理论力学质点系动力学1

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理论力学
作业：6-4、6-5、6-6
三、变质量质点运动微分方程
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理论力学
§6-1 动量定理
主要研究：有质量连续并入或分出时，质点的动力学问题。
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理论力学
§6-1 动量定理
应用动量定理的积分形式
n
t2
∑ ∫ pt2 − pt1 =
I
(e) i
=
F
(e) R
m0 = 10 mτ
mg
vr
O
x
dv
=
−
gdt
−
dm m
vr
ln10 ≈ 2.3
vτ
=
v0
−
gτ
+
vr
ln
m0 mτ
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
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理论力学
§6-1 动量定理
例：设长度密度为 ρ 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速 v 提升，求链条被提起的长度为y时力
z Δm
u
v
当 Δt → 0 : Δm , Δv 存在 Δt Δt
0
m
xo
y
有 Δt → 0 : Δm → 0
m
dv dt
=
FR(e)(t)
+
dm dt
(u
−
v)
取：m 为动系 Δm 为动点
vr = u − v
mdv dt
=
FR(e)
+
dm dt
vr
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理论力学
§6-1 动量定理
m2 )R
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理论力学
§6-1 动量定理
vr R ar
v1
θ
m2 g a1
2、求地面约束力和质心加速度
p = m1v1 + m2 (v1 + vr )
∑ py = m2vr cosθ
dp y dt
=
n
F (e) iy
i =1
m2vr (− sinθ )θ& = FN − m1g − m2 g
=
p0x
i =1
问题：如何用简便方法计算质 点系或刚体或刚体系的动量？
n
∑ p = m iv i i=1
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理论力学
§6-1 动量定理
问题：如何用简便方法计算下列质点系的动量？
已知：车身、车轮、履带的 质量和车身行驶的速度，求 车整体的动量。
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n
∑ p = m iv i i=1
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理论力学
§6-1 动量定理
引入质心的概念
∑ 质点系
总质量
n
m = mi
i =1
mi
z
vi
ri
rC m j
质心矢径 质心速度
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ mivi
vC
= r&C
=
i =1
m
o
x
y rj vj
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
如何确定：均质板、均质圆盘、均质杆的质心？
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。
F
2F
F
A
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F
B
C
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理论力学
§6-1 动量定理
例题：已知：m1 , m 2 , R , v r 为常量，求：板的速度、加速度、
动量对时间的导数： p& = (m1 + m2 + m3)v& = (m1 + m2 + m3 )a = ma
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理论力学
§6-1 动量定理
2、求装甲车行驶的最大加速度
∑ p& =
F (e) i
p& = (m1 + m2 + m3 )a = ma = FN + Fs + mg
x : m a = Fs ≤ FN f = m gf a ≤ gf
F (e) i
+
F (i) i
=0
∑ ∑ d( mivi ) = dt
F (e) i
•质点系的动量 (momentum of particle system)
n
∑ p = m iv i i =1
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mi vi
z
F (e) i
o y
F (i) i
mj
F (i) j
F (e) j
vj
x
∑ ∑ ⎧
F 的大小（设未被提起的链条对提起部分没有作用力）。
F
v
y
g
解：取提起部分的链条为研究对象
m
dv dt
=
F
+
mg
+
dm dt
vr
y:
0
=
F
−
mg
+
dm dt
(−vr
)
0 = F − ρyg − ρv2
m = ρy,
vr = v
vr
F = ρyg + ρv2
