于x R ∀∈恒成立， 即2230x x t -+≥对于x R ∀∈恒成立， ∴2(3)80t ∆=--≤， 解得98≥t ； （2）若2()()2(3)g x f x mx x m x =-+=-++，二次函数开口向下，对称轴34mx +=， 在[1,2]x ∈时，()g x 的最大值为2，当314m+≤，即1m £时，max ()(1)232g x g m ==-++=，解得1m =； 当3124m +<<，即15m <<时，2max 369()248m m m g x g +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 解得1m =（舍）或7m =-（舍）； 当324m+≥，即5m ≥时，max ()(2)8262g x g m ==-++=，解得2m =（舍）； 综上所述，m 的值为1，即1m =. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立问题的解法，由二次函数的最值求参数，分离讨论思想的应用，属于基础题.18．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[1,2]-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--，(0)m ≥； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，求M 的最小值.【答案】（1）2()2f x x x =--（2）答案不唯一，具体见解析（3）1516【解析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）()2(1)mf x x m >--转化为(2)(1)0mx x -->，然后分别对0m =，02m <<，2m =，2m >进行讨论即可.（3）因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，转化为12|()()|Max g x g x M -≤，进而得到()()Max Min g x g x M -≤，然后分别求出()Max g x ，()Min g x 即可.【详解】解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞U ，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞U ， （3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x x g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤，即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤，而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. 【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式，和不等式的恒成立问题，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论．本题属于难题．19．已知函数关于x 的函数1()2f x x x=+-. （1）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若不等式(2)2x x f m ≥⋅对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()2()21321x x t g x f t =-+--有3个零点，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）0m ≤（3）0t > 【解析】（1）首先根据对勾函数的单调性得到()f x 的单调性，结合定义域即可得值域；（2）利用分离参数思想得出2112x m ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立，求不等式右边的最小值即可；（3）设|21|x m -=，换元转化为方程2(32)210m t m t -+++=的根的范围问题，再用根的分布方法求解.【详解】（1）函数1()2f x x x =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,2]上单调递增； 又(1)0f =，11(2)22f f ⎛⎫==⎪⎝⎭； 故()f x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）不等式(2)2x x f m ≥⋅对x ∈R 恒成立； 即12222x x x m +-≥⋅，则2212111222x x x m ⎛⎫⎛⎫≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ∵102x >，∴0m ≤ 故实数m 的取值范围：0m ≤；（3）根据题意有210x -≠，则0x ≠；设|21|x m -=，则0m >；由条件()g x 有3个零点，则12230t m t m m +-+-= 即方程2(32)210m t m t -+++=有两个不等实数根；且两个根1m ，2m 满足：101m <<，21m ≥；设函数2()(32)21h m m t m t =-+++当21m =时，0t =，此时11m =不满足条件； ∴(0)210(1)0h t h t =+>⎧⎨=-<⎩，则0t >； 故实数t 的取值范围：0t >.【点睛】本题考查函数的定义域，值域，不等式恒成立求参数范围，利用根的分布求参数的范围，涉及换元等价转化的思想，属于难题。
天津市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷C卷
天津市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单项选择 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·渝中期末) sin（﹣690°）的值为（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A . 向东南航行kmB . 向东南航行2kmC . 向东北航行kmD . 向东北航行2km3. （2分）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·大庆月考) 设，且，则的范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·海淀期中) 若角的终边经过点，且，则m的值为（）A . 5B . 4C . -4D . -56. （2分）已知sin θ＋cos θ＝，θ∈ ，则sin θ－cos θ的值为（）A . －B .C .D . －7. （2分）函数的最小正周期为（）A .B .C .D .8. （2分）(2014·浙江理) 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= cos3x的图象（）A . 向右平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向左平移个单位9. （2分）(2020·沈阳模拟) 如图，在平行四边形中，为的中点，F为的中点，若，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·茂名模拟) 已知函数f(x)=sin(wx+j) (w＞0, 0＜j＜ )，f(x1)=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min= ，且f（） = ，则f(x)的单调递增区间为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高一下·丽水期末) 已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A . 函数在上是增函数B . 