华南理工大学概率论-第3章
概率论与数理统计答案(华南理工)
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 2 2 ˆ 2 S50 Xi ( X ) 50 i 1
此时，ˆ ,
ˆ
2
为两个统计量
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近 假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入统计量中，有
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50 计算样本 的期望和
若总体的密度函数中有多个参数1，2，…，n，则将 ln L 第（3）步改为 0, (i 1, 2, , n) i 解方程组即可。
华理概率论答案第三册
a ≤ Eξ ≤ b,
Dξ
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
a
⎞2 ⎟⎠
。
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b .
又因为
a−b =a− a+b ≤ξ − a+b ≤b− a+b = b−a
2
2
2
22
⇒
ξ
− a+b 2
≤
b−a 2
， ⇒ Dξ
≤
E
⎛ ⎜⎝
ξ
−
a
+ 2
b
⎞ ⎟⎠
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
∑ ∑ ∑ 解
Eξ
=
∞
k
k =0
⋅
1 2k +1
=
∞
k⋅
k =1
1 2k +1
=
1 4
∞ k =1
k
⋅
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞k ⎟⎠
−1
，
令 x=1， 则 2
∑ ∑( ) ∑ ∞
∞
k ⋅ xk−1 =
k =1
k =1
xk
′
=
⎛ ⎝⎜
∞ k =1
xk
⎞′ ⎟⎠
=
⎛1 ⎝⎜ 1− x
−1⎞⎟⎠′
=
1 (1− x)2
∫ 解 Eξ = +∞ xe−xdx = 1； 0 E(2ξ + 3) = 2Eξ + 3 = 5 ；
∫ E(ξ + e−2ξ ) = Eξ + E(e−2ξ ) = 1+ +∞ e−2x ⋅ e−xdx = 4 ；
0
华南理工大学概率论-04-05含答案
所求真值μ的0.95的置信区间为[1816.23, 1833.77]（单位：℃）-------10分
解答与评分标准
一．1．（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）
二．1．0.85、2.n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4
(1) 4个球全在一个盒子里;
(2)恰有一个盒子有2个球.
四．(本题10分)设随机变量ξ的分布密度为
(1)求常数A; (2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.
五．(本题10分)设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是
η＝1
η=2
η＝4
η＝5
ξ＝0
0.05
0.12
0.15
0.07
ξ＝1
0.03
0.10
概率论试题（2004-2005学年第一学期）（含答案）
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设事件A和B的概率为 则 可能为（）
(A) 0; (B) 1; (C) 0.6;(D) 1/6
2.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）
(A) ; (B) ;(C) ;(D)以上都不对
3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）
(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对
4．某一随机变量的分布函数为 ，则F(0)的值为（）
(A) 0.1; (B) 0.5;(C) 0.25; (D)以上都不对
5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（）
概率论与数理统计-章节总结-华南理工大学 (2)
第3章随机变量3.1 随机变量1. 是随机事件概念的数量化----根据试验结果取值例1 口袋中有六个球，依次标有数字：－1,2,2,2,3,3,从口袋中任取一球，问取到球的数字是多少？用X表示被取到球的数字，那么X是一个变量，依赖于基本事件，称为随机变量。
随机变量是基本事件的函数，自变量是基本事件，事件带有随机性。
2. 定义（随机变量）并不是定义在基本空间上的任何函数都可以作为随机变量，而是要满足一定的要求，这就是书本上的定义（P39）对于例1，取x=2，则{w: X(w)<x}={取到“－1”号球}随机变量的表示：大写英文字母，或希腊字母随机变量取值的表示：3.2分布函数对于随机变量，不仅关心它取哪些数值，更关心，以多大的概率取那些值。
定义（分布函数）P39分布函数的性质 (1)单调不减性。
若21x x <, 则 )()(21x F x F ≤．(2) ;0)()(lim =-∞=∞-→F x F x ;1)()(l i m =+∞=∞+→F x F x (3)左连续性。
对任意实数0x ，有)()0()(lim 0000x F x F x F x x =-=-→3.3 离散型随机变量分布列 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p p x x x 2121 满足分布列的两个条件：(1) ),3,2,1(,0 =≥i p i(2) 11=∑∞=i iP与分布函数的关系∑∑<<===<=xx ixx i i i p x P x P x F )()()(ξξ堂上作业：用X 表示例1中取到球的数字，求X 的分布和分布函数 两点分布： 退化分布： 3.4二项分布 1. 分布律如果随机变量ξ有上述的分布律，记为~(,)B n p ξ（ξ服从二项概率分布）2. 定理事件A 至少发生1次的概率是(1)1(0;,)1n P b n p q ξ≥=-=- 例3-3已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?3. 最有可能的取值（1）当(n+1)p 恰为正整数，记为k0, 则00(;,)(1;,)b k n p b k n p =-同为二项分布概率的最大值；（2）当(n+1)p 不是整数时，记0((1))k ent n p =+，则0(;,)b k n p 为二项分布概率的最大值。
