大学物理(中国矿业大学出版社)第九章习题

第九章习题

9.1 卢瑟福试验证明，当两个原子核之间的距离小到15

10

m -时，他们之间的排斥力仍遵守

库伦定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核中有两个质子。已知每个质子带电量为：

191.6010C e -=⨯，α粒子的质量为276.6810kg -⨯，当α粒子与核相距为156.910m -⨯时，

求：⑴ α粒子所受的力；⑵ α粒子的加速度。

解：α粒子的带电量为：2Q e α=，金核的带电量为：19Q e =金 15

6.910

m r -=⨯，276.6810kg M α-=⨯

2

22

279764N Q Q e F k k r r

α⨯===金 加速度()2921.1410m s F

a M α

=

=⨯ 9.2 两个相同的小球，质量都是m ；带等量同号电荷q ，各用长l 的细线挂在一起，设平衡时两线夹角为2θ很小。

⑴ 证明下列近似等式：13

202q l x mg πε⎛⎫

= ⎪⎝⎭

式中x 为两球平衡时的距离。

⑵ 如果 1.2m l =，2

1.010kg m -=⨯，2

510m x -=⨯，则每个小球上的电荷q 是多少库

仑？

解：⑴ 对m 进行受力分析列方程为：

cos mg T θ=， sin F T θ=电

tan 2F x mg l θ=

=电（θ很小时，tan 2x l

θ≈） 即：13

2232

02002422q x q l mgx q l x mgx l mg πεπεπε⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝⎭

⑵ 132

32

8002022 2.3810C 42mgx q x mgx q l q mgx l l πεπεπε-⎛⎫=⇒=⇒==⨯ ⎪

⎝⎭

9.3 两个点电荷带电量为2q 和q ，相距为l ，将第三个电荷放在何处，所受库仑力为零？

解：0120121

4qq F r πε=

，0

2

20214qq F r πε= 方向相反

当所受合力为零时，121222

1221:F F r r r r =⇒=⇒=

)1221r r l r l +=⇒=

（2

r 为距q 的位置）

(1

2r l = （1

r 为距2q 的位置）

9.4 两个点电荷，

618.010C q -=⨯，

621610C q -=-⨯，相距0.2m ，求离它们都是0.2m 出

的电场强度E 。

解：由图中可得，1q ，2q 产生的电场强度应该是1E 和2E 的合成。

()9661

12

0910810 1.810N C 40.04

q E r πε-⨯⨯⨯===⨯ ()966

2

12

09101610 3.610N C 40.04

q E r πε-⨯⨯⨯===⨯ 电场强度为：()6

12cos60cos60 2.710

N C x E E E =+=⨯

()6

12sin60sin60 1.5610N y E E E =-=-⨯

大小为：()63.110V m E =

=⨯，方向：与12q q 连线成30，右斜向下。

9.5 有四个正点电荷，电量都是q ，分别放在边长为a 的正方形的四个顶点。求正方形中心 放一个什么样的电荷，可以使每个电荷都达到平衡。

解：正方形中心处的电荷为'

q ，四个顶点处的为q ，正方形的边长为a ，则右下顶点处

的电荷所受的电荷力为：2

12

014q F a

πε=方向竖直向下 222014q F a πε=方向水平向右，2

320142q F a πε=方向沿着对角线向外

这四个力的合力为：2

312

01142q F F a πε⎡=+=

⎢⎣合方向沿着对角线向外

12

此电荷所受中心电荷的力为：'222001211442qq q F F a a πεπε⎡==-=-+⎢⎣合

因此中心所放的电荷应为：'

14

q q +=-

9.6 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。求：⑴ 细棒中垂面上到棒的距离为a 处的电场强度；⑵ 细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度大小。 解：

9.7 半径为R 的半球面，均匀带电，电荷密度为σ，求球心处的电场强度。

解：分析：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点

处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。 带电圆环在P 点的场强为：()322

2

01ˆ4qx

E r

a x πε=

+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()

3

3

2

2

2

0044hdq hdq

dE R r h

πεπε=

=

+

上式中()2

22sin dq r Rd R d σπθπσθθ==

即：33

00

2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ

θθθπεε== 整个半球面为：2000

sin cos 24E dE d π

σ

σθθθεε===⎛⎜⎠⎰，方向沿半径向外 9.10 半径为R 的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求电场强度分布。 解：无限长圆柱体带电所激发的电场具有轴对称性，可用高斯定理。

取高斯面为：半径为r ，长为l 的圆柱体，轴线为圆柱带电体的轴线。 当r R <时，高斯定理为： 2110

1

22r E rl r l E ρπρπεε•=

⇒=

当r R >时，高斯定理为：

2

2

22001

22R E rl R l E r

ρπρπεε•=⇒=

9.11 在半径为1R 和2R 的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷1Q 和2Q ，求：⑴ Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电场强度分布；⑵ 若12Q Q =-，情况如何。