函数的图象关于直线对称C . 函数是奇函数D . 函数的图象关于点中心对称12. （2分）函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为（）A . x＝B . x＝－C . x＝D . x＝二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·武邑月考) 化简： ________．14. （1分）已知tanα= α∈（0，π），则sinα=________．15. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 已知，，则 ________.16. （1分） (2019高一上·台州期中) 函数是定义在上的奇函数，已知时，恒有，且当时，有，若函数，则关于的方程在区间上的实根的个数是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）写出终边在直线y=﹣x上所有角的集合，并指出在所写集合中，最大的负角是多少？18. （10分） (2020高二下·顺德期中) 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M、N是AB上被切去的小正方形的两个顶点，设 .（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.19. （10分） (2018高一下·汕头期末) 在中，角，，所对应的边分别为，，，且，，（1）求的值；（2）求的值．20. （10分） (2016高三上·朝阳期中) 已知函数f（x）=asinx﹣ cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[ ， ]，求f（x）的取值范围．21. （5分） (2019高一下·嘉定月考) 已知都是锐角，且当取得最大值时，求的值.22. （10分）已知a＞0，函数，当时，﹣5≤f（x）≤1（1）求常数a，b的值；（2）当时，求f（x）的最大值与最小值及相应的x的值．参考答案一、单项选择 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
(3份试卷汇总)2019-2020学年天津市塘沽区高一数学下学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >2．已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（ ）A ．20x +=B ．40x +=C ．40x -=D ．20x +-=3．若sinA cosB cosC a b c==，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角或等腰三角形D ．等腰直角三角形 4．已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( )A ．7-或1-B ．7或1C ．7-D ．1-5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）．（1）l m αβ⇒⊥∥ （2）l m αβ⊥⇒∥ （3）l m αβ⇒⊥∥ （4）l m αβ⊥⇒∥A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）6．直线20x -=的倾斜角为（ ）A ．30B ．120︒C ．150︒D ．60︒7．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A B 1 C ．6-D ．48．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能9．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( )A B C ．D ．1210．曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A．21y x=+B．1yx=C．22x xy-=+D．e xy=12．函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,0,||2Aπωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cosg x A xω=的图象，只需把()y f x=的图象上所有的点（）A．向右平移6π个单位长度B．向左平移6π个单位长度C．向右平移12π个单位长度D．向左平移12π个单位长度二、填空题：本题共4小题13．把“五进制”数(5)1234转化为“十进制”数是_____________14．对于任意，不等式恒成立，则常数的取值范围是_________.15．程序：112MM MM MPRINT MEND==+=+M的最后输出值为___________________.16．已知()1,2a=，(),4b x=，若//a b，则实数x的值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合M ={x|x 2−7x +6<0,x ∈Z}，N =(1,5)，则M ∩N =( )A. (1,5)B. {2,3，4}C. (1,6)D. {5}2. 命题“∀x ∈R ，tanx ≠1”的否定是( )A. ∀x ∉R ，tanx ≠1B. ∀x ∈R ，tanx =1C. ∃x ∉R ，tanx ≠1D. ∃x ∈R ，tanx =13. 对于实数a,b,c ，有下列命题：①若a >b ，则ac >bc ；②若ac 2<bc 2，则a <b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c−a >bc−b ．其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知a =243，b =425，c =2513，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b5. “lgx >lgy ”是“10x >10y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)=x 3+2x +sinx ，若f(a)+f(1−2a)>0，则实数a 的取值范围是() A. (1,+∞) B. (−∞,1) C. D.7. 设a >b >0，且ab =2，则a 2+1a (a−b )的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=(12)x−1+b 的图像不经过第一象限，则实数b 的取值范围是( )A. b <−1B. b ≤−1C. b ≤−2D. b <−29. 设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(−3)=0，则x ⋅f(x)<0的解集是() A. {x|−3<x <0或x >3} B. {x|x <−3或0<x <3}C. {x|x <−3或x >3}D. {x|−3<x <0或0<x <3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 函数y =ln (3−x )+√2x −4的定义域是__________．11. 设函数f(x)={1+log 2(2−x),x <1,2x−1,x ≥1,则f(−2)+f(2)=______．12.函数f(x)={x,x≥0,x2,x<0的单调递增区间是________，单调递减区间是________．13.若x+2y=1，则2x+4y的最小值是____________；14.设函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−3)与f(−π)的大小关系是__________．15.设函数f(x)(x∈R)的周期为3，当x∈[−2,1)时，f(x)={x+a , −2⩽x<0(12)x , 0≤x<1,则f(132)=；若f(x)有最小值，无最大值，则实数a的取值范围为____________________．