圆轴的扭转.
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第七章 圆轴扭转 课件
二、圆轴扭转的强度条件
塔库马大桥
讨论塔库马大桥为什么会断裂？如 何防止断裂？
桥在大风中发生振荡扭曲
桥毁坏了
1．圆轴扭转的强度条件
τ max
M T max = ≤[τ ] Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度 （2）选择截面尺寸 （3）确定许可载荷
τ max
M Tmax = ≤[τ ] Wn
Wn ≥M T max / [τ ] M T max ≤Wn [τ ]
解题前须知：
1．在进行三类强度计算前，仍应遵循解题步骤：首先用 截面法求内力，然后应用强度条件进行相关计算。由于扭转 变形通常没有直接给出外力偶，还应增加外力偶矩的计算。 2．对等直圆轴来说，应计算最大扭矩截面的外周边各点 处。对于阶台轴，由于各段抗扭截面系数Wn不同，应将各处 应力均考虑计算。 3．注意区分空心圆与实心圆抗扭结面系数Wn不同。
4 4 4
抗扭截面系数 Wn/mm3
πD 4 D Wn = = / R 32 2 πD 3 = ≈ 0.2 D 3 16 Iρ
πD3 空 I = πD − πd = πD (1 − α 4 ) Wn = = 1−α 4 ) ( ρ R 16 32 32 32 心 4 4 ≈ 0.2 D 3 (1 − α 4 ) ≈ 0.1D (1 − α ) 轴 Iρ
解题过程
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大 扭转截面系数Wn和极惯性矩Iρ。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转使圆轴发生旋转运动， 转动角度和扭矩大小相互关联。
应力分析
圆轴扭转中承受的应力分析是确 保圆轴在运动过程中不会发生破 坏。
圆轴扭转的应用领域
机械传动
圆轴扭转被广泛应用于机械传动系统中，实现能量的传输和转换。
汽车工程
在汽车发动机和变速器中，圆轴扭转起到承载和传输动力的关键作用。
航空航天
航空航天工程中的涡轮机械系统和航空发动机都离不开圆轴扭转。
与圆轴扭转相关的力学概念
弹性模量 剪切应力 扭转角度 Nhomakorabea圆轴材料的弹性变形能力 圆轴扭转引起的应力分布 圆轴扭转的角度变化
圆轴扭转的挑战与解决办法
1
疲劳寿命
圆轴扭转时容易引起疲劳破坏，需采取优化设计和材料选择来提高寿命。
2
动力平衡
圆轴扭转会引起不平衡力，需要进行动平衡设计和校正，减少振动。
3
扭转刚度
圆轴的刚度决定了扭转角度和应力的关系，设计时需考虑刚度的优化。
圆轴扭转的实例和案例分析
风力发电机
风力发电机的转子轴承受着强大 的风力扭转力，充分利用风能。
变速器
汽车变速器中的轴承承载着引擎 输出的扭转力，实现档位切换。
工业机械
各种工业机械设备中都存在圆轴 扭转的应用，如泵、缝纫机等。
结论和启示
结论
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式，应用 广泛且具有挑战性。
启示
通过深入了解圆轴扭转的原理和应用，可以优化设 计和解决实际问题。
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转的定义和背景
1 定义
圆轴扭转是指在机械系统中，圆轴受到一对 作用力使得其进行扭转运动。
2 背景
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式， 广泛应用于各种机械设备和结构中。
应力分析
圆轴扭转中承受的应力分析是确 保圆轴在运动过程中不会发生破 坏。
圆轴扭转的应用领域
机械传动
圆轴扭转被广泛应用于机械传动系统中，实现能量的传输和转换。
汽车工程
在汽车发动机和变速器中，圆轴扭转起到承载和传输动力的关键作用。
航空航天
航空航天工程中的涡轮机械系统和航空发动机都离不开圆轴扭转。
与圆轴扭转相关的力学概念
弹性模量 剪切应力 扭转角度 Nhomakorabea圆轴材料的弹性变形能力 圆轴扭转引起的应力分布 圆轴扭转的角度变化
圆轴扭转的挑战与解决办法
1
疲劳寿命
圆轴扭转时容易引起疲劳破坏，需采取优化设计和材料选择来提高寿命。
2
动力平衡
圆轴扭转会引起不平衡力，需要进行动平衡设计和校正，减少振动。
3
扭转刚度
圆轴的刚度决定了扭转角度和应力的关系，设计时需考虑刚度的优化。
圆轴扭转的实例和案例分析
风力发电机
风力发电机的转子轴承受着强大 的风力扭转力，充分利用风能。
变速器
汽车变速器中的轴承承载着引擎 输出的扭转力，实现档位切换。
工业机械
各种工业机械设备中都存在圆轴 扭转的应用，如泵、缝纫机等。
结论和启示
结论
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式，应用 广泛且具有挑战性。
启示
通过深入了解圆轴扭转的原理和应用，可以优化设 计和解决实际问题。
机械基础-圆轴扭转
圆轴扭转的定义和背景
1 定义
圆轴扭转是指在机械系统中，圆轴受到一对 作用力使得其进行扭转运动。
2 背景
圆轴扭转是机械工程中一项重要的运动形式， 广泛应用于各种机械设备和结构中。
04.圆轴的扭转
当在轴的右端作用一力偶 矩m时，圆轴各相邻截面之 间也都发生了绕各自截面轴 心的相对转（错）动。假设 圆轴不长，扭转变形又不是 很大，则纵向线在变形后仍 可近似地看成是一条直线， 只是倾斜了一个角度γ。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
工程力学——圆轴的扭转
Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转
圆轴的扭转工程力学
杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
圆轴扭转
空心圆截面：
Wt
D3
16
(1
d4 D4
)
D3
16
(1 4 )
四 等直圆杆扭转时的应力
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T
Wt
T
16
D3
(1
d4 D4
)
max min
16 1000
4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
例题1 画出图示杆的扭矩图 3kN·m Ⅰ 5kN·m Ⅱ 2kN·m
