分式的概念和性质练习题
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
分式的基本性质(第二讲
（2）看分子如何变化，想分母如何变化；
练习1：
1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
1) b by ( y 0) 2) ax a
2x 2xy
bx b
2、下列运算正确的是（ ）
A) x x 2 ; y y2
C) x x(x 2) ; y y( y 2)
B) a a 3 b b3
D)
约分：如果分式不是最简分式，把 分子分母的所有公因式都约去的过程 叫约分。
分式的基本性质(第二讲
例1：约分
(1) 4a2bc3 , (2) 2a2 (x y)2
16abc5
a( y x)3
x2 9 (3) x2 6x 9
巩固新知
二、化简
（1）6m2n3 3mn
（a(y x)
（Ｃ）扩大９倍 （Ｄ）缩小
下列各式中,正确的是( )
(A)
a b
m m
a b
(B)
a a
b b
1
(C)
ab ac
1 1
b c
1 1
(D)
2x 4x2
y y2
1 2x
y
(3)在代数式中 x y、5
2a
、6xy、53
y
、2ab2c3中,
5
分式的个数有_______
(4)当X=______时,分式
怎样找几个分式的最简公分母？
例4 确定下列分式的最简公分母？
1
1
1
8x2 y , 2x3 y2 , 4xy4 z .
8x3 y4z
例5 通分：
(1)
3 2a 2b
与
a b ab 2 c
(2) 2 x 与 3x x5 x5
《分式》典型练习题
分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。
分式知识点及例题
分式知识点及例题一、分式的概念形如$＼dfrac{A}｛B}＄（＄A$、＄B$是整式，且$B$中含有字母，＄B\neq 0$）的式子叫做分式。
其中，＄A$叫做分子，＄B$叫做分母。
例如：＄＼dfrac{x}｛y}＄，＄＼dfrac{2}｛x ＋ 1}＄，＄＼dfrac{3x 1}｛x^2 1}＄等都是分式。
需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母。
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。
例如，在分式$＼dfrac{x}｛x 1}＄中，当$x 1 ＝ 0$，即$x ＝ 1$时，分式没有意义。
二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于$0$的整式，分式的值不变。
即：＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＄，＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＄（＄M$为不等于$0$的整式）例如：＄＼dfrac{x}｛y} ＝＼dfrac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼dfrac{2x}｛2y}＄三、分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子与分母的公因式。
确定公因式的方法：（1）系数：取分子、分母系数的最大公约数。
（2）字母：取分子、分母相同字母因式的最低次幂。
例如：＼＼begin{align}＼dfrac{6xy}｛9x^2y} ＆＝＼dfrac{2 ＼times 3 ＼times x ＼times y}｛3 ＼times 3 ＼times x ＼times x ＼times y}＼＼＆＝＼dfrac{2}｛3x}＼end{align}四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数。
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
分式的概念及性质
分式的概念及性质一、分式的基本概念：【例1】下列各式2x ，22a b +，a b π+，2x +，1a m +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【拓1】（1）当x 满足条件_________时，分式21xx -有意义．（2）若分式()11x x +有意义，则x 需满足____________；若分式()1xx x +有意义，则x 需满足_____________．【拓2】当x 为何值时，下列分式的值为0：①31x x + ②2213x x - ③242x x -+ ④212x x x -+-【例2】已知：当x =2时，分式x m x n -+无意义；当x =-6时，分式x mx n-+的值为0，则 m -n =_______．【拓3】当x ________时，分式36x -的值为正数；当x ________时，分式26xx--的值为负数．【拓4】（21广陵期末）关于x 的方程1233x kx x -=+--的解为非负数，则k 的取值范围是___．【拓5】若分式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围为__________．【拓6】（2021·扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．2(1)x +二、分式的基本性质：①x y x y +- ②xy x y - ③22x y x y +- ④2xx y+【拓7】（21邗江期末）把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大4倍 C ．缩小12D ．扩大2倍【拓8】不改变分式的值，把分式的分子和分母系数都化为整数：①0.10.51.5x y x y -+ ②21321334x y x y -+ ③10.3210.55a ba b -+【拓9】（1）不改变分式的值，把分式的分母化为6ab 2：23a b 22a bab+（2）不改变分式的值，把分式的分母化为()()11x x x -+：()11x x x -+ 21xx -【例4】（1）下列等式，从左到右的变形正确的是（ ）A ．1x y x y --=-- B ．0.220.50.353x y x yx y x y++=-- C ．x a ax b b+=+ D ．()2x y x y y x -=-+-（2）将下列格式约分：3439x x =-__________322384a b a b c -=-___________ 23224x x x -=-___________ 2442a a a-+=-_________【拓10】下列分式：2x x ，1m m +，x xπ+，a bb a --中，最简分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【拓11】（21扬州期末）当2021a =时，分式293a a --的值是________．【拓12】分式2214a b 与36a bab c+的最简公分母是________．【拓13】通分：①()()112x x --，2121x x -+；②()11a a a -+，21a a -，2221a a ++．【拓14】（18邗江期中）先约分，再求值：32322444a ab a a b ab --+，其中2a =，12b =-．【拓15】（15邗江月考）已知：y z z x x y x y z +++==，其中0x y z ++≠，求x y zx y z+-++的值．三、分式的运算：（1）2222463ab cc a b -⋅ （2）32422ab c ac c ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅- （4）23x y x y x y y x x y ++----（5）a b b c ab bc ++- （6）24142x x +-+【拓16】化简，求值：22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m =四、真题演练：1．（21邗江月考）已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．32．（19扬州一模）已知111m n -=，则代数式222m mn nm mn n--+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-3．（19江都期中）已知113x y +=，则分式2322x xy yx xy y-+++的值为（ ） A ．35 B ．9C ．1D ．不能确定4．（15扬州月考）已知x 为整数，且222218329x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 值的和为________．5．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（20邗江期末）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是________．7．（21广陵期末）先化简，再求值222124424x x x x x x x ++++÷--，其中2021x =．8．（19宝应期中）已知实数A 、B 使得等式34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----成立，求实数A 、B ．9．（18高邮期中）已知13x x +=，求221x x+的值．10．（18江都月考）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，232252255211111x x x x x x x x -+-+-==+=-+++++，则 11x x +-和231x x -+都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①1x x+；②22x +；③21x x ++；④221y y +（2）将“和谐分式2231a a a -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：2231a a a -+=-________+________．（3）应用：先化简22361112x x x x x x x +---÷++，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．11．（20仪征期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式，假分数74可以化成314+（即314）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++． 解决下列问题： （1）分式3x 是____（填“真”或“假”）分式；假分式64x x ++可化为带分式________形式； （2）如果分式42x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值； （3）若分式22251x x ++的值为m ，则m 的取值范围是________（直接写出答案）．。
分式的概念和性质练习题-基础
