二阶常系数线性齐次微分方程
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数线性微分方程
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx e q pr r因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,01121=+=++p r q pr r 从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得t e t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . =-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得 x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
r1
(二重根） 二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写 出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程 解 特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解 特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解， 虽是该方程的解，却不是通解。 却不是通解。因为上面的函数中 虽形式上包含两个任意常数， 虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
6-4二阶常系数线性微分方程
的通解,则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程①的通解 .
定理 4.
是二阶非齐次线性方程的
y p(x) y q(x) y f (x)
两个解, 则 y y2( x) y1( x) 是该它对应的齐次方程
的解.
y p(x) y q(x) y 0
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C 1 er1 x C 2 er2 x
(2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x )er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
三、二阶常系数非齐次线性方程解的结构
k的取值分下面三种情况： (1) 当λ不是特征方程的根时，取k=0;
(2) 当λ是特征方程的根，但不是重根时，取k=1;
(3) 当λ是特征方程的重根时，取k=2.
例1.
的通解.
解:易求 y y 0 的特征方程
的特征根为
1 1, 2 1. 本题取λ=0. λ=0不是特征方程的根，
故取k=0. 设所求特解为
一、f ( x) e x Pn ( x) 型 y p y q y f ( x) (1)
为实数 , Pn( x)为 n 次多项式 .
Pn x a0 xn a1xn-1 an-1x an
可以证明方程(1)的特解具有形式
y* xk e x Qn ( x) ,
其中 Qn ( x) 是一个与 Pn(x)具有相同次数的多项式，
转化
求特征方程(代数方程)之根
对于二阶常系数齐次线性方程 ①
和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明要证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解，我们需要先了解什么是齐次线性微分方程以及常系数线性微分方程。
一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx + P(x)y = 0，其中P(x)是一个关于x的函数。
对于这个方程，我们可以使用分离变量法来解得通解。
二阶常系数线性微分方程可以表示为d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。
对于这个方程，我们可以假设一个特解y=e^(rx)来解方程。
将这个特解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。
解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂，也就是说特征方程有两个解。
现在我们来证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解。
假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。
我们假设这个方程的通解为y = e^(rx)，其中r是一个常数。
将这个通解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。
解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂。
因此，我们可以得到两个特解y₁ = e^(r₁x)和y₂ = e^(r₂x)。
根据线性微分方程的性质，我们知道齐次线性微分方程的通解是两个特解的线性组合。
因此，我们可以将通解表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂是任意常数。
这就是二阶常系数齐次线性微分方程的通解。
举一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² - 2 dy/dx + y = 0。
我们可以解特征方程r² - 2r + 1 = 0，得到一个重根r=1、因此，我们可以得到一个特解y₁ = e^(x)。
根据通解的表达式，我们可以得到这个方程的通解为y = C₁e^(x) + C₂xe^(x)，其中C₁和C₂是任意常数。
微分方程
求出．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ．
这是因为，函数 y1= e r1 x 、y2= e r2 x 是方程的解，
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
y=eαx (C1cos β x+ C2sin β x)．
这是因为y=是方程的解， y= eαx(cos β x+ i sin β x)， 可以验证，y1=eαxcos β x、y2=eαxsin β x是方程的线性无关解．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
微分方程-二阶常系数齐次线性微分方程
其中 pi ( i = 1, 2 ,L , n )均为实常数 .
特征方程为
r n + p1r n1 + L + pn1r + pn = 0
特征方程的根
若是 k 重根 r
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 )e rx
而 y ′ = 5C1 sin 5 x + 5C 2 cos 5 x 再由 y ′ | x = 0 = 5,
得 C 2 = 1, 故所求方程特解为
y = 2 cos 5 x + sin 5 x
d2 x 3. 求微分方程 + λ x = 0 (λ 为常数 ) 2 dt 的通解
解 特征方程为 r 2 + λ = 0, 特征根 r1, 2 = ± λ .
2. 当 Δ = p 2 4q = 0 时，
L[ y2 ] =
r1 x L[ue ]
= 2( r r1 )
0
r1 x = e [u′′ + (2r1 +
p)u′ + (r12 + pr1 + q)u] = 0,
0 Q r是特征根，且是重根
∴ F ( r1 ) = r12 + pr1 + q = 0
下面分三种情况讨论
(1) 若λ < 0,
则 r1, 2 = ± λ 为两个不相等的实根
方程的通解为
λt
x = C1e
+ C 2e
λt
( 2) 若 λ = 0,
二阶常系数线性微分方程
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
大学数学_6_6 二阶常系数齐次线性微分方程
当系数 P( x), Q( x) 分别为常数 p , q 时，方程 y py qy 0 （3） 称为二阶常系数齐次线性微分方程. 类似的，方程 y py qy f ( x) ( f ( x) 0) （4） 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 为了求解二阶常系数齐次线性微分方程， 我们先对二 阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构作一些讨论.
