两通道滤波器组和离散序列的小波变换
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计王飞;邓志清【摘要】分析了二通道采样系统的基本原理,对其中的信号流程进行了数学推导,研究了基于Daubechies小波的二通道采样系统,对其中小波分解和重构与滤波器组的关系进行了数学分析,用MATLAB仿真验证了采用db4小波对一个超宽带冲激信号进行二通道采样的处理结果。
%This paper analyzes the basic principle of two-channel data sampling system,derives signal processing flow based on mathematics,studies the two-channel sampling system based on Daubechies wavelet,performs the mathematic analysis to the relationship between filter groups and wavelet decomposition and reconstruction,validates the processing result of using db4 wavelet to perform the two-channel sampling for an ultra-wideband impulse signal through the simulation based on MATLAB.【期刊名称】《舰船电子对抗》【年(卷),期】2012(035)001【总页数】4页(P109-112)【关键词】小波变换;数据采集;滤波器组【作者】王飞;邓志清【作者单位】船舶重工集团公司723所,扬州225001;镇江舰艇学院,镇江212001【正文语种】中文【中图分类】TN971.10 引言在处理超宽带信号时，信号带宽过大，为降低对A／D采样的要求，可以考虑将信号分解为二通道或者多通道情况进行分别采样，从而实现降速采样的目的。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种基于小波函数的信号分析方法。
与傅里叶变换等连续信号变换方法不同，离散小波变换是针对离散信号进行处理的。
离散小波变换的主要原理是将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，通过分析小波系数的能量和频谱分布，可以对信号的特征进行提取和分析。
离散小波变换可以将信号的时域和频域信息同时考虑，具有较好的时频局部化特性，可用于对信号进行降噪、特征提取和压缩等处理。
离散小波变换的步骤主要包括分解和重构两个过程。
在分解过程中，首先将信号通过滤波器组进行低通滤波和高通滤波，分别得到近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行二次抽取，继续进行低通滤波和高通滤波，得到更精细的近似系数和细节系数。
如此循环重复，直到达到设定的尺度或结束条件。
在重构过程中，将各个尺度上的近似系数和细节系数进行逆滤波与合成，得到原始信号的近似重构。
离散小波变换的优点在于：一方面，相比于傅里叶变换等传统方法，离散小波变换能够更好地捕捉信号的非平稳和局部特征，适用于对包含非平稳特性的信号进行处理；另一方面，离散小波变换能够提供多分辨率分析，即对信号的不同频率成分进行分解和表示，能够更好地揭示信号的时频特征。
离散小波变换的应用非常广泛。
例如，离散小波变换可用于信号的去噪处理。
由于小波变换具有良好的时频局部化特性，可以将信号在时频域进行分解，对不同尺度和频率下的小波系数进行分析和修复，从而实现信号的去噪效果。
此外，离散小波变换还可应用于图像处理、语音信号处理、生物医学信号处理等领域。
在实际应用中，离散小波变换通常通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）方法来实现计算的高效性。
FWT采用迭代的方式将小波滤波和下采样操作合并，从而减小了计算量，提高了计算效率。
总之，离散小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，具有较好的时频局部化特性和多分辨率特性，广泛应用于信号和图像处理等领域。
小波分析实验：二维离散小波变换Mallat快速算法
小波分析实验：实验2 二维离散小波变换(Mallat快速算法)实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
实验工具：计算机，matlab6.5附录：（1）二维小波分解函数%二维小波分解函数function Y=mallatdec2(X,wname,level)%输入:X 载入的二维图像像数值;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为低通和高通滤波器X=double(X);hh=size(X,2);while t<=level%先进行行小波变换for row=1:hhY(row,1:hh)=mdec1(X(row,1:hh),h,g) ;end%再进行列小波变换for col=1:hhtemp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);Y(1:hh,col)=temp';endt=t+1;hh=hh/2;X=Y;end%内部子函数，对一行(row)矢量进行一次小波变换，利用fft实现function y=mdec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波分解后的系数lenx=size(x,2);lenh=size(h,2);rh=h(end:-1:1);rrh=[zeros(1,(lenx-lenh)),rh];rrh=circshift(rrh',1)';rg=g(end:-1:1);rrg=[zeros(1,(lenx-lenh)),rg];rrg=circshift(rrg',1)';r1=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrh,lenx)),1); %use