定积分应用练习题

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

定积分的应用练习题

1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分,分别求出这两部分的面积。

2. 直线将椭圆22

36x y y +=分成两部分,分别求出这两部分的面积。

3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ,其中00x ≠,过00(,)P x y 作抛物线的切线,使

该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。

4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线,求该切线与2y x

=所围成的图形的面积。

5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。

6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a t

π⎧=≤≤⎨=⎩所围成的图形的面积A ,全长L ,绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积,和该旋转体的侧表面积。

7. 求伯努利双纽线22cos 2a ρθ=的面积A ,及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。

8. 求圆域222()()x y b a

b a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。 9. (1)求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积;(2)若该图形绕Oy 绕一周,

求所得旋转体的体积。

10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ,弧长L ,绕Ox 轴旋转一周所

形成的旋转体的体积,和该旋转体的侧表面积。

11. 在曲线2(04)3

y x =

≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度,求其质量。

12. 半径为R ,长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中(柱体的侧面与水面相切),设柱

体的密度为(1)ρρ>,问将柱体移出水中需要做多少功?

13. 设半径为R ,高为h 的圆柱体水池盛满了水,若将水池中的水吸干,要做多少功?

14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中,是其直径与水面相齐。(1)求该板一侧所受的压力;

(2)欲使压力增加一倍,该板应下移多少米?

15. 一根半径为R 的圆环金属丝,其线密度为ρ,以等角速度ω绕其某一条直径旋转,求

金属丝的动能。

16. 一条半径为R ,中心角为半径为ϕ的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一

质量为m 的质点,求细棒对质点的引力。

17. (1994年考研题) 求曲线23|1|y x =--与Ox 轴围成的封闭提醒绕直线3y =旋转所的

的旋转体的体积。

18. (1997年考研题) 设()f x 在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内'()0f x >,并满足23'()()(2

a xf x f x x a =+为常数),又曲线()y f x =与1,0x y ==围成的图形的面积等于2。求函数()f x 。

19. (1998年考研题)设曲线y =Ox 轴所

围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。

20. (1999年考研题) 为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,

已知井深30m ,抓斗自重400N ,抓都抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m/s 。在提升过程中,污泥以20N/s 的速度从抓斗的缝隙里漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口,要克服重力做多少焦耳的功?

21. (2003年考研题)某建筑工地打地基时用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服

土层对桩的阻力做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k )。汽锤第一次击打将桩打进地下a m ,根据设计方案,要求汽锤每次击打桩是所作的功与前一次击打时所作的功值比为常数(01)r r <<。问:

(1) 汽锤击打3次,可以将桩打进地下多深?

(2) 若击打次数不限,汽锤最多能将桩打入地下多深?

22. 有两根线密度均为ρ的均匀细杆,长度均为l ,位于同一直线上,两杆距离为a 。求它

们之间的引力。

23. (1994年考研题)已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0),(0,1,1)。线段AB 绕z 轴旋

转一周所形成的旋转曲面为S 。求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积。

24. (1991年考研题)曲线(1)(2)y x x =--和Ox 轴围成一图形,求此图形绕Oy 轴旋转

一周所成的旋转体的体积。

25. (2007年考研题)设D 为位于曲线2(1,0)x a y a x -=

>≤<+∞的下方,Ox 轴上方

的无界区域。

(1)求区域D 绕Ox 旋转一周所形成的旋转体的体积()V a ;

(2)当a 为何值时,体积()V a 最小?

26. (2000年考研题)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过原点与点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形,问a 为何值时,该图形旋转一周所得的旋转体的体积最大?最大体积为多少?

相关文档
最新文档