2014高考数学一轮复习课件6.8数学归纳法及其应用
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•1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看 项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边 各有多少项,初始值n0是多少. •2.由n=k时命题成立,推出n=k+1时等式 成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确 变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合 理变形,正确写出证明过程.
•求证:(n+1)(n+2)·„·(n+n)= 2n· 3· „· 1· 5· (2n-1)(n∈N*). •【证明】 (1)当n=1时,左边=2,右边= 21·1=2, •∴n=1时,等式成立. •(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立, •即(k+1)(k+2)·„·(k+k)=2k·1· 5· (2k 3· „· -1). •当n=k+1时,左边=(k+2)(k+ 3)·„·2k·(2k+1)(2k+2)
k+(k+1)+1 2(k+1) < = =2 k+1, k+1 k+1 ∴当n=k+1时,不等式成立, 根据(1),(2)知不等式对n∈N*都成立.
an 1 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn= + -1, 2 an 且an>0,n∈N*. (1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.
Fra Baidu bibliotek
(2)①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立. ②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即ak= 2k+1- 2k-1. ak+ 1 1 ak 1 由ak+1=Sk+ 1-Sk= + - - , 2 ak+ 1 2 ak 将ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得
2 ak+ 1+2 2k+1ak+1-2=0,
1 (2)若0<c≤ ,要证{xn}是递增数列. 4 即xn+1>xn,也就是证明xn< c········ 6分 1 下面用数学归纳法证明当0<c≤ 时,xn< c对任意n≥1 4 成立. 1 (ⅰ)当n=1时,x1=0< c≤ ,结论成立.····7分 2 (ⅱ)假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即xk< c. 1 因为函数f(x)=-x +x+c在区间(-∞, ]内单调递 2 增,
解得:ak+1= 2k+3- 2k+1(an>0). 即当n=k+1时,通项公式也成立. 由①和②,可知对所有n∈N*,an= 都成立. 2n+1 - 2n-1
•1.猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般
的过程,注意两点:(1)准确计算a1,a2,a3
发现规律(必要时可多计算几项);(2)证明ak+
1 1 1 1 C.1+ + + + 2 3 4 5
1 1 1 1 【解析】 f(1)=1+ + + + ,故选C. 2 3 4 5
•【答案】 C
1 1 1 1 3.(2013· 东莞模拟)设f(n)=1+ + + +„+ 2 3 4 3n-1 (n∈N*),则f(n+1)-f(n)=________.
•2.数学归纳法的框图表示
•1.数学归纳法的第一步n取第一个值 n0(n∈N*)是否一定为1呢? •【提示】 不一定.n0的取值应取命题成立 的第1个值,不一定是1.
•2.数学归纳法的两个步骤的作用分别是什 么? •【提示】 数学归纳法中两个步骤体现了递 推思想,第一步是递推基础,也叫归纳奠基, 第二步是递推的依据,也叫归纳递推.两者 缺一不可.另外,在第二步中证明n=k+1时 命题成立,必须利用归纳假设,否则就不是 数学归纳法.
1.(人教A版教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n 1 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验n等于( ) 2 A.1 B.2 C.3 D.4
•【解析】 三角形是边数最少的凸多边形, 故第一步应检验n=3. •【答案】 C
2.若f(n)=1+ ( ) A.1
1 1 1 + +„+ (n∈N*),则f(1)为 2 3 6n-1 1 B. 5 D.非以上答案
1 1 1 证明不等式1+ + +„+ <2 n(n∈N*). 2 3 n
【证明】 (1)当n=1时,左边=1,右边=2, 左边<右边,命题成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即 1 1 1 1+ + +„+ <2 k, 2 3 k 1 1 1 1 则当n=k+1时,左边=1+ + +„+ + 2 3 k k+1 2 k· k+1+1 1 <2 k+ = k+1 k+1
(k+1) 2 (2k+1)(2k+3) = k(k+1) 2(2k+1) + (k+1) 2 (2k+1)(2k+3) =
k(k+1)(2k+3)+2(k+1) 2 2(2k+1)(2k+3) (k+1)(2k2+5k+2) (k+1)(k+2) = = , 2(2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 所以当n=k+1时,命题成立. 由①②可得对任意n∈N*,等式成立.
规范解答之十 数学归纳法在数列问题中的应用 (12分)(2012· 安徽高考改编)数列{xn}满足x1=0,xn+1 2 =-xn+xn+c(n∈N*). (1)证明:{xn}是递减数列的充要条件是c<0; 1 (2)若0<c≤ ,证明数列{xn}是递增数列. 4
【规范解答】 (1)充分性:若c<0,由于xn+1=-x 2 + n xn+c≤xn+c<xn, ∴数列{xn}是递减数列.············2分 必要性:若{xn}是递减数列,则x2<x1,且x1=0. 又x2=-x2+x1+c=c,∴c<0 1 故{xn}是递减数列的的充要条件是c<0.·····4分
∴当n=k+1时,不等式成立. 1 1 1 n 根据(1)(2)可知,对n∈N*,1+ + +„+ n > . 2 3 2 -1 2
•1.从特殊发现一般性规律,特别是左边最 后一项分母的变化.在由n=k推出n=k+1时 命题成立时,关键抓住两点:(1)项数与分母 的变化;(2)将分母放大,从而向n=k+1时 的目标靠拢. •2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n= k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归 纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析 法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不 等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得
•【审题视点】 根据求出的前n项,抽象出 一般性的规律,然后利用数学归纳法证明.