分式的概念和性质练习题-基础一.选择题1．（2015春•东台市月考）下列式子是分式的是（ ）A. B. C. +y D.+1 2．（2016•连云港）若分式12x x -+的值为0，则的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．1或-23.下列判断错误．．的是（ ） A ．当时，分式有意义 B ．当时，分式有意义 C ．当时，分式值为0 D ．当时，分式有意义 4．为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．B ．C ．D ． 5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的D ．不变 6．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ． x 23x ≠231-+x x a b ≠22ab a b -21-=x 214x x+x y ≠22x y y x--x 21x x +211x x --11x x -+211x x -+yx y x ++2x y 32a m a b m b +=+0a b a b+=+C ．D ． 二.填空题7．（2016•北京）如果分式21x -有意义，那么x 的取值范围是______． 8.若分式的值为正数，则满足______． 9．（1） （2） 10．（1） （2） 11.分式与的最简公分母是_________. 12. （2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13. （2014春•丹阳市校级期中）当x 取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？1111ab b ac c +-=--221x y x y x y-=-+67x--x 112()x x x --=-.y x xy x 22353)(=22)(1y x y x -=+⋅-=--24)(21yy x 2214a b 36x ab c14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0， 求当＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1） （2） （3） （4）,y a y b-+y y y 22x x y--2b a a --2211x x x x---+2231m m m ---一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：A 、分母中不含有字母是整式，故A 错误；B 、分母中含有字母是分式，故B 正确；C 、分母中不含有字母是整式，故C 错误；D 、分母中不含有字母是整式，故D 错误；故选：B ．2. 【答案】C ；【解析】x -1=0且x +2≠03. 【答案】B ；【解析】，有意义. 4. 【答案】D ；【解析】无论为何值，都大于零.5. 【答案】D ；【解析】. 6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7. 【答案】x ≠1；【解析】由题意，x -1≠0a b ≠±22ab a b -x 21x +102010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y+++==+++【解析】由题意.9. 【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2）；【解析】. 11.【答案】；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】，．【解析】解：∵=（﹣1）2•，=（﹣1）3•，=（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n 个式子为：．故答案是：，．三.解答题13.【解析】解：（1）∵分式没意义，∴x ﹣1=0，解得x=1；70,7x x -<>∴2x -5y x y -22xy x y +--221(1)(2)22244x x y xy x y y y y --++--==---2312a b c（2）∵分式有意义，∴x ﹣1≠0，即x≠1；（3）∵分式的值为0， ∴，解得x=﹣2． 14.【解析】解：由题意：，解得 ，解得 所以分式为，当＝－7时，. 15.【解析】解：（1） ； （2）； （3）；（4）. 30b -+=3b =2023a -=+2a =23y y -+y 2729937344y y ----===+-+-2222x x x y x y -=---22b b a a a a =---+222222111111x x x x x x x x x x x x ----++-==-+-++--22223311m m m m m m ---=---。
分式的概念、基本性质训练
乐学分式的概念、基本性质训练1．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +2.分式31x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ）A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零；D ．若13a ≠时，分式的值为零3下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++4．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有___ __；是整式的有_____ ．5．当x ______时，分式2134x x +-无意义．6．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．7．当m =________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零．8．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．9．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负．10.已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数； （3）y 的值是零；（4）分式无意义．11.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以A ．10B ．9C ．45D ．90 12.如果把分式63xx y-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值一定( ) A.扩大10倍 B.扩大100倍 C.缩小10倍 D.不变 13. 使等式27+x =xx x 272+自左到右变形成立的条件是 （ ）A ．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠－2 14. 写出等式中未知的分子或分母： ①xy3= ()23x y ② y x xy 257=()7 ③)(1ba b a +=- 15. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=--y x 25 ； ②=---ba3 . 16. 等式1)1(12--=+a a a a a 成立的条件是________. 17. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:① yx yx 6125131+- ②y x yx 4.05.078.08.0+- ③ ba b a436.04.02+-18. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号:①112+--x x ②2122--+-x x x ③1312+----x x x19.分式434y xa +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 20.下列约分正确的是( )A.32)(3)(2+=+++a c b a c b B.1)()(22-=--a b b a C.ba b a b a +=++222 D.xy y x xy y x -=---1222 21.等式)1)(1()1(1+++=+b a b a a a 成立的条件是( ) A.a ≠0且b ≠0 B.a ≠1且b ≠1 C.a ≠－1且b ≠－1 D.a 、b 为任意数 22. 约分：① 232636yz z xy - ② 2224m m m +- ③ 2411x x -- ④ 22699x x x ++-⑤ 44422-+-a a a ⑥ 16282--m m ⑦ 2232m m m m -+- ⑧ 22221521033223y x y x --23.通分： （1）26x ab ，29y a bc ； （2）21x x-， 2121x x --+；2. 先化简,再求值:① 1616822-+-a a a ,其中a=5; ② 2222b ab a ab a +++,其中a=3b ≠0.3.已知511=-yx，求分式y xy x y xy x 272-+++-的值． 4.已知432zy x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值．5.已知12,4-=-=+xy y x , 求1111+++++y x x y 的值. 6．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．。
分式的概念和性质练习题
1．填空题：（1）当x= 时，分式135-+x x 无意义。
（2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式23+-x x =0时，x= 。
（3）()()333++x x x =x 3成立的条件是 。
（7）当x 时，分式121+-x x 有意义。
2．选择题：（1）下列说法正确的是（ ）A ．形如BA 的式子叫分式B ．分母不等于零，分式有意义C ．分式的值等于零，分式无意义D ．分式等于零，分式的值就等于零（2）已知有理式：x 4、4a 、y x -1、43x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（3）使分式ax 45-有意义的x 的值是 （ ）A ．4aB ．－4aC ．±4aD ．非±4a 的一切实数（4）使分式mx m x 41622--的值为零的x 的值是 （ ） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数3．解答下列各题：（1）当x 取什么数时，分式1132-+x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式x x x 32212-++无意义？ （3）若分式1642-+x x 无意义，求x 的值。
4．已知分式()()()()22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？（3）当x 为何值时，分式的值为－1？5．当x 为何值时，下列分式的值为正？（1）432+-x x （2）232-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。
6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a aa c++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+-（4）()2232565a a a a a ++=+++7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？ （2）22112x y x y x y x y++==---对吗？为什么？ 8．把分式x x y+（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a = B ．1a b a b-+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b--=++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式题型-易错题-难题-大汇总
分式单元复习〔一〕、分式定义及有关题型一、分式的概念： 形如BA 〔A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0〕的式子，叫做分式。
概念分析：①必须形如“B A 〞的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。