华理概率论与数理统计PPT C31ps
(1)非负性： p(x, y) 0 ；
(2)规范性：
p(x,
y)dxdy 1
★ ( , ) 落在平面区域 G 内的概率为：
P{( ,) G} p( x, y)dxdy . G
例 4. 设 ( , ) 具有概率密度
p(x, y)
P( X 0,Y 3) P( X 0,Y 4) P( X 1,Y 3)
P( X 1,Y 4) P( X 2,Y 3) P( X 2,Y 4)
20 5 30
55
000
210 210 210
210
二维离散随机变量的分布函数
续，因此， F(x, y) 的图形是由若干矩形平面块组 成的台阶形“曲面”。
例 3.二维随机变量 ( X ,Y) 的联合分布律为：
Y0
1
pi
X
0 0.3 0.2 0.5
1 0.2 0.3 0.5
p j 0.5 0.5
1
0,
x 0 or y 0
F
(x,
y)
0.3, 0.5,
解：设 X 及 Y 分别是取出的 4 件产品中一等品及二等
品的件数，则我们有
P( X
i,Y
j)
C3i C5j C24i j C140
，
i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; 4 i j 0,1,2
即 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4; i j 2,3,4
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布 ，对D内任意区域G，有
P{( X ,Y } G} SG SD
华南理工大学概率论第二章
第二章2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯= （3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+-，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立； 当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明 (())()()()()P A B C P ACBC P AC P BC P ACBC ==+-(()())()()()P A P B P C P AB P C =+-(()()())()P A P B P AB P C =+- ()()P AB PC =()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P AB P C P A B P C ==-所以，A B A B AB -、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+；（2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯=2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以 5551015201052530()()(|)C C C P AB P A P B A C C == 2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++=== 所以 123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =1111112b b ca ab a bc a b cC C C C C C ++++++= 2b b c aa b a b c a b c+=+++++2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯= （2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯= （3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生}（1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=；（3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+ 0.66%0.410%0.076=⨯+⨯=2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯ （2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））=2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A === 123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++））））））））0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯（2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，551()25(|)1()52P AB P B A P A === ；（3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯=2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.8639=2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757=（2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭===。
华南理工大学概率论和数理统计课后答案
1-9 设 A ={拨号不超过 3 次就能接通电话}，则
P ( A) =
1 9 1 9 8 1 + × + × × = 0.3 10 10 9 10 9 8
设 B ={若记得最后一位是奇数时， 拨号不超过 3 次就能接通电话}， 则
P( B) =
1 4 1 4 3 1 + × + × × = 0.6 5 5 4 5 4 3
三个数字不含 1 或 5， 即每次只能在 2、 3、 4 中进行抽取， 共有 33 = 27 种取法，故 P ( A) =
27 = 0.216 ； 125
1 C32C4 = 12
三个数字 5 出现两次，即有
P (C ) =
12 = 0.096 125
种取法，故
.