解： AC段
m 0
AⅠ 3kN·m
CⅡ
T1 T2
3kN·m
B 2kN·m
T1 3 0 T1 3kN m
BC段 m 0
T2 2 0 T2 2kN m
ρ
τdA b dA
O2 T
四 等直圆杆扭转时的应力
4 极惯性矩
【公式3-16；公式3-18】
IP
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP
32
(D4
d4)
d D
极惯性矩单位： m4
四 等直圆杆扭转时的应力
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
例题3 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
工程力学课件 第8章 圆轴的扭转
工程力学
3
二、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
1.1.1作电用于路轴的上的组外成力偶矩，通常不是直接给出其数值，而是给出 轴的转速和传递的功率，此时需要按照理论力学中推导的功率、转 速、力矩三者的关系来计算外力偶矩的数值。
式中： Me——外力偶矩，单位为牛顿·米(N·m)； P——轴传递的功率，单位为千瓦(kW)； n——轴的转速，单位为转/分(r/min)。 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作 用的力偶矩为主动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 皮带轮作用的力偶矩为阻力矩，方向与轴的转向相反。
1.1.1 电路的组成
若取右部分作为研究对象，如图(c)所示
用同样的方法，也可求得
方向与Mx相反。
Mx＝Mx′称为截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩。它是作用在横截面上的内力 偶矩，是切于截面作用的内力合成的结果，大小等于截面以左(或以 右)所有外力偶矩的代数和。
工程力学
6
由于Mx与Mx′同是截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩，应具有相同的正负号， 因此，对扭矩的正负号做出如下规定：用右手螺旋法则将扭矩表示 为矢量，即四指弯向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向。
第二部分 材料力学
第八章 圆轴的扭转
工程力学
本章主要研究圆形截面轴的扭转变 形。主要内容有外力偶矩的计算，轴的 扭矩的计算，轴的应力与强度的计算， 轴的变形与刚度的计算。本章的重点是 圆轴扭转强度和刚度的计算
第一节 扭转的概念、扭矩与扭矩图
一、扭转的概念 1.1.1机电器中路的的轴往组往成会发生扭转变形，如汽车中由方向盘带动的操
工程力学
7
运用上述结论可得，轴AB段各截面上的扭矩为
或
1.1.1 电路的组成
圆轴扭转
MT R MT max = Wp Ip
W p为抗扭截面系数( mm
3
M Pa
)
极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小 只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心 圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按 下式计算：
实心轴:
Ip
Wp
D
Ip R
4
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa。求此 轴的最大切应力。
解： 求AB、BC段扭矩 MAB= -5kN.m MBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
MAB T 5 10 AB AB max 48.83MPa 3 WAB 0.2 80
32
0.1D
4
D
3
16
4
0.2 D
3
空心轴: d / D
Ip
D
32
4
32 32 I p D 3 Wp 1 4 0.2 D 3 1 4 16 R
d
4
D
1 0.1D 1
4 4 4
例1：如图所示,已知M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
这种形式的变形称为扭转变形。
3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）
工程中发生扭转变形的构件
工程中发生扭转变形的构件
扭转内力:扭矩和扭矩图
1.扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 扭矩求解仍然使用截面法。
P(kW) (N.m) Me=9550 n(r/min)
M M
机械设计-圆轴扭转
高的轴[] = 1~2.5(°)/。
图2-3.10 扭转角
本节课学习了以下几个内容：
1、圆轴扭转的概念
2、圆轴扭转的扭矩和扭矩图：扭矩大小和方向的确定，
扭矩图的画法
3、圆轴扭转的应力计算，对于等截面轴，最大切应力
发生在圆周上。
4、圆轴扭转的强度条件、刚度条件
感谢您的观看
材料的许用切应力，根据切应力的分布规律，最大
切应力发生在圆周上（当ρ=d时），圆轴扭转的强
度条件为：
max
=
≤
式中, 为最大扭矩( ·
)，为抗扭截面系数，
实心轴， =
3
16
空心轴， =
13
16
图2-3.9 轴扭转时横截面上的切应力
(1 − 4 )
圆轴扭转的外力偶矩
在工程中，通常给出的是圆轴所需传递的
功率和转速，通过公式可以计算圆轴的外力偶
矩：
= 9550
式中,Me 为作用于轴上的外力偶矩
(N·m);P 为轴所传递的功率(kW);n为轴的转速
(r/min)。
扭矩
如图2-3.3所示圆轴在外力偶矩M1、M2、M3的
作用下产生扭转变形，此时横截面上产生了抵抗变
圆轴扭转时的刚度条件
圆轴扭转时,任意两横截面产生相对角
位移,称为扭转角ϕ。扭转角是扭转变形的
变形度量。对于长度为L,扭矩为T,且截面
大小不变的等截面圆轴,其相对扭转角ϕ的
计算公式为 ：
=
式中, 为轴长(); 为轴横截面的极
惯性矩(4 )，G为材料的切变模量(Pa)。
图2-3.10 扭转角
圆轴扭转
图2-3.10 扭转角
本节课学习了以下几个内容：
1、圆轴扭转的概念
2、圆轴扭转的扭矩和扭矩图：扭矩大小和方向的确定，
扭矩图的画法