para 1r2=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrg,lenx)),1);y=[r1,r2];（2）二维小波重构函数%二维小波重构函数function Y=mallatrec2(X,wname,level)%输入:X 载入的小波系数矩阵;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 重构图像矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器hz=size(X,2);h1=hz/(2^(level-1));while h1<=hz% 对列变换for col=1:h1temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';X(1:h1,col)=temp;end%再对行变换for row=1:h1temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);X(row,1:h1)=temp;endh1=h1*2;endY=X;%内部子函数，对一行小波系数进行重构function y=mrec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波重构后值lenx=size(x,2);r3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0); %内插零use para 0r4=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0); %use para 0y=ifft(fft(r3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(r4,lenx).*fft(g,lenx));（3）测试函数（主函数）%测试函数（主函数）clc;clear;X=imread('E:\Libin的文档\Course\Course_wavelet\实验2要求\exp2\LENA.bmp');%路径X=double(X);A = mallatdec2(X,'sym2',3);image(abs(A));colormap(gray(255));title('多尺度分解图像');Y= mallatrec2(A,'sym2',3);Y=real(Y);figure(2);subplot(1,2,1);image(X);colormap(gray(255));title('原始图像');subplot(1,2,2);image(Y);colormap(gray(255));title('重构图像');csize=size(X);sr=csize(1);sc=csize(2);mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)小波分析实验：实验1 连续小波变换实验目的：在理解连续小波变换原理的基础上，通过编程实现对一维信号进行连续小波变换，（实验中采用的是墨西哥帽小波），从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种常用的信号处理方法，可以将信号在不同尺度上进行分解和重构。
它利用一组基函数，通过对信号进行多尺度分解，提取出信号中的不同频率成分，从而实现信号的特征提取和压缩。
离散小波变换的核心思想是将信号分解为低频和高频部分。
低频部分包含信号中的趋势信息，而高频部分则包含信号中的细节信息。
通过不断进行分解，可以得到不同尺度上的低频和高频部分，从而实现信号的多尺度表示。
离散小波变换具有多尺度、局部性和良好的时频局部性等特点。
它可以有效地处理非平稳信号，对于图像压缩、噪声去除、边缘检测等应用具有重要意义。
离散小波变换的算法基于滤波和下采样操作。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频部分。
然后，低频部分经过下采样操作，得到更低尺度上的低频部分。
这个过程可以迭代地进行，直到达到所需的尺度。
离散小波变换具有很多变种，如离散小波包变换、二维离散小波变换等。
它们在信号处理领域广泛应用，具有很高的实用价值。
总结一下，离散小波变换是一种有效的信号处理方法，可以实现信号的多尺度分解和重构。
它具有多种应用，能够处理非平稳信号并
提取出信号的特征信息。
离散小波变换在图像处理、音频处理、视频压缩等领域有广泛的应用前景。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
小波变换
小波变换1、小波函数的类型及特点目前有大量的小波函数被提出，我们大致可以把它分为三类。
第一类是所谓地“经典小波”，在M ATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。
这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是D aubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，D aubechies构造的双正交小波。
1.1 经典小波1.1.1 Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：ψt= 1 0≤t<1/2;−1 1/2≤t<1;0 其他;Haar小波有以下优点：（1）Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；（2）Haar小波属于正交小波；（3）Haar波是对称的。
我们知道，离统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。
（4）Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；Haar小波仅取＋1和－1，因此计算简单。
但Haar小波是不连续小波，因此ψ（Ω）=0在Ω=0处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际信号处理应用中受到了限制。
