第1部分第3章 特征标理论(1) 群论讲义PPT
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群论群论基础课件
f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
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C
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4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
第1部分第3章 特征标理论(2)
hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
群论课件
24
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
群体理论ppt课件
31
群体决策中的问题
小群体意识 极端性偏移
32
小群体意识的产生机制
群体凝聚力
决策群体 与外界隔
障
反馈
离
碍
小群体意识
错误决策
群体领导 对倾向方 案的推动
33
小群体意识产生的原因
群体凝聚力的作用 群体的孤立 领袖人物的作用
34
小群体意识特点
顺从性的思维 有倾向性地选择信息 无懈可击的错觉 相信群体无所不能
4
3.按群体的社会性质分：
若将群体分类按三个维度划分，如下图
A
促
进
发
社 会
展
发
展
趋
②
①
向
③
阻
碍 社
④
⑤
会
发
展
B
(1)先进集体型
群体与个人联系程度ຫໍສະໝຸດ (2)一般集体型 (3)中间型
(4)一般反社会团伙型
(5)黑社会团伙型
5
群体成员加入群体的目的
安全需要 地位需要 情感需要 权力需要 实现目标的需要
好冒险 重名誉 性格较独立 顺应能力弱 富于专业精神 少数派
依附性强 重视一般知识
好安定 重头衔 性格较普遍 顺应力强 业余精神 多数派
23
群体凝聚力
群体对其成员的吸引力 成员对群体的向心力 群体成员的相互吸引
24
影响群体凝聚力的因素
信息沟 通状况
群体的领 导方式
群体的 地位
群体目 标结构
19
从众的意义
从众有助于形成群体的一致行为，有助于 实现群体目标。
从众的实质是通过群体来影响和改变个人 的观念和行为。
群体决策中的问题
小群体意识 极端性偏移
32
小群体意识的产生机制
群体凝聚力
决策群体 与外界隔
障
反馈
离
碍
小群体意识
错误决策
群体领导 对倾向方 案的推动
33
小群体意识产生的原因
群体凝聚力的作用 群体的孤立 领袖人物的作用
34
小群体意识特点
顺从性的思维 有倾向性地选择信息 无懈可击的错觉 相信群体无所不能
4
3.按群体的社会性质分：
若将群体分类按三个维度划分，如下图
A
促
进
发
社 会
展
发
展
趋
②
①
向
③
阻
碍 社
④
⑤
会
发
展
B
(1)先进集体型
群体与个人联系程度ຫໍສະໝຸດ (2)一般集体型 (3)中间型
(4)一般反社会团伙型
(5)黑社会团伙型
5
群体成员加入群体的目的
安全需要 地位需要 情感需要 权力需要 实现目标的需要
好冒险 重名誉 性格较独立 顺应能力弱 富于专业精神 少数派
依附性强 重视一般知识
好安定 重头衔 性格较普遍 顺应力强 业余精神 多数派
23
群体凝聚力
群体对其成员的吸引力 成员对群体的向心力 群体成员的相互吸引
24
影响群体凝聚力的因素
信息沟 通状况
群体的领 导方式
群体的 地位
群体目 标结构
19
从众的意义
从众有助于形成群体的一致行为，有助于 实现群体目标。
从众的实质是通过群体来影响和改变个人 的观念和行为。
群论课件ppt
有限集合
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
3-2 特征标表PPT课件
1群表示理论目录3群表示理论234广义正交定理35特征标表36直积群的表示37某些群的不可约表示特征标表34广义正交定理对于群g的每个操作rgm和gn是具有矩阵dmr和dnr维数分别为nm和nn的二个不等价不可约酉表示那么它们的矩阵元之间满足下列方程
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
感谢聆听本课程，课件可任意 编辑，请下载后调整使用
1 2
0
1
32
12
32
12
d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
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1 2
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12
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12
d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵
群论讲义
第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
第1部分第3章 特征标理论(2)
[ 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 ] • 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
群论及应用ppt课件
证明：
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
（5）所有群都有一个全对称表示
（6） xi2 (R) 4 xi2 (R) 1 R
（7）正交性： xi (R)x j (R) 0
R
x(R) 1
（8）特征标表
C 2V
E
A1
1
A2
1
B1
1
B2
1
C2
1 V
2 V
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
熊夫利符号 对称操作 A，B 一维 E 二维 T 三维 g, u 中心对称与反对称
还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则： OP' e' r er '
因为
e ' eD(R)
