高中数列教学案完整版

第三章 数列

第一教时

教材：数列、数列的通项公式

目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 过程：

一、从实例引入（P110） 1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10

2． 正整数的倒数 5

1

,41,31,21,1

3． ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012

4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,… 5．

无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

二、提出课题：数列 1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2． 名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a 3．

通项公式：n a 与n 之间的函数关系式 如 数列1： 3+=n a n 数列2：n

a n 1

=

数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4．

分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集

N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6．

用图象表示：— 是一群孤立的点

例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式 1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）

2．

数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 n n a )1(-=和

⎩⎨

⎧-=11n a *,2*

,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3．

已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 例二 （P111 例二）略

四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列 各数： 1．1，0，1，

0*,2

)1(11

N n a n n ∈-+=

+ 2．32-

，8

3，154-，245，356

-1)1(1)1(2

-++⋅-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(9

7

-⨯=

n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n

5．23，45，169，

25617

122

12-+=n n n a 五、小结： 1． 数列的有关概念 2．

观察法求数列的通项公式

六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时

教材：数列的递推关系

目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。 过程：

一、 复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）

二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()

2(=≥n n

证：显然1=n 时 ，11S a =

当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 211211--+++=n n a a a S ∴n n n a S S =--1

∴⎩⎨⎧-=-1

1S S S a n n n )1()

2(=≥n n

注意：1︒ 此法可作为常用公式

2︒ 当)(11S a =时 满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a 例二：已知数列{}n a 的前n 项和为①n n S n -=22②12++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 解：1．当1=n 时，111==S a

当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a

当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=

∴⎩

⎨⎧=n a n 23)2()

1(≥=n n

三、递推公式 （见课本P112-113 略）

以上一教时钢管的例子 3+=n a n

从另一个角度，可以： 14

11+==-n n a a a )

2()

1(≥=n n

“递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前

一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 （P113 例三）略

例四 已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．

解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a

∴

4

44

32211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a

)

+412-=-a a

)1(41--=-n a a n

∴)1(42--=n a n

例五 已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ． 解一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a 观察可得： n n a 2= 解二：由n n a a 21=+∴12-=n n a a 即

21

=-n n

a a ∴

11

2322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a

a a a a a a ∴n n n a a 2211=⋅=-