多元回归分析：估计
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
学习笔记：伍德里奇《计量经济学》第五版-第三章 多元回归分析：估计
y = b 0+ b 1x 1+ b 2x 2+ . . . b k x k + u一、多元线性回归模型1.我们可以研究控制一些变量不变的条件下，其他变量对y的影响，而不是假定他们不相关。
Cons = b 0+ b 1inc+b 2inc 2 +u2.我们还能推广变量之间的函数关系如：通过在模型中包含更多的变量，我们更好的达到了SLR.4所表达的目的E(u|x 1,x 2, …,x k ) = 0 （3.8）HYP.1一般多元回归模型的关键假定（u和所有x都不相关）：（ ）仍然是最小化残差和：对（3.12）求k +1次偏导得一阶条件（交给计算机计算）（此时假定k +1个方程只能得到估计值得唯一解2.1 如何得到OLS 估计值例3.1分析两个系数时，可得出当我们把其中一个因素涵盖在模型中时，另外一个因素的预测就变得不有力了1.系数表示局部效应（控制其他变量不变时，对y的效应）多元回归分析给了我们在收集不到“其他条件不变”时的数据仍有同样效果的能力2.“控制其他变量不变”的含义3.同时改变不止一个自变量（只需要将效应加和）2.2 对OLS 回归方程的解释从单变量情形加以推广，得：1.残差的样本平均值为02.每个自变量和OLS 残差之间的样本协方差为0。
因此OLS 拟合值和OLS 残差之间的样本协方差也为03.点总位于OLS 回归线上（性质1. 2.由一阶条件得，性质3.由1.可得2.3 OLS 的拟合值和残差（ ）其中 是x1对其他变量回归后的残差（即排除其他变量对x1的影响，类似矢量正交）2.4 对“排除其他变量影响”的解释（ ）（是 对 简单回归的斜率1.样本中x2对y的偏效应为0，即2.x1和x 2不相关，即（1. 2.可解释、 的差异由（3.23）知，在两种情况下利用矢量正交的理解考虑简单回归和两个自变量的回归：2.5简单回归和多元回归估计值比较可以证明，R2的另一种理解是 的实际值与其拟合值 的相关系数的平方，其中2.6 拟合优度（与简单回归大致相同）二、普通最小二乘法（多元线性回归模型的代数特征和对方程的解释）使用提示：1.该笔记是对伍德里奇《计量经济学》第五版第三章学习过程中的内容梳理2.由于本人水平有限，单独看该笔记估计会很吃力，且很可能出现错误，建议结合书本进行理解3.希望能够对想学习计量经济学的人起到一点点帮助第三章多元回归分析：估计2020年3月19日10:47由于定义下增加解释变量不会降低R2，所以判断一个解释变量是否应该放入模型的依据应该是该解释变量在总体中对y的偏效应是否非02.7 过原点的回归1.之前推导的性质不再成立，特别是OLS残差的样本平均值不再是02.计算R2没有特定的规则3.当截距项b0不等于0，斜率参数OLS估计量将有偏误；当截距项b0=0，估计带截距项方程的代价是，OLS斜率估计量的方差会更大2.8 OLS估计量的期望值MLR.1（线性于参数）MLR.2（随机抽样）MLR.3（不存在完全共线性，允许一定程度的相关）（在定义函数时要小心不要违背了MLR.3MLR.4（条件均值为0）（内生解释变量：解释变量可能与误差项相关定理3.1 OLS的无偏性（）2.9 过度设定和设定不足（多了无关变量和少了解释变量）2.9.1过度设定（不影响OLS估计量的无偏性，但影响OLS估计量的方差）2.9.2设定不足1.简单情形：从一个斜率参数到两个斜率参数由（3.23）：取均值得偏误为：（因此偏误的方向取决于两个符号，偏误的大小取决于两者之积，在应用中可以通过常识来判断偏误方向2.扩展情形：从两个斜率参数到三个斜率参数当你假设和不相关时，就可以证明和的关系和简单情形一样2.10 OLS估计量的方差MLR.5（同方差性，不仅可以简化公式，还得到了有效性）定理3.2 OLS斜率估计量的抽样方差在MLR.1-5下，以自变量的样本值为条件，有（）（是的总样本波动，则是对所有其他自变量（并包含一个截距项）回归所得到的由（3.51）可知，估计量的抽样方差由三个要素决定：1.误差方差（噪声越大，越难估计）2.的总样本波动（越分散，越容易估计）3.自变量之间的线性关系（和其他自变量相关性越高，越不利于估计（很高的并不一定有问题，抽样方差的大小还要取决于剩下两个因素，可以通过收集更多的数据来削减多重共线性（当考虑某一个自变量 的方差时，若 和其他自变量均无关，那么其他自变量间的关系是不造成影响的，某些经济学家为了分离特定变量的因果效应，而在模型中包括许多控制因素，但这并不影响因果效应的证实（ ）当含有两个解释变量时：（ ）当含有一个解释变量时：（（3.54）和（3.55）表明除非样本中x1和x2不相关，否则 <1.当 =0时，两个都无偏，但 < ，所以前者更好2.当不等于0时，不放x 2进去会导致有偏，放了x 2进去会导致方差增加，但我们喜欢把x2放进去的理由是：不放进去的偏误不会随着样本容量扩大而缩减，而放进去增加的方差却会随着样本容量的扩大逐渐缩小至0所以有两个结论：2.10.1 过度设定的方差（建立在过度设定无偏讨论的基础上）（ ）2.10.2 OLS 估计量的标准误（与简单回归相同）在假定MLR.1-5下，有（MLR .5若不满足（即异方差），会使标准误失效（第二种表达清楚说明了随着样本容量的扩大，在其他三项（ 、 、 ）都趋于常数的时候，估计量标准误是如何变小的因此得估计量的标准误：定理3.3 的无偏估计OLS 估计量是最优线性无偏估计量（如（3.22）所示的线性、无偏误、在线性无偏估计量中方差最小在MLR.1-5下，得定理3.4 高斯-马尔科夫定理2.11 对OLS 估计的一个正确认识。