OP' eD(R)r er'
r ' D(R)r
（3）
比较（3）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
R
h lil j
第1部分第3章 特征标理论(1)
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1)二, 特征标的性质(1) 同类群元的特征标相同证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T )= tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ]= tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ]= tr D ( R ) = χ ( R )即特征标是类的函数 *(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ](3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化;2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题;3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息.[ 提问: 丢掉了什么信息? ][ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ][ 提问: 为什么 ? ][ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ]*（二）可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的（矩阵）形式一般说来不是唯一的。
通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示，但它们的特征标相同，是确定的。
2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其（准）对角化,这就是可约表示约化的过程。
如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。
第三章-群体理论课件
• 执行团队效率提高的途径：
• 团队的学习设计 • 对成员有效的激励 • 心理安全的环境
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34
• 5、项目团队
• 来自组织不同工作和领域的员工集体，他们共同工作，在特 定的时间内完成某个特定的任务。
• 需要创造性解决问题，要求使用不同类型的专业知识
• 需要紧密合作的特定项目：设计和开发、生产新产品、测 试新产品等。
社会消耗
强化简单任 务的绩效
损害复杂任 务的绩效
损害简单任 务的绩效
强化复杂任 务的绩效
PPT学习交流
25
社会便利的驱动理论
如果十分了解
正确的 反应
他
激
人
强化表现出优
在
势反应的倾向
场
励
如果不太了解
不正确 反应
提高 绩效
损伤 绩效
PPT学习交流
26
社会便利的离散-冲突理论
有机体 执行某 种任务
旁观者 或合作 者的在
• 管理层对生产团队的兴趣通常都在于寻求提高员工激励和绩 效的方式。
• 自治性的团队工作：指一个过程，管理层给予正式群体以权 力，使其能够在如何以群体为基础开展工作方面制定决策， 而不需要参考管理层的意见。
PPT学习交流
36
• 四、日本团队与欧美团队
• 1、日本团队（丰田主义）：运用特定管理原则的团队，这些 原则包括：最少的人员配备、任务多样性、多功能的机器操 作、提前界定的工作程序、重复性的短周期工作、有力的一 线监督、传统的管理层级。
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10
PPT学习交流
11
社会关系网络 图
B
A
D
E
C
F
G
• 团队的学习设计 • 对成员有效的激励 • 心理安全的环境
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• 5、项目团队
• 来自组织不同工作和领域的员工集体，他们共同工作，在特 定的时间内完成某个特定的任务。
• 需要创造性解决问题，要求使用不同类型的专业知识
• 需要紧密合作的特定项目：设计和开发、生产新产品、测 试新产品等。
社会消耗
强化简单任 务的绩效
损害复杂任 务的绩效
损害简单任 务的绩效
强化复杂任 务的绩效
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社会便利的驱动理论
如果十分了解
正确的 反应
他
激
人
强化表现出优
在
势反应的倾向
场
励
如果不太了解
不正确 反应
提高 绩效
损伤 绩效
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社会便利的离散-冲突理论
有机体 执行某 种任务
旁观者 或合作 者的在
• 管理层对生产团队的兴趣通常都在于寻求提高员工激励和绩 效的方式。
• 自治性的团队工作：指一个过程，管理层给予正式群体以权 力，使其能够在如何以群体为基础开展工作方面制定决策， 而不需要参考管理层的意见。
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• 四、日本团队与欧美团队
• 1、日本团队（丰田主义）：运用特定管理原则的团队，这些 原则包括：最少的人员配备、任务多样性、多功能的机器操 作、提前界定的工作程序、重复性的短周期工作、有力的一 线监督、传统的管理层级。
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社会关系网络 图
B
A
D
E
C
F
G
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D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例:பைடு நூலகம்D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