．．．例：以下各式中，是分式的是①1+x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦πx 练习：1、以下有理式中是分式的有〔 〕A 、 m 1B 、C 、D 、57 2、以下各式中，是分式的是 ①x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦ 1、以下各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有〔 〕个。
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。
即：例：把以下各有理式的序号分别填入相应的横线上 ①21x② ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥ ⑦ 整式： ；分式 。
①分式有意义：分母不为0〔0B ≠〕②分式无意义：分母为0〔0B=〕③分式值为0：分子为0且分母不为0〔〕④分式值为正或大于0：分子分母同号〔或〕⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔或〕⑥分式值为1：分子分母值相等〔A=B〕⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数〔A+B=0〕⑧分式的值为整数：〔分母为分子的约数〕例:当x 时，分式有意义；当x 时，有意义。
练习：1、当x 时，分式无意义。
8．使分式无意义，x的取值是〔〕A．0 B．1 C．1- D．1±2、分式，当______x时有意义。
3、当a 时，分式有意义．4、当x 时，分式有意义。
5、当x 时，有意义。
分式有意义的条件是。
4、当x 时，分式的值为1；2．〔辨析题〕以下各式中，无论x取何值，分式都有意义的是〔〕A．121x+ B．21xx+C．231xx+ D．〔7〕当x为任意实数时，以下分式一定有意义的是〔〕A.23x+B. C.1xD.四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：假设分式的值为0，那么x 。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1)／（x 2) 都是分式，而 2/3 ，5 就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于零。
例如，对于分式 1/（x 1)，要使其有意义，分母x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为零的条件分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
例如，若分式（x 2)／（x ＋ 3) 的值为 0，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋3 ≠ 0，解得 x ＝ 2。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于0 的整式）例如：将分式 2x/（3y) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分式中分子和分母的公因式。
例如：对分式（6x²y)／（9xy²) 进行约分，分子分母的公因式为3xy，约分后得到 2x/3y。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
例如：将 1/2x 和 1/3y 通分，最简公分母为 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy 。
七、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
例如：（2x/y)×（y/3x) ＝ 2/3 ；（4x/y)÷（2x/3y) ＝（4x/y)×（3y/2x) ＝ 6 。
沪科版七年级分式全章习题经典
沪科版七年级分式全章习题经典分式第一节：分式的概念及性质【典例分析】1.下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？4a2某y11某2a,3,b2,4,8,某某1,某2.某为何值时，分式某21某1的值为0.3.利用分式的基本性质填空：（1）某y(____)某y某2y2（2）a2abab3ab(___)（3）某24某2某24某4(___)4.求分式的值：（1）若某2y3z4,求某yyzz某某2y2z2的值.（2）求某2y某24y2的值，其中某=5,y=3.55.分式的应用一件工作，a人b天可以完成，c人一天能做工作的几分之几？6.把下列的分式的分子、分母的系数化为整数. 1某1（1）y（2）2.3某1.2y某12某0.01y2y7.（1）已知分式6a12a24的值为正整数，求式中的a的值（2）6某6某2某的值为正整数，求整数某的值（3）2某4某2的值是正整数，则整数某的值为_____（4）3某1某1的值为整数，则整数某的值是______（5）4某2某1的值是整数，则某整数的值为第1页共8页________8.3a9a26a9的值为正时，a的取值范围是________若分式：3aa26a9的值为正，则a的取值范围是________【经典练习】：1.使分式33某1的为负数的条件是________2.如果分式某y某y中的某和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值_____3.化简某24某4某244.(1)当a________时，等式(a3)某某(a3)(1某)1某成立.(2)(a3)a(a3)(1a)a1a成立，则a满足的条件为_______某y2，则分式某2某y3y25.已知某2某y6y2的值为_________若baa2abb2ab2,则a24abb2的值是__________6.已知不论某取什么数时，分式a某3b某5,(b某50)都是一个定值，求a、b应满足的关系式，并求出这个定值.7.在分式①abba，②ababba，③ab，④ababba中与分式ab相等的是_______8.化简：（1）2a2am32m2m4a24a1（2）m3m第二节：分式的乘除法【典例分析】1.利用分式的乘除法法则计算（1）12某5y75m3n235mn34某9y4（2）4某2z2某z2y23y2.分式的乘方43（1）a2（2）某2yb3z23.分式的乘除混合运算（1）a2ba3aaa22abb2abba22abb2某2（2）2某y某22某y某yy2某y2y某（3）96某某244某某2(某3)某243某4.化简求值：22(某y某2)某2某yy某y某y31某2,其中某2,y25.已知某25某20004，求代数式(某2)3(某1)21某2【经典练习】：第2页共8页1.使代数式某3某某32某4有意义的某的值为_________2.如果ab23,且a2，那么ab1ab5=___________3.化简求值：ba3ab22a2bb2abb3a2abb2，其中a23,b34.一台电子收报机，它的译电效率相当于人工译电效率的75倍，试计算人工译电2000个字所用的时间是电子收报机译电3000个字所需的时间的多少倍？5．观察下列式子11111111122,236,3412......归纳出的一1般结论是___（用n表示）。
分式的定义与性质
分式的定义与性质一、分式的定义如果整式A 除以整式B,可以表示成A/B 的形式.且除式B 中含有字母,那么称式子A/B 为分式.其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
例题1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？（1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）91-x 是分式的有 ；2、下列各式中使分式的是______________.πm y x x x 2)3(;8)2(;)1(2+ 3、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是 .二、分式有意义的条件对任意一个分式，若使分式有意义，则分母都不能为零。
例1、当x 取何值时，下列分式有意义？（1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ；2．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在3 、 对于分式5312-+x x ， （1）当 时，分式有意义；（2）当 时，分式的值为0；（3）当 时，分式的值为1；2、 当x 为何值时，分式x x x --21|| 的值为0？三、分式的基本性质分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变1、（1）填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++（2）填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=---2、不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322283a ba b--3、把分式xx y +（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值（）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．改变D ．不改变4、下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a ba b -+=--C ．0a ba b +=+ D ．0.10.330.22a ba ba b a b --=++5、将分式22x x x +化简得1xx +，则x 必须满足_________________________。
分式的概念与性质(有答案)
分式的基本概念和性质一、 分式的定义二、 分式有意义的条件 三、 分式的值为零的条件 四、 讨论分式值的情况 五、 分式的基本性质1.基本性质2.约分3.最简公分母4.通分六、 列代数式（分式）一、 分式的定义1.【易】下列式子：1a ，2x -，6m ，3b ，z x y -，62a b +，25mn ，2217x x ++，a ba b -+中分式的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 【答案】B2.【易】在式子1x ，12，212x +，3xyπ，4x y +，1a m +中，分式的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C3.【易】在式子1a ，3b ，ca b -，2ab π，22x x y -中，分式的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B4.【易】在式子3x y -，21a x -，1x π+，3a b -，12x y +，12x y +中，分式的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】B5.【中】代数式2211532452m n y y x x y-+-，，，，中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C6.【中】代数式2113x x ax x π+，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B7.【中】下列各式：()115x -，43x π-，222x y -，1x x +，25x x其中分式共有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A8.【中】下列式子：1x ，23a a b -，3x y +，42a π-，2x xx-，其中是分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C9.【中】代数式()()1222122x x a b a b a x a x π-+++++，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C10.