多元回归模型、多元回归方程、估计的多元回归方程的含义
多元回归模型、多元回归方程、估计的多元回归方程的含义在社会经济学和统计学领域，多元回归模型是用来分析和预测一个变量随多个独立变量的变化而发生变化的方法。
多元回归模型由一个或多个给定变量（因变量）和一组要解释变量（自变量）构成。
它们之间的关系描述为多元回归方程。
估计的多元回归方程是指从观察数据中拟合出最接近实际多元回归模型的多元回归方程，它可用来预测一个变量与其他变量之间的关系。
一、多元回归模型多元回归模型是指用多个独立变量可以预测一个因变量的方法。
它是一种统计学模型，可以结合一组观察数据，从而揭示出因变量和自变量间的关系。
它可以用来检测想要的结果是否由多个变量共同作用而产生，从而预测未来发展趋势，并对应对策进行相应调整。
多元回归模型可以用来分析不同变量间的非线性关系，即两个变量之间的关系不是简单的线性关系，而是通过多项式关系来建立的。
例如，X1和X2两个变量，它们的关系可以通过如下的多项式方程描述：Y=kX1+X2+kx1x2在K即为系数，其含义是变量X1和X2之间存在两个变量之间的交互作用。
二、多元回归方程多元回归方程是描述因变量与一组自变量之间关系的函数表达式。
它是根据一组观察数据，通过线性、非线性等拟合算法来求得的一个回归关系式。
它可以描述因变量与多个自变量之间的线性关系，也可以描述对数、指数等形式的非线性关系。
具体的表示形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βkXk其中，β0~βk是系数，X1~Xk是自变量，Y是因变量。
多元回归方程可以用来分析多个变量之间的交互作用，以及提高多元回归模型的准确性。
三、估计的多元回归方程的含义估计的多元回归方程是指从观察数据中拟合出最接近实际多元回归模型的多元回归方程，它可以用来预测一个变量与其他变量之间的关系。
它可以用来预测未来某个变量的变化趋势，有助于制定应对相应变化的策略。
它也可以帮助我们解释变量之间的联系，从而进行合理的决策和分析。
综上所述，多元回归模型、多元回归方程以及估计的多元回归方程的含义是社会经济学和统计学领域中非常重要的研究方法，可以有效地研究和预测多个变量间的关系，看出未来发展趋势，从而有效地应对策略调整等问题。
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
武汉大学 计量经济学 多元回归分析：估计
ˆ 1 ˆ 2
（x
1i
x1 )( yi y ) ( x2i x2 ) 2 ( x2i x2 )( yi y ) （x1i x1 )( x2i x2 ) x2 )( yi y ) ( x1i x1 ) 2 ( x1i x1 )( yi y ) （x1i x1 )( x2i x2 ) （x1i x1 )( x2i x2 ) ( x1i x1 )2 ( x2i x2 )2
2
（x
（x1i x1 )( x2i x2 ) ( x1i x1 )2 ( x2i x2 )2
Note 3： 违背MLR.10的几种情形
c o n s 0 1 in c 2 in c 2 u 并 不 违 背 M L R .1 0
(1) 同一变量在不同单位的度量下几次进入同一回归方程。 y 0 1 x1 2 x2 3 x3 u x3 5x2 (2) 一个解释变量以隐蔽的方式成为另一变量的倍数， 如 log cons 0 1 log inc 2 log inc2 u (3) 一个解释变量恰好能表述成其他几个解释变量的线性函数 如 VoteA 0 1 exp endA 2 exp endB 3total exp end u 其中 total exp end exp endA exp endB 此时，试图在其他条件不变的情况下解释某个参数就会出现问题。
ˆ ( x 2 n( x ) 2 ) ˆ ( x x nx .x ) y x . y x n i 1i 1 1 2 1 1 1i 2 1i 2 i
OLS估计量求解
整理后得， （5） ( x1i x1 )( yi y ) ˆ1 ( x1i x1 )2 ˆ2 ( x1i x1 )( x2i x2 )
3多元线性回归模型参数估计
3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于预测多个自变量与因变量之间关系的统计模型。
其模型形式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是模型的参数，ε是误差项。
多元线性回归模型参数的估计可以使用最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS）来进行。
最小二乘法的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的平方差最小。
