相似三角形 小结与复习
相似三角形知识点总结及习题
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcb a =4、比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割.AB DE AB DEBC EF AC DF ==或等点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
最新人教版九年级数学下册《相似三角形的小结与复习课》教案(精品教学设计)
《相似三角形的小结与复习课》教案一、教学目标：知识目标：1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
能力目标：2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感目标：4、通过学习，养成严谨科学的学习品质。
二、教学重点与难点：1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
三、教学方法：启发式。
四、教学过程：（一）复习提问：请同学口述判定三角形相似的方法及性质，教师用投影加以总结：1、相似三角形的判定：1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。
在性质中强调前提条件是相似。
（二）：基础训练1：判断题1）.所有的等边三角形都相似( ) 2）.所有的等腰直角三角形都相似( ) 3）.所有的直角三角形都相似( ) 4）.所有等腰三角形都相似( ) 5）.有一个角是100°的两个等腰三角形相似( ) 6）.有一个角是70°的两个等腰三角形相似( ) 7）.如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )8）.若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )2：填空1）.已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是数学三角形中的一个重要考点，相关的知识点我们应该要掌握好。
下面就随小编一起去阅读相似三角形的知识点总结，相信能带给大家启发。
相似三角形的知识点总结定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形比值与比的概念比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
方法一(预备定理)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明) 方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
方法三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似方法五(定义)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型Z型 A型反A型方法六两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
一定相似的三角形1.两个全等的三角形(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1)2.两个等腰三角形(两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
)3.两个等边三角形(两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似)4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)图形的学习需要大家对于知识的详细了解和渗透，而不是一带而过。
初三《相似三角形》知识点总结
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
初中相似三角形知识点总结
初中相似三角形知识点总结
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的关系。
以下是初中相似三角形的知识点总结：
1. 相似三角形的定义：两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等，即角A = 角D，角B = 角E，角C = 角F。
- 对应边成比例：两个相似三角形的对应边成比例，即 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 相似三角形的判定：
- AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
- SAS相似定理：如果两个三角形的两个边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用：
- 求比例关系：根据相似三角形的性质，可以利用已知的比例关系来求解未知的边长或角度。
- 利用相似三角形求高度：在一个相似三角形中，可以利用已知的比例关系来求解未知的高度。
5. 相似三角形的注意事项：
- 只有对应角相等和对应边成比例的三角形才是相似三角形。
- 相似三角形的比例关系可以用来计算边长，但不能用来计算面积。
相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中有着广泛的应用。
理解相似三角形的性质和应用方法，对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