三、解答题（本大题共4小题，共45.0分）16.已知集合A={x|0<2x+a≤3}，B={x|−12<x<2}．(1)当a=1时，求(∁R B)∪A；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．17.关于二次函数f(x)=x2+(m−1)x+1(1)若∀x∈R，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．18.已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R).(1)当c=b时，解关于x的不等式f(x)>1；(2)若f(x)的值域为[1,+∞)，关于x的不等式f(x)<a的解集为(m,m+4)，求实数a的值．19.设函数f(x)=x2+ax+b的两个零点分别是2和−4；(1)求函数f(x)的解析式；(2)当函数f(x)的定义域是[−2,2]时，求函数f(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查描述法、区间法表示集合，以及一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：M={x|1<x<6,x∈Z}={2,3，4，5}，N=(1,5)，∴M∩N={2,3，4}．故选：B．2.答案：D解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，tanx=1，故选：D根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题．根据不等式的性质逐项进行判定即可．【解答】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc=0，所以①错误．②∵ac2<bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a<b，所以②正确；③因为a<b<0，所以a2>ab>0，ab>b2>0，所以a2>ab>b2；所以③正确；④若c>a>b>0，则c−a>0,c−b>0,且c−b>c−a>0，所以1c−a >1c−b>0，因为a>b>0，所以ac−a >bc−b，所以④正确．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性比较数的大小，难度一般．【解答】解：a=243,b=425=245，因为函数f(x)=2x单调递增，43>45，所以243>245，即a>b;a=243=423,c=2513=523，因为函数g(x)=x23在[0,+∞)上单调递增，4<5，所以423<523，即a<c，综上所述得b<a<c，故选A．5.答案：A解析：解：∵lgx>lgy，∴x>y>0，∵10x>10y，∴x>y，∴x>y>0⇒x>y，反之则不能，∴lgx>lgy是“10x>10y”的充分不必要条件，故选A．根据已知条件lgx>lgy，求出x，y的范围，再根据指数的性质根据10x>10y，求出x，y的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；此题主要考查指数函数和对数函数的性质及其单调性，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f(x)=x3+2x+sinx，∴f(−x)=−x3−2x−sinx=−(x3+2x+sinx)=−f(x)，则f(x)是奇函数，函数的导数f′(x)=3x2+2+cosx>0，则函数f(x)是增函数，则由f(a)+f(1−2a)>0，，得f(a)>−f(1−2a)=f(2a−1)，得a>2a−1，得a<1，即实数a的取值范围是(−∞,1)，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．由a>b>0，a(a−b)>0，可得a2+1a(a−b)=a2−ab+1a(a−b)+2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a>b>0，∴a(a−b)>0，ab=2，∴a2+1a(a−b)=a2−ab+1a(a−b)+2≥2√(a2−ab)⋅1a2−ab+2=4，当且仅当a(a−b)=1，ab=2即a=√3，b=2√33时等号成立．故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数函数及其性质，属于基础题．根据指数函数性质即可得到答案．【解答】解：∵函数f(x)=(12)x−1+b 为减函数，且图象不经过第一象限，∴可知f (0)=2+b ≤0，得到b ≤−2，故选C ． 9.答案：D解析：由x ⋅f(x)<0，得{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0而f(−3)=0,f(3)=0，即{x <0f(x)>f(−3)或{x >0f(x)<f(3)解得{x|−3<x <0或0<x <3}． 10.答案：[2,3)解析：【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．【解答】解：由{ 3−x >0 2x −4≥0，解得2≤x <3． ∴函数y =ln (3−x )+√2x −4的定义域是[2,3)．故答案为[2,3)．11.答案：5解析：【分析】本题考查分段函数求值，直接代入函数解析式求解即可．【解答】解：∵f(x)={1+log 2(2−x),x <12x−1,x ≥1， ∴f(−2)=1+log 24=3，f(2)=22−1=2，∴f(−2)+f(2)=5．故答案为5．12.答案：(0,+∞) (−∞,0)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调区间，涉及到一次函数和二次函数的单调性．【解答】解：由题意可知：当x ≥0时，函数f(x)=x 为单调增函数；当x <0时，函数f(x)=x 2在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)={x,x ≥0,x 2,x <0的单调递增区间是(0,+∞), 单调递减区间是(−∞,0),故答案为(0,+∞),(−∞,0).13.答案：2√2解析：解：由题意知2x +4y ≥2√2x ⋅22y=2√2x+2y =2√2．∴2x +4y 的最小值是2√2．14.答案：f(−3)>f(−π)解析：由(x 1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0得f(x)是R 上的单调递增函数，又−3>−π，∴f(−3)>f(−π)．15.答案：√22；(1,52]解析：【分析】本题主要考查了分段函数模型和函数的最值，属于中档题．【解答】解：f (132)=f(12)=√22， 若f(x)有最小值，无最大值，则{−2+a ≤12a >1， 解得1<a ≤52，故答案为√22；(1,52]． 16.答案：解：(1)当a =1时，集合A ={x|0<2x +1≤3}={x|−12<x ≤1}，∵B ={x|−12<x <2}，∴∁R B ={x|x ≤−12或x ≥2}，∴(∁R B)∪A ={x|x ≤1或x ≥2}；(2)若A ∩B =A ，则A ⊆B ，∵A ={x|0<2x +a ≤3}={x|−a 2<x ≤3−a2}，易知A ≠⌀，∴{−a 2≥−123−a 2<2, 解得−1<a ≤1，∴实数a 的取值范围是(−1,1]．解析：本题考查了集合的混合运算，考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题．(1)求出当a =1时集合A ，根据并集和补集的定义写出(∁R B)∪A ；(2)根据A ∩B =A 可得A ⊆B ，由此列出不等式组求出a 的取值范围．17.