参数估计过程如下：1.根据已有数据收集或实验，获取因变量Y和自变量X1、X2、..、Xn的观测值。
2.假设模型为线性关系，即Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε。
3.使用最小二乘法，计算参数估计值β0、β1、β2、..、βn：对于任意一组参数估计值β0、β1、β2、..、βn，计算出模型对于所有观测值的预测值Y'=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn。
计算观测值Y与预测值Y'之间的平方差的和，即残差平方和（RSS，Residual Sum of Squares）。
寻找使得RSS最小的参数估计值β0、β1、β2、..、βn。
4.使用统计方法计算参数估计值的显著性：计算回归平方和（Total Sum of Squares, TSS）和残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。
计算决定系数（Coefficient of Determination, R^2）：R^2 = (TSS - RSS) / TSS。
计算F统计量：F=(R^2/k)/((1-R^2)/(n-k-1))，其中k为自变量的个数，n为观测值的个数。
根据F统计量的显著性，判断多元线性回归模型是否合理。
多元线性回归模型参数估计的准确性和显著性可以使用统计假设检验来判断。
常见的参数估计的显著性检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于判断单个参数是否显著，F检验用于判断整个回归模型是否显著。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于建立自变量与因变量之间关系的统计模型。
它可以被视为一种预测模型，通过对多个自变量进行线性加权组合，来预测因变量的值。
多元线性回归模型的参数估计是指利用已知的数据，通过最小化误差的平方和来估计回归模型中未知参数的过程。
本文将介绍多元线性回归模型参数估计的基本原理和方法。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是回归系数，ε是残差项。
参数估计的目标是找到使得误差的平方和最小的回归系数。
最常用的方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
最小二乘法通过最小化残差的平方和来确定回归系数的值。
残差是观测值与回归模型预测值之间的差异。
为了进行最小二乘法参数估计，需要计算回归模型的预测值。
预测值可以表示为：Y^=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp其中，Y^是因变量的预测值。
参数估计的目标可以表示为：argmin(∑(Y - Y^)²)通过对目标函数进行求导，可以得到参数的估计值：β=(X^TX)^-1X^TY其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，^T表示矩阵的转置，^-1表示矩阵的逆。
然而，在实际应用中，数据往往存在噪声和异常值，这可能导致参数估计的不准确性。
为了解决这个问题，可以采用正则化方法，如岭回归（Ridge Regression）和LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）。
这些方法通过在目标函数中引入正则化项，可以降低估计结果对噪声和异常值的敏感性。
岭回归通过在目标函数中引入L2范数，可以限制回归系数的幅度。
LASSO回归通过引入L1范数，可以使得一些回归系数等于零，从而实现变量选择。
这些正则化方法可以平衡模型的拟合能力与泛化能力，提高参数估计的准确性。
第2章多元回归分析
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
Multiple Regression Analysis
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1. Estimation
2
Parallels with Simple Regression
fIrno mthethgeefniersrtalocrdaeser cwointhd iktioinnd, ewpeencdanengtevt akriab1 les,
lwineeasreeeqkueasttiiomnastienskbˆ0,1bˆu1,n k n,obˆwk
tynˆheryebiˆf0orbeˆb,0ˆ1mx1ibnˆ1ixmi1 izebˆtkhxekbˆskuxmik of
The STATA command
Use [path]wage1.dta (insheet using [path]wage1.raw/wage1.txt) Reg wage educ exper tenure Reg lwage educ exper tenure
7
A “Partialling Out” Interpretation
8
“Partialling Out” continued