相似三角形小结与复习
相似三角形一、掌握本章知识结构二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，把握本章的两个重点1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图从一般到特殊：要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法例1 已知：c b b a c b b a -+==:.45,32求的值. (1)设比值为k;(2)比例的基本性质；(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.例2.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(3)若，求.例3、已知：如图，在ABC∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例4、已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 。
求证：△DBE ∽△ABC应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ∙AC=BC ∙FE例6、已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MDMEAD AE =22用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例7、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例8、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC的平行线交AB 于F ，相似三角形与周长、面积例9、△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9，求△ABC 的面积。
相似三角形小结与复习
适用标准第十九章相像三角形小结与复习一、掌握本章知识结构二、依据“特别——一般——特别”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，掌握本章的两个要点1.平行线分线段成比率定理所对应的基本图形2. 相像三角形所对应的基本图形.(1)类比推行：从特别到一般，如图(2)从一般到特别：要求：用对照的方法掌握相像三角形和相像多边形的定义及性质，系统总结相像三角形的判3. 熟习一些常用的基本图形中的典型结论有助于探究解题思路.三、经过例题剖析，系统总结本章常用的数学思想及方法a b bc 求 a b已知： 2,. :c的值 . 例 1 3 5 4 b剖析：已知等比条件经常有以下几种求值方法：(1) 设比值为 k;(2) 比率的基天性质；(3) 方程的思想，用此中一个字母表示其余字母.ab 及 b c解 法 一由 2 3 54， 得 a:b=2:3,b:c=5:4,即 a:b:c=10:15:12. 设a=10k,b=15k,c=12k, 则 (a+b):(b － c)=25:3.a2 , b5解法二 ∵b3 c4a b5 . b c 1a b25∴b3b 5 , ∴bc 3a b , b5a2, c 4b解法三 ∵23 c4, ∴ a=3b5 ,a b2 b b 5 1 253b cb 4b35 35∴例 2已知：如图5－ 126(a) ，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，对角线交于O点，112过 O作 EF∥ BC，分别交 AB，DC于 E，F. 求证： (1)OE=OF;(2) ADBCEF;(3)若 MN为梯形中位线，求证 AF∥ MC.剖析：(1) 利用比率证明两线段相等的方法.a c①若d d,a=c( 或 b=d 或 a=b) ，则 b=d( 或 a=c 或 c=d) ；a b②若d a, 则 a=b( 只合用于线段，对实数不建立) ；a c a ' c '③若dd , d ' d ',a=a ′ ,b=b ′ ,c=c ′ , 则 d=d′ .(2)利用平行线证明比率式及换中间比的方法.112111(3)证明ADBCEF时，可将其转变为“a bc”种类后：c c1①化为ab直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为 1；②直接通分或移项转变为证明四条线段成比率.(4) 可用剖析法证明第(3) 题，并延伸两腰将梯形问题转变为三角形问题.延伸 BA， CD交于 S， AF∥ MC∴AF ∥ MC建立 .(5) 用运动的看法将问题进行推行.若直线 EF 平行挪动后可是点O，分别交AB， BD， AC， CD于 E， O1， O2， F，如图 5－ 126(b),O1F与 O2F能否相等 ?为何 ?(6) 其余常用的推行问题的方法有：类比、从特别到一般等.例 3已知：如图5－ 127，在ABC中， AB=AC，D 为 BC中点， DE⊥AC于 E，F 为 DE 中点， BE交 AD于 N， AF 交 BE于 M.求证： AF⊥ BE.剖析：(1)分解基本图形探究解题思路 .(2)总结利用相像三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线地点关系( 平行、垂直等 )AD DEDC CF的方法，利用ADE∽Δ DCE获得AD DFBC CE, 联合∠ 3=∠ C, 获得BEC∽Δ AFD，所以∠ 1=∠ 2. 进联合中点定义获得一步可获得 AF⊥ BE.(3)总结证明四条线段成比率的常用方法：①比率的定义；②平行线分线段成比率定理；③三角形相像的预备定理；④直接利用相像三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面积关系 .