[答案2: D6 和 D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同]
下面的任务是寻求获得约化系数 ai 的规范化程序
*
(二) 不可约表示特征标正交性定理
8
若 D i ( R ) 和 D j ( R )为群 G 的不等价不可约幺正表示, 则有
R i * ( R ) j ( R ) = ij h - ------------------ (4) 或 C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ( hC为类 C 的群元数) --- (4)’ 证明: 根据表示矩阵元正交性定理有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
∣0
└ 0 0 1 ┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘
┌ 1 0 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐
C2 B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣
∣0
└ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐
C2 C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣
∣0
└ 1 0 0 ┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘
( w = 31/2/2 ) 讨论: 1, 同一表示中同类元的特征标相同 ( 特征标是类的函数 );
[ 提问: 已知D1, D2, D3 是 D3 群的三个不等价的不可约表示, 试说明 D4, D5, D6的可约性及其根据 ] ( 见下页 ) *
第一部分 群论基础
第三章 群表示特征标理论 (1)
四, 可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 )
4
(1) 只要知道群的所有不可约表示的特征标 ( 即不可约表示特征 标表 ), 就可对该群任一表示的可约性作出判断.
1, 如该表示的特征标和某一不可约表示的特征表完全相同, 则
与这一不可约表示等价, 亦为不可约表示. [ 提问: 为什么? ]
以 D3 群为例验证公式 (4)’
9
C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ------------------- (4)’ 已知D3 群的不可约表示特征标表为:
D3 E 3C2 2C3
1 1 1
1
2 1 –1 1
3 2 0 -1
若令 i = 1, j = 2 , 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•1 + 3•1•(-1) + 2•1•1 = 1– 3 + 2 = 0 若令 i = 2, j = 3, 则有
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
R Di*( R )Dj ( R ) = ij h/nj [ 提问: = ? ]
∣2
└0 0 1 ┘
└ 0 0 1┘
└0 1 ┘
┌ 0 1 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
C3 D ∣ 0 0 1∣ 0 ∣3/4, 1/4, W∣ 0 ∣
∣ -1
└ 1 0 0 ┘ └ W -W, -1/2┘ └-31/2/2, -1/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
[ 答案: 矩阵的相似变换不改变特征标和可约性. ]
2, 如该表示的特征标和任一不可约表示的特征标都不相同, 则
该表示可约. 其特征标可由不可约表示的特征标线性组合
而成 ( C ) = i i ( C ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (2) (2) 约化系数
该 ai 即为该表示约化后第 i 个不可约表示出现的次数, 即 约化系数
R i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
[ 答案: = 1 ]
(3) 对 求和 R i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
R i *( R ) j ( R ) = ij h ----------- (4) [ 提问: h = ? ]
或 C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ---- (4)’ [ 答案: h = h nj ] *
(三) 类矢量和类空间
10
[ 提问: 何为群元空间? ]
[ 答案: 群元矢量 R 作基矢构成的空间. ]
一, 类矢量: 同类群元矢量之和并经归一化为类矢量
D3
E 3C2 2C3
7
D1 1 1
1
1
D2 2 1 –1 1
D3 3 2 0 -1
D4 4 3 1 0
D5 5 3 1 0
D6 6 2 0 -1
[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同]
[提问: 约化的结果是什么? 为什么?]
[答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?]
C3 F ∣ 1 0 0 ∣ 0 ∣3/4, 1/4, -W∣ 0 ∣
∣ -1
└ 0 1 0 ┘ └-W, W, -1/2┘ └ 31/2/2, -1/2 ┘
( w = 31/2/2 )
*
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌ 0 1 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 0 -1 ┐
C2 A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