理论力学质点系动力学1
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
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§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
《理论力学 动力学》用于碰撞过程的基本定理
2、用于碰撞过程的基本定理碰撞理论碰撞理论不宜直接用力来度量碰撞的作用，也不宜用运动微分方程描述每一瞬时力与运动之间的关系。
常用的方法是只分析碰撞前、后运动状态的变化。
难以用力的功来计算机械能的损耗，一般不用动能定理。
常采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力的作用于运动变化的关系。
(1) 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理假设单个质点的质量为m ，碰撞开始瞬时的速度为v ，结束瞬时的速度为v ’，则质点的动量定理为0d tm m t ¢-==òv v F I对于质点系，作用在第i 个质点上的碰撞冲量可分为外碰撞冲量I i (e)和内碰撞冲量I i (i), 按照质点的动量定理有：(e)(i)i i i i i im m ¢-=+v v I I (i)1111n n ni i i i ii i i m m ===¢-=+åååån (e)i i=v v II 式中I 为碰撞冲量，普通力的冲量忽略不计。
2、用于碰撞过程的基本定理碰撞理论因为内力总是成对出现，大小相等，方向相反，所以(e )10i i i ==åI 于是有：(e )111n n n i i ii ii i i m m ===¢-=åååv v I —用于碰撞过程的质点系动量定理(冲量定理)质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
由于质点系的动量可用总质量m 与质心速度v C 的乘积来计算，所以上述定理又可以表示为：(e)1n CC ii m m =¢-=åv v I 式中和分别是碰撞开始和结束时质心的速度。
C v C¢v 2、用于碰撞过程的基本定理碰撞理论(2) 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理质点系动量矩定理的一般表达式为微分形式，即：(e)(e)11d ()d n n O O i i i i i t ====´ååL M F r F 将d t 移到等式右侧，上式可写成：(e)1d d n O i i i t ==´åL r F (e)1d n i ii ==´år I 对上式积分，得：21(e)01d d O O n t O i ii ==´åòòL L L r I 一般情况下，r i 是未知的变量，上式难以积分。
注册工程师基础《理论力学》-动力学
x
a
P1 M
W
ma = P1 − W
P1
=W
+W g
a
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
G F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
G = −k v
，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） mx = mg− kx
（B） mx = −mg− kx （C） mx = −mg+ kx （D） mx = mg+ kx
J OO
=
J CC
+
m( l )22 2
=
1 3
ml 22
O
zC
z1
C
d
C
m
l
二、动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
θv
W = F cosθ S
S
● 变力的功
G MM22
G MM22
∫ ∫ W1122 = F ⋅ dr = F cosθ ds
MM11
MM11
● 重力的功
二、动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T +V = E = 常数
2．定理
二、动力学普遍定理
2．定理
质量相同的两均质圆盘，放在光滑水平面 上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试判断那个圆盘动能大？
A F′ B F
三、达朗贝尔原理
x B
maCx = Fx = 0
答案：C
二、动力学普遍定理
2．定理
（4）动量矩定理
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的运动微分方程
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学课件 第九章动量定理,质点和质点系动量定理
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx = −m2ω2e cosωt Fy = −m2ω 2e sin ωt + (m1 + m2 )g
由主动力直接引起的静约束力
Fx静 = 0
Fy静 = (m1 + m2 )g
由质点系运动引起的动约束力
vy
ω
O2
e
O1 θ m2 g
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx动 = −m2ω 2e cosωt
5、解方程。
ω
O2
e
O1 θ
例9-3 如图所示，电动机外壳固
定在水平基础上，定子、转子的
质量分别为m1、m2。设定子质心 位 于 转 轴中 心 O1 ， 由 于 制 造 误 差，转子质心O2 到O1的距离为
e，已知转子以匀角速度ω 转
动。求： 基础对电机总的水平和
铅垂反力
偏心转子
解：1、研究对象
9.1 质点和质点系动量定理
思考题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长
为L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向
如图），求该瞬时系统的动量。
p = 2mu ?