但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。
1.1.2 Morlet小波Morlet小波定义为：ψt=e−t2/2e jΩt其傅里叶变换为ψΩ=2πe−(Ω−Ω0)2/2它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。
该小波不是紧支撑的，增大Ω的值可以使小波在频域和时域上都具有很好的集中。
Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。
但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。
Morlet的时域波形和频域波形如下图：1.1.3 Mexican hat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。
它定义为:ψt=c1−t2e t2/21/4，其傅里叶变换为式中c=3ψΩ=2πcΩ2e−Ω2/2该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计
（ ． ｅ７ ３ Ｉ ｓ ｔ ｔ ｏ Ｓ Ｃ。 ａ ｇ ｈ ｕ２ ５ ０ ， ｈ ｎ ；． ｈ ￣ｉ ｇ Ｎ ｖ ｌ ｈｐ ｏ ｌ ｅ Ｚ ｅ ｊ ｎ １ ０ １ Ｃ ｉａ １ Ｔｈ ２ ｎ ｔ ｕｅ ｆ Ｉ Ｙ ｎ ｚ ｏ ２ ０ １ Ｃ ｉａ ２ Ｚ ｅ ａ ａ ａ Ｓ ｉｓＣ ｌ ｇ ， ｈ ｎｉ ｇ２ ２ ０ ， ｈｎ ） ｉ Ｃ ｎ ｅ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｉ ｐ ｒ ａ ａ ｙ ｅ ｈｅ ｂａ ｉ ｉ ｃｐｌ ｆｔ — ｈａ ｅ ａ ａ ｓ ｍ ｐｌ ｙ ｔ ｍ ， ｒｖ ｓ ｓｇ— ｓｒ ｃ ： ｓｐａ ｅ ｎ ｌ ｚ ｓ ｔ ｓｃ ｐｒｎ ｉ ｅ ｏ ｗｏ ｃ ｎｎ ｌｄ ｔ ａ ｉ ｓ ｓｅ ｎｇ ｄｅ ｉ ｅ ｉ ｎａ ｏ ｅ ｓｎｇ ｆｏｗ ｓ ｄ ｏ ｔ ｍａ ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ ｈｅ ｔ — ｈ ｎｎｅ ａ ｐ ｉ ｙ ｔ ｍ ａ ｅ ｎ Ｄａ ｌｐｒ ｃ ｓ ｉ ｌ ｂａ ｅ ｎ ｍａ ｈｅ ｔｃ ， ｔ ｄｉｓ ｔ ＷＯ ｃ ａ ｌｓ ｍ ｌｎｇ ｓ ｓ ｅ ｂ ｓ ｄ ｏ ｕ—
０
言
在处 理超 宽带 信号 时 ， 号 带宽 过大 ， 降低 对 信 为
Ａ／ Ｄ采样 的要 求 ， 以考虑 将 信 号 分解 为二 通 道 或 可 者 多通 道情 况进 行 分 别 采 样 ， 而 实 现 降 速 采 样 的 从 目的 。小 波变 换 的特点 就是 将信 号在 不 同尺 度上 进 行 分解 ， 过小 波 的 带通 滤 波 特 性 实 现 对 信 号 频 带 通 的分 割 。采用小 波 变换 理论 对信 号进 行逐 层分 解 和 重构 ， 逐步 降低 信号 的频 率分 析 区间 ， 为构 造 多通 道 采 样 系统提 供 了一种 思路 。
离散小波变换公式原理
离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。
它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。
(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。
(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。
这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。
一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。
滤波器组的选择决定了小波变换的性质。
常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。
二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。
2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。
3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。
中科大小波变换课件——小波变换与滤波器组
1 1 H 1 z G1 z z H 1 z G1 z z 2 2 1 H 0 z G0 z H 1 z G1 z z 2 1 H 0 z G0 z H 1 z G1 z z 2
n
G1 z z l H 0 z , 即g1 n 1 h0 n l
n
• •
•
这意味着 g 0 , h1 间及 g1 , h0 间满足下述关系。 ~ n, g ~ n 分别为 令 g g1 n, g 0 n 的首尾倒置， 1 0 则有 当 l 为奇数时： ~ g 0 n 2i , h1 n 2 j 0 ~ n 2i , h n 2 j 0 g
2.为使成为的延迟，纯延迟项应为纯延迟，即：
H 0 z G0 z H1 z G1 z cz
k
• •
1.抗混迭条件。 为使混迭项为零，常令分析滤波器与综合滤 波器间满足下述交叉关系：
G0 z z l H 1 z , 即g 0 n 1 h1 n l
1 0
• 当l
~ h g • 即 l 为奇数时， 与 的偶数移位交叉正交； ~ g h 当 l 为偶数时， 与 的奇数移位交叉正交， 称双正交关系。
~ n 2i 1, h n 2 j 0 g 1 为偶数时： 0 ~ n 2i 1, h n 2 j 0 g 1 0
小波变换与滤波器组
4.1 双通道多采样率滤波器组及其理想 重建条件
• • 一. 两个基本关系 1．
•
2．易位
•
因此得到下列等价关系
•
二. 双通道多采样率系统
Gi z 为合成滤波器。 • 图中H i z 为分析滤波器，
离散小波变换原理
离散小波变换原理
离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）是指在离散时间或空间域上对信号或图像进行的小波变换。