例 4 已知：如图 5－ 128， Rt ABC中，∠ ACB=90°， CD⊥ AB于 D，DE⊥ AC于 E，DF⊥ BC于 F.求证： (1)CD3=AAE· BF·AB； (2)BC2 ： AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.剖析：(1) 掌握基本图形“Rt ABC，∠ C=90°， CD⊥ AB 于 D”中的常用结论.①勾股定理：AC2+BC2=AB2.②面积公式：AC· BC=AB· CD.③三个比率中项：AC2=AD· AB,BC2=BD· BA,CD2=DA· DB.AC2AD⑤ BC2BD(2)灵巧运用以上结论，并掌握恒等变形的各样方法，是解决此类问题的基本门路，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3) 学习三类问题的常有的思虑方法，并熟习常用的恒等变形方法.①证明 a3 型：先获得 a2=bc 型，再两边乘方，求出 a4 来，进行化简 ( 证法一 ). 或在a2=bc 两边乘以同一线段 a，再进行化简 ( 证法二 ).②证明 a2:b2=c:d型问题的常用方法：a2m m c( ⅰ ) 先证b2n, 再利用中间比证明n da x a2x2x 2c( ⅱ ) 先证b y再两边平方：b2y 2, 而后想法将右侧降次，得y2da m , a e a 2me( ⅲ ) 先分别求出bn bf, 两式相乘得 b 2nf, 再将右侧化简 .③证明 a3:b3=c:d型问题的常用方法：a2mx( ⅰ ) 先用相关定理求出b2ny，再经过代换变形实现；a x( ⅱ ) 先证b y,两边平方或立方，再经过代换实现；a m , a e a x a3mex c( ⅲ ) 先分别求出bn b f,b y, 而后相乘并化简：b3nfy d第 (1) 题：证法一∵ CD2=AD· BD,∴CD4=AD2· BD2=(AE· AC)· (BF· BC)=(AE· BF)(AC ·BC)=(AE· BF)· (AB· CD).AC BC证法二∵ CD2=AD· BD,CD=ABAC BC∴ CD3=AD· BD·AB==AE· BF·AB.第 (2) 题：AD AC BD BCAB AB ABBC 2BD BA BD BD DF CE证法一∵ AC2AD AB AD,利用BDF∽Δ DAE，证得ADEA AE ,命题得证 .BCDE ,得 BC 2 DE 2 AE EC CE证法二由 ACAEAC 2AE 2AE 2AE证法三 ∵BCD ∽Δ CAD ，BC DF∴ ACDE( 相像三角形对应高的比等于对应边的比)BC DEBC 2 DFDE DF CE ∵ DE ∥ BC ，∴ ACAE ,∴ AC 2 DEAEAEAE第 (3) 题：BC 2BD AB BD证法一∵ AC 2AD AB AD ,BC 4BD 2 BF BC BC 3BF∴ AC 4AD 2AEAC ,∴ AC 3AEBC DF证法二：ADC ∽Δ CDB ，∴ACDEBC 3 DF 3DF DF 2 DF BF CF BF∴AC 3 DE 3 DE DE 2 DE AE ECAE ·BCDF ,BC DE , BC BF证法三∵ACDE AC AE AC DF ,BC 3BC BC BC DF DE BF BF ∴ AC 3ACACACDEAE DFAE四、师生共同小结在学生思虑总结的基础上，教师概括： 1. 本章要点内容及基本图形 .2. 本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业课本第 261～ 265 页复习题五中选用 . 增补题：1. 利用相像三角形的性质计算 .已知：如图 5－ 129，在 RtABC ，中∠ ACB=90°， E 为 AB 上一点，过 E 作 ED ∥ BC交 AC 于 D ，过 D 作 DF ⊥ AC 交 AB 于 F. 若 EF ：FB=2:1，ED=2，CD=6 5, 求 FB 的长 .( 答：2)2. 证明相像三角形的方法 . 如图 5－ 130，在ABC ，中∠ C=60°， AD ，BE 是 ABC 的高， DF 为 ABD 的中线 . 求DE 1证： DE=DF.(提示：证明CDE ∽Δ CAB ，获得 AB 2.) 3. 已知：如图 5－ 131， ABC 内一点 O ，过 O 分别作各边的平行线 DE ∥ BC ，FG ∥ AB ， HK ∥ AC. 求证：EFDH GK 1(1) ACABBC(2) 设 S OEF=S1,S ODH=S2,S OGK=S3,S ABC=S.则S 1S 2S 3S4. 结构相像三角形来解决问题 .(1)已知：如图 5－ 132， ABC 中，点 E 为 BC 中点，点 D 在 AC 上，AC=1，∠BAC=60° ∠ ABC=3100°，∠ DEC=80° . 求 S ABC+2S CDE ； ( 答： 8 )( 提示：延伸AB至 F，使 F=AC.作∠ BCF均分线交AF于 G.—111(2) 已知：如图 5－133，在ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=1:2:4. 求证：ABAC BC .111AB AC1(提示：把AB ACBC变形为 AB ACBC，进一步变形为AB AC ACAB BC.想法AB AC和AC结构相像三角形，使其对应边的比分别为AB BC，作 AE=AC,交 BC 延伸线于 E，延伸 AB至 D，使 BD=AC.)5.结构基本图形 ( 平行线分线段成比率定理 ).已知：如图5－ 134，ABC的三边 BC，CA， AB上有点 D，E， F. 若 AD，BE， CF三线AF BD CE交于一点 O.求证：FBDC1EA.( 塞瓦定理 )讲堂教课方案说明本教课方案需用 1 课时达成 .本节例 2 在三角形相像的判断( 四 ) 中出现过，假如学生已经掌握，教师可在这节复习课中选取增补题 2 或其余题目说明利用比率证明线段相等的方法.。