Previous equation implies that regressing y on x1 and x2 gives same effect of x1 as regressing y on residuals from a regression of x1 on x2
2.2 多元回归模型的OLS 估计
2.2 多元回归模型的OLS 估计多元回归模型在实际问题中经常被用来对一个因变量与两个或两个以上自变量的关系进行建模和预测。
常用的估计方法是OLS（最小二乘）估计。
本文将对多元回归模型的OLS 估计进行详细介绍。
1. 多元线性回归模型的建立$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \cdots + \beta_kX_k + \epsilon$其中，$Y$ 为因变量，$X_1, X_2,\cdots, X_k$ 为自变量，$\beta_0, \beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_k$ 为回归系数，$\epsilon$ 为误差项。
利用最小二乘估计，我们可以通过拟合一条直线或曲线使估计误差最小，来估计模型中的未知参数。
最小二乘法的目标就是使残差平方和最小。
OLS 估计是多元线性回归中最常用、最有效的方法之一。
OLS 估计方法就是按照最小二乘法的思想，通过最小化误差平方和来求出回归方程中的估计参数。
具体来说，我们可以利用正规方程（normal equation）来求解参数估计值。
设 $X$ 是 $n \times k$ 的样本自变量数据矩阵，$Y$ 是 $n$ 维因变量向量，$b$ 是 $k$ 维参数向量，我们可以通过最小化误差平方和，找到回归系数的最优解：$\min_{b} \ \sum_{i=1}^{n}(Y_i-X_ib)^2$我们对 $b$ 求导并令导数为 0，可以得到正规方程：$X^TXb=X^TY$其中，$X^T$ 表示 $X$ 的转置矩阵。
对于非满秩矩阵 $X$，正规方程可能无解或者存在无数解。
因此，我们需要在实际应用中注意检查矩阵的秩。
（1）OLS 估计是一种无偏的估计方法，即在样本量足够大时，估计值的期望等于真实值。
这使得 OLS 估计在实际应用中更具有可靠性。
（2）OLS 估计是一种最优的线性无偏估计方法，可以最小化在误差平方和最小的情况下使得估计值最接近真实值。
多元线性回归分析估计
• 5. OLS的有效性：高斯－马尔科夫定理 Efficiency of OLS: The Gauss-Markov Theorem
2
本课大纲
• 1. 多元回归模型的结构 • 2. 为什么使用多元回归 • 3.多元回归模型中的零值条件期望假定 • 4.多元回归模型的OLS 估计及代数性质 • 5.解释多元回归模型参数 • 6. 简单回归模型与多元回归模型的比较
• 多元回归模型能容许很多解释变量，而这些变量可以是相关的。 • 在使用非实验数据时，多元回归模型对推断y与解释变量x间的因
果关系很重要。
11
为什么使用多元回归？ 2. 更好地预测
• 一个变量y的变化，不仅与一种因素有关，可能 决定于许多因素。
• 预测一个变量的变化，往往需要尽可能多地知道 影响该变量变化的因素。
• 因此，多元线性回归模型，是实证分析中 应用最广泛的分析工具。
13
为什么使用多元回归模型？ 例1: 教育对工资的影响
• 教育educ对工资wage的影响 • 一个简单回归模型:
Wage= 0 + 1 • uc +u
• 然而，上述工资方程中，许多影响工资，同时又与教 育年限相关的变量，被包含于误差项u中，如劳动力 市场经验等。一方面，他们影响工资，但又不同于教 育，故包含于u中。另一方面，他们又与教育相关。 如教育年限越长，则参与劳动市场的时间就相对越短。 因此，零值条件期望假定不成立，会导致OLS估计量
• 4. Unites of Measurement and Functional Form 测量单位和函数形式
• 5. Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估计量的期望值和方差
6多元线性回归模型的区间估计
0.998325
S.E. of regression
0.018000
Sum squared resid
0.003240
Log likelihood
38.73345
F-statistic
2583.276
Prob(F-statistic)
0.000000
β1+β2+β3=0.05
Std. Error t-Statistic 0.402367 9.031001 0.041628 25.35381 0.035033 -2.284556 0.125921 -7.345299 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
S.E. of regression
26.56264 Akaike info criterion
Sum squared resid
13405.90 Schwarz criterion
Log likelihood
-101.7531 Hannan-Quinn criter.