它将信号或图像分解成不同尺度的分量（包括低频分量和高频分量），可用于信号和图像的分析和处理。
离散小波变换可以将信号或图像分解成不同尺度的分量，其中低频分量表示信号或图像的平均振幅，而高频分量表示信号或图像的细节和突变。
离散小波变换的基本原理是，应用一组低通滤波器和高通滤波器覆盖一段时间或空间的图像或信号，分别从低频和高频信号中提取滤波器范围内的信号分量。
离散小波变换的基本步骤：
1）选择一组滤波器：一组小波分解滤波器（具有高斯小波和交错小波两种）和一组小波重构滤波器（具有巴特沃斯小波和相关小波两种）。
2）应用高斯小波和交错小波滤波器将源图像进行小波分解，这时生成低频和高频两个图像分量。
小波分解可以反复进行，每次分解后会得到一个新的高频图像。
3）使用巴特沃斯小波和相关小波滤波器对低频和高频分量进行小波重构，生成新的低频和高频图像。
4）将原始图像与新的低频和高频图像进行比较，计算出两者之间的差值。
若差值较小，则说明小波变换的效果较好。
离散小波变换的优点：
1）离散小波变换可以分解并重构信号或图像，提取出信号或图
像中包含的振幅和频率信息，方便信号或图像处理；
2）离散小波变换的优势在于，它可以提取出信号或图像中的低频和高频分量，可以更准确地分析信号或图像的低频和高频组成。
因此，离散小波变换可以对信号或图像进行精确的分析和处理。
3）离散小波变换的另一个优势在于，它可以有效地削减信号或图像中的噪声，使信号或图像看起来更清晰、有序。
离散小波变换算法
离散小波变换算法离散小波变换(DWT)是一种基于多尺度分析的信号处理技术，广泛应用于信号处理、图像处理、语音处理等领域。
在离散小波变换中，原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行下采样和变换，得到不同尺度上的频域特征。
本文将介绍离散小波变换算法的基本原理、变换过程和应用。
离散小波变换的基本原理是将一维信号分解成一系列具有不同尺度的小波基函数，并利用滤波和下采样对信号进行多尺度分解，将原始信号分解成多个子带。
离散小波变换的核心是小波基函数的构建。
通常使用Daubechies小波、Coiflet小波、Symlets小波等小波基函数。
以Daubechies小波为例，其基函数用于离散小波变换的公式为：$$y_{j,k} = \sum_{n=0}^{N-1}h_n\frac{1}{\sqrt{2^j}}x_{j-1,2k-n} + \sum_{n=0}^{N-1}g_n\frac{1}{\sqrt{2^j}}x_{j-1,2k-n} $$其中，$y_{j,k}$是第$j$层小波变换中第$k$个系数，$h_n$和$g_n$是Daubechies小波的短滤波系数。
$x_{j-1,2k-n}$是第$j-1$层小波变换中第$k$个系数附近的数据，$j=1,2,...,J$，$k=0,1,...,2^j-1$。
在离散小波变换的过程中，信号通过一系列滤波器和下采样器得到不同尺度上的小波系数。
通过重复进行这些操作，可以得到信号在多个尺度上的频率分量。
离散小波变换的变换过程包括分解和重构两个步骤。
分解过程将原始信号分解成多个子带，而重构过程将多个子带重新组合成原始信号。
在分解过程中，原始信号先通过一组低通滤波器进行滤波，然后通过一个下采样器下采样。
下采样相当于去掉了信号中一半的数据点。
随后，信号通过一组高通滤波器进行滤波，并同样通过一个下采样器下采样。
这样，原始信号就被分解成多个尺度的频域分量。
在重构过程中，子带通过插值和滤波器进行重构，最终得到原始信号。
小波变换的数学模型及其实现方法
小波变换的数学模型及其实现方法引言：小波变换作为一种信号处理方法，在多个领域中得到了广泛的应用。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并提供了一种有效的方式来分析信号的时频特性。
本文将介绍小波变换的数学模型以及实现方法。
一、小波变换的数学模型小波变换是一种基于时间频率局部性的信号分析方法。
它使用一组基函数（小波函数）来表示信号，并通过对信号进行连续或离散的变换来获取信号的时频信息。
1.1 连续小波变换（CWT）连续小波变换使用连续的小波函数对信号进行变换。
其数学模型可以表示为：CWT(f)(a,b) = ∫f(t)ψ((t-b)/a)dt其中，f(t)为原始信号，ψ为小波函数，a和b分别表示尺度和平移参数。
通过改变尺度和平移参数，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
1.2 离散小波变换（DWT）离散小波变换是连续小波变换的离散化形式。
它使用离散的小波函数对信号进行变换，并通过多级分解和重构来获取信号的时频信息。
其数学模型可以表示为：DWT(x)(n,k) = (1/√N) * ∑x(m)h(n-2m) * W(k-m)其中，x(n)为原始信号，h(n)为低通滤波器，W(k)为小波函数，N为信号的长度。
通过多级分解，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
二、小波变换的实现方法小波变换的实现可以通过不同的算法和工具来完成。
以下将介绍两种常用的实现方法。
2.1 基于快速傅里叶变换的实现方法通过将小波函数进行傅里叶变换，可以将小波变换转化为快速傅里叶变换（FFT）的计算问题。
这种方法在计算效率上具有优势，适用于连续小波变换和离散小波变换。
2.2 基于滤波器组的实现方法通过设计一组滤波器，可以实现小波变换的离散化计算。
这种方法适用于离散小波变换，通过多级分解和重构的方式来获取小波变换系数。
结论：小波变换作为一种信号处理方法，具有较好的时频局部性，能够有效地分析信号的时频特性。
本文介绍了小波变换的数学模型及其实现方法，包括连续小波变换和离散小波变换。
小波变换及分析原理知识
- 252 -小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：2ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。
对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数(,)()x b a b x a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。