【中】代数式215131n x h x m y x y x π+-++，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D11.【中】代数式()()()222333124a x aa b x x m x mπ++÷--，，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C12.【中】在下列各式中，11a -，243x y y -，h π-，22m n m n --，25a b a-，23x +，是分式的有________．【答案】11a -，22m n m n--，23x +13.【难】在下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+，1x y x y+-，是分式的有________．【答案】22x y x y-+，1x y x y+-14.【难】在下列代数式中：222a b -，m n m n --，53x -，43x -，2y x y +，1111x+-是分式的有________．【答案】m nm n--，53x -，2y x y +，1111x+- 15.【难】在下列代数式中：211x -，111x x --，2a a，23x -，1155x x -++是分式的有________．【答案】211x -，111x x --，2a a ，23x -，1155x x -++二、 分式有意义的条件16. 【易】若分式23x -有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．0x ≠B ．3x ≥C ．3x ≠D ．3x ≤【答案】C17. 【易】若分式25x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠ B ．5x ≠- C ．5x >D ．5x >-【答案】A18. 【易】在函数22xy x =+中，自变量x 取值范围是_________． 【答案】1x ≠- 19. 【易】使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．2x =B ．2x ≠C ．2x =-D ．2x ≠-【答案】B20. 【易】函数21x y x -=-中自变量x 的取值范围是___________． 【答案】1x ≠21. 【易】使分式211x x -+有意义的x 的取值范围是________． 【答案】全体实数22. 【易】请写出一个对任意实数都有意义的分式，你所写的分式是________．【答案】221x + 23. 【易】无论x 取什么实数值，分式总有意义的是（ ）A ．21x x+ B ．221(2)x x -+ C ．211x x -+ D ．2xx + 【答案】C24. 【易】下列判断错误的是（ ）A ．当23x =/时，分式132x x +-有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义C ．当12x =-时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x yy x --有意义 【答案】B25. 【易】若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．32a b ≠B ．b a 51=/ C ．23b a =-/D ．b a 32-=/【答案】D26. 【易】已知分式242x x -+，当x =________时，分式无意义．【答案】2-27. 【中】求下列分式有意义的条件：⑴22x y x y ++；⑵2128x x --；⑶293x x -+ 【答案】⑴分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数；⑵分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-； ⑶分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-28. 【中】当1x =时，分式23x x a+-无意义，则a =________．【解析】由题意，得：当时，20x x a +-=，即2110a +-=，所以2a = 【答案】229. 【中】使分式1111x++有意义的条件是________． 【解析】由题意，得：101101x x+≠⎧⎪⎨+≠⎪+⎩ 解得12x x ≠-⎧⎨≠-⎩ 【答案】1x ≠-且2x ≠-30. 【中】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？ 【答案】1202x x+-≠+且20x +≠，则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-，31. 【中】若使分式241312a a a-++没有意义，则a 的值为________．【解析】由题意，得：20a =或13102a a ++=，解得，0a =或15a =- 【答案】0或15-1x =32. 【中】有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0，乙：分式有意义时x 的取值范围是2x ≠±；丙：当1x =-时，分式的值为3-，请你写出满足上述全部特点的一个分式________．【答案】32x -（答案不唯一）33. 【中】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是________【答案】0x ≠且1x ≠±根据题意可得：010x x x ⎧≠⎪-⎨≠⎪⎩，解得0x ≠且1x ≠±34. 【中】分式1111a a ---有意义，那么a 的取值范围是__________．【答案】1a ≠±且2a ≠±35. 【中】请写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取何值，该分式都有意义）________．【答案】答案不唯一，如231x +等不论x 取何值，该分式都有意义，所以所写分式的分母最重要，联想到非负数的形式，20x ≥，所以只要在2x 的基础上加上一个正数即可作为分母，分子随意写一个数即可．36. 【中】当x 为任意实数时，分式212x x m-+一定有意义，则实数m 满足（ ）A ．0m ≥B ．1m >C ．1m ≤D ．1m < 【答案】B()2211211x x m x m =-+-+-，由题意得，()2110x m -+-≠恒成立，由于()210x -≥，所以10m -＞，即1m ＞37. 【难】a ，b ，c 为ABC △的三边，且分式222abca b c ab bc ac++---无意义，则ABC △是________三角形．【解析】由题意，得：()()()222222102a b c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦， 所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形【答案】等边三、 分式的值为零的条件38. 【易】若分式8x x-的值为零，则x 的值等于________________． 【答案】839. 【易】若分式12x x -+的值为0，则x 的值等于________________． 【答案】140. 【易】若分式261x x --的值为0，则x 的值等于________________． 【答案】341. 【易】已知3x =时，分式31x kx +-的值为零，则k =________． 【答案】9-42. 【中】若分式2362x xx --的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2 【答案】A43. 【中】若分式211x x -+的值为0，则x 的值为________．【答案】144. 【中】若分式242x x -+的值为0，则x 应满足的条件是（ ）A ．2x =-B ．2x =C ．2x ≠-D ．2x =± 【答案】B45. 【中】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为________【答案】3-46. 【中】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是________．【答案】247. 【中】分式265632x x x --+的值为0，则x 的值为________．【答案】3248. 【中】若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为________．【答案】049.【中】若分式2242x x x ---的值为0，则x =_________________．【答案】2x =-50.【中】若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________．【答案】251.【中】若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于________；【答案】252.【中】若分式2296a a a ---的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．2a ≠-【答案】B53. 【中】如果分式11x x --的值是零，那么x 的取值是________．【答案】1x =-54. 【中】当x =________时，分式33x x -+的值为0．【答案】355. 【中】当x =_______时，分式3412x x -+的值是零．【答案】356. 【中】如果分式22a a -+的值为零，则a 的值为（ ）A ．1±B ．2C ．2-D ．以上全不对【答案】B57. 【中】如果分式222a a a ++-的值为零，则a 的值为（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．以上全不对【答案】D58. 【中】式子()()811x x x -+-的值为零，则x 的值为（ ）A ．1±B ．1-C ．8D ．1-或8【答案】C59. 【中】若分式2||323x x x -+-的值为0，求x 的值．【答案】3四、 讨论分式值的情况60. 【易】当x 为何值时，分式的值为正数？ 【答案】12x >-61. 【易】若分式2121bb -+的值是负数，则b 满足（ ）A ．0b <B ．1b ≥C ．1b <D ．1b > 【答案】D62. 【易】已知a 、b 为有理数，要使分式ab的值为非负数，a 、b 应满足的条件是（ ）A ．00a b ≠≥，B ．00a b <≤，C ．00a b >≥，D ．0000a b a b ><≥，或≤， 【答案】D63. 【中】当x 取什么值的时候，分式33x x +-的值为1-．【答案】03x x ≠-≤且64.【中】如果分式26xx x --的值恒为正数，求x 的取值范围【答案】20x -＜＜或3x ＞65.【中】使代数式34x xx-的值为正整数的x 值是（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不存在的 【答案】D66.【中】若31a +表示一个整数，则整数a 可以值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D67.【中】若41x +表示一个整数，则整数x 可取值共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】D68.【中】若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B69.【中】若32n -表示一个正整数，则n 可取值得的正整数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】B121+x五、 分式的基本性质1.基本性质 70. 【易】如果分式x yx y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，那么此分式的值（ ） A ．