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理论力学
§6-1 动量定理
amax = gf
a mg
x
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Fs FN
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理论力学
§6-1 动量定理
二、质心运动定理
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
矢量式
maC
=
F (e) R
n
∑
F (e) i
=
p& = ∑ m i v& i = m v& C
i =1
质心加速度
a C = v&C
投影式
⎧
∑ ⎪⎪ ∑ ⎨
=
m i rCi
i =1
m
n
∑ m i y Ci
y C = i=1 m
n
∑ 若刚体系由n个刚体组成
其质心速度的计算公式为： v C
=
m i v Ci
i =1
m
n
∑ m i y& Ci
y& C = i=1 m
n
若刚体系由n个刚体组成
∑ m i a Ci
其质心加速度的计算公式为：a C = i=1 m
n
动点：C1 ，C2
B
C2
ω
ve
动系：平动坐标系Ax’y’
x’
A
C1 vr
D
ω
va = ve + vr
y ':
v C1a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统动量
p
=
2m
⎛ ⎜⎝
u
−
L 2
ω
⎞ ⎟⎠
j
'
同理： v C 2a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统质心速度
vC
=
⎜⎛ u ⎝
−
L ω ⎟⎞
2⎠
j'
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d
t
i =1
t1
x
t 时刻
z Δm
u
v
m
o
y
t + Δ t 时刻
v + Δv
m + Δm
pt1 = pt = mv + Δmu,
pt2 = pt+Δt = (m + Δm)(v + Δv )
pt+Δt − pt = (m + Δm)(v + Δv) − mv − Δmu = FR(e) (t*)Δt, t* ∈(t,t + Δt)
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0, v0 ，喷出燃气的相对
速度为 vr（常量），燃烧时间为 τ ，燃烧后火箭的质量为 mτ
求火箭燃烧完瞬时的速度 vτ（不计空气阻力，重力为常力）。
v y
解：
m
dv dt
=
mg
+
dm dt
vr
vr :2 ~ 3km/s
y:
m
dv dt
=
− mg
+
dm dt
(−vr )
问题：在着陆过程中飞机的动能转化成什么能量?
问题：舰载飞机为什么要改用电磁弹射？
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理论力学
工程中的质点系动力学
问题：从机车的发展变化中，能提出哪些力学问题？
蒸汽机车
电力机车
柴油机车 电力车组
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理论力学
质点系动力学的研究内容
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动 量、动量矩和动能）的变化与作用力间的关系。
• 质点系的动量定理
• 质点系的动量矩定理
• 质点系动能定理
∑ 质点系动力学的基础－质点动力学
d(mv) dt
=
ma
=
n i=1
Fi
= FR
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理论力学
§6-1 动量定理
研究对象：质点系
d(mivi ) dt
=
F (e) i
+
F (i) i
(i = 1,L, n)
∑ ∑ ∑ d(mivi ) = dt
⎪
px
=
n
mivix =
n
mi x&i
⎪
i=1
i=1
∑ ∑ ⎪
⎨
py
=
n
miviy =
n
mi y&i
⎪
i=1
i=1
⎪
n
n
∑ ∑ ⎪
⎩
pz
=
i=1
mi viz
=
i=1
mi z&i
6
理论力学
§6-1 动量定理
一、动量定理
作用在质点系上的外力使其动量改变
矢量式 微分形式
∑ dp =
dt
n
Fi (e)
i =1
13
理论力学
§6-1 动量定理
例：车身质量为m1 车轮总质量为m2 履带总质量为m3。（1）若车 身（平移）的速度为v, 求此时装甲车的动量p.（2）若履带与地面 的静滑动摩擦因数为f，求装甲车直线行驶的最大加速度a。
解：1、求系统的动量
n
∑ p = m i v Ci i =1
p = m1v + m2v + m3v = (m1 + m2 + m3)v m = m1 + m2 + m3
例：装料箱的质量为 m0 在水平常力 F 的作用下沿水平滑道运 动，初始速度为 v0 ，箱体与滑道的动滑动摩擦因数为 f ，沙石 以速度u 铅垂落入箱内，单位时间装入箱内的石料为 q(kg/s) ，
装料时间为T。求箱体在装料过程中的速度与时间的关系式。
u F
v0
m = m0 + qt t ∈[0,T ]
∑ m i &y&Ci
&y&C = i=1 m
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理论力学
§6-1 动量定理
例题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长为