其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。
对信号()f x 的连续小波变换则定义为,(,)()(),()f a b Rx b W a b f x dx f x x a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭其逆变换（回复信号或重构信号）为*1()(,)fR R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞---∞=-⎰其逆变换（恢复信号或重构信号）为(2,2)()(2,2)()j j j j fk j k f t C Wk x ψ+∞+∞=-∞=-∞=∑∑其中，C 是一个与信号无关的常数。
显然小波函数具有多样性。
在MA TLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。
实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。
- 253 -1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分辨率为2N-的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。
基于TQWT的癫痫脑电信号的识别
基于TQWT的癫痫脑电信号的识别贺王鹏;杨琳;王芳;黄绍平【摘要】针对癫痫脑电(EEG)信号的识别问题,提出了一种基于可调品质因子小波变换(TQWT)的脑电特征提取方法.首先,利用TQWT将EEG信号进行分解,得到各个小波子波带;然后,根据癫痫异常波对应的频率范围,合理的选择小波子波带进行重构,提取有效值和峰峰值构成特征分量;最后,采用支持向量机进行分类.将所提出方法应用于癫痫脑电信号的识别中,以德国伯恩大学癫痫研究中心采集的典型脑电数据进行验证.实验分析结果表明,所提出的特征提取方法对正常和癫痫发作期EEG信号的分类准确率可达98%.%For the problem of identifying and classifying epileptic EEG signals , we proposed an effective technique based on the tunable Q-factor wavelet transform ( TQWT) .Firstly, the TQWT was employed to decompose EEG signal into several wavelet subba-nds.Then, according to the frequency band of epileptic abnormal waves , the EEG signal was reconstructed adaptively via correspond-ing TQWT wavelet subbands .The root mean square value and peak -to-peak value indicators were calculated as feature vector .Fi-nally, the support vector machine (SVM) was introduced for classification.Moreover, the proposed method was applied to analyze real EEG data collected from the Epilepsy Research Center , University of Bonn, Germany.The results demonstrate that the proposed tech-nique can effectively detect epilepsy disease from EEG signals with good classification accuracy of 98%.【期刊名称】《生物医学工程研究》【年(卷),期】2017(036)004【总页数】5页(P346-350)【关键词】癫痫脑电;可调品质因子小波变换;支持向量机;特征提取;分类【作者】贺王鹏;杨琳;王芳;黄绍平【作者单位】西安电子科技大学空间科学与技术学院,西安 710071;西安交通大学第二附属医院,西安 710004;西安交通大学第二附属医院,西安 710004;西安交通大学第二附属医院,西安 710004【正文语种】中文【中图分类】R318;O121.8;G5581 引言癫痫是大脑神经元突发性异常放电，导致短暂的大脑功能障碍的一种慢性疾病，其反复发作，严重影响了患者的日常生活和工作［1］。
离散小波变换原理
离散小波变换原理介绍离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而实现对信号的分析和处理。
本文将深入探讨离散小波变换的原理和应用。
离散小波变换的基本原理离散小波变换的基本原理是利用小波函数对信号进行分解和重构。
小波函数是一种能够在时间和频率上都有良好局部化特性的函数。
通过对信号进行多级的分解和重构，可以获得不同频率范围的子信号，从而实现对信号的频域分析。
离散小波变换的过程可以概括为以下几个步骤： 1. 将原始信号分解成低频和高频部分，其中低频部分包含了信号的整体趋势，高频部分包含了信号的细节信息。
2. 对每个分解后的低频信号进行进一步的分解，重复步骤1，直到达到设定的分解级数。
3. 根据需要，可以选择保留特定的低频和高频系数，从而实现对信号的压缩和去噪。
离散小波变换的具体实现离散小波变换可以通过滤波器组实现。
在每一级的分解中，需要使用一对低通滤波器和高通滤波器，分别对低频和高频信号进行滤波和下采样。
具体步骤如下： 1. 设定好分解级数和滤波器组，常用的包括Daubechies、Symlet、Coiflet等。
2. 将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频的分量。
3. 对低频分量进行下采样，得到一级分解的低频信号。
4. 重复步骤2和3，对每一级分解的低频信号进行进一步的分解，直到达到设定的分解级数。