答案：解：(1)∵∀x ∈R ，f(x)>0恒成立，∴△=(m −1)2−4<0∴m 2−2m −3<0解得−1<m ，3…(5分)(2)∵f(x)=0在区间[0,2]上有解，又f(0)=1≠0∴f(x)=0在区间(0,2]上有解由x 2+(m −1)x +1=0得m =1−(x +1x )…(8分)当0<x ≤2时，x +1x ≥2由(1)m ≤1−2=−1因此实数m 的取值范围是：(−∞,−1]…(12分)解析：(1)由题意可得△=(m −1)2−4<0，解不等式可求(2)由f(0)=1≠0可知f(x)=0在区间(0,2]上有解，由x 2+(m −1)x +1=0得m =1−(x +1x )，结合基本不等式可求m 的范围本题主要考查了二次函数的恒成立与基本不等式在函数的最值求解中的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识 18.答案：解：(1)当c =b 时，由 f(x)>1得，所以当时，原不等式的解集为；当b =2时，原不等式的解集为(−∞,−1)⋃(−1,+∞)；当b >2时，原不等式的解集为(−∞,1−b)⋃(−1,+∞)．(2)由f(x)的值域为[1,+∞)，得4c−b 24=1，又关于x 的不等式f(x)<a 的解集为(m,m +4)，所以m ，m +4是方程f(x)=a 的两个根，即x 2+bx +c −a =0的两根之差为4.所以4=√b 2−4(c −a)，则{b 2−4(c −a)=16,4c −b 2=4,解得a =5．解析：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，韦达定理；(1)根据b =c 解出不等式的两根，然后根据b 的范围写出原不等式的解集；(2)利用不等式的值域为[1,+∞)，得4c−b 24=1，找到b ，c 的关系，再解不等式f(x)<a ，利用韦达定理解得a 的值． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2+ax +b 的两个零点分别是2和−4；∴f(x)=x 2+ax +b =(x −2)(x +4)=x 2+2x −8，(2)由(1)得：f(x)=(x +1)2−9，对称轴x =−1，∴f(x)在[−2,−1)单调递减，在(−1,2]单调递增，f(−1)=−9，f(−2)=−8，f(2)=0，∴f(x)min =−9，f(x)max =0，∴函数f(x)的值域是：[−9,0]．解析：(1)根据函数的零点，即f(x)=0的根，从而求出函数的解析式；(2)根据函数的解析式求出函数的单调区间，从而得到函数的最值，进而求出函数的值域； 本题考查了二次函数的解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道基础题．。
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
2019-2020学年天津市滨海新区塘沽一中高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
)
22
A．{x | x 1 或 x 1}
B．{x | x 1 或 0 x 1}
C．{x | 1 x 0 或 x 1}
D．{x | 1 x 0 或 0 x 1}
【解答】解：根据题意，在 (0, ) 上， f (x) (1)x 1 ，为减函数，且 f （1） 1 1 0 ，
)
4
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：物质余下质量不超过原有的1% ，设至少需要的年数为 n ，
则 a(1 3)na 1% ， 4
解得
n log 1
4
1 100
log4
100
．
至少需要的年数是 4．
故选： B ．
9．若 f (x) 是 R 上奇函数，满足在 (0, ) 内 f (x) (1)x 1 ，则 xf (x) 0 的解集是 (
A．若 ab 0 ， a b ，则 1 1 ab
B．若 a b ，则 ac2 bc2
C．若 a b ， c d ，则 a c b d
D．若 a b ， c d ，则 a b cd
【解答】解： ab 0 ， a b ， a 1 b 1 ， 1 1 ，故 A 正确； ab ab b a
)
A． (1,3)
B． (0,3)
C． (0, 4)
【解答】解： M {x | 0 x 4} ， N {x | 3 x 3} ，
M N (0,3) ．
D．
故选： B ．
2．命题“ x R ， x2 2x 1 0 ”的否定是 ( )
A． x0 R ， x02 2x0 1 0
2019-2020学年高一数学下学期期中试题_12
2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知点是角终边上一点，则下列三角函数值中正确的是A. B.C. D.2. 已知向量,,，则A. B. C.D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.4. 下面正确的是A. B.C. D.5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 若，则=A. B. C.D.7. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则A. B.C. D.8. 在中，角所对的边分别是，若，则A. B. C.D.9. 已知是方程的两个根，且则为A. B.C. 或D. 或10. 如果函数的图象关于点成中心对称，那么的最小值为A. B. C.D.11.已知函数，的内角的对边分别为,且，则下列不等式一定成立的是A. B.C. D.12. 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的A. 重心B. 内心C. 垂心D. 外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，，，若，则 .14. 函数，则的最小正周期是 .15. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 .16. 已知函数在上有且只有3个零点，则实数的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.（本小题满分10分）已知，.（1）求与的夹角；（2）求.（本题满分12分）求值.（本题满分12分）已知的内角的对边分别为,且，.（1）求的值;（2）若，求的面积.20.（本题满分12分）用“五点法”画函数在同一个周期内的图象时，某同学列表并填入的数据如下表：（1）求，，的值及函数的表达式；（2）已知函数，若函数在区间上是增函数，求正数的最大值.21.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，当，且取最大值时，求的值. 22. （本题满分12分）已知，是函数的两个相邻的零点.（1）求的值;（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围;（3）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.答案BCADAB BCBACD13. 5 14. 15. 16.17.解：（1），，得，，又， ...........（5分）（2）. ............ （5分）解：........... （ 12分）19.解：(1)因为，,得.. ..........（2分）....（4分）所以...........（6分）由，得,..........（8分）于是,由及正弦定理,得.........（10分）..........（12分）解:（1）由，可得，代入可得，，，由表知...............（5分）（2）当时，，在上是增函数，.............（8分）解得：又，得，....................(12分）21.解：（1）由题得，因为，所以① ..........(2分)又因为，所以②..........(4分)由①②得或所以的坐标是或....................................................................(6分)（2）由题设，所以，所以 .....................(9分)因为，所以，所以当时，取最大值所以，即，，所以，所以.................................................(12分)解：（1），，........（3分）......（4分）（2）若对任意的，都有，得即. ......