L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向如
图），求该瞬时系统的动量和系统质心的速度。
y’
va
u
n
∑ p = m v C = m i v C i i =1
整理上式可得： Δm(v − u) + mΔv + ΔmΔv = FR(e) (t* )Δt
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
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理论力学
§6-1 动量定理
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
↓
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
t 时刻
地面约束力和系统质心加速度。初始时 θ = 0，板静止。
vr
Rθ
光
滑
m2 g
m1 g
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理论力学
§6-1 动量定理
vr
解：1、求板的速度和加速度
光
Rθ
v1
取板、甲虫为研究对象
∑ 受力分析： Fx(e) = 0
y滑
m2 g a1
系统动量：p = m1v1 + m2v2 p = m1v1 + m2 (v1 + vr )
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理论力学
§6-1 动量定理
u
解：受力分析与运动分析
F
y
v
m dv dt
=
F
+ mg + FN
+ Ff
+
dm (u − v) dt
x
m1g FN
x : px = m1v1 + m2 (v1 − vr sinθ ) = px0
当：t = 0 时，θ0 = 0, v1 = 0
px0 = 0
v1
=
m2vr sin θ
m1 + m2
a1
=
dv1 dt
=
m2vrθ& cosθ
m1 + m2
vr = Rθ&
a1
=
m2vr2 (m1 +
cosθ
=
FR(e)
∑ ⎧
⎪ ⎪
dpx dt
=
n
F ( e) ix
i=1
∑ 投影式
⎪ ⎨ ⎪
dp y dt
=
n
F ( e) iy
i=1
∑ ⎪
⎪
d
p
z
⎩ dt
=
n
F ( e) iz
i=1
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理论力学
§6-1 动量定理
动量定理的积分形式
t2
n
t2
∫ 其中：
I
(e) i
=
Fi(e)dt,(i = 1,2,L, n)
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理论力学
§6-1 动量定理
问题：刚体系（特殊质点系）的质心矢径如何计算（如黑板）
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ m rC = m i ri i =1
确定两
n
∑ m i ri
nA
nB
∑ ∑ m Ai rAi +
m Bi rBi
个刚体 的质心
rC
= i=1 mA + mB
∑ ∫ pt2 −
p t1
=
I
(e) i
i =1
=
t1
F
(e) R
d
t
是作用在第 i
个t1 质点 上外力的冲量
动量守恒情况
当：t ∈[t1,t2 ],t2
>
t1,
F (e) R
(t)
≡
0
则：p(t) = p0
n
∑ 当： t ∈[t1, t2 ], t2 > t1,
F (e) ix
Leabharlann Baidu
(t
)
=
0
则：px (t)
m1g FN
n
∑ miai
方法一：
aC
= r&&C
=
i=1
m
FN
=
(m1
+
m2 )g
−
m2vr2 sinθ
R
= m1a1 + m2a2 = m1a1 + m2 (a1 + ar )
m1 + m2
m1 + m2
方法二：Q m a C
=
F
( R
e)
已知
F
( R
e)，可求质心加速度
aC
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=
i =1
i =1
mA + mB
= m A rC A + m B rC B
yA
mA + mB
yB
若刚体系由n个刚体组成
n
∑ m i rCi
其质心的计算公式为：
rC
=
i =1
m
2011-11-17
n
∑ m i y Ci
y C = i=1 m
11
理论力学
§6-1 动量定理
n
∑ 若刚体系由n个刚体组成
其质心位置的计算公式为： rC
理论力学
第六章
作业：6-1、6-3、6-6
质点系动力学
2011-11-17
1
理论力学
工程中的质点系动力学
舰载飞机起、降落过程中的动力学问题
问题：弹射装置为什 么装在飞机的前部？
2011-11-17
问题：拦阻装置为什 么装在飞机的后部？
2
理论力学
工程中的质点系动力学
舰载飞机起飞装置示意图
早期舰载飞机着陆装置示意图
m m
&x&C &y&C
= =
F
( x
e)
F
( y
e)
∑ ⎪⎪⎩m&z&C =
Fz( e)
守恒情况
t ∈[t1,t2],
F (e) R
(t)
≡
0
⇒ vC (t) = vC0
∑ t ∈[t1,t2], Fx(t) ≡ 0 ⇒ vCx(t) = vCx0
2011-11-17
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理论力学
§6-1 动量定理