u
B
C2
ω
A
C1
D
ω
9.1 质点和质点系动量定理 思考：己知：车身质量m1，车轮总质量m2，履带总质量m3，车身 的速度为v。求其动量。
9.1 质点和质点系动量定理
∑ dpv =
dt
v Fi
e
微分形式的投影式
∑ ∑ p& x = F x p& y = F y
∑ p& z = F z
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
理论力学质点动力学的基本方程
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
例11-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力， 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60 匀速
求: v, F
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 600 匀速
求: v, F
解:
v2
研究小球，m
F sin
0 F cos mg
其中， l sin ，解得
第十一章 质点动力学的基本方程
第十一章 质点动力学的基本方程
§11-1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质量是质点惯性的度量。 国际单位制：长度（m米），
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
工程力学课件 第5章 动力学
于是有
工程力学
21
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力 的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。
1.将1式.1设电t＝路0瞬的时，组质成点系的动量为p0，在t瞬时，质点系的动量为P，
积分：
有
即：在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作 用于质点系上外力冲量的矢量和。这就是质点系动量定理的积分形 式。
而质点系的动量定义为质点系中各质点动量的 矢量和，即
工程力学
19
二、动量定理 1.1.11一.电质质点点路的的的质动量量组为定成m理，受到力F的作用加速度为a，由牛顿第二定律
可得
在质量为常量的条件下，有
上式表明：质点动量对时间的倒数等于作用在该质点上的力。 这就是质点动量定理的微分形式。
在运动过程中质点的动量保持不变，即
工程力学
18
第四节 动力学普遍定理
1一.1、.1动电量路的组成
1.质点的动量 质点的质量与速度的乘积，称为质点的动量。即
质点的动量是矢量，方向与质点速度的方向一致。 它是质点运动的基本特征之一。
动量的量纲为 在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s 2.质点系的动量 如图所示，质点系运动时，某一瞬时，第i个质点 的动量为
工程力学
7
二、转动惯量 1.1.11由.电前转面动路可惯的知量，的组刚概成体念对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质
量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和，即
可见，转动惯量恒为正标量，其大小不仅与刚体的质量大小和 质量的分布情况有关，还与z轴的位置有关。
当质量连续分布时，刚体对z轴的转动惯量可写为
工程力学
5
以x、y、z表示质点M在直角坐标系oxyz中的坐标，以X、Y、Z表 示力F在各坐标轴上的投影，式在直角坐标轴上的投影式为：
工程力学
21
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力 的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。
1.将1式.1设电t＝路0瞬的时，组质成点系的动量为p0，在t瞬时，质点系的动量为P，
积分：
有
即：在某一时间段内质点系动量的改变量等于在此段时间内作 用于质点系上外力冲量的矢量和。这就是质点系动量定理的积分形 式。
而质点系的动量定义为质点系中各质点动量的 矢量和，即
工程力学
19
二、动量定理 1.1.11一.电质质点点路的的的质动量量组为定成m理，受到力F的作用加速度为a，由牛顿第二定律
可得
在质量为常量的条件下，有
上式表明：质点动量对时间的倒数等于作用在该质点上的力。 这就是质点动量定理的微分形式。
在运动过程中质点的动量保持不变，即
工程力学
18
第四节 动力学普遍定理
1一.1、.1动电量路的组成
1.质点的动量 质点的质量与速度的乘积，称为质点的动量。即
质点的动量是矢量，方向与质点速度的方向一致。 它是质点运动的基本特征之一。
动量的量纲为 在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s 2.质点系的动量 如图所示，质点系运动时，某一瞬时，第i个质点 的动量为
工程力学
7
二、转动惯量 1.1.11由.电前转面动路可惯的知量，的组刚概成体念对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质
量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和，即