1-12 设 A ={指定的 3 本书恰好放在一起 }，10 本书的排列方法共有 10！种，而指定的 3 本书的排列方法有 3！种，剩下的 7 本书与指定 的 3 本书这一整体的排列有 8！种，故
所以
P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
=
1 1 1 Cb Cb Ca +c 1 1 1 Ca + b Ca + b + c Ca + b + 2 c
=
b b+c a a + b a + b + c a + b + 2c
2-11
设 A ={这批货获得通过}， B ={样本中恰有一台次品}， A ={这批空调设备退
1-15 （1） P ( A) =
； （2） P( B) =
1 1 C22 1 C2 C 8 1-16 （1） P( A) = 2 = ； （2） P( A) = 2 4 = . C6 15 C6 15
华南理工大学概率论与数理统计ppt课件
x 2.5
2 x
0.625
;
6
中心极限定理
✓ 设从均值为，方差为2的一个任意总体（正态/
非正态）中抽取容量为n的样本，当n充分大时 （n≥30） ，样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ、方差为σ2/n的正态分布。
一个任意分布 的总体
x
n
当样本容量足够大 时(n 30) ，样本均 值的抽样分布逐渐 趋于正态分布
第一个 观察值
1 2
第二个观察值
1
2
3
4
P(x)
1,1 1,2 0.31,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3
3,1 3,2 0.23,3 3,4
4
4,1 4,2 4,3 4,4
0.1
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
第二个观察值
1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2
1.5 2.0 2.5 3.0
2 (n) 分布的密度函数为
伽码函数
f
( y)
2n
1
2n
2
yn
e 21 y
2,
y
0
0,
; y0
(n 1) n!
18
2(n) 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4
其图形随自由度的 不同而有所改变.
t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
;
17
2 ——分布
《概率论》第3章分解
§3.1 随机变量及分布函数 21/9
离散型、连续型、均匀分布、指数分布、 分布函数图形特点、分布函数性质
第三章 连续型随机变量
§3.1 随机变量及分布函数 22/9
一个半径为2米的圆盘靶子,设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的 面积成正比,且射击都能中靶,记 表示弹X着 点与圆心的距离.求 的分布X函数.
解：显然当 x 时0 ，
R2m
X
F(x) P(X x) 0
若 0 x 由2题, 意有 F(x) P(X x) P(0 X x) k. x2
F(x) P(0 X 2) 1 k 1/ 4
F(x) P(X
若 x 由2, 题意有，
x) P(0
X
x)
x2 4
1 x2 4
③ F(x)是ⅹ的不减函数；
④ F(x)至多有可列个或有限个间断点，间断点是右
连续的。
P( c) F(c) F(c 0)
④ F(x)处处连续。
P( c) 0
第三章 连续型随机变量
§3.1 随机变量及分布函数 11/9
P(a b) F(b) F(a)
P(a b) P(a b) P(a b)
§3.1 随机变量及分布函数 1/9 第三章 连续型随机变量
§3.1 随机变量及分布函数 2/9
求ξ的分布函数：
0 1 2
p 0.1 0.6 0.3
解 F(x)＝P( x)
0 ＝00..71
1
x0 0 x 1 1 x 2
x2
F(x)
1
01 2 x
第三章 连续型随机变量
§3.1 随机变量及分布函数 3/9
ξ可以取[4,10]上的一切实数，“4≤ξ≤10”是一个必 然事件，P(4≤ξ≤10)=1.