《第27章相似三角形》复习总结(教学设计).docx
《第27章相似》复习一、诱导复习1•导入课题通过对本章的学习，你学习了哪些知识？它们之间有何关联？重点是什么？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)2.复习目标(1)疏通本章知识，弄清知识脉络.(2)进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题.(3)知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质.难点：相似三角形的判定和性质的应用.二、分层复习第一层次复习1.复习指导(1)复习内容：教材P24~P59.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识.(4)复习参考提纲：①形状相同的两个图形,叫做相似图形，当相似比等于1时，这两个图形全等.相似多边形的对应角相等，对应边成比例・②相似三角形有哪些判定方法？又有哪些性质？a •三边成比例的两个三角形相似.判定方法＜〃•两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.c・两角分别相等的两个三角形相似.f a・相似三角形对应线段的比等于相似比.饪质相似三角形面积的比等于相似比的平方.③什么叫位似？位似与相似有何关系？位似变换的点的坐标有何规律？两个图形相似且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为A,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是(kx, ky)或(-kx,-ky).④ 试画本章知识结构框图.2. 自主复习：学生参考复习指导进行复习.3. 互助复习 （1） 师助生：① 明了学情：明了学生对本章知识的掌握情况.② 差异指导：指导学生画知识结构框图，理顺知识脉络.（2） 生助生：小组交流、研讨.4. 强化复习：师生互动梳理知识，画知识结构框图.第二层次复习1. 复习指导（1） 复习内容：典例剖析、考点跟踪.（2） 复习时间:12分钟.（3） 复习方法：小组交流协作. （4） 复习参考提纲：①如图，己知AB 〃CD 〃EF, AF 交BE 于点H,下列结论错误的是（C ）第②题图 第③题图②如图,AC 丄BC, ZADC=90° , Z1=ZB,若 AC 二5, AB=6,求 AD 的长.TAC 丄BC, .*.ZADC=ZACB=90° , 又 VZ1=ZB, AAADC^AACB.AD AC• ________eAC ~ AB AD 525 即-_ =—,解得 AD=—.5 6 6③ 如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图屮与ADEF 相似的三角形共有⑻A. 1个B. 2个C ・3个D. 4个HC~ HD\A B / \ T /E / \F/ \AD BC HCHD AF BE B. C.D.—— —DF CEHE DFDF CEBH _ AH 第①题图④如图，AABC内接于00, AD是AABC的边BC上的高，AE是O0的直径，连接BE,求证：AD • AE二AB • AC.•・・AE是直径,AD丄BC』A Z/\BE=ZADC=90° , 又VZE=ZC, AADC^AABE.AD AB in]・・・——=——，即AD・AE二AB・AC.AC AE⑤如图，小明为测量学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD.经测量，窗口高EF二1.2 m,树干高CH二0. 9 m, A 点距墙根G 1.5 m, C点距墙根G 4.5 m,且A、G、C三点在同一直线上•请根据上面的信息，帮小明计算出小树CD的高.VFG/7DC,ABFE^ABDH..FE AG* DH ~ AC即上_ = —口—，解得DH=4.8 (m).DH 1.5 4- 4.5・・・ CD=CH+HD=0. 9+4. 8=5. 7 (m).即小树CD的高为5・7 m.2•自主复习：学生参考复习指导进行复习.3.互助复习(1)师助生:①明了学情：明了学生复习参考提纲的解题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：同桌之间交流、研讨.4.强化复习：相似三角形的判定和性质的应用.三、评价1.学生学习的自我评价：在这节课的学习中，你有哪些新的认识和收获？常握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度，积极主动性，小组交流协作情况及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3. 教师的自我评价（教学反思）.木课时是全章的复习课，教学时先由师生共同回顾本章的知识，建立全章的知识框架图, 然后由学生提出有关疑问，教师予以解答.本章的核心是相似三角形的判定以及相似三角形 的有关性质.在相似三角形的判定定理证明中，因为涉及了构造全等三角形作为中介，学生 不太习惯，所以在进行本章复习时应注意引导学生进行针对性训练，并分析证明思路，引导 学生进行转化，帮助学生克服学习困难.一、基础巩固（70分）1. （10分）如图，在大小为4X4的正方形网格屮，是相似三角形的是（C ）4. （20分）李华要在报纸上刊登广告，一块10 cmX5 cm 的长方形版面要支付180元的广告费，如果她要把版面的边长扩大为原来的3倍，要支付多少广告费？