不变B ．是原来的3倍C ．是原来的13D ．是原来的16【答案】A71. 【易】如果把分式2xx y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．缩小6倍 D ．不变 【答案】D72. 【易】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍 【答案】A73. 【易】把分式()200x x y x y≠≠+，中的分子分母的x 、y 都同时扩大为原来的3倍，那么分式的值将是原分式值的（ ） A ．9倍 B ．3倍 C ．一半 D ．不变 【答案】B74. 【中】不改变分式的值，使分式0.20.0120.05x x ---的分子、分母中各项系数都为整数为____________．【答案】20012100050x x ---75. 【中】如果a cb d=（其中0,0b d >>），那么下列式子中不正确的是（ ）A ．a b c d b d ++=B ．a b c d b d --=C ．a c c b d d +=+D ．a db c = 【答案】D76. 【中】下列变形正确的是（ ）A ．11a ab b+=+ B ．11a ab b--=-- C ．221a b a b a b-=--D ．()()221a b a b --=-+ 【答案】B77. 【中】下列变形正确的是（ ）A ．0a ba b +=+ B ．1a ba b-+=-- C ．22a a b b -=D ．0.10.330.22a b a ba b a b --=++【答案】B78. 【中】下列化简正确的是（ ）A ．22a b a b a b +=++B ．1a ba b --=-+ C ．1a ba b --=--D ．22a b a b a b -=--【答案】B79. 【中】下列各等式中，正确的是（ ）A ．0.220.33x y x yx y x y++=--B ．221x y x y x y+=++C ．x y y xx y y x++=--D ．()()221y x x y -=-【答案】D80. 【中】下列各式中正确的是（ ）A ．0x y x y +=+B ．22y y x x = C ．1x y x y -+=-- D ．11x y x y =--+- 【答案】D81. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．⑴35a-；⑵235x y -；⑶25b a --；⑷1115y x --- 【答案】⑴35a -；⑵235x y -；⑶25b a ；⑷1115y x-82. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项的系数都是正数．⑴223x x --+；⑵322311a a a a -+---；⑶3223145x x x x-+--++ 【答案】⑴223x x --；⑵323211a a a a -++-⑶2232154x x x x --+-2.约分83. 下列约分正确的是（ ）A ．632x x x= B ．x m m x n n +=+ C ．22x y x y x y -=++ D ．1x yy x-+=- 【答案】D84. 【易】约分：⑴1015ab ac -；⑵y x y x 322.36.1-；⑶211m m --；⑷2223812a bc a b c - 【答案】⑴23b c -；⑵12x -；⑶11m +；⑷223cb - 85. 【易】________化简22a aa+的结果是__________．________【答案】2a +86. 【易】化简：293x x --=___________． 【答案】3x +87. 【易】化简分式2222936a b a b ab -后得（ ）A ．222232a b a b ab - B ．263ab a ab - C ．b a ab 23- D ．bb a ab2332- 【答案】C88. 【中】化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a +D ．b -【答案】B89. 【中】化简222m n m mn-+的结果是（ ）A ．2m nm - B ．m nm- C ．m nm+ D ．m nm n-+ 【答案】B90. 【中】化简分式：⑴=--3)(x y y x _____；⑵22996x x x-=-+_____． 【答案】⑴21()x y --；⑵33x x +-91. 【易】化简：22121a a a -++=________ 【答案】11a a -+92. 【中】化简22222bab a b a ++-的正确结果是（ ） A ．b a b a -+ B ．b a b a +- C ．ab 21D ．ab21- 【答案】B93. 【中】填入适当的代数式，使等式成立．⑴22222()a ab b a b a b +-=-+；⑵1()1a b a b a b+=--【答案】⑴2a b +；⑵b a +94. 【中】化简：22442y xy x x y -+-_________________；22322m m m m -+=-________________； 【答案】2x y -；1m m-95. 【中】约分：⑴22312()27()a b a a b --；⑵62322--++x x x x ；⑶22416m m m --；⑷2442-+-x x x 【答案】⑴249()a ab -；⑵13x x +-；⑶4m m -+；⑷2x -96. 【中】化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D97. 【中】化简：2222444m mn n m n -+=-_____． 【答案】22m nm n -+98. 【中】化简：22211x xy y x y -+---=______________ 【答案】1x y -+3.最简公分母99. 【易】分式25364x y xyz，的最简公分母（ ）A ．212x yzB ．12xyzC ．224x yzD ．24xyz【答案】A100. 【易】分式32235b c a ax bx x-，，的最简公分母（ ） A ．15axb B ．315abx C ．30abx D ．330abx【答案】D101. 【中】分式234m -与542m-的最简公分母是____________．【答案】()()222m m -+102. 【中】分式2212a b a b a b b a+--，，的最简公分母（ ） A ．()()()22a b a b a b -+- B ．()()22a b a b -+C ．()()22ab b a --D ．22a b -【答案】D103. 【中】分式22211112121a a a a a --+++，，的最简公分母（ ） A ．()221a - B ．()()2211a a -+ C ．21a +D ．()41a -【答案】A104. 【中】分式222222222a b b a ab b a b a ab b -+-++，，的最简公分母是（ ）A ．()()()22222222a ab b a b a ab b -+-++B ．()()22a b a b +- C ．()()()2222a b a b a b +-- D ．44a b - 【答案】B105. 【难】求下列各组分式的最简公分母⑴277a -，2312a a a -+，211a - ⑵2145x x --，232x x x ++，22310x x x -- ⑶22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab - ⑷231881x x -+，2281x -，211881x x ++ 【答案】⑴27(1)(1)a a -+；⑵(5)(1)(2)x x x -++；⑶()()ab a b a b +-；⑷22(9)(9)x x -+4.通分106. 【易】将3b a ，2abc -通分可得________【答案】2366bc a bac ac-，107. 【易】将13，1a，1b 通分后，它们分别是_______【答案】33333ab b a ab ab ab，，108. 【易】通分⑴22328c aab bc-，；⑵1111y y -+， 【答案】⑴3222221288c a b ab c ab c -，；⑵()()()()111111y y y y y y +-+-+-，109. 【易】通分⑴2221225ab a b c，；⑵223a b xy x ，； 【答案】⑴2222541010ac a b c a b c，⑵223266xa yb x y x y ，110. 【中】通分422a a +-- 【答案】224442222a a a a a a -++-==---111. 【中】通分⑴2269x y ab a bc ，；⑵2216211a a a a -++-， 【答案】⑴2222321818acx bya b c a b c ，；⑵()()()()()()2221611111a a a a a a -++-+-， 112. 【中】把12x -，()()123x x -+，()223x +通分过程中，不正确的是（ ）A ．最简公分母是()()223x x -+ B ．()()()2231223x x x x +=--+ C ．()()()()2132323x x x x x +=-+-+D ．()()()22222323x x x x -=+-+【答案】D113. 【中】通分⑴222111329xy x y x y ，，；⑵()222123a b a ba b -+-+，，【答案】⑴222222692181818x y yx y x y x y ，，；⑵()()()()()()()()222223a b a b a ba b a b a b a b a b a b ++--+-+-+-，，六、 列代数式114. 【易】甲瓶盐水含盐量为1a ，乙瓶盐水含盐量为1b，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ）A ．2a b ab +B ．a b ab +C ．1abD ．随所取盐水重量而变化【答案】A115. 【易】某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。
专题5.1分式的概念与基本性质(专项训练)(原卷版)
专题5.1 分式的概念与基本性质（专项训练）1.（2022春•眉山期末）下列代数式中，属于分式的是（）A．﹣3B．C．+y D．﹣4x3y2.（2022春•辉县市期末）在代数式中，分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（2022春•莲池区期末）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠1C．x≠﹣1或x≠1D．x≠﹣1且x≠1 4.（2022春•子洲县期末）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x≠3D．x≠﹣35.（2022春•舞钢市期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠3B．x≠﹣3C．x≠3且x≠﹣3D．x≠0 6．（2022春•江阴市校级月考）若分式有意义，则x满足．7．（2022春•泰州期末）当x＝时，分式的值等于0．8．（2022春•泰和县期末）若分式的值为0，则x＝．9.（2021秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为．10.（2022春•锡山区期末）当x＝时，分式无意义，当x＝时，分式的值为0．11．（2021秋•定陶区期末）若分式的值为0，则x的值为．12．（2022春•西安期末）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．13.（2022春•岑溪市期末）下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．14.（2022春•灌云县期末）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍15．