F-statistic
2056.887 Durbin-Watson stat
均值E(Y|X0)的(1-α)预测区间:
Yˆ0t2ˆ X0(XX)1X0)E(Y|X0) Yˆ0t2ˆ X0(XX)1X0
3. 一点启示
• 计量经济学模型用于预测时，必学严格科学地描述 预测结果。 • 如果要求给出一个准确的预测值，那个真实值与该 预测值相同的概率为0。 • 如果要以100%的概率给出区间, 那么该区间是∞。 • 模型研究者的任务是要尽可能地缩小致信区间。
多元线性回归分析的参数估计方法
多元线性回归分析的参数估计方法多元线性回归是一种常用的数据分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
在多元线性回归中，参数估计方法有多种，包括最小二乘估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。
本文将重点讨论多元线性回归中的参数估计方法。
在多元线性回归中，最常用的参数估计方法是最小二乘估计（Ordinary Least Squares,OLS）。
最小二乘估计是一种求解最优参数的方法，通过最小化残差平方和来估计参数的取值。
具体而言，对于给定的自变量和因变量数据，最小二乘估计方法试图找到一组参数，使得预测值与观测值之间的残差平方和最小。
这样的估计方法具有几何和统计意义，可以用来描述变量之间的线性关系。
最小二乘估计方法有一系列优良的性质，比如无偏性、一致性和有效性。
其中，无偏性是指估计值的期望等于真实参数的值，即估计值不会出现系统性的偏差。
一致性是指当样本容量趋近无穷时，估计值趋近于真实参数的值。
有效性是指最小二乘估计具有最小的方差，即估计值的波动最小。
这些性质使得最小二乘估计成为了多元线性回归中最常用的参数估计方法。
然而，最小二乘估计方法在面对一些特殊情况时可能会出现问题。
比如，当自变量之间存在多重共线性时，最小二乘估计的解不存在或不唯一。
多重共线性是指自变量之间存在较高的相关性，导致在估计回归系数时出现不稳定或不准确的情况。
为了解决多重共线性问题，可以采用一些技术手段，如主成分回归和岭回归等。
另外一个常用的参数估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation,MLE）。
最大似然估计方法试图找到一组参数，使得给定样本观测值的条件下，观测到这些值的概率最大。
具体而言，最大似然估计方法通过构建似然函数，并对似然函数求导，找到能够最大化似然函数的参数取值。
最大似然估计方法在一定条件下具有良好的性质，比如一致性和渐近正态分布。
但是，在实际应用中，最大似然估计方法可能存在计算复杂度高、估计值不唯一等问题。
3多元线性回归模型参数估计
3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种回归分析方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系模型。
多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn+ε其中，Y表示因变量，X1,X2,…,Xn表示自变量，β0,β1,β2,…,βn表示模型参数，ε表示误差项。
多元线性回归模型的目标是估计出模型参数β0,β1,β2,…,βn，使得实际观测值与模型预测值之间的误差最小化。
参数估计的方法有很多，下面介绍两种常用的方法：最小二乘法和梯度下降法。
1. 最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）：最小二乘法是最常用的多元线性回归参数估计方法。
它的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
首先，我们定义残差为每个观测值的实际值与模型预测值之间的差异：εi = Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni)其中，εi表示第i个观测值的残差，Yi表示第i个观测值的实际值，X1i, X2i, …, Xni表示第i个观测值的自变量，β0, β1, β2, …,βn表示参数估计值。
然后，我们定义残差平方和为所有观测值的残差平方的总和：RSS = ∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2我们的目标是找到一组参数估计值β0,β1,β2,…,βn，使得残差平方和最小化。
最小二乘法通过数学推导和求导等方法，可以得到参数估计值的解析解。
2. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种迭代优化算法，可以用于估计多元线性回归模型的参数。
它的基本思想是通过迭代调整参数的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
首先，我们定义目标函数为残差平方和：J(β) = 1/2m∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2其中，m表示样本数量。
多元回归中方差的无偏估计
多元回归中方差的无偏估计
多元回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于研究多个
自变量对因变量的影响。
在进行多元回归分析时，我们不仅关心自
变量对因变量的影响程度，还需要对模型的拟合程度进行评估。
而