（6分），，即，即.......（8分）（3）由得，.......（10分）由图可得，即所以.......（12分）2019-2020学年高一数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知点是角终边上一点，则下列三角函数值中正确的是A. B.C. D.2. 已知向量,,，则A. B. C. D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.4. 下面正确的是A. B.C. D.5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 若，则=A. B. C. D.7. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F，若，，则A. B.C. D.8. 在中，角所对的边分别是，若，则A. B. C. D.9. 已知是方程的两个根，且则为A. B. C. 或 D. 或10. 如果函数的图象关于点成中心对称，那么的最小值为A. B. C. D.11.已知函数，的内角的对边分别为,且，则下列不等式一定成立的是A. B.C. D.12. 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，，，若，则 .14. 函数，则的最小正周期是 .15. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 .16. 已知函数在上有且只有3个零点，则实数的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.（本小题满分10分）已知，.（1）求与的夹角；（2）求.（本题满分12分）求值.（本题满分12分）已知的内角的对边分别为,且，.（1）求的值;（2）若，求的面积.20.（本题满分12分）用“五点法”画函数在同一个周期内的图象时，某同学列表并填入的数据如下表：（1）求，，的值及函数的表达式；（2）已知函数，若函数在区间上是增函数，求正数的最大值.21.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，当，且取最大值时，求的值.22. （本题满分12分）已知，是函数的两个相邻的零点.（1）求的值;（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围;（3）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.答案BCADAB BCBACD13. 5 14. 15. 16.17.解：（1），，得，，又， ...........（5分）（2）. ............ （5分）解：........... （ 12分）19.解：(1)因为，,得.. ..........（2分）....（4分）所以...........（6分）由，得,..........（8分）于是,由及正弦定理,得.........（10分）..........（12分）解:（1）由，可得，代入可得，，，由表知...............（5分）（2）当时，，在上是增函数，.............（8分）解得：又，得，....................(12分）21.解：（1）由题得，因为，所以① ..........(2分)又因为，所以②..........(4分)由①②得或所以的坐标是或....................................................................(6分)（2）由题设，所以，所以 .....................(9分)因为，所以，所以当时，取最大值所以，即，，所以，所以.................................................(12分)解：（1），，........（3分）......（4分）（2）若对任意的，都有，得即. ......（6分），，即，即.......（8分）（3）由得，.......（10分）由图可得，即所以.......（12分）。
天津市滨海新区塘沽滨海中学2019~2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)
天津市滨海新区塘沽滨海中学2019~2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )A．B．C．D．(★★) 2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位是（）A．90B．90.5C．91D．91.5(★★) 3. 某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是（）A．73.3，75B．73.3，80C．70，70D．70，75(★★★) 4. 已知平面直角坐标系中是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知复数满足，则（）A．B．C．D．(★) 6. 若（是虚数单位），则的值分别等于( )A．B．C．D．(★★★) 7. 下面给出的关系式中，正确的个数是（）（1）0· =0（2）· = · （3）（4）（5）A．0B．1C．2D．3(★★) 8. 已知，，，若，则等于（）A．B．C．D．(★★) 9. 若的内角，，所对的边分别为，，，∠ ，，则一定是( )A．底边和腰不相等的等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形(★★) 10. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为( )A．1B．C．1或D．-1或(★★★) 11. 如图，在平面四边形 ABCD中，若点 E为边 CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 12. 若样本数据x 1，x 2，…,x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为______．(★★) 13. 复数的共轭复数是 .(★) 14. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 ________ .(★★) 15. 水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.(★★) 16. 若向量，则与同向的单位向量的坐标是___________.(★★★) 17. 已知向量，，且，则的坐标是___________.(★★) 18. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量的长度等于___________.(★★★) 19. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员，，进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘.已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的概率是 ____________ .(★★)20. 是钝角三角形，内角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是____________.三、解答题(★★) 21. 已知，其中，求：（1）；；（2）与的夹角的余弦值．(★) 22. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在和中各有1个的概率.(★★★) 23. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．(★★★) 24. 设是虚数，是实数，且.（1）求的值以及的实部的取值范围；（2）若，求证为纯虚数；（3）在（2）的条件下，求的最小值.。
2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学试卷及答案