（2022春•广陵区期末）下列分式从左到右变形错误的是（）A．B．C．D．16.（2022春•南安市月考）把分式中的a和b分别扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．扩大为原来的9倍D．不变17.（2022•德江县二模）下列变形正确的是（）A．B．C．D．18．（2021秋•汉寿县期末）若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为．19.（2021春•秦都区月考）分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的倍．20．（2013秋•浦东新区期末）（1）＝；（2）＝．．21．（2014春•北湖区校级月考）在括号里填入适当的整式为：22．（2013秋•云浮期末）利用分式的基本性质填空：（1），（a≠0）；（2）；（）中为（1），（2）．23．（2017春•东台市月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得．24．（2012春•将乐县校级期中）根据分式的基本性质填空：．．25．（2022•丰顺县校级开学）约分：＝．26．（2021秋•河西区期末）约分的结果为．27．（2021秋•安仁县校级期末），，的最简公分母是．28．（2014秋•白云区期末）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为．29．（2022春•泗阳县期中）（1）约分：（2）通分：与30．（2019秋•玉州区期末）（1）通分：和；（2）约分：．31．（2020春•句容市期中）（1）约分：；（2）通分：、．32．（2017秋•丹江口市期中）通分，，．33．（2017春•东海县校级期中）按要求答题：（1）约分（2）通分，．34.（春•沭阳县期中）（1）通分：；（2）通分：，．35.（秋•邢台期末）通分：（1），（2），．。
17[1].1分式及其基本性质(1)---分式的概念
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类比
被除式
被除式÷ 被除式÷除式 t ÷ (a-x)
= 除式 =
（商式） 商式）
t a-x 整式 整式 分式
分式的概念: 分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以 表示两个整式，
A 形式。如果B中含有字母， 表示成 形式。如果B中含有字母，B≠0, B
A 就叫做分式 其中， 分式。 式子 就叫做分式。其中，A叫做分式的 B 分子， 叫做分式的分母 分母。 分子，B叫做分式的分母。
10、判断：
√
） （
×）
分析: 分析
2 2 3+ x
取何值， 无论 x 取何值，
2
m−1 (m+ 3)(m2 −1)
x
2
≥0
(m+ 3)(m2 −1) = 0
则
3+ x > 0
(m + 3)(m +1)(m −1) = 0
m+ 3 = 0或m−1 = 0或m+1 = 0
2、a、b、c”中选取若干个数字或字母，组 、 中选取若干个数字或字母， 、 、 、 、 中选取若干个数字或字母 成两个代数式，其中一个是整式，另一个是分式。 成两个代数式，其中一个是整式，另一个是分式。 3、把下列各式写成分式： 、把下列各式写成分式： （1）(x+1)÷x ； ） ÷ （2）x÷(x-2)； ） ÷ ； （3） (2x-1)÷(x2+1) （4）2x:(y+1)。 ） ÷ ） 。
8、把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一 把甲、乙两种饮料按质量比x 起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这 可以调制成一种混合饮料。调制1 混合饮料 种混合饮料需多少甲种饮料？ 种混合饮料需多少甲种饮料？
专题5.23 分式与分式方程(全章基本概念与性质专题)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.23分式与分式方程（全章基本概念与性质专题）（专项练习）一、单选题【性质】分式基本性质1．如果将分式xx y2+中的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（）A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的15D ．不改变2．如果把分式22x x y-中的x ，y 的值都扩大2倍，那么此分式的值（）A ．扩大2倍B ．扩大4倍C ．扩大6倍D ．不变【概念一】分式3．下列代数式中，属于分式的是（）A ．23-x B ．xπC ．23x +D ．124．在式子1a ，2xy π，2334a b c，56x +，109x y +，78x y +中，分式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【概念二】最简分式5．下列分式中是最简分式的是（）A ．221x x +B ．42xC ．211x x --D ．11x x --6．下列各分式中是最简分式的是（）A ．()()1215x y x y -+B ．2222x y x y xy ++C ．()222x y x y -+D ．22x y x y-+【概念三】约分7．化简222a b a ab--的结果为（）A ．2a b a-B ．a b a-C ．a b a+D ．a b a b-+8．将分236x xy-约分的结果是（）A ．12y-B ．2x y-C ．2xy-D ．x y-【概念四】最简公分母9．分式1x y +、1x y-、221x y -的最简公分母是（）A ．()()x y x y +-B ．()()()22x y x y x y +--C ．()()22x y x y +-D ．()()22x y x y --10．212a b与2a b ab c +的最简公分母为（）A ．222a b cB ．abC ．222a b D ．2abc【概念五】通分11．把12x -，1(2)(3)x x -+，22(3)x +通分的过程中，不正确的是（）A ．最简公分母是2(2)(3)x x -+B ．221(3)2(2)(3)x x x x +=--+C ．213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+D ．22222(3)(2)(3)x x x x -=+-+12．把2121a a a -++与211a -通分后，2121a a a -++的分母为()()211a a -+，则211a -的分子变为（）A ．1a -B ．1a ＋C ．1a --D ．1a-+【概念六】分式方程的增根13．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-14．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．2【概念七】分式方程的无解15．关于x 的方程6122=---ax x x无解，则a 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3-D ．1或316．已知关于x 的分式方程2322x mm x x+=--无解，则m 的值是（）A ．1或13B ．1或3C ．13D ．1二、填空题【性质】分式基本性质17．已知32m n =，则m n n+的值为__________．18．不改变分式10.4210.35-+a ba b 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【概念一】分式19．下列各式：2a b -，3x x -，5y π+，a ba b+-，1()m x y -中，是分式的共有____个．20．将分式121x x ++写成除法的形式：____________________．【概念二】最简分式21．将分式2244x x +-化为最简分式，所得结果是_______．22．下列分式：①233a a ++；②22x y x y --；③22m m n；④21m +，最简分式有______（填序号）．【概念三】约分23．约分：222315a ba b =________．24．约分：22abc b c=____________．【概念四】最简公分母25．分式22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是______________；26．分式212a b 与31ab 的最简公分母是________．【概念五】通分27．2121a a a -++与251a -通分的结果是_______．28．把分式22111221(1)x x x ⋅⋅+--通分，最简公分母是_________________．【概念六】分式方程的增根29．若关于x 的分式方程5233x mx x +=---有增根，则常数m 的值是_________．30．若关于x 的分式方程1222x mx x-=---有增根，则m 的值是_______．【概念七】分式方程的无解31．已知关于x 的分式方程11235a xx x --=+-无解，则a 的值为_____．32．若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．参考答案1．D 【分析】将xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．【详解】解：xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍得：()25522555x x xx y x y x y⨯⨯==+++所以，分式的值不变．故选D【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．2．A【分析】根据分式的基本性质进行计算即可得出结果．【详解】解：由题意得：()()2222822==2222x x x x y x yx y ⨯---，∴把x ，y 的值都扩大2倍，分式的值扩大了2倍，故选：A ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3．C【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．23-x 分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；B ．xπ分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；C ．23x +分母中含字母，是分式，故本选项符合题意；D ．12分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子AB（A 、B 是整式）中，分母B 中含有字母，则AB叫分式．4．B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】式子2xyπ，2334a b c，78x y +中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1a ，56x+，109x y +中分母中含有字母，因此是分式．故选B ．【点拨】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以2xyπ不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键．5．A【分析】直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．【详解】解：A ．221xx +的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故此选项符合题意；B ．422x x=，故此选项不符合题意；C ．()()21111111x x x x x x +---==-+，故此选项不符合题意；D ．()11111x x x x ---==---，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．