可见，转动惯量恒为正标量，其大小不仅与刚体的质量大小和 质量的分布情况有关，还与z轴的位置有关。
当质量连续分布时，刚体对z轴的转动惯量可写为
工程力学
5
以x、y、z表示质点M在直角坐标系oxyz中的坐标，以X、Y、Z表 示力F在各坐标轴上的投影，式在直角坐标轴上的投影式为：
理论力学 第3篇 动力学
ma = F 或 ma = F
❖ 牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
二、牛顿定律的适应范围 牛顿定律适用于在惯性参考系下研究速度远小于 光速的宏观物体的运动。
一般认为固接在地球上或相对于地球静止或作匀 速直线运动的参考系为惯性坐标系。
结合运动学知识，牛顿第二定律中的运动量加速 度应为绝对加速度。 以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
➢跳下不撑伞， mg＞ 1 v2 ，跳伞员加速下落； ➢mg= 1 v012 ，解得 v01 =50m/s
相当于物体自由下落 700m时达到的速度
➢撑伞后， mg< 1 v2 ，跳伞员减速下落； mg= 2 v022 ， 解得 v02 =5.6m/s
相当于物体自由下落 不到2m时达到的速度
课堂练习 质量为m的物体自高h处水平抛出，运动中受到空气 阻力R作用，R=-kmv，其中k为常数，写出质点运动 微分方程与初始条件。
质点动力学研究质点受力与质点运动之间的关系。 描述质点受力与质点运动关系的微分方程称为质点运 动微分方程。
质点动力学的基础是牛顿三大定律。
动力学基本定律
§10-1 动力学的基本定律
一、牛顿三定律 ❖ 牛顿第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止与匀速直线运动
❖ 牛顿第二定律 (力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点上 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
小球在一般位置的受力如图所示
R
如图建立坐标
mg
由质点运动方程得
m
d2 y dt 2
=
mg-
v
y
即
dv dt
=
g-
mv
于是 解得
∫ ∫ v dv 0 g- m v
❖ 牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
二、牛顿定律的适应范围 牛顿定律适用于在惯性参考系下研究速度远小于 光速的宏观物体的运动。
一般认为固接在地球上或相对于地球静止或作匀 速直线运动的参考系为惯性坐标系。
结合运动学知识，牛顿第二定律中的运动量加速 度应为绝对加速度。 以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
➢跳下不撑伞， mg＞ 1 v2 ，跳伞员加速下落； ➢mg= 1 v012 ，解得 v01 =50m/s
相当于物体自由下落 700m时达到的速度
➢撑伞后， mg< 1 v2 ，跳伞员减速下落； mg= 2 v022 ， 解得 v02 =5.6m/s
相当于物体自由下落 不到2m时达到的速度
课堂练习 质量为m的物体自高h处水平抛出，运动中受到空气 阻力R作用，R=-kmv，其中k为常数，写出质点运动 微分方程与初始条件。
质点动力学研究质点受力与质点运动之间的关系。 描述质点受力与质点运动关系的微分方程称为质点运 动微分方程。
质点动力学的基础是牛顿三大定律。
动力学基本定律
§10-1 动力学的基本定律
一、牛顿三定律 ❖ 牛顿第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止与匀速直线运动
❖ 牛顿第二定律 (力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点上 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
小球在一般位置的受力如图所示
R
如图建立坐标
mg
由质点运动方程得
m
d2 y dt 2
=
mg-
v
y
即
dv dt
=
g-
mv
于是 解得
∫ ∫ v dv 0 g- m v
理论力学第10讲动力学
W l W sin l FN W cos
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
y
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
49
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月20日
34
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
2020年4月20日
52
思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
49
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月20日
34
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
2020年4月20日
52