一、选择题：(本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案) 1．下列命题正确的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90的角是锐角D ．若120α=-，则α是第三象限角 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．200，20 B ．200，10C ．100，10D ．100，203．下列区间中是使函数sin()4y x π=+单调递增的一个区间是（ ）A ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]π-，0D ．42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知扇形的半径为1，中心角为30°，关于弧长l 与扇形面积S 正确的结果为（ ） A ． 12l π=B ． 3l π=C ． 6S π=D ． 12S π=5．下列既是偶函数又是以π为周期的函数（ ）A ．cos y x =B ．sin(2)2y x π=-C ．2sin()2y x π=+D ．32cos(2)2y x π=+6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．257．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学（平行班）试题球至多有一个白球”中的哪几个( )A ．①③B ．②③C ． ①②D ．①②③8．将函数4cos(2)5y x π=+的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（ ）A ．4cos(4)5y x π=+B ．4sin(4)5y x π=+C ．4cos(4)5y x π=-D ．4sin(4)5y x π=-+9．已知1sin cos 8αα=-，且344ππα<<，则cos sin αα+的值等于（ ）A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 10．任意ABC ∆中，给出下列4个式子，其中为常数的是（ ） ①sin()sin A B C ++；②cos()cos A B C ++；③sin(22)sin 2A B C ++； ④cos(22)cos 2A B C ++；A ．①②B ． ②③C ． ③④D ．①④二、填空题：(本题共5小题，每题4分，共20分．)11．在半径为1的圆O 内任取一点A ，则12OA <的概率为_____________.12．如果sin 0tan 0θθ><，，那么角θ所在象限是_____________. 13．已知1cos(75)6α︒+=，则sin(15)α︒-=_____________. 14．为了科普“新型冠状病毒”相关知识，增强中学生预防意识，某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则m ，n ，x 的大小关系为 .(用“<”连接)15．已知函数2()sin cos f x x x a =++，a R ∈，若对区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上任意x ，都有()1f x ≤成立，则实数a 的取值范围_____________.三、解答题：(本题共5小题，每题12分，共60分．) 16．化简计算：（1）已知tan 2x =，计算221sin 2cos x x+；（2）化简sin()cos()cos(2)cos()2πααπαππα+---+17．已知函数()sin()24x f x π=+.（1）写出函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.18．下表数据为某地区某种农产品的年产量x (单位:吨)及对应销售价格y (单位:千元/吨) ．（1）若y 与x 有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程．（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大?（参考公式：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，1122222212n n n x y x y x y nx y b x x x nx +++-=+++-，a y bx =-） 19．高老师需要用“五点法”画函数()sin()(00)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，，在一个（1） 请同学们帮助高老师写出表格中的两个未知量a 和b 的值，并根据表格所给信息写出函数解析式（只需在答题卡的相应位置填写答案，无需写出解析过程）；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()g x 图像，求()y g x =距离原点O 最近的对称中心.20．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.一、选择题：（4分⨯10=40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABDBDCCAB2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学（平行班）试题答案二、填空题：（4分⨯5=20分） 11.14； 12. 第二象限； 13. 16； 14. n <m <x ； 15. 14⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 三、解答题：（12分⨯5=60分）16.解：（1）222222221sin cos tan 15==sin 2cos sin 2cos tan 26x x x x x x x x ++=+++ （2）=cos (cos )cos (cos )0αααα---=原式17.解：（1）要求()f x 的单调递增区间，只需满足22()2242x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：344()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间344()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. （2）因为263x ππ-≤≤，所以762412x πππ≤+≤，又因为7sin sin sin 6122πππ<<，所以函数()f x 在区间7612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.解：（1）由所给数据计算得()()()552113,50,123,10i i i i i x y x x y y x x====--=--=∑∑，代入公式解得12.3,86.9b a =-=，所以ˆ12.386.9yx =-+．（2）因为年利润2(12.386.9)13.112.373.8Z x x x x =⋅-+-=-+，所以当x =3时,年利润Z 取得最大值，故预测当年产量为3吨时,年利润Z 大．19.解：（1）131212a b ππ==，，有表格所给数据可知52A ω==，，因此函数解析式可以确定为()5sin(2)f x x ϕ=+，再将点(5)3π，带入函数得：=2()6k k Z πϕπ-+∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()5sin(2)6f x x π=-.（2）由题意的()5sin(2)6g x x π=+，令2()6x k k Z πππ+=+∈，解之得5()122k x k Z ππ=+∈，即对称中心为5(0)()122k k Z ππ+∈，， 当50(0)12k π=，对称中心为，，当1(0)12k π=--，对称中心为，，因此距离坐标原点最近的对称中心为(0)12π-，．20.解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的概率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个.9 15＝3 5.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为。