3、圆轴扭转的应力计算，对于等截面轴，最大切应力
发生在圆周上。
4、圆轴扭转的强度条件、刚度条件
感谢您的观看
材料的许用切应力，根据切应力的分布规律，最大
切应力发生在圆周上（当ρ=d时），圆轴扭转的强
度条件为：
max
=
≤
式中, 为最大扭矩( ·
)，为抗扭截面系数，
实心轴， =
3
16
空心轴， =
13
16
图2-3.9 轴扭转时横截面上的切应力
(1 − 4 )
圆轴扭转的外力偶矩
在工程中，通常给出的是圆轴所需传递的
功率和转速，通过公式可以计算圆轴的外力偶
矩：
= 9550
式中,Me 为作用于轴上的外力偶矩
(N·m);P 为轴所传递的功率(kW);n为轴的转速
(r/min)。
扭矩
如图2-3.3所示圆轴在外力偶矩M1、M2、M3的
作用下产生扭转变形，此时横截面上产生了抵抗变
圆轴扭转时的刚度条件
圆轴扭转时,任意两横截面产生相对角
位移,称为扭转角ϕ。扭转角是扭转变形的
变形度量。对于长度为L,扭矩为T,且截面
大小不变的等截面圆轴,其相对扭转角ϕ的
计算公式为 ：
=
式中, 为轴长(); 为轴横截面的极
惯性矩(4 )，G为材料的切变模量(Pa)。
图2-3.10 扭转角
圆轴扭转
第九节圆轴扭转
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。 在此假设的基础上，推倒出的应力与变形计算公式，符 合试验结果，且与弹性力学一致
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
BB' dx
d
dx
d
dx
距圆心为 的任一点处的； 与点到圆心的距离成正比。
d
dx
max
E
T1 WP1
16 1114 π 703 10-9
Pa
16.54MPa
max
H
T2 WP2
16 557 π 503 10-9
Pa
22.69MPa
max
C
T3 WP3
16 185.7 π 353 10-9
Pa
21.98MPa
，
例4 一轴AB传递的功率为 PK 7.5kW
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tm a x Wt
[
]
([] 称为许用切应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tm a x Wt
[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tm a x
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
3
n1=n2= 120r/min
D1n1 D3n3
n＝3 n1
DD31＝n1
Z Z
1 3
＝360r/min
2、计算各轴的扭矩
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
圆轴扭转
d1
A
1.外力 解： 外力 1.
M e2 =
C
M e2
d2
B
M e3
M e1
M e1 = 9549
160 M e1 400
P 400 1 = 9549 × = 7640 N ⋅ m n 500 240 = 3060 N ⋅ m M e3 = M e1 = 4580 N ⋅ m 400
38
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
7
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 1.外力偶矩 直接计算
8
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§6-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－ 轴转速－n 转/分钟 输出功率－ 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
P k
P k
在确定外力偶矩的方向时， 注意输入功率的齿轮、 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为主 输入功率的齿轮 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、皮带轮作用的力偶矩为阻力 矩，方向与轴的转向相反。 方向与轴的转向相反。
34
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角
扭转刚度条件
许用单位扭转角
35
§6-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 扭转强度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 已知 τ]， •已知T 和[τ]， 已知 τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷 已知 τ]，
τ max
Mn = Wn
W — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
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空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0i 1nFra bibliotekT M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2
I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A
BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0i 1nFra bibliotekT M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2
I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G
dA
R
d G G dx
dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A
BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：