5. 根据需要，可以选择保留特定的低频和高频系数，从而实现对信号的压缩和去噪。
6. 对保留的低频和高频系数进行逆变换，重构出原始信号。
离散小波变换的应用离散小波变换在信号处理领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 信号压缩离散小波变换可以实现对信号的压缩，通过选择保留的低频和高频系数的数量，可以控制压缩比例。
由于小波函数的局部化特性，相对于傅里叶变换等方法，离散小波变换可以更好地保留信号的细节信息。
小波变换基本方法
小波变换基本方法小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同频率的组成部分。
它有很多基本方法，以下是其中几种常用的方法。
1.离散小波变换（DWT）：离散小波变换是小波变换最常用的方法之一、它将信号分解为不同的频带。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，并下采样。
然后，重复这个过程，直到得到所需的频带数。
这样就得到了信号在不同频带上的分解系数。
这种方法的好处是可以高效地处理长时间序列信号。
2.连续小波变换（CWT）：连续小波变换是在时间和尺度两个域上进行分析的方法。
它使用小波函数和尺度来描述信号的局部变化。
CWT得到的结果是连续的，可以提供非常详细的时频信息。
然而，CWT的计算复杂度较高，不适用于处理长时间序列信号。
3.基于小波包的变换：小波包变换是一种对信号进行更细粒度分解的方法。
它通过在每个频带上进行进一步的分解，得到更详细的时频信息。
小波包变换比DWT提供更多的频带选择，因此可以更准确地描述信号的时频特征。
4.奇异谱分析（SSA）：奇异谱分析是一种基于小波变换的信号分析方法，它主要用于非平稳信号的时频分析。
它通过将信号分解成一组奇异函数，然后通过对奇异函数进行小波变换得到奇异谱。
奇异谱可以用于描述信号在频域上的变化。
5.小波包压缩：小波包压缩是一种利用小波变换进行信号压缩的方法。
它通过选择一个适当的小波基函数和分解层次来减少信号的冗余信息。
小波包压缩可以用于信号压缩、特征提取和数据降维等应用。
以上是小波变换的几种基本方法，每种方法都有其适用的领域和特点。
在实际应用中，可以根据需求选择合适的方法来进行信号分析和处理。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（DWT）是一种常用的信号处理技术，可以将信号分解成不同频率的子信号。
它是通过对信号进行多级滤波和下采样操作来实现的。
离散小波变换在很多领域都有广泛的应用，如图像压缩、信号去噪、语音识别等。
在离散小波变换中，信号先通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，然后再进行下采样操作。
低通滤波器将信号中的低频分量提取出来，而高通滤波器则提取出高频分量。
通过多级滤波和下采样操作，信号被分解成不同频率的子信号。
离散小波变换的一个重要特点是多分辨率分析。
多分辨率分析意味着信号的不同频率成分可以被分解到不同的尺度中。
通过对信号进行多级DWT，可以得到不同尺度的近似系数和细节系数。
近似系数表示信号的低频分量，而细节系数表示信号的高频分量。
通过调整DWT的级数，可以选择相应的频率范围。
离散小波变换还有一种重要的性质是能量集中性。
能量集中性意味着信号的大部分能量都集中在少数的子信号中。
通过对信号进行DWT，可以将信号的能量集中在少数的系数上，从而实现信号的压缩和去噪。
离散小波变换还可以通过逆变换将分解的子信号重构成原始信号。
逆变换是通过对近似系数和细节系数进行上采样和滤波操作来实现
的。
通过多级逆变换，可以将信号完全恢复。
离散小波变换是一种强大的信号处理技术，可以分解信号并提取出不同频率的分量。
它在图像处理、信号处理等领域有广泛的应用。
通过合理地使用离散小波变换，我们可以更好地理解和处理信号，提高信号处理的效果。
小波变换的基本原理与理论解析
小波变换的基本原理与理论解析小波变换（Wavelet Transform）是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率和时间的小波分量，可以有效地捕捉信号的局部特征和时频特性。
本文将介绍小波变换的基本原理和理论解析。
一、小波变换的基本原理小波变换的基本原理可以概括为两个步骤：分解和重构。
1. 分解：将原始信号分解为不同尺度和频率的小波分量。
这个过程类似于频谱分析，但是小波变换具有更好的时频局部化特性。
小波分解可以通过连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）或离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）来实现。
在连续小波变换中，原始信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度和频率的小波系数。
母小波是一个用于分解的基本函数，通常是一个具有有限能量和零平均的函数。
通过在时间和尺度上的平移和缩放，可以得到不同频率和时间的小波分量。
在离散小波变换中，原始信号经过一系列低通滤波器和高通滤波器的处理，得到不同尺度和频率的小波系数。
这种方法更适合于数字信号处理，可以通过快速算法（如快速小波变换）高效地计算。
2. 重构：将小波分量按照一定的权重进行线性组合，恢复原始信号。
重构过程是分解的逆过程，可以通过逆小波变换来实现。
二、小波变换的理论解析小波变换的理论解析主要包括小波函数的选择和小波系数的计算。
1. 小波函数的选择：小波函数是小波变换的核心，它决定了小波变换的性质和应用范围。
常用的小波函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
不同的小波函数具有不同的时频局部化特性和频谱性质。
例如，Morlet小波适用于分析具有明显频率的信号，而Haar小波适用于分析信号的边缘特征。
选择合适的小波函数可以提高小波变换的分辨率和抗噪性能。
2. 小波系数的计算：小波系数表示了信号在不同尺度和频率上的能量分布。
《离散小波变换》课件
3 Symlets小波
4 Coiflets小波
对称小波基函数，适用于处理对称性较强 的信号，具有快速计算、紧凑型等特点。