2019~2020学年第二学期期中高一数学试卷及答案详解
2019-2020学年第二学期期中考试高一数学一 选择题（每题5分，共30分）1. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π22,,π63a A B ===，则b 等于( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．4 2. 求值：0000sin 24cos36cos24sin36+等于( )A ．12B ．3C ．12-D ．3-3. 已知tan 2α=，则()πtan 4α+的值为( )A ．3B ．13C ．3-D ．13-4. .已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的关系为( )A ．一定是异面直线；B ．一定是相交直线；C ．不可能是平行直线；D ．不可能是相交直线．5. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若2π,3B b ac ==，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6. 已知α为锐角，()π3cos 65α+=，则()5cos 2π6α+的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-二 填空题（每题5分，共50分）7. 函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_______；8. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π2,3,3a c B ===，则b =_______；9. 已知35π,2π,cos 213αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则()πcos 4α+=_______；10. 如图，正方体1AC 中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小是______；（第10题图）11. 在△ABC 中，已知8,18a b ==，△ABC 的面积为363，且C 为锐角，则C 等于_______； 12. 函数()cos 26cos 2f x x x =-+的最小值是_______；13. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为____海里；（第13题图） （第14题图）14. 正方体1AC 中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正切值是________； 15. 求值：()00sin5013tan10+=________；16. ,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，下列说法中：()1a c a b b c ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ，()2a a b b γγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ， ()3c c ααββ⎫⇒⎬⎭∥∥∥()4αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥， ()5a c a c αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ ， ()6a a αγγα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 其中正确的说法有________．（填序号）三 解答题（共70分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为棱,PA PC 的中点.求证：EF ∥平面ABCD .18. 已知()π,π2α∈，5sin α=.（1）求cos2α的值； （2）求sin 2α的值.ABC P Q19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．20. 如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120o，,AB AC的长度均大于200米，现在边界,AP AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，当AP长度为多少时三角形地块APQ面积最大？并求出最大值.（不妨设AP长为x米）（2）已知竹篱笆长为米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.（不妨设APQα=∠）PACDEF（第19题）AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 121. 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． （1）求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；（2）若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．22. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，（1）若11,sin 3cC ==，求△ABC的面积S ；（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD =，求△ABC 的最短边的边长.高 一 数学 答案一 选择题（每题5分，共30分）1-6B B CC CD 7 π；8910 π2；11 π3；12 3-；13 14 ；15 1；16 ()1.17. 证明：连接AC ，在△PAC 中，E 为PA 中点，F 为PC 中点，则EF ∥AC ， …………5分 又因为EF 不在平面ABCD 中，则EF ∥平面ABCD …………10分18. 解：（1）2cos212sin αα=- …………4分23155=-=； …………6分（2）因为()π,π2α∈，所以cos 0,α< …………8分所以cos α== …………10分所以4sin 22sin cos 5ααα==-. …………12分19. 证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． …………2分因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥． …………4分因为CD PD D ⋂=I ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． …………6分 （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． …………8分 因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE ⋂I 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． ………12分20.