6．B【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A 、()()()()124155x y x y x y x y --=++，不是最简分式，不符合题意；B 、2222x y x y xy ++是最简分式，符合题意；C 、()()()()2222x y x y x y x yx y x y x y +---==+++，不是最简分式，不符合题意；D 、()()22x y x y x y x y x y x y+--==-++，不是最简分式，不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．7．C【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．【详解】解：()()()222a b a b a b a ba ab a a b a+--+==--，故选：C ．【点拨】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．8．C【分析】依据分式的性质约分即可．【详解】解：2362x xxy y-=-故选：C ．【点拨】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键．9．A【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．【详解】解：221x y-的分母为：()()22x y x y x y -=+-，∴最简公分母为：()()x y x y +-，故选：A ．【点拨】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．10．A【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．【详解】解：212a b与2a b ab c +的最简公分母为222a b c ；故选A ．【点拨】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．11．D【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．【详解】A 、最简公分母为2(2)(3)x x -+，正确，该选项不符合题意；B 、221(3)2(2)(3)x x x x +=--+，通分正确，该选项不符合题意；C 、213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+，通分正确，该选项不符合题意；D 、通分不正确，分子应为()222224(3)(2)(3)x x x x x --=+-+，该选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．12．B【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．【详解】解∶221111(1)(1)(1)(1)aa a a a a +==--+-+，故211a -的分子为1a +．故选∶B ．【点拨】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．13．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．【详解】解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．【详解】由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x m x x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．15．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：分式方程去分母得：26ax x =-+，整理得：()14a x -=，当a −1＝0，即a ＝1时，此时整式方程无解，分式方程无解；当a −1≠0，即a ≠1时，由()14a x -=得x ＝41a -，若此时分式方程无解，则分式方程有增根，即20x -=，增根为x ＝2，∴421a =-，解得：a ＝3，∴关于x 的方程6122=---ax x x无解时，则a 的值为1或3，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键．16．A【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【详解】解：去分母得，23(2)x m m x -=-，去括号得，236x m mx m -=-，移项得，326x mx m m -=-，合并同类项得，(13)4m x m -=-，∵分式方程2322x m m x x+=--无解，∴1-3m =0或x =2，∴13m =，将x =2代入(13)4m x m -=-，得2(13)4m m -=-，解得m =1，综上，m 的值是1或13．故选A ．【点拨】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．17．52【分析】设3,2m k n k ==，代入m nn+约分化简．【详解】∵32m n =，∴设3,2m k n k ==，∴32522m n k k n k ++==．故答案为：52．【点拨】本题考查了分式的约分，设3,2m k n k ==是解答本题的关键．18．4523a b a b-+【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式2110.45221130.35510a b a ba b a b --=++，分子、分母同时乘以10，则有原式4523a b a b -=+．故答案为：4523a ba b-+．【点拨】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．19．3【详解】解析：判断式子是否是分式就是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．由此可知3x x -，a ba b+-，1()m x y -是分式，共3个．答案：3易错：4错因：误认为π是字母，错误判断5yπ+是分式．满分备考：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式．注意π是一个数，而不是字母．20．()()121x x +÷+【分析】根据分式的意义将分式写成除法形式即可．【详解】解：将分式121x x ++写成除法的形式为()()121x x +÷+．故答案为：()()121x x +÷+【点拨】本题考查了分式的意义，AB表示A B ÷，其中分数线表示相除的意思．21．22x -【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【详解】解：2244x x +-()()()2222x x x +=+-22x =-．故答案为：22x -．【点拨】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．22．①④##④①【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可．【详解】①233a a ++是最简分式；②22x y x y --=1x y +，不是最简分式；③22m m n =12mn，不是最简分式；④21m +是最简分式．故答案为：①④．【点拨】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．23．15b【分析】根据分式的基本性质解答即可．【详解】解：22231155a b a b b=；故答案为：15b．【点拨】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．24．acb【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题解答．【详解】解：22abc ac bc ac b c b bc b== 故答案为：acb【点拨】本题考查了分式的约分，熟悉分式的性质是解题关键，约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简25．2a bc【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．【详解】解：22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是2a bc ，故答案为：2a bc ．【点拨】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母．26．232a b 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．【详解】解：2、1的最小公倍数为2，a 的最高次幂为2，b 的最高次幂为3，所以最简公分母为232a b ．故答案为：232a b ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．27．222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；【详解】221121(1)a a a a a --=+++ ，225511a a -==--5(1)(1)a a -+-，∴最简公分母为()()211a a +-，∴通分后分别为222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．故答案为：222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．【点拨】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．28．22(1)(1)x x +-【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】解：∵()2221x x +=+()()2111x x x -=-+，故22x +，21x -，()21x -的最简公分母为：22(1)(1)x x +-．故答案为22(1)(1)x x +-．【点拨】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．29．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．1【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把2x =代入计算，即可求出m 的值．【详解】解：∵1222x m x x-=---，去分母，得：12(2)x m x -=---；∵分式方程有增根，∴2x =，把2x =代入12(2)x m x -=---，则122(22)m -=---，解得：1m =；故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．31．5或112【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数a 的值．【详解】解：11235a x x x --=+-，去分母得()()()()()523235x x a x x x --+-=+-，∴()112310a x a -=-，关于x 的分式方程11235a x x x --=+-无解，∴①当1120a -=时，即112a =，此时()112310a x a -=-无解；②当1120a -≠时，即112a ≠，解()112310a x a -=-得310112a x a -=-，此时分式方程无解，必须有32x =-或5x =，则31031122a x a -==--或3105112a x a-==-，i 当31031122a x a -==--时，方程无解；ii 当3105112a x a-==-时，解得5a =；综上所述，a 的值为5或112，故答案为：5或11 2．【点拨】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况的分类讨论是解决问题的关键．32．0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x=0或x=1或3+a=0，将解代入整式方程求出a即可．【详解】解：去分母，得3x+a（x-1）=0，∴（3+a）x-a=0，∵原分式方程无解，∴x=0或x=1或3+a=0，当x=0时，a=0；当x=1时，3+0=0，无解；∴a=0，当3+a=0时，解得a=-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．。