思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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∑ m i &y&Ci
&y&C = i=1 m
2011-11-17
12
理论力学
§6-1 动量定理
例题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长为
L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向如
图），求该瞬时系统的动量和系统质心的速度。
y’
va
u
n
∑ p = m v C = m i v C i i =1
amax = gf
a mg
x
2011-11-17
Fs FN
15
理论力学
§6-1 动量定理
二、质心运动定理
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
矢量式
maC
=
F (e) R
n
∑
F (e) i
=
p& = ∑ m i v& i = m v& C
i =1
质心加速度
a C = v&C
投影式
⎧
∑ ⎪⎪ ∑ ⎨
2011-11-17
10
理论力学
§6-1 动量定理
问题：刚体系（特殊质点系）的质心矢径如何计算（如黑板）
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ m rC = m i ri i =1
确定两
n
∑ m i ri
nA
nB
∑ ∑ m Ai rAi +
m Bi rBi
个刚体 的质心
rC
= i=1 mA + mB
z Δm
u
v
当 Δt → 0 : Δm , Δv 存在 Δt Δt
0
m
xo
y
有 Δt → 0 : Δm → 0
m
dv dt
=
FR(e)(t)
+
dm dt
(u
−
v)
取：m 为动系 Δm 为动点
vr = u − v
mdv dt
=
FR(e)
+
dm dt
vr
2011-11-17
24
理论力学
§6-1 动量定理
整理上式可得： Δm(v − u) + mΔv + ΔmΔv = FR(e) (t* )Δt
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
2011-11-17
23
理论力学
§6-1 动量定理
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
↓
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
t 时刻
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0, v0 ，喷出燃气的相对
速度为 vr（常量），燃烧时间为 τ ，燃烧后火箭的质量为 mτ
求火箭燃烧完瞬时的速度 vτ（不计空气阻力，重力为常力）。
v y
解：
m
dv dt
=
mg
+
dm dt
vr
vr :2 ~ 3km/s
y:
m
dv dt
=
− mg
+
dm dt
(−vr )
∑ ∫ pt2 −
p t1
=
I
(e) i
i =1
=
t1
F
(e) R
d
t
是作用在第 i
个t1 质点 上外力的冲量
动量守恒情况
当：t ∈[t1,t2 ],t2
>
t1,
F (e) R
(t)
≡
0
则：p(t) = p0
n
∑ 当： t ∈[t1, t2 ], t2 > t1,
F (e) ix
(t
)
=
0
则：px (t)
d
t
i =1
t1Βιβλιοθήκη xt 时刻z Δm
u
v
m
o
y
t + Δ t 时刻
v + Δv
m + Δm
pt1 = pt = mv + Δmu,
pt2 = pt+Δt = (m + Δm)(v + Δv )
pt+Δt − pt = (m + Δm)(v + Δv) − mv − Δmu = FR(e) (t*)Δt, t* ∈(t,t + Δt)
动点：C1 ，C2
B
C2
ω
ve
动系：平动坐标系Ax’y’
x’
A
C1 vr
D
ω
va = ve + vr
y ':
v C1a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统动量
p
=
2m
⎛ ⎜⎝
u
−
L 2
ω
⎞ ⎟⎠
j
'
同理： v C 2a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统质心速度
vC
=
⎜⎛ u ⎝
−
L ω ⎟⎞
2⎠
j'
2011-11-17
20
理论力学
作业：6-4、6-5、6-6
三、变质量质点运动微分方程
2011-11-17
21
理论力学
§6-1 动量定理
主要研究：有质量连续并入或分出时，质点的动力学问题。
2011-11-17
22
理论力学
§6-1 动量定理
应用动量定理的积分形式
n
t2
∑ ∫ pt2 − pt1 =
I
(e) i
=
F
(e) R
13
理论力学
§6-1 动量定理
例：车身质量为m1 车轮总质量为m2 履带总质量为m3。（1）若车 身（平移）的速度为v, 求此时装甲车的动量p.（2）若履带与地面 的静滑动摩擦因数为f，求装甲车直线行驶的最大加速度a。
解：1、求系统的动量
n
∑ p = m i v Ci i =1
p = m1v + m2v + m3v = (m1 + m2 + m3)v m = m1 + m2 + m3
m0 = 10 mτ
mg
vr
O