1 x
1 x
1 x
所以 y2 e 2 x , y3 e1 x 也是原微分方程的解.
由定理 1 可得，C1 y1 C2 y2 （C1 , C2 是任意常数）是原 方程的解.又因两个任意常数C1 , C2 不可能合并为一个任意 常 数 ， 而 所 给 方 程 是 二 阶 的 ， 因 此 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. 而 C1 y1 C3 y3 e x (C1 C3e) Cy1 ( 其中C C1 C3e) 实 质上只含有一个任意常数 , 故C1 y1 C3 y3 是原微分方程的 解，但不是原微分方程的通解. y1 e x 由例 1 可见， 2 x e 3 x 常数 （称 y1 e x , y2 e 2 x y2 e 是线性无关的） ，所以 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. y3 e1 x 而 x e 常数（称 y1 e x , y3 e1 x 是线性相关的） ， y1 e 这就使得 C1 y1 C3 y3 中的常数可以合并成一个常数，从而 它不能构成原方程的通解.
ds 满足初始条件 s t 0 1, t 0 3 的特解. dt 2 2 解 特征方程 4r 4r 1 0 ，即 2r 1 0 , 1 特征根为 r1 r2 ，因此，所给方程的通解为 2
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
目录 上页 下页 返回 结束
6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 C1 = 0 , C 2 = 3
所以所求特解为
1 −2 x y = e sin 3 x 3
主要内容
二阶常系数线性齐次微分方程及其解法 解法 特征方程法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法 特征方程法. 通解的方法称为特征方程法.
2
所以 Au ′′ = 0
0 u′′( x) = 0
0
u ( x) = C1 + C2 x
~
~
取 u( x) = x,
则 y2 = xe λ1x
λ1x
所以方程的通解为 所以方程的通解为 y = (C + C2 x)e 1
(3) 当 B2 − 4AC < 0 ,方程有一对共轭复根 特征根为 λ1 = α + iβ ,
′ ′ y′′ = C1 y1′ + C2 y2′
的左边， 把 y′ y′′ 代入方程 Ay′′ + By′ + Cy = 0 的左边，得 、
′ ′ ′ ′ ′ A(C1 y1′ + C2 y2′ ) + B(C1 y1 + C2 y2 ) + C (C1 y1 + C2 y2 )
′ ′ ′ ′ = C1 ( Ay1′ + By1 + Cy1 ) + C2 ( Ay2′ + By2 + C ) y2
第四节
二阶常系数线性齐次微分方程
方程
Ay′′ + By′ + Cy = f (x)
其中
为二阶常系 数线性微分 方程
A 、B 、C 是已知常数 且 A ≠ 0 是已知常数,且
若f ( x) = 0
为二阶常系 数线性齐次 数线性齐次 微分方程
Ay′′ + By′ + Cy = 0
解的结构. 下面介绍方程 Ay′′ + By ′ + Cy = 0解的结构
λ1, 2 = −2 ± 3i
y=e
−2 x
所以所求方程的通解为
(C1 cos 3 x + C2 sin 3 x)
对上式求导,得 对上式求导 得
y′ = e −2 x [(3C2 − 2C1 ) cos 3x − (3C1 + 2C2 ) sin 3x]
代入以上二式,得 将 y (0) = 0 、y′(0) = 1 代入以上二式 得
= e (cos βx + i sin βx ) = e (cos βx − i sin βx )
αx
αx
− iβ x
重新组合
1 y = ( y1 + y2 )= eαx cos βx , 2
* 1
1 y = ( y1 − y2 ) = e αx sin βx , 2i
* 2
* * y1 和 y2 线性无关 不难看出
λ2 = α − iβ
y1 = e
(α + iβ ) x
, y2 = e
(α −iβ ) x
利用欧拉公式
e = cos θ + i sin θ
可将 y1和 y 2 改写成如下形式
iθ
y1 = e y2 = e
(α + i β ) x (α − i β ) x
= e ⋅e = e ⋅e
αx
αx
iβ x
得方程的通解为
y = e (C1 cosβx + C2 sinβx).
αx
求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤 求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤: 二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤 （1）写出相应的特征方程 ）写出相应的特征方程; （2）求出特征根 ）求出特征根; 按下表写出方程的通解 （3）根据特征根的不同情况 按下表写出方程的通解 ）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解.