小波基函数的一种变体，可以实现任意精 度的小波变换，适用于信号去噪、图像压 缩等领域。
DWT有哪些实用应用？
信号去噪
从功率谱角度出发，去除信号 中的高频成分，使信号更加纯 净，信噪比更高。
图像压缩
通过离散小波变换将图像分解 成低频和高频部分，压缩高频 部分，保留低频部分，实现图 像的无损和有损压缩。
特征提取
利用离散小波变换可以有效地 抽取信号和图像的主要特征， 包括边缘、纹理、轮廓等，为 后续的分类和识别提供基础。
DWT的优缺点和发展趋势是什么？
优点
离散小波变换具有多分辨 率分析、极致压缩、数据 局部性和算法可并行等优 点，可用于信号、图像、 视频及音频处理。
缺点
离散小波变换对于信号或 图像的边缘部分处理不够 灵敏，易受噪声干扰，且 算法具有一定的复杂性。
发展趋势
离散小波变换仍然具有许 多未被挖掘的应用和研究 方向，基于深度学习的小 波变换和基于量子计算的 小波变换也在发展中。
3
实际应用
不同样本数据的特点和形态不同，需要选择适当的小波基函
分解算法
将原始信号分解为高频和低 频两个分量，然后对低频分 量进行进一步分解，一直到 分解到最后一层。
重构算法
将分解得到的低频和高频分 量进行重构，得到逼近信号 和细节信号，并进行逆变换， 得到原始信号。
过滤器组
用于计算离散小波基函数的 滤波器和尺度参数，确定每 一级的分解和重构系数。
常见小波函数有哪些？
1 Haar小波
2 Daubechies小波
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2 离散正交小波变换理论
在实际应用中 ,处理的信号通常是离散时间采样 信号 ,需要高效实现的是这类信号的小波变换 ,实现它
第 27 卷第 2 期 卢 山 等 : 两通道滤波器组和离散序列的小波变换
89
的方法就是著名的 Mallat 算法 ,Mallat 算法有多种表 现形式 ,如图象处理中的金字塔编码算法[16 ] ,而在多
=
1 2
[ H0 ( z )
G0 ( z )
+
H1 ( z )
G1 ( z ) ] ,
F
( z)
=
1 2
[
H0
(
-
z ) G0 ( z )
+
H1 ( -
z ) G1 ( z ) ]
F( z) X ( - z ) 称为混叠分量 ,应为 0 ,为使 F ( z )
= 0 ,最直观的选取是令
G0 ( z ) = H1 ( - z )
CQMFB) ”。
此时有 G0 ( z ) = H1 ( - z ) = - z - ( N - 1 H0 ( z - 1) ,
令 P ( z ) = H0 ( z ) H0 ( z - 1) ,代入前面的 T ( z ) 有
T( z)
=
1 2
z - ( N - 1) [ P ( z )
+
P( -
z) ]
仔细分析一下图 1 中的两通道滤波器组输入信号 x ( n) 和输出信号 ^x ( n) 的关系 ,由多抽样率信号处理 的理论可以得到 :
^
X ( z)
=
1 2
[
G0 ( z )
G1 ( z )
]
H0 ( z) H0 ( - z ) X ( z ) (1)
H1 ( z) H1 ( - z ) X ( - z )
(3)
G1 ( z ) = - H0 ( - z )
(4)
T ( z ) 称为“失真传递函数”, 实现 PR 的充要条件
是 T ( z) 为具有线性相位的全通系统 , 最简单的取法
是令 T ( z ) = cz - k的纯延迟形式 ,经过推导[13 ]可以得
到综合滤波器的一般选取方法 。
G0 ( z) G1 ( z)
(重庆大学 电气工程学院 ,重庆 400030)
摘 要 :多抽样率滤波器组理论和离散时间序列的小波变换有着密切关系 。笔者从信号处理的角
度研究了离散时间序列的小波变换利用树状滤波器组实现的方法 ,分析了两通道共轭正交镜象滤波器
组理论及滤波器设计 ,离散时间序列的正交小波变换的快速实现以及正交小波的构造 ,指出了其内在联
^
X ( z)
=
1 2
[
H0 ( z )
G0 ( z )
+ H1 ( z ) G1 ( z ) ] X ( z )
+
1 2
[
H0 (
-
z ) G0 ( z ) + H1 ( -
z ) G1 ( z ) ] X ( -
z)
= T( z) X ( z) + F( z) X ( - z)
(2)
其中
T ( z)
小波函数以及尺度函数之间的递推关系 。
+∞
∑ <( t) = 2 h0 ( n) <(2 t - n)
(11)
n=- ∞
+∞
∑ ψ( t) = 2
h1 ( n) <(2 t - n)
(12)
n=- ∞
(11) 、(12) 式中的 h0 ( n) 和 h1 ( n) 恰是一对共轭正交
滤波器组 。通过推导[18 ]可以得到相临两个尺度下多
虽然和标准正交镜像滤波器组中 H1 ( z ) 的相同 , 但由 于 z 变成了 z - 1 ,所以在相频响应上多了一个共轭 ,故 称这样 定 义 的 滤 波 器 组 为“共 轭 正 交 镜 像 滤 波 器 组
( Conjugate Quadrat ure Mirror Filter Banks ,
相位的 ,不幸的是在满足正交性的前提下分解是不能
得到线性相位的[15 ] ,即 CQM FB 中的各滤波器不具备
线性相位 。
3) 有限长 : 如果 P ( z ) 是 F IR 的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的 F IR 因子 ,那么也是有限长的 。
这样就将QM FB 中的 2 个基本事实[14 ] :
事实一 :满足 PR 条件的必 P( Z) 是一个半带滤波器 ;
事实二 : h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自及相互之间有如下 正交性 :
1) h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自都具有偶次移位的正交 归一性 ,即
〈 h0 ( n) , h0 ( n + 2 k) 〉= δk
对应关系 。
1) 正 交 性 : 如 果 满 足 ( 8) 、( 9) 和 ( 10) 式 , 那 么
H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是 P ( z ) 的谱因子