x
dv
=
−
gdt
−
dm m
vr
ln10 ≈ 2.3
vτ
=
v0
−
gτ
+
vr
ln
m0 mτ
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
2011-11-17
25
理论力学
§6-1 动量定理
例：设长度密度为 ρ 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速 v 提升，求链条被提起的长度为y时力
=
FR(e)
∑ ⎧
⎪ ⎪
dpx dt
=
n
F ( e) ix
i=1
∑ 投影式
⎪ ⎨ ⎪
dp y dt
=
n
F ( e) iy
i=1
∑ ⎪
⎪
d
p
z
⎩ dt
=
n
F ( e) iz
i=1
2011-11-17
7
理论力学
§6-1 动量定理
动量定理的积分形式
t2
n
t2
∫ 其中：
I
(e) i
=
Fi(e)dt,(i = 1,2,L, n)
9
理论力学
§6-1 动量定理
引入质心的概念
∑ 质点系
总质量
n
m = mi
i =1
mi
z
vi
ri
rC m j
质心矢径 质心速度
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ mivi
vC
= r&C
=
i =1
m
o
x
y rj vj
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
如何确定：均质板、均质圆盘、均质杆的质心？
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。
F
2F
F
A
2011-11-17
F
B
C
17
理论力学
§6-1 动量定理
例题：已知：m1 , m 2 , R , v r 为常量，求：板的速度、加速度、
=
p0x
i =1
问题：如何用简便方法计算质 点系或刚体或刚体系的动量？
n
∑ p = m iv i i=1
2011-11-17
8
理论力学
§6-1 动量定理
问题：如何用简便方法计算下列质点系的动量？
已知：车身、车轮、履带的 质量和车身行驶的速度，求 车整体的动量。
2011-11-17
n
∑ p = m iv i i=1
m2 )R
2011-11-17
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理论力学
&y&C = i=1 m
2011-11-17
12
理论力学
§6-1 动量定理
例题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长为
L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向如
图），求该瞬时系统的动量和系统质心的速度。
y’
va
u
n
∑ p = m v C = m i v C i i =1
amax = gf
a mg
x
2011-11-17
Fs FN
15
理论力学
§6-1 动量定理
二、质心运动定理
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
矢量式
maC
=
F (e) R
n
∑
F (e) i
=
p& = ∑ m i v& i = m v& C
i =1
质心加速度
a C = v&C
投影式
⎧
∑ ⎪⎪ ∑ ⎨
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理论力学
§6-1 动量定理
问题：刚体系（特殊质点系）的质心矢径如何计算（如黑板）
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ m rC = m i ri i =1
确定两
n
∑ m i ri
nA
nB
∑ ∑ m Ai rAi +
m Bi rBi
个刚体 的质心
rC
= i=1 mA + mB
z Δm
u
v
当 Δt → 0 : Δm , Δv 存在 Δt Δt
0
m
xo
y
有 Δt → 0 : Δm → 0
m
dv dt
=
FR(e)(t)
+
dm dt
(u
−
v)
取：m 为动系 Δm 为动点
vr = u − v
mdv dt
=
FR(e)
+
dm dt
vr
2011-11-17
24
理论力学
§6-1 动量定理
整理上式可得： Δm(v − u) + mΔv + ΔmΔv = FR(e) (t* )Δt
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
2011-11-17
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理论力学
§6-1 动量定理
Δm Δt
(v
−
u)
+
m
Δv Δt
+
Δm
↓
Δv Δt
=
FR(e) (t * )
t 时刻
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0, v0 ，喷出燃气的相对
速度为 vr（常量），燃烧时间为 τ ，燃烧后火箭的质量为 mτ
求火箭燃烧完瞬时的速度 vτ（不计空气阻力，重力为常力）。
v y
解：
m
dv dt
=
mg
+
dm dt
vr
vr :2 ~ 3km/s
y:
m
dv dt
=
− mg
+
dm dt
(−vr )
∑ ∫ pt2 −
p t1
=
I
