第四章 CNC的插补原理(3)

➢ 插补周期T与插补运算时间密切相关，一旦选定了插 补算法，则完成该算法的时间也就确定了。一般来 说，插补周期包含插补运算时间、数据存储以及显 示时间、伺服系统闭环控制时间，因此必须大于这 些时间的总和。（例如8-10ms）
➢ 插补周期T与位置反馈采样周期有一定的关系，插补 周期和采样周期可以相同，也可以不同。如果不同 ，则选插补周期是采样周期的整数倍。
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补
已知：
✓ 固定坐标系XOZ
✓ ✓
圆当上点心前C点(ZAc,i(ZXi,c)
（固定） Xi) 为 圆
求：
下一个采样插补点
Ai+1(Zi+1, Xi+1)
α
C(Zc, Xc)
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补
数据采样插补分为两步：粗插补和精插补
✓ 粗插补完成加工轨迹的每一个插补周期的进给段的 计算，不是进给脉冲的分配。
✓ 精插补完成粗插补的进给段的数据点的密化工作， 实现进给脉冲的分配，采用脉冲增量式插补。
若粗插补采用DDA法，则称为数据采样DDA插补。
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA直线插补 假设根据编程进给速度，要在时间段T1内走完图中所 示直线OE，长度为L(mm)，其起点为坐标原点O，终 点坐标为E（Xe，Ye），V为进给速度，Vx与 Vy分别 为X、Y坐标的分速度。则有
i1 i
式中δ—轮廓步长所对应的圆心角增量，称为角步距
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
1
Δy -
Δx
=
xi yi
+ +
Δx 2 l
Δy 2
或
x l cos
i
tg
2
y l sin
i2
上式反映了圆弧上任意相邻 两插补点坐标之间的关系， 只要求得⊿x和⊿y，就可以 计算出新的插补点
Xi+1 = Xi + ΔX = Xi + l cos α Yi+1 = Yi + ΔY = Yi -l sin α
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
误差分析：
在圆弧插补时，用内接弦线 来逼近圆弧，这种逼近必然 会造成轨迹误差。最大半径 误差 er 与角步距 δ 的关系
er
R(1
cos ) 2
Ki+1 = Ki -Δzi+1 Ii+1 = Ii -Δxi+1
则
Zi+1 = Zi + ΔZi+1 X i+1 = X i + ΔX i+1
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——扩展DDA圆弧插补
已知：
X
✓ 固定坐标系XOZ
✓ 圆定心）C(Zc, Xc) （固
✓ 当圆前上点 点Ai-1(Zi-1, Xi-1)为
X l cos
Y Y e x
X e
x
el
x2 y2
e
e
y
el
x2 y2
e
e
Y
E(Xe,Ye)
x P
y
O
X
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
➢ 首先根据刀具进给速度V，计算选择轮廓步长l，再
进行插补计算
➢ 以弦线逼近圆弧，就是以轮廓步长为圆弧上相邻两 个插补点之间的弦长，由当前插补点的坐标和轮廓 步长，计算下一个插补点，实质上是求后一插补点
为：
( ) ΔZi+1 = l ×sin α = -λd xc - xi
( ) ΔXi+1 = l ×cosα = λd
zc
-z i
Zi+1 = Zi + ΔZi+1 X i+1 = X i + ΔX i+1
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补
若以刀具中心点建立IK坐标系，即以A点的移动位置 作为坐标原点建立移动坐标系，则圆心坐标为
t T *103 / 60
X
2 e
Ye 2
FRN
V
＝V
Y V yT
V
TYe FRNtYe Y
X
2 e
Ye 2
L
X e 2 Ye 2
式中 V —编程的进给速度（mm/min）;
Vy V E(Xe,Ye)
T —插补周期（ms）;
λt —换算后的时间常数
FRN—进给速率数
O
Vx X
3.3 数据采样插补—DDA法
DDA圆弧插补原理：
沿切线方向按照刀具进给 速度V，进给轮廓步长 l
l=VT 得到下一个采样插补点。
α
C(Zc, Xc)
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补