华南理工大学《线性代数与概率统计》随堂练习及答案
第一章行列式·1.1 行列式概念1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第一章行列式·1.2 行列式的性质与计算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第一章行列式·1.3 克拉姆法则1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第二章矩阵·2.2 矩阵的基本运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第二章矩阵·2.3 逆矩阵1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第二章矩阵·2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C10.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D11.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B12.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A13.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第三章线性方程组·3.1 线性方程组的解1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第三章线性方程组·3.2 线性方程组解的结构1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A6.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C7.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A8.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D9.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C第四章随机事件及其概率·4.1 随机事件1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第四章随机事件及其概率·4.2 随机事件的运算1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为（）A．0.8 ;B．0.85;C．0.97;D．0.96.答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.4 条件概率与事件的独立性1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：AA4.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则两粒都发芽的概率为（）A．0.8 ; B．0.72 ; C．0.9 ; D．0.27 .答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则至少有一粒发芽的概率为（）A．0.9 ; B．0.72 ; C．0.98 ; D．0.7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C6.(单选题)设有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.9和0.8，在两批种子中各随机取一粒，则恰有一粒发芽的概率为（）A．0.1 ; B．0.3 ; C．0.27 ; D．0.26答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D第四章随机事件及其概率·4.5 全概率公式与贝叶斯公式1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.2 离散型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A5.(单选题)从一副扑克牌（52张）中任意取出5张，求抽到2张红桃的概率？A 0.1743;B 0.2743;C 0.3743;D 0.4743答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第五章随机变量及其分布·5.3 连续型随机变量1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第五章随机变量及其分布·5.4 正态分布1.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B2.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C3.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B4.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C5.(单选题)答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C。
华南理工大学概率论-03-04
2003学年上学期《 概率论与数理统计》试卷（A 卷，3学分用，共10道大题，120分钟，2004年1月）院系 __________________ 专业 、班级__________________姓名__________________ 成绩报告表序号__________________一、选择题（每小题3分，共24分）1． 假设事件A 和B 满足_________,则有P(B|A)=1。
（A ）B A ⊂ ；(B)0)A |B (P =；(C) B A ⊃；(D) A 是必然事件。
2． A ,B 是任意二事件，则下列各结论中正确的是_________。
（A ）;A B )B A (=-⋃（B ）;A B )B A (=⋃-（C ）;A B )B A (⊂-⋃（D ）A B )B A (⊂⋃-。
3． 设随机变量X 与Y 相互独立，其分布列分别为 X~ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 Y~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5.05.011 则下列各式正确的是_________。
（A ）;Y X =（B ）;0)Y X (P ==（C ）;21)Y X (P ==（D ）1)Y X (P ==。
4． 设随机变量X 的密度函数为)x 1(1)x (f 2+π=，则Y=2X 的密度函数为_________。
（A ）;)y 4(22+π（B ）;)y 4(12+π（C ）;)y 41(12+π（D ）)y 1(22+π。
5． 设随机变量X ，Y 满足)Y X (D )Y X (D -=+，则必有_________。
（A ）Y ,X 不相关；（B ）Y ,X 独立；（C ）;0)Y (D =（D ）0)XY (D =。
6． 设921X ,,X ,X Λ相互独立，且()9,,1i 1)X (D ,1)X (E i i Λ===，则对,0>ε∀有_________。
（A ）;1}1X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（B ）;1}1X 91{P 291i i -=ε-≥ε<-∑ （C ）;1}9X {P 291i i -=ε-≥ε<-∑（D ）291i i 91}9X {P -=ε-≥ε<-∑。
华理概率论复习
P(ξ > s + t |ξ > s ) = P(ξ > t )
23
（3）标准正态分布分布函数记为 Φ(x) ，
∫ 1
x
t2 −
即 Φ(x) =
2π
e
−∞
2 dt 。
Φ(x) 的性质：
(1) Φ(0) = 0.5 , (2) Φ(+∞) = 1, (3) Φ(−x) = 1− Φ(x) .