【尝试解答】 (1)当n=1时, a1 1 2 由已知得a1= + -1,a1+2a1-2=0. 2 a1 ∴a1= 3-1(a1>0). a2 1 当n=2时,由已知得a1+a2= + -1, 2 a2 将a1= 3-1代入并整理得a2+2 3a2-2=0. 2 ∴a2= 5- 3(a2>0). 同理可得a3= 7- 5. 猜想an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)=1+ + + +„+ , 2 3 4 3n-1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n+1)=1+ + +„+ + + + . 2 3 3n-1 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 ∴f(n+1)-f(n)= + + . 3n 3n+1 3n+2
1 1 1 【答案】 + + 3n 3n+1 3n+2
1时,ak+1的求解过程与a2、a3的求解过程相
似,注意体会特殊与一般性的辨证关系.
•2.“归纳—猜想—证明”的模式,是不完全
归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式,
1 3 已知函数f(x)= x -x,数列{an}满足条件:a1≥1,an 3 1 1 1 1 + + +„+ 与 +1≥f′(an+1),试比较 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 1的大小,并说明理由.
•运用数学归纳法应注意: •(1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根 据题目要求选择合适的起始值. •(2)由n=k时命题成立,证明n=k+1时命题 成立的过程中,一定要归纳假设,否则就不 是数学归纳法.
•从近两年的高考试题来看,用数学归纳法证 明与正整数有关的命题以及与数列有关的命 题是高考的热点,题型为解答题,主要考查 用数学归纳法证明数学命题的能力,分析问 题、解决问题的能力,难度为中、高档.在 求解时,应注意答题步骤的规范化.
•【答案】 2k
用数学归纳法证明: n(n+1) 12 22 n2 + +„+ = 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) (n∈N*).
•【审题视点】 (1)第一步验证n=1时等式成 立. •(2)第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立,证 明n=k+1时,等式成立.
12 1 【尝试解答】 ①当n=1时,左边= = , 1·3 3 1×(1+1) 1 右边= = ,左边=右边,等式成立. 2×(2×1+1) 3 ②假设n=k(k≥1)时,等式成立. 12 22 k2 即 + +„+ = 1·3 3·5 (2k-1)(2k+1) k(k+1) , 2(2k+1) 当n=k+1时,左边 12 22 k2 = + +„+ + 1·3 3·5 (2k-1)(2k+1)
•=2·2k·1· 5· (2k-1)·(2k+1) 3· „·
•=2k+1·1· 5· (2k-1)(2k+1). 3· „· •这就是说当n=k+1时,等式成立. •根据(1)、(2)知,对n∈N*,原等式成立.
1 1 1 1 1 由下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +„ 2 2 3 2 3 1 3 1 1 1 + > ,1+ + +„+ >2,„,你能得到一个怎样的 7 2 2 3 15 一般不等式?并加以证明.
1 1 1 1 1 1 ∴ ≤ n,∴ + + +„+ 1+an 2 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 1 1 1 1 1n ≤ + 2+ 3+„+ n=1-( ) <1. 2 2 2 2 2
•数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主 要用于解决与正整数有关的数学命题.证明 时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2) 的基础,步骤(2)是递推的依据.
1 1 1 4.用数学归纳法证明:“1+ + +„+ n <n(n> 2 3 2 -1 1)”,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应 增加的项的项数是________. 【解析】 由n=k(k>1)到n=k+1时,不等式左端增 1 1 1 加的项为 k + k +„+ k+ 1 共增加(2k+1-1)-(2k-1) 2 2 +1 2 -1 =2k项.
•第八节 数学归纳法及其应用
•1.数学归纳法 •证明一个与正整数n有关的命题,可按下列 步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) •(1)(归纳奠基)证明当n取 ______________________时命题成立; •(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题 n=k+1 成立,证明当____________时命题成立. •只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立.
【审题视点】 观察前4个式子,左边的项数及分母的 1 1 1 n 变化,不难发现一般的不等式为1+ + +„+ n > 2 3 2 -1 2 (n∈N*),并用数学归纳法证明.
1 1 1 n 【尝试解答】 一般结论:1+ + +„+ n > 2 3 2 -1 2 (n∈N*),证明如下: (1)当n=1时,由题设条件知命题成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确, 1 1 1 k 即1+ + +„+ k > . 2 3 2 -1 2 1 1 1 1 1 当n=k+1时,1+ + +„+ k + k+„+ k+1 2 3 2 -1 2 2 -1 k 1 1 1 > + k+ k +„+ k+ 1 2 2 2 +1 2 -1
•【解】 ∵f′(x)=x2-1,且an+1≥f′(an+1), •∴an+1≥(an+1)2-1, •∵函数g(x)=(x+1)2-1在[1,+∞)上单调递 增. •于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
•进而a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1, •由此猜想:an≥2n-1. •下面用数学归纳法证明这个猜想: •①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立; •②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即 ak≥2k-1. •由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调 递增知, •ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1, •即n=k+1时,结论也成立. •由①②知,对任意n∈N*,都有a ≥2n-1.即