方差的无偏估计是评估模型拟合程度的重要指标之一。
在多元回归中，我们通常使用残差平方和来度量观测值与回归
平面的偏离程度，而方差的无偏估计则是对残差平方和的一个重要
评估。
方差的无偏估计可以帮助我们判断模型的拟合程度，进而评
估模型的可靠性。
在多元回归中，方差的无偏估计通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）来进行计算。
MSE是残差平方和除以自由度
的比值，自由度是样本量减去自变量的个数。
通过计算MSE，我们
可以得到对方差的无偏估计，从而评估模型的拟合程度。
方差的无偏估计在多元回归分析中具有重要的意义，它可以帮
助我们判断模型的拟合程度，为模型的可靠性提供重要参考。
同时，方差的无偏估计也可以帮助我们进行模型的比较和选择，以及对模
型的改进提供指导。
总之，方差的无偏估计在多元回归分析中扮演着重要的角色，它是评估模型拟合程度和可靠性的重要指标之一。
在实际应用中，我们需要充分理解方差的无偏估计的计算原理和意义，以便更好地进行多元回归分析和模型的评估。
多元回归分析：估计
更多关于R2
考虑从一个解释变量开始，然后加入第二个。 OLS性质：最小化残差平方和。 如果OLS恰好使第二个解释变量系数取零，那
么不管回归是否加入此解释变量，SSR相同。 如果OLS使此解释变量取任何非零系数，那么
加入此变量之后，SSR降低了。 实际操作中，被估计系数精确取零是极其罕见
的，所以，当加入一个新解释变量后，一般来 说，SSR会降低。
那么所有系数的OLS估计量都有偏。
4
更一般的情形
假设总体模型
• 满足假定MLR.1~MLR.4。但我们遗漏了 变量x3，并估计了模型
• 假设X2和X3无关， X1和X3相关。 • 是β1的一个有偏估计量，但 是否有偏
？
更一般的情形
此时，我们通常假设X1和X2无关。
当X1和X2无关时，可以证明：
差项u的条件方差都是一样的。
▪ 如果这个假定不成立，我们说模型存在异方
差性。
OLS估计量的方差（续）
用x表示(x1, x2,…xk)
假定Var(u|x) = s2，也就意味着Var(y| x) = s2
假定MLR.1-5共同被称为高斯－马尔可夫假定 (Gauss-Markov assumptions)
效应） OLS的性质 什么时候简单回归和多元回归的估计值
相同 OLS的无偏性
多元回归分析：估计（2） Multiple Regression Analysis: Estimation
(2)
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
1
本章大纲
使用多元回归的动因 普通最小二乘法的操作和解释 OLS估计量的期望值 OLS估计量的方差 OLS的有效性：高斯－马尔科夫定理
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
多元回归分析
多元回归分析在经济学、社会学、心理学、医学等领域的实证研究中，多元回归分析是一种重要的统计方法。
它能够帮助研究者建立模型，估计各个变量的影响力，并对研究问题作出预测。
本文将介绍多元回归分析的概念、基本假设、模型建立、参数估计、模型诊断和解释结果等方面。
一、概念多元回归分析是一种用来研究因变量与多个自变量之间关系的统计方法。
在多元回归分析中，我们以因变量为被解释变量，以自变量为解释变量，建立一个多元线性回归模型，然后用样本数据估计各个系数，进而对总体进行推断。
通常，我们所研究的因变量与自变量之间是存在着某种联系的。
这种联系可以是线性关系，也可以是非线性关系。
我们可以通过多元回归模型来表达和解释完整的联系。
二、基本假设在进行多元回归分析时，我们需要基于以下三个基本假设：1.线性假设：多元回归模型中，因变量与自变量之间的关系是线性的。
2.独立假设：所有观测量之间都是相互独立的。
3.常态假设：模型的误差项服从正态分布。
三、模型建立建立一个多元回归模型通常有以下几个步骤：1.选择自变量：确定那些自变量对目标变量具有影响。
2.确定函数形式：使用线性函数或者非线性函数建立多元回归模型。
3.估计参数：使用样本数据来估计函数中的系数。
4.模型检验：验证模型是否可以拟合样本数据以及是否可以推广到总体。
五、参数估计在确定自变量和函数形式之后，我们需要使用已有数据来估计模型中的系数。
在多元线性回归中，一般采用最小二乘法对模型中的系数进行估计。
最小二乘法会尝试选择一组系数，使得用这组系数确定的模型与观测值之间的残差平方和最小。
残差平方和表示由于模型和观测值之间的差异而产生的差异的度量。
六、模型诊断模型的诊断是一个非常重要的步骤，用于检查多元回归模型的各种假设是否得到满足。
模型诊断的两个步骤：1.检查多元回归模型的基本假设是否得到满足。
这包括线性假设、独立假设和常态假设。
2.分析模型的残差以检查模型是否存在某种偏差。
如果存在偏差，可能会导致模型不准确，预测不可信。
多元回归分析
多元回归分析多元回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
该方法可以帮助研究人员理解不同自变量对因变量的相对重要性，并建立预测模型。
本文将介绍多元回归分析的基本原理和应用，并通过一个实例来说明其实际应用价值。
多元回归分析的基本原理是基于线性回归模型。
线性回归模型的基本形式是：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1至Xn表示自变量，β0至βn表示回归系数，ε表示误差项。