即按照AiĆ 方向进给进行 直线DDA数据采样插补
AiC ′⊥ AiC
第i次插补周期中，X轴和 Z轴的进给步长为：
α
=
-
l R
xc - xi
( ) l
ΔX i+1 = l ×cosα = R
zc
-
z i
α
C(Zc, Xc)
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补
( ) ( ) 令
l λd = R =
VT
xc - xi
2+
zc
-
z i
2
为步长系数
则DDA顺圆数据采样插补迭代公式（表达形式1）
l sin
i2
l
x cos 45o
i
2
y l sin 45o
i2
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
近似计算：
cos
1
1 tan 2
x lcos
为保证下一个插补点仍在圆 弧上，⊿y计算按下式进行
Δy2 + 2 yi Δy + Δxi2 + 2xi Δxi = 0
3.3 数据采样插补—直线函数法
ΔX i+1 = X i+1 - X i ΔZi+1 = Zi+1 - Zi
α
C(Zc, Xc)
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补 根据
Ai Ai+1 = l = VT
( ) ( ) AiC = R =
xc - xi
2+
zc
-
z iຫໍສະໝຸດ Baidu
2
得
( ) ΔZi+1
=
l
×sin
R—被插补圆弧半径（mm）
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
误差分析：
将cos(δ/2)用幂级数展开，得
er
R(1
cos )
2
R 1
1
/ 22
2!
/ 22
4!
2
8
R
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补 误差分析： 设 T 为插补周期，V 为进给速度，则轮廓步长 l 为
=
450000R
式中R， er 单位mm，T单位分钟，V单位mm/分钟
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补 误差分析：
er
(VT )2 = 8R
首先根据CPU的计算能力选择适当的插补周期 T（例 如 T=8ms），再根据加工轮廓所允许的误差范围，采 用上述公式，选择合适的刀具进给速度 V
例如要求│er │≤1μm，插补周期 T = 8ms，则
到前一插补点两个坐标轴的进给量ΔX, ΔY。
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
DOM
1
i2
DM tgα =
OD
1
=
xi
+
Δx 2 1
yi + 2 Δy
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
✓ 如图所示，A(Xi , Yi)为当前点，B(Xi+1, Yi+1）为下一
个插补点，图中AB弦正是圆弧插补时在一个插补周 期的步长l，需计算进给量ΔX=Xi+1-Xi ， ΔY=Yi+1-Yi ✓ AP是A点的切线，M是弦的中点，OM⊥AB，ME ⊥AG，E为AG的中点。圆心角计算如下
Vx
Xe
V
Y
X e 2 Ye 2
Vy
Ye
V
X e 2 Ye 2
O
Vy V E(Xe,Ye) Vx X
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA直线插补
，将取时最间接T1近用的插整补数周）期，T每分个割T为内n的个坐子标区增间量（分n≥别T为1/ T
X VxT
V
TX e FRNt X e
圆弧插补 误差分析：
er
(VT )2 = 8R
首先根据CPU的计算能力选择适当的插补周期 T（例 如 T=8ms），再根据加工轮廓所允许的误差范围，采 用上述公式，选择合适的刀具进给速度 V
例如要求│er │≤1μm，插补周期 T = 8ms，则
V≤
8er R T
=
8R 60 ×1000
1000 × 8
数据采样DDA直线插补
数对，于令同λ一d为直步线长来系说数，由于V和Xe、Ye，以及L 均为常
λd = FRNλt
则
X d X e
Y
Y d Ye
Vy V E(Xe,Ye)
X i1 X i X Yi1 Yi Y
O
Vx X
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA圆弧插补 ➢DDA圆弧插补 ➢扩展DDA圆弧插补