(e) i
i =1
=
t1
F
(e) R
d
t
是作用在第 i
个t1 质点 上外力的冲量
动量守恒情况
当：t ∈[t1,t2 ],t2
>
t1,
F (e) R
(t)
≡
0
则：p(t) = p0
n
∑ 当： t ∈[t1, t2 ], t2 > t1,
F (e) ix
(t
)
=
0
则：px (t)
d
t
i =1
t1Βιβλιοθήκη xt 时刻z Δm
u
v
m
o
y
t + Δ t 时刻
v + Δv
m + Δm
pt1 = pt = mv + Δmu,
pt2 = pt+Δt = (m + Δm)(v + Δv )
pt+Δt − pt = (m + Δm)(v + Δv) − mv − Δmu = FR(e) (t*)Δt, t* ∈(t,t + Δt)
动点：C1 ，C2
B
C2
ω
ve
动系：平动坐标系Ax’y’
x’
A
C1 vr
D
ω
va = ve + vr
y ':
v C1a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统动量
p
=
2m
⎛ ⎜⎝
u
−
L 2
ω
⎞ ⎟⎠
j
'
同理： v C 2a
=
ve
− vr
=
u
−ω
L 2
系统质心速度
vC
=
⎜⎛ u ⎝
−
L ω ⎟⎞
2⎠
j'
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理论力学
作业：6-4、6-5、6-6
三、变质量质点运动微分方程
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§6-1 动量定理
主要研究：有质量连续并入或分出时，质点的动力学问题。
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22
理论力学
§6-1 动量定理
应用动量定理的积分形式
n
t2
∑ ∫ pt2 − pt1 =
I
(e) i
=
F
(e) R
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理论力学
§6-1 动量定理
例：车身质量为m1 车轮总质量为m2 履带总质量为m3。（1）若车 身（平移）的速度为v, 求此时装甲车的动量p.（2）若履带与地面 的静滑动摩擦因数为f，求装甲车直线行驶的最大加速度a。
解：1、求系统的动量
n
∑ p = m i v Ci i =1
p = m1v + m2v + m3v = (m1 + m2 + m3)v m = m1 + m2 + m3
m0 = 10 mτ
mg
vr
O
x
dv
=
−
gdt
−
dm m
vr
ln10 ≈ 2.3
vτ
=
v0
−
gτ
+
vr
ln
m0 mτ
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§6-1 动量定理
例：设长度密度为 ρ 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速 v 提升，求链条被提起的长度为y时力
=
FR(e)
∑ ⎧
⎪ ⎪
dpx dt
=
n
F ( e) ix
i=1
∑ 投影式
⎪ ⎨ ⎪
dp y dt
=
n
F ( e) iy
i=1
∑ ⎪
⎪
d
p
z
⎩ dt
=
n
F ( e) iz
i=1
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§6-1 动量定理
动量定理的积分形式
t2
n
t2
∫ 其中：
I
(e) i
=
Fi(e)dt,(i = 1,2,L, n)
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理论力学
§6-1 动量定理
引入质心的概念
∑ 质点系
总质量
n
m = mi
i =1
mi
z
vi
ri
rC m j
质心矢径 质心速度
n
∑ m i ri
rC
=
i =1
m
n
∑ mivi
vC
= r&C
=
i =1
m
o
x
y rj vj
系统动量
n
p = ∑ mivi = mvC i =1
如何确定：均质板、均质圆盘、均质杆的质心？
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。
F
2F
F
A
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F
B
C
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§6-1 动量定理
例题：已知：m1 , m 2 , R , v r 为常量，求：板的速度、加速度、
=
p0x
i =1
问题：如何用简便方法计算质 点系或刚体或刚体系的动量？
n
∑ p = m iv i i=1
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§6-1 动量定理
问题：如何用简便方法计算下列质点系的动量？
已知：车身、车轮、履带的 质量和车身行驶的速度，求 车整体的动量。
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n
∑ p = m iv i i=1
m2 )R
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