多元回归分析通过求解最小二乘法来估计回归系数，以找到最佳拟合线。
回归系数的估计结果可以反映不同自变量对因变量的影响。
多元回归分析的应用十分广泛，特别是在社会科学、经济学以及市场营销等领域。
例如，研究人员可以使用多元回归分析来探索广告投资对销售额的影响，或者研究不同因素对消费者购买行为的影响。
为了更好地理解多元回归分析的应用，我们以市场营销领域的一个案例为例。
假设某公司希望了解其产品销售额与广告投资、价格和竞争公司销售额之间的关系。
研究人员首先收集了一段时间内的数据，包括广告投资、产品价格和竞争公司销售额的信息。
在进行多元回归分析之前，研究人员需要对数据进行预处理，包括数据清洗、变量选择和变量转换等。
然后，他们可以根据以上模型构建一个方程，以评估广告投资、价格和竞争公司销售额对销售额的影响。
通过对数据进行多元回归分析，研究人员可以得到各自变量的回归系数。
这些系数可以告诉他们不同自变量对销售额的相对重要性。
例如，如果广告投资的回归系数较大，则说明广告投资对销售额的影响较大；反之，如果竞争公司销售额的回归系数较大，则说明竞争对销售额的影响较大。
通过多元回归分析的结果，研究人员可以得出一些结论，并提出相应的建议。
例如，如果广告投资对销售额的影响较大，公司可以考虑增加广告投资以提高销售额。
如果价格对销售额的影响较大，公司可以考虑调整产品价格以更好地满足消费者需求。
3计量经济学(多元回归分析估计)
拟合优度
• 拟合优度：样本方差中被OLS回归线所解释的部分。
n
R2
( yˆ
y)
(y
y)
i 1
n
i 1
n
(y
i 1
i
y)
i
i
2
n
uˆ
2
1
2
i 1
n
(y
i
i 1
n
( yˆ
i 1
i
y)
2
2
i
y )2
n
uˆ
i 1
2
i
• 拟合优度介于0和1之间。
– 无论模型中包含了多少解释变量，总有一些因
素无法被包括进来，所有这些因素就包括在了
误差项中。
– 线性是指回归方程是诸参数的线性函数。
– 参数的解释，例4：
log( salary ) 0 1 log sales 2 ceoten 3ceoten 2 u
•
1
是其他条件不变的情况下薪水对销售量的弹性。
ˆ
0
i 1
i 1
n
n
L
2 xim rˆij 0 xim rˆij 0, m j
ˆ m
i 1
i 1
n
n
x rˆ (ˆ
ij ij
i 1
i 1
0
ˆ1 xi1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ j 1 xi , j 1 ˆ k xik rˆij )rˆij
Ƹ 是样本自变量的函数，因此
rˆ y
rˆ u
i n
ˆ j
n
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但残差r 1 来自x1对x2… , xk的回归。
于是bˆ1 度量的是，在排除x2… , xk等变量
的影响之后， x1对y的影响。
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20
比较简单回归和多元回归估计值
比较简单回归模型 ~ yb~0b~1x1
和多元回归模型 y ˆbˆ0bˆ1x1bˆ2x2
• exper：在劳动力市场上的经历，用年衡量
bb b w a g e 0 1 e d u c 2 e x p e r u
在这个例子中，“在劳动力市场上的经历” 被明确地从误差项中提出。
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7
含有k个自变量的模型
一般的多元线性回归模型可以写为
bb b b y 0 1 x 1 2 x 2 k x k u
多元回归分析：估计（1） Multiple Regression Analysis:
Estimation(1)
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
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1
本章大纲
使用多元回归的动因 普通最小二乘法的操作和解释 估计量的期望值 OLS估计量的方差 OLS的有效性：高斯－马尔可夫定理
pcolGPA = 1.29 + 0.453hsGPA+0.0094ACT
一个解释变量的回归
pcolGPA = 2.4 +0.0271ACT
ACT的系数大三倍。
如果这两个回归都是对的，它们可以被认为是两个不
同实验的结果。
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16
“保持其它因素不变”的含义
多元回归分析的优势在于它使我们能在非 实验环境中去做自然科学家在受控实验中 所能做的事情：保持其它因素不变。
得到OLS回归式之后，对每次观测都得到 一个拟合值或预测值，对观测点i，其拟合
bb b b 值就是 y ˆi ˆ0 ˆ1 x i1 ˆ2 x i2 ˆk x ik
第i个观测的残差为：
uˆi yi yˆi
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13
OLS拟合值和残差的性质
残差项的均值为零
uˆi 0
每个自变量和OLS协残差之间的样本协方差 为零。
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2
课堂大纲
使用多元回归的动因 普通最小二乘法的操作和解释 假定MLR.1 – MLR.4 OLS估计值的无偏性