l=VT
用轮廓步长代替弦长，有
δ
≈
l R
VT =R
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补 误差分析：
于是可以得到
er
(VT )2 = 8R
可见，圆弧插补过程中，用内接弦线逼近圆弧时，插 补误差 er 与刀具进给速度 V 的平方、插补周期 T 的平 方成正比，与圆弧半径 R 成反比。
3.3 数据采样插补—直线函数法
V≤
8er R T
=
8R 60 ×1000
1000 × 8
=
450000R
式中R， er 单位mm，T单位分钟，V单位mm/分钟
3.3 数据采样插补—直线函数法
圆弧插补
近似计算：求解α较困难，为此，采用近似算法，用 cos45o和sin45o代替cosα和sinα ，即
x l cos
tg
i
y
2
圆弧插补
Y
近似计算：
采用近似算法可保证每 次插补点均在圆弧上， 插补误差主要由径向误 差以及近似计算所带来 的进给速度偏差引起。
ΔX
ΔX′
A
α′ T F
α
ΔY ′
S
ΔY
B
O
X
近似处理引起的进给速度偏差
3.3 数据采样插补—DDA法
DDA法利用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的 位移，DDA插补的物理意义是使动点P 沿速度V矢 量的方向前进。这种方法可以用在脉冲增量式插补 中，同样可以用于数据采样插补中。
垂线，即
Ai-1 Ai ⊥ BC
✓ 刀具中心点由Ai-1点出发，沿直线Ai-1Ai进行直线插 补，进给一个轮廓步长l，得到下一个插补点Ai
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——扩展DDA圆弧插补 定义第i次插补周期中的进给坐标增量为：
Z Z - Z
i
i
i-1
X X - X
3.3 数据采样插补—直线函数法
直线插补
➢ 设要加工如图所示直线OE，起点在坐标原点O，终 点为E(Xe, Ye)，直线与X轴夹角为α，则有
tgα = Ye Xe
Y
E(Xe,Ye)
cos 1
1 tg 2
x P
y
O
X
3.3 数据采样插补—直线函数法
直线插补
➢ 若已计算出轮廓步长l，从而求得本次插补周期T内
各坐标轴进给量为
X l cos
x e
l
x2 y2
e
e
Y
y
Y
Y e x
el
X
x2 y2
e
e
e
E(Xe,Ye)
➢ 下一个插补点计算
x P
X i X i1 X i Yi Yi1 Yi
y
O
X
3.3 数据采样插补—直线函数法
直线插补
➢ 误差分析： 在直线插补时，插补所形成的每个小直线段与给定 直线重合，不会造成轨迹误差。
K z -z
i
C
i
I x -x
i
C
i
则DDA顺圆数据采样插补迭代公式（表达形式2）为
( ) ΔZi+1 = -λd xc - xi = -λd Ii
( ) ΔXi+1 = λd
zc
-
z i
= λd Ki
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——DDA圆弧插补 圆心坐标更新迭代公式：
✓ 精插补—然后再计算出相应插补点（动点）位置的 坐标值。
✓ 核心问题是计算出插补周期的瞬时进给量，对于直 线插补，用插补所形成的步长子线段逼近直线，与 给定直线重合。在圆弧插补时，用切线，弦线和割 线逼近圆弧，常用的是弦线或割线。
3.3 数据采样插补
特点：
➢ 插补分两步进行： ✓粗插补 ✓精插补
➢ 其设计思想是在给定起点和终点曲线之间插入若干 点，用若干条微小直线来逼近给定曲线，每一微小 直线段的长度 l 相等。l 与进给速度V、插补周期T 的关系为： l = V *T
3.3 数据采样插补
特点：
➢ 插补周期T不直接影响进给速度，但对插补误差及高 速运行有影响，选择插补周期是一个重要问题。
第 四 章 CNC的插补原理（3）
2020/6/14
3.3 数据采样插补
数据采样插补的基本原理
✓ 粗插补—数据采样插补是根据编程的进给速度，将 轮廓曲线分割为插补采样周期的进给段（轮廓步长 ）。在每一插补周期中，插补程序被调用一次，为 下一进给周期计算出各坐标轴应该行进的增长段（ 而不是单个脉冲）△x或△y等。
求：
下一个采样插补点Ai(Zi, Xi)
O
Ai′′Ai′Ai
F
Z
3.3 数据采样插补—DDA法
数据采样DDA插补——扩展DDA圆弧插补
插补原理： ✓ 过Ai-1Ai-1C半径的垂线，即切线，取
Ai-1Aí ́ =l=VT （轮廓步长） ✓ 取Ai-1Aí ́ 线段的中点B，连接CB，过Ai-1点作BC的