（1）设AP x = (米)，则200AQ x =-,所以()()011sin 200sin12020022APQ S AP AQ A x x x ∆=⋅⋅=--= (米2) ……3分当100x =时，即100AP AQ == (米)，max S =(米2) ……5分(2)由题意，100sin PQA ==∠ 由正弦定理100sin sin sin AQ PQ AP AQP APQ A===∠∠∠， 得()0100sin 60,100sin AP AQ αα=-= …………7分故围墙总造价()1002y AP AQ =+即()()00100100sin 60200sin 10000sin 602sin y αααα⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎣⎦⎣⎦化简得：()030y α=+ …………9分 因为00060α<<，所以()01sin 3012α<+<…………11分元). …………12分21.（1）取11A B 的中点E ，连接1,ME O E ，因为底面ABCD 是菱形， 所以平面1111A B C D 也为菱形，因为1O 为11A C 与11B D 的交点，所以1O 为11A C 的中点，又因为E 为11A B 的中点，由中位线定理得111O E B C ∥,因为1O E 不在平面BB 1C 1C 内，11B C ⊂平面BB 1C 1C ，所以1O E ∥平面BB 1C 1C ， …………3分 同理得ME ∥平面BB 1C 1C ，又1O E ME E ⋂=，1O E ME ⊂，平面1O EM ，所以平面1O EM ∥平面BB 1C 1C ，因为1O M ⊂平面1O EM ，所以O 1M ∥平面BB 1C 1C ； …………6分 （2）连接AC 与BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面11AAC C ⋂平面ABCD AC =，所以BD ⊥平面11AA C C ， …………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1111BD AA BB AA BD BB ⊥⊥，∥，，所以四边形11BB D D 是矩形. …………12分 22. 解：（1）由正弦定理，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=可化为1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C += …………2分()1sin sin cos sin cos sin 3A A C C A C +=()1sin sin sin 3A A C C +=在△ABC 中，因为πA B C ++=，所以πA C B +=-，所以()sin sin A C B +=，则上式可化为1sin sin sin 3A B C =，又因为1sin 3C =，所以2sin sin sin A B C =，…………4分由正弦定理有21ab c ==，所以△ABC 的面积1111sin 12236S ab C ==⨯⨯= …………6分（2）方法一：由（1）可得1sin sin sin 3A B C =，因为cos B 所以sin B =则1sin sin 3C =，由正弦定理可得c =因为D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+uu u r uu r uu u r， …………8分两边平方化简可得：()221262cos 4a c ac B =++，将c =，cos B =代入化简可得：220a =，即a =6c = …………10分在△ABC 中，由余弦定理有，2222cos b a c ac B =++8=，所以b =<<，所以△ABC的最短边的边长为b=…………12分因为b a c方法二：本题也可以分别在△ABD和△CBD中利用余弦定理解决.。
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一、单选题
1. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设 =“甲元件故障”， =“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( )
A．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．
C．
D．
2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
20.
是钝角三角形，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
，
，则最大边 的取值范围是____________.
三、解答题
21. 已知
，其中
（1） ；
；
（2） 与 的夹角的余弦值．
，求：
22. 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在
的频率；
A．
B．
C．
D．
9. 若
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，∠
A．底边和腰不相等的等腰三角形
C．直角三角形
，
，则
B．钝角三角形
D．等边三角形
一定是( )
10. 已知向量 ， 不共线，且向量
与
的方向相反，则实数 的值为( )
A．1
B．
11. 如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则
（2）若
，求证 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下，求
的最小值.
的斜二测直观图如图所示，已知
，
，则 边上的中线的长度为______.
16. 若向量
，则与 同向的单位向量的坐标是___________.
17. 已知向量
，
，且
，则 的坐标是___________.
18. 已知 ，
，且
，则向量 在向量 上的投影向量的长度等于___________.
19. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 ， ， 进行围棋比赛，甲对 ，乙对 ，丙对 各一盘.已知甲胜 、乙胜 、丙胜 的概率分别为0. 6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，则红队至少两名队员获胜的概率是____________.
（2）用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中共抽取4个，其中重量在
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，写出所有可能的结果，并求重量在
和
的有几个？ 中各有1个的概率.
23.
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量
与
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若
，
求
的面积．
平行．
24. 设 是虚数，
是实数，且
.
（1）求 的值以及 的实部的取值范围；
则这15人成绩的第80百分位是（ ）
A．90
B．90.5
C．91
D．91.5
3. 某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别 是（ ）
A．73.3，75 C．70，70
B．73.3，80 D．70， 75
4. 已知平面直角坐标系中 是原点，向量 ， 对应的复数分别为
，
A．
B．
C．
D．
，那么向量 对应的复数是（ ）
5. 已知复数 满足
，则 （）
A．
B．
C．
D．
6. 若
（
是虚数单位），则 的值分别等于( )
A．
B．
C．
D．
7. 下面给出的关系式中，正确的个数是（）
（1）0· =0 （2） · = · （3）
A．0
B．1
（4）
（5） C．2
D．3
8. 已知
，
，
，若
，则 等于（ ）
的最小值为 （ ）
C．1或
D．-1或
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12. 若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______．
13. 复数
的共轭复数是 .
14. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________.
15. 水平放置