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3
动因：优点
经验研究中使用简单回归模型的主要缺陷是：
它很难得到在其它条件不变的情况下，x对y
的影响。
多元回归分析更适合于其它条件不变情况下
的分析，因为多元回归分析允许我们明确地 控制其它许多也同时影响因变量的因素。
（1）对从x2到xk的OLS系数都为零
（2） x1与x2… , xk中的每一个都不相关。
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25
拟合优度
每一个观察值可被视为由解释部分和未解 释部分构成：
定义：
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
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17
对“排除其它变量影响”的解释
考虑回归线
y ˆi bˆ0bˆ1x1bˆ2x2
b ˆ 1 的一种表达式为：
b ˆ1( in 1rˆi1yi)/ in 1rˆi12
rˆi1 是由以下回归得出的残差：
x1ˆ0ˆ2x2rˆi1
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18
“排除其它变量影响”（一般情况）
在一个含有k个解释变量的一般模型中，bˆ1 仍然可以写成
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9
类似于简单回归模型
b0仍是截距 b1到bk都称为斜率参数
u仍是误差项（或干扰项） 仍需作零条件期望的假设，所以现在假设
E(u|x1,x2, …,xk) = 0 仍然最小化残差平方和，所以得到k+1个一阶条件
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10
如何得到OLS估计值
普通最小二乘法选择能最小化残差平 方和的估计值，
u ˆix k 0u ˆiy ˆi 0
点 (x1,x2, ,xk, y) 总位于OLS回归线上。
bb b b y iˆ0 ˆ1 x 1 ˆ2 x 2 ˆkx k
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14
对多元回归的解释
bb b b 由 y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2 x 2 . ..ˆkx k
b b b 可知 y ˆ ˆ1 x 1 ˆ2 x 2 . . .ˆk x k
n
2
b b b b min yiˆ0ˆ1xi1ˆ2xi2 ˆkxi k
i 1
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11
如何得到OLS估计值
k+1个一阶条件：
n
b b b b yiˆ0ˆ1xi1ˆ2xi2 ˆkxik0
bb b b in 1 x i1y iˆ0ˆ1 x i1ˆ2x i2 ˆkx ik 0
i 1
一般来说，b~1bˆ1 ，除非：
bˆ2 0
或 样本中x1和x2不相关。
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21
比较简单回归和多元回归估计值
这是因为存在一个简单的关系
b~1bˆ1bˆ2~1
这 系里 数， 。~1 是x2对x1的简单回归得到的斜率
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22
简单回归和多元回归估计值的比较
在k个自变量的情况下，简单回归和多元回 归只有在以下条件下才能得到对x1相同的估 计
多元回归模型能容纳很多可能相关的解释变 量，所以在简单回归分析可能误导的情况下， 可以寄希望于多元回归模型来推断因果关系。
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4
动因：优点
可以解释更多的因变量变动。
它可以表现更一般的函数形式。
多元回归模型是实证分析中最广泛使用的 工具。
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6
动因：一个例子
考虑一个简单版本的解释教育对小时工资影 响的工资方程。
所以，保持 x2,...,xk 不变意味着：
yˆ bˆ1x1
即，每一个βj都有一个偏效应(partial effect)，或其他情况不变(ceteris paribus) 的解释。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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15
例子：大学GPA的决定因素
两个解释变量的回归 pcolGPA:大学成绩预测值 hsGPA : 高中成绩绩 ACT :成绩测验分数(achievement test score)
bb b b n x i2y iˆ0ˆ1 x i1ˆ2x i2 ˆkx ik 0
i 1
……
bb b b n x iky iˆ0ˆ1 x i1ˆ2x i2 ˆkx ik 0
i 1
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12
如何得到OLS估计值
在估计之后，我们得到OLS回归线，或称 为样本回归方程（SRF）
b b b y ˆiˆ0ˆ1xi1.. .ˆkxik