（假设单位面积广 告费相同）解：将边长扩大3倍后，面积扩大为原来的9倍.所以要支付广告费：180X9=1620（元）.5. （20分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点・厶 ACB 和Z\DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F.求证：（1） AACB^ADCE ； （2） EF 丄AB ・证明：（1） V — = — = - , ZACB=ZDCE-90° ,DC EC 2AACB^ADCE.z\\\\ \7A.①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④2. （10分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4 m 的位置上，则球拍击①②③④球的高度h 为与M B C ，的相似比等右，则点"的坐标为或匕丐1 23(2) VAACB^ADCE, AZB^ZE,又TZE+ZCDE 二90° , ZBDF=ZCDE,•••ZB+ZBDF 二90° ,・・・ZBFD 二90°，即EF 丄AB. 二、综合应用(20分)6. (20分)如图，AABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40 cm, AD =30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF 在BC 上，顶点G,H 分别在AC, AB ±, AD 与HG 的交点为M.求这个矩形EFGH 的周长.解：设HE 为x,则HG 为2兀 ・・•四边形FFGH 是矩形， ・•・矩形 EFG1I 的周长为(12+2X12) X2=72(cm). 三、拓展延伸(10分)7. (10分)如图所示，四边形ABCD 是以0为圆心，AB 为直径的半圆的内接四边形，対角线AC 、BD 相交于点E.(1)求证：△DECs^AEB ； (2)当ZAED = 60°时，求ADEC 与AAEB 的而积比.(1) 证明 VZBDC=ZBAC, ZDEC=ZAEB,AADEC^AAEB.(2) 解：TAB 是直径，.\ZADB=90o ,又 V ZAED=60° , AZDAC = 30° ,・DE 1S ZEB°4DEC ・・・IIG 〃BC,AAHG^AABC,HG AM • ________~BC~~AD即和弓产解得小・B。
相似三角形小结与复习
相似三角形小结与复习一、比例线段：。
如果线段a、b、c、d的比例线段，且a=4，b=9，d=3则c=。
二、相似三角形的判定：1、。
2、。
3、。
4、。
三、相似三角形的性质：相似三角形的、、、、之比等于相似；之比等于相似比的平方；相等。
在△ABC与△中，有下列条件：①；⑵③∠A＝∠；④∠C＝∠。
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△的共有（）组。
A、1B、2C、3D、4△ABC中，AB=AC，△DEF中，DE=DF，要使△ABC∽△DEF，还需添加的条件是（只添一个即可）。
如图，DE//BC，CD和BE相交于点O， S△DOE：S△COB=16：25，则AD：DB= 。
已知矩形ABCD相似于矩形A′B′C′D′，且相似比为2，若AB=6cm，BC=12cm，那么矩形A′B′C′D′的周长是 cm。
两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为_____。
一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的______倍。
15、一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是，周长是。
16、若△ABC∽△A’B’C’，且∠A＝45０，∠B＝30则∠C′＝。
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于点O，若S△OAB：S△OBC= 1：4，则S△OAD：S△OCB= 。
18、在口ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE、BD且AE、BD交于F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF= 。
20、把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为_在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则三角形ADE与四边形DEBC面积的比是如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）条。
A、1B、2C、3D、4如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为( )A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m在坐标系中,已知A（-3，0），B（0，-4），C（0，1）,过点C作直线L交x轴于点D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相相似,这样的直线一共可以作出（）条.A、6B、3C、4D、5四、图形位似的定义图形位似性质。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
相似三角形期终复习要点 整理篇