性质 2. E ( f ( X ) + g( X )) = Ef ( X ) + Eg ( X )
性质 3. 设 f ( x) ≤ g( x) ，连续或分段连续，则
Ef ( X ) ≤ Eg( X )
性质 4. 随机变量 Y 是 X 的函数， Y = f ( X )
n
∑ E Y = f ( x k ) p k k =1
1)对于任一事件 A ，有 P( A) ≥ 0 。 2) P(Ω) = 1
3)设 A1, A2 ,L 是两两互不相容的事件， 即对于 i ≠ j, Ai Aj = ∅,i, j = 1,2,L 则有
P( A1 U A2 UL) = P( A1 ) + P( A2 )+L
7
性质： 1) P(∅) = 0 2) A1, A2 ,L An 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 则 有
2)ξ 的边际概率密度：
+∞
∫ pξ ( x) = −∞ p( x, y)dy
30
三、条件分布
离散型随机变量的条件分布
Pξ|η ( xi | y j ) = P(ξ = xi | η = y j )
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两点分布
特别，称n=1的二项分布为两点分布， 其分布列为
1 p
0 q
定理2
设ξ∽B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p] 则k=k0时，b(k;n,p)的值最大。 若 (n+1)p为整数，则b(k0;n,p)= b(k0－1;n,p)
则称上式为ξ的概率分布律。也可写作：
x1, x2, , xn ,
p p1, p2, , pn ,
称为ξ的 分布列
显然
(1) (2)
pi 0 i 1，2 ，
pi 1
i 1
例
在试验1中，假设两次射击是相互独立的，且是 否命中目标的概率各为0.5，则ξ的分布列为
0
1
1
2
p 0.25 0.25 0.25 0.25
P(
k)
CMk
C
nk N M
CNn
,
k 0,1,2, , n
负二项分布
在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现 第r次成功时所作的试验次数所服从的分布称为 负二项分布.
P(
k)
C r1 k 1
p
r
q
k
r
f k;r, p
k r, r 1, r 2,
q 1 p
由于f(k;r,p)是负指数二项式
（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予 服务的顾客个数；
▪ 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数； ▪ 落在显微镜片上的某种细菌个数
泊松定理
设随机变量ξn服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, …)， 其中概率pn与ｎ有关，并且满足
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1
pn
nk
k e ,
退化分布
如随机变量ξ只取常数C，则称ξ服从退化分 布。
显然 P(ξ=C)=1
退化分布也称为单点分布
§3.4 二项分布与泊松分布
二项概率公式
设在一次试验中，事件Ａ出现的概率为p (0<p<1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现 次数ξ的分布律为
P{ k} Cnk pk qnk 其中q 1 p
解 设ξ为击中目标的弹数，
则ξ～B(5000,0.001) ，
下面用近似公式计算。其中λ=np=5000×0.001=5
（１）击中12弹的概率为：
P 12 12 e 512 e5 0.0034
12! 12!
（２）至少击中12弹的概率为：
P 12 k e 5k e5 0.0055
k!
k 0, 1, 2,
由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布
证明 ： 令npn n
即pn
n
n
C
k n
pnk 1
pn nk
nn 1n 2
k!
n k
1 n
n
k
1
n
n
nk
1
1 n
1
2 n
1
k
1 n
nk
n
k
1
n
nk
k!
n n
1
1 n
1
2 n k!
§3.3 离散型随机变量
离散型随机变量
如随机变量的取值只有有限个或可列多个， 则称它为离散型随机变量。
•随机试验１：接连进行两次射击，０表示未击
中目标，１表示击中目标。样本空间：
1 0, 0, 2 0, 1, 3 1, 0, 4 1, 1
现在我们设定随机变量ξ表示击中目标的次数，则
1
l
1)
(1)l r(r 1) (r l 1) l!
➢ ξ 的分布函数也常简记为Fξ(x)= P{ξ<x}
分布函数的性质
任一随机变量ξ的分布函数F(x)，x∈(－∞，＋∞)， 具有下列性质：
(1)单调不减性 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2)
证明： 若x1<x2 ，则有 x2 x1
根据概率的性质，得P{ξ<x2} ≥P{ξ<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
解 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机
变量ξ～B（n，0.96） 由题意有P（ξ≥1）=1-(1-0.96)n >0.999
故
n>lg0.001/lg0.04=2.15
取n=3，即需要发射3枚导弹。
例2 （渔佬问题） 渔佬想知道自己承包的
鱼塘中鱼的条数。
渔佬先从塘中网起100条鱼做上记号后 放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中 网起80条，发现其中有记号者为2条，求鱼的 总数N。
解 设有记号的鱼的条数为ξ，则ξ服从二
项分布B(80，100/N)。 由定理2，捞起的鱼最有可能是
Int((n+1)p)条， 因此(80+1)×100/N=2 由此解得 N=4050（条）
泊松分布
若离散型随机变量ξ的分布律为
P k k e
k!
k 0, 1, 2,
其中λ>0是常数，则称ξ服从泊松分布。 记 为ξ～P(λ) ，λ称为参数。
P 2 20 k e 20 0.2k e0.2 0.0176
k2 k!
k2 k!