= C1 ⋅ 0 + C2 ⋅ 0 = 0
定理5 定理5-2 若函数 y1 ( x)、 y2 ( x) 是方程 Ay′′ + By′ + Cy = 0 的两个线性无关的特解， 的两个线性无关的特解，则
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)
是方程 Ay′′ + By′ + Cy = 0的通解 其中 C 1、 C 2为任意常数 通解,其中
y1 ( x) 、 2 ( x) 线性无关，是指不存在不全为零的常 y 线性无关，
数 k1 、k2 ,使 k1 y1 ( x) + k2 y2 ( x) = 0,即 使 即
y2 ( x) ≠ 常数 y1 ( x)
线性相关． 否则称 y1(x) 、 y2 (x) 线性相关．
由定理5-2,求方程 Ay′′ + By′ + Cy = 0 的通解的关键 求方程 由定理 是先要求出它的两个线性无关的特解 两个线性无关的特解. 是先要求出它的两个线性无关的特解 由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数 由于方程具有线性常系数的特点 而指数函数的导数 y = eλx 的解 仍为指数函数,故我们可假设方程有形如 的解. 仍为指数函数 故我们可假设方程有形如
0 = C1 3C1 + C2 = 1
解此方程组， 解此方程组，得 C 1 = 0 , C 2 = 1 所以所求特解为
y = xe
例5-16
3x
求方程 y′′ + 4 y′ + 13 y = 0 满足初始条件
的特解. y (0) = 0、 y′(0) = 1 的特解. 解 特征方程为λ2 + 4λ + 13 = 0 特征根为
即
(λ − 3) = 0
2
特征方程有两个相等的实数根 λ1 = λ2 = 3 所以所求方程的通解为 对上式求导,得 对上式求导 得
y = C1e + C2 xe
3x
3x
′ = 3C1e3 x + C2 e 3 x + 3C2 xe3 x y
代入以上二式,得 将 y (0) = 0、y′(0) = 1 代入以上二式 得
( 2) y ′′ + 2 2 y ′ + 2 y = 0
(3) y ′′ + 2 y ′ + 3 y = 0
(1)特征方程为 解 (1)特征方程为 r − 4r + 3 = 0
2
解得 r1 = 3, r2 = 1 所以方程的通解为
y = C 1e 3 x + C 2 e x
(C1 ,C 2为任意常数 )
y=e
−x
(C cos
1
2 x + C 2 sin 2 x ) (C1 , C 2为任意常数 )
例5-14
求方程 y ′′ − 4 y ′ − 5 y
= 0 满足初始条件
的特解. y (0) = 1、 y′(0) = 2 的特解. 解 特征方程为 λ2 − 4λ − 5 = 0 即
(λ + 1)(λ − 5) = 0
− B + B 2 − 4 AC − B − B 2 − 4 AC , λ2 = 特征根为 λ1 = 2A 2A
方程有两个线性无关的特解 方程有两个线性无关的特解
y1 = e ,
所以方程的通解为 所以方程的通解为
λ1 x
y2 = e
λ1x
λ2 x
y = C1e
+ C2e
λ2 x
(2) 当 B2 − 4AC = 0 ,方程有两个相等的实根 B λ1 x , 一特解为 y1 = e 特征根为 λ1 = λ2 = − 2A
(2)特征方程为 r 2 + 2 2r + 2 = 0 (2)特征方程为 解得 r1 = r2 = − 2 所以方程的通解为
y = (C1 + C 2 x )e −
2x
(C1 ,C 2为任意常数 )
(3)特征方程为 (3)特征方程为 r 2 + 2r + 3 = 0 解得 r1, 2 = −1 ± 2i 所以方程的通解为
解此方程组， 解此方程组，得 所以所求特解为
1 1 C1 = , C2 = 2 2
1 −x 1 5x y= e + e 2 2
例5-15 求方程
y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0满足初始条件
的特解. y (0) = 0、 y′(0) = 1 的特解. 解 特征方程为 λ2 − 6λ + 9 = 0
定理5 定理5-1 若函数 y1 ( x) 、y2 ( x) 是方程 Ay′′ + By′ + Cy = 0 的两个解， 的两个解，则
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)
也是 Ay′′ + By′ + Cy = 0 的解，其中 C 1、 2 为任意常数 C 证明
′ y′ = C1 y1 + C2 y′ 2
Ay′′ + By′ + Cy = 0 的解法
将其代入以上方程, 以上方程 设 y = e λx , 将其代入以上方程, 得
( Aλ + Bλ + C )e = 0 ∵ e
2
λx
λx
≠ 0,
故有
Aλ + Bλ + C = 0
2
特征方程
特征根 λ1, 2
− B ± B 2 − 4 AC = 2A
根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论 根据判别式的符号不同 分下面三种情况讨论 (１)当 B2 − 4AC > 0 特征方程有两相异实根 ,特征方程有两相异实根
( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解 再把初始条件 若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件 C 从而获得满足初始条件的特 代入通解中,即可确定C 1、 2 ,从而获得满足初始条件的特 代入通解中 即可确定 解.