2) 线性相位 :如果 P ( z ) 是线性相位的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的线性相位因子 ,那么各滤波器也是线性
离散时间序列的小波变换结合起来 ,分析两者的内在
联系和对应关系 。
图 1 所示是一个两通道滤波器组 ,其中 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 是分析滤波器 , G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 是综合滤波器 。
分析滤波器将输入信号 x ( n) 分解成 2 个子带信号 ,
由于子带信号的频带减小了 1 倍 , 因此可以进行 2 倍
抽样率信号处理中 ,可以采用如图 2 所示的树状结构
滤波器组来实现 。通过图 2 的滤波器组将原始信号分 解为一系列的“细节 dj ( k) ”和“概貌 aj ( k) ”。 dj ( k) 是离散信号在尺度函数空间的离散逼近系数 , 而 aj ( k) 是离散信号在小波函数空间的离散逼近系数 。正 交小波变换中的二尺度方程[17 ]揭示了滤波器系数和
n=- ∞
(14) 其中 , h0 ( k) 和 h1 ( k) 是 h0 ( k) 和 h1 ( k) 序列的翻 转 ,即 h ( k) = h ( - k) 。初始化时 ,简单的方法是假定 a0 ( k) = x ( k) 。
在用滤波器组实现时 ,由于信号的滤波可以引入
FF T ,因此离散信号的小波变换就找到了一条快速实
现的途径 ,并且可以通过这对共轭正交滤波器组来递
推尺度函数 <( t) 和小波 ψ( t) 。Daubechies 通过这种 方法构 造 了 一 系 列 小 波 , 即 Daubechies 小 波 ( db 小 波) 。下面用 db 小波中最简单的 db1 小波 ,即 Haar 小 波为例来阐述两通道滤波器组和离散小波变换的内在 联系 ,并用滤波器组结构来实现离散小波变换的分解 和重构 ,如图 3 所示 。
(8)
〈 h1 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= δk
(9)
2) h0 ( n) 和 h1 ( n) 之间具有偶次移位的正交性 , 即
〈 h0 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= 0
(10)
其中 k ∈Z 。可以通过对 P ( z ) 的谱分解来设计
CQMFB ,CQMFB 中各滤波器特性和 P ( z ) 存在如下
系 ,最后举例说明了正交小波变换通过共轭正交镜象滤波器组来实现信号分解和重构的全过程 。
关键词 :滤波器组 ;小波变换 ;共轭正交 ;离散
中图分类号 : TN911. 72
文献标识码 :A
多抽样率滤波器组和小波变换已经成为信号处理
领域两个强有力的工具 。它们有着不同的起源和理论
体系[1 - 4 ] ,但现在两者却紧密地结合起来[5 - 6 ] 。小波
(6)
若令 T ( z) = P( z) + P( - z) = 2 ,则 T ( z) 为一纯延
迟 ,从而实现
^
X
(
z
)
对
X ( z) 的准确重建 ,由此得到
H0 (e jω) 2 + H1 (e jω) 2 = 2
(7)
即 H0 , H1 满足功率互补关系 ,它们是一对功率互补 的滤波器 。
2004 年 2 月 第 27 卷第 2 期
重庆大学学报 Journal of Chongqing University
文章编号 :1000 - 582X(2004) 02 - 0087 - 05
Feb. 2004 Vol. 27 No. 2
两通道滤波器组和离散序列的小波变换Ξ
卢 山 ,杨 浩
图 2 Mallat 算法的滤波组实现
Ξ 收稿日期 :2003 - 09 - 05 作者简介 :卢山 (1980 - ) ,男 ,四川雅安人 ,重庆大学硕士研究生 ,主要从事生物医学信号处理 、小波分析的研究 。
88
重 庆 大 学 学 报 2004 年
1 两通道滤波器组理论
图 3 Haar 小波函数 、尺度函数及其所对应 的滤波器系数和频率响应
Haar 小波的尺度函数 <( t) , 小波函数 ψ( t) 以及
对应的滤波器组如下 :
<( t) =
1 0
0
≤t <
其它
1 ψ( t)
=
1 -1 0
= H0 ( z) H1 ( -
2z- k z) - H0 ( -
z) H1 ( z)
H1 ( - z) - H0 ( - z)
(5) 当给定一个低通原型滤波器 H ( z ) 后 , 最简单 、直 接的选取方法是令 H0 ( z ) = H ( z ) , 及 H1 ( z ) = H0 ( - z ) ,这时 H1 (e iω) = H0 ( e j (ω+π) ) 是 H0 ( e iω) 移位π 后的 结 果 , 所 以 H1 ( e iω) 是 高 通 的 , 且 H0 ( e iω) , H1 (e iω) 是相对π/ 2 为对称的 ,故称按此方法选定的滤波 器组 称 为“标 准 正 交 镜 像 滤 波 器 组 [14 ] ( Quadrat ure Mirror Filter Banks ,QMFB) ”,它是最早提出的一种两 通道滤波器组 ,从 (3) 和 (4) 可知此时的 G0 ( z ) 是低通 的 ,而 G1 ( z ) 是高通的 ,文献 [ 14 ] 已经证明这样的选 取方法 ,如果要实现 PR ,那么 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 只能 取纯延迟的形式 。 H0 ( z ) 、H1 ( z ) 、G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 作 为滤波器 ,总是希望它们的通带尽量平坦 ,阻带尽可能 快地衰减 , 且过渡带尽量窄 , 尽管 PR 是最终目的 , 但 滤波器的核心作用是信号的子带分解 , 因此放弃 H1 ( z ) = H0 ( - z ) 的简单形式 , 取 H1 ( z ) = z - ( N - 1) H0 ( - z - 1) , H1 ( z ) 仍是高通的 ,这时 H1 ( z ) 的幅频特性