（2）设η表示同一时刻发生故障的设备数，则 η～B(80,0.01)。
当同一时刻至少有４台设备发生故障时， 就不能及时维修。
用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ， 得
P 4 80 k e 80 0.8k e0.8 0.0091
1 pn
nk
k e ,
k!
k 0, 1, 2,
在应用中，当ｎ很大（n≥10 ），ｐ很小 (≤0.1) ，我们有下面的泊松近似公式
P
k
Cnk
pk q nk
k
k!
e ,
k 0, 1, 2, n
其中λ=np
例3 设每次击中目标的概率为0.001，且各次
射击是否中目标可看作相互没有影响，如果射 击5000次，试求：(１)击中12弹的概率；(２)至 少击中12弹的概率。
证明：令r＝bbkk;1n;,np, p
则r (n k 1) p kq
1 (n k 1) p kq kq
1 (n 1) p k kq
1)当k (n 1) p时，r 1。
即bk; n, p bk 1; n, p
bk; n, p
bk (n 1) p时，r 1。
几何分布
在“成功”概率是p的贝努利试验中，若 以记首次出现“成功”的试验次数。则所 服从的分布便是几何分布。
P( k) qk1 p g(k; p),
q 1 p k 1,2,
显然
g(k; p) qk1 p p
1
1
k 1
k 1
1 q
例6 一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一
把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开 门，在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用，问 此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少？
k4 k!
k4 k!
计算结果表明，由三人共同负责维修８ ０台，每人平均约维修２７台，比一个单独 维修２０台更好，既节约了人力又提高了工 作效率。
例5 某商店由过去的销售记录表明，某种
商品每月的销售件数可以用参数λ=7的泊松 分布来描述，为了以0.999以上的把握保证 不脱销，问该商店在月底至少应进这种商品 多少件？
k12 k!
k12 k!
例4 设有同类设备８０台，各台工作相互独立
的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的 故障可由一个人来处理，试求
（１）一个人负责维修２０台设备时，设备发 生故障而不能及时维修的概率；
（２）由三个人共同负责维修８０台设备时， 设备发生故障而不能及时维修的概率。
解： (1)设表示同一时刻发生故障的设备台数。
解：设该商店每月销售ξ件，月底进货为a件，
则当ξ≤a 时，就不会脱销。根据ξ～P(7) 得
P a 1 P a 1 7k e7
ka1 k!
由题意有 P a 0.999
即
1 7k e7 0.999
k a1 k!
0.001 7k e7
ka1 k!
查表得 a+1=17 即 a=16 这家商店至少要在月底进16件这种商品。
( 1 q )r pp
展开式中的项，故所服从的分布称为负二项分布。
由此也可以证明
f k;r, p 1
k r
证明
f k;r, p
C r1 k 1
p
r
q
k
r
k r
k r
C r1 r l 1
p
r
ql
Cl r (1)l pr ql
l0
l0
pr (1 q)r 1
其中
Cl r
r(r
1) (r l!
有bk; n, p bk 1; n, p bk; n, p随k的增大而减小。
k k0
3)当k (n 1) p时，r 1。 即k k0时
有bk0; n, p bk0 1; n, p
故 当k k0时，b(k; n, p)取得最大值。
例1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的
概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能 保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?
2
3
4
0
1
1
2
• 随机试验２：观察某电话交换台单位时间内接
到的呼唤次数。样本空间Ω={0,1,2,…}，以ξ表示接 到的呼唤次数，那么，ξ=ξ(ω)=ω，ω∈Ω是离散型 随机变量。