分式的概念和性质(基础)
分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【典型例题】 类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a，23-．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？ （1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．举一反三：【变式1】（2014秋•花垣县期末）当x 时，分式有意义．【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y +-； （2）11341123x yx y +-．举一反三：【变式1】如果把分式yx x232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）2a b -；（2）45xy--；（3）3m n -；（4）23b c --．类型四、分式的约分、通分5、（2015春•东台市月考）约分，通分： （1）；（2）；（3）•．【思路点拨】（1）把分子与分母进行约分即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可； （3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案．举一反三： 【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【巩固练习】 一.选择题1．（2015春•东台市期中）下列各式：其中分式共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个2．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5D ．x ≠－53. 下列判断错误．．的是（ ）A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义 C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x y y x--有意义4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．21x x+B ．211x x -- C ．11x x -+ D ．211x x -+ 5．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变6．下列各式中，正确的是（ ） A ．a m ab m b +=+ B ．0a ba b+=+ C ．1111ab b ac c +-=-- D ．221x y x y x y-=-+二.填空题7．当x ＝______时，分式632-x x无意义． 8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x xx --=- （2）.y x xy x2353)(= 10．（1）22)(1yx y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 11.分式2214a b 与36xab c的最简公分母是_________. 12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13.当x 为何值时，下列分式有意义?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．15．（2014•上城区二模）在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再从﹣≤x≤的范围内选取合适的整数作为x 的值代入分式求值．。
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1．填空题：
（1）当x= 时，分式1
35-+x x 无意义。
（2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式2
3+-x x =0时，x= 。
（3）()()333++x x x =x 3成立的条件是 。
（7）当x 时，分式1
21+-x x 有意义。
2．选择题：
（1）下列说法正确的是（ ）
A ．形如B
A 的式子叫分式
B ．分母不等于零，分式有意义
C ．分式的值等于零，分式无意义
D ．分式等于零，分式的值就等于零
（2）已知有理式：x 4、4a 、y x -1、4
3x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
（3）使分式a
x 45-有意义的x 的值是 （ ）
A ．4a
B ．－4a
C ．±4a
D ．非±4a 的一切实数
（4）使分式m
x m x 41622--的值为零的x 的值是 （ ） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数
3．解答下列各题：
（1）当x 取什么数时，分式1
132-+x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式x
x x 32212-++无意义？ （3）若分式16
42-+x x 无意义，求x 的值。
4．已知分式()()()()
22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？
（3）当x 为何值时，分式的值为－1？
5．当x 为何值时，下列分式的值为正？
（1）43
2+-x x （2）2
32-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222
(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()
2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。
6．（1）()2a b ab a b +=
（2）()21
a a a c ++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+-（4）()
2232565a a a a a ++=+++
7．（1））333()
3ax by ax by ax by ax by ---
=-=---，对吗？为什么？
（2）22112x y
x y x y x y ++==---对吗？为什么？
8．把分式x
x y +（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （
） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变
9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a = B ．1a b
a b -+=--
C ．0a b
a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b
a b a b --=++
10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322
283a b
a b
--
11．不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数。
（1）2211x x x y +++- （2）34
3223324x x x x -+---
12．将下列各式约分
（1）642
5633224a b c a b c = （2）224488a b
a b -=-
13．将下列各式通分
（1）
1a ，234a b ，216ab c （2）12x +，42x -
（3）122x -，21(1)x - （4）21(1)x -，221x -，3(1)(2)x x --
（5）1()()a b b c --，2()()
b c a c -- 14．与分式
a b a b -+--相等的是 （ ） A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a b a b
--+ 15．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）
A ．b a ＝11b a ++
B b bm a am =
C ．2ab b a a
= D ．22b b a a = 16．不改变分式的值，使
21233x x x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）
A ．22133x x x -+-
B ．22133x x x +++
C ．22133x x x ++-
D ．22133
x x x --+ 17．将分式253
x y
x y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ） A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x y x y
-+ 18．将分式22x x x +化简得1
x x +，则x 必须满足______。
19．()22(0)x y x y x y x y -=-≠+- 20．()
2(0)a ab a b ab ab --=≠
21．不改变分式的值，使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同。
（1）2613x x x ++-，2453
x x x -+--+ （2）()()a a b b c --，()()a b a b c -- 22．下列等式的右边是怎样由左边得到的
（1）213(3)26x x x x x -=≠+-- （2）2114
54x x x x -=--+ 23．下列各式正确的是 （ ）
A ．c c a b a b -=-++
B ．c c a b b a -=-+-
C ．c c a b a b -=-++
D ．c c a b a b
-=-+- 24．不改变分式的值，分式22923
a a a ---可变形为 （ ） A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31
a a -+ 25．不改变分式的值，把分式23
427431
a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）
A ．23437431a a a a a a -++-+-
B ．23347413a a a a a a -+--++
C ．23434731a a a a a a +-+--+-
D ．23347413a a a a a a
-++--++ 26．已知y －2x ＝0求代数式22222222()()()()
x y x xy y x xy y x y --+++-的值？
27．已知34y x =，求2222
352235x xy y x xy y -++-的值。
28．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“－”号
（1）-22()(4)x y -- （2）2
37(2)
m n ----
29．已知
23a b =，求a b b +的值？。