相似三角形期终复习要点（含例题、练习及答案）一、知识要点：1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。
二、典型例题：（一）、求线段长或线段比例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______．例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________．，（二）、求周长与面积或周长与面积比14．（2014．乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON =1． （1）求BD 的长；（2）若△DCN 的面积为2，求四边形ABCM 的面积．10．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm ，底边上的高为22.5 cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张． 11．如图，大正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是 ( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．不确定例3 如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；例4 如图3所示，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于D．若S△DOE＝9 cm2，则S△AOB 等于( )(A)18 cm2(B)27 cm2(C)36 cm2(D)45 cm2（三）、证明比例线段例5 如图4所示，已知正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q，求证：BD AP CD BQ．（四）、实际应用举例12．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A、E、C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB．(结果精确到0.1 m)例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？三、易混淆概念1、比例线段的相关概念在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
相似三角形知识点总结(两篇)2024
引言概述：相似三角形是初中数学中的重要知识点，它与三角形的性质和比例有着密切的关联。
在上一篇文章中，我们已经探讨了相似三角形的基本定义和判定方法。
本文将进一步总结相似三角形的性质，包括比例关系、角度关系、长度关系等，以及相似三角形在几何应用中的具体问题。
正文内容：一、比例关系1.直角三角形相似定理：在两个直角三角形中，如果一个角相等，那么它们是相似的。
并且，相似直角三角形的斜边与斜边之比等于其他两边与对应两边之比。
2.对称比例定理：如果一条直线把两个三角形分成两个部分，而且这两个部分的比例相等，则这两个三角形是相似的。
对称比例定理为我们解决相似三角形问题提供了一个常用的判定方法。
二、角度关系1.对应角相等定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
2.外角定理：三角形的一个外角等于它所对的两个内角之和。
应用外角定理可以求解相似三角形中的角度问题。
三、长度关系1.边长比例定理：在两个相似三角形中，相应边的比例相等。
即两个相似三角形对应边的比等于它们的任意两边比的乘积。
2.高度定理：在两个相似三角形中，对应边所对的高的比例等于对应边的比例。
四、几何应用1.利用相似三角形求解高度问题：当无法直接测量一个高度时，可以利用相似三角形的高度定理来计算。
2.利用相似三角形求解距离问题：当无法直接测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形的边长比例定理来求解。
3.利用相似三角形求解面积问题：当无法直接测量一个三角形的面积时，可以利用相似三角形的边长比例定理和高度定理来计算。
总结：相似三角形作为三角形知识的重要组成部分，具有较强的通用性和实用性。
本文通过比例关系、角度关系、长度关系等多个方面的阐述，总结了相似三角形的重要性质和应用方法。
相似三角形的掌握对于解决几何问题具有重要的指导意义，能够为我们的数学学习和实际应用带来更大的便利和效果。
通过深入学习和掌握相似三角形的知识，我们将能够更加准确和高效地解决与三角形相似性相关的问题。
《相似三角形》小结与复习15.docx
《相似三角形》小结与复习Q 本章矢口识结构r-比例的基木性质【知识要点】1.把?的值叫做线段Q"的比，若+ = £，则称线段Q 、b,C,d 成比例线段。
b b a2. 冬=9 o a : b = c: d o ad = be,其屮〃叫a,b,c 的第四比例项，a, 〃称为外项，b,c 称为内项; b d外项的积等于内项的积。
3. 图 剧陋=丄,我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位实际距离 n 4. 比例性质：5.比例中项：若b 2=ac.则称b 是a,c 的比例中项6.把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC~AB ・BC,叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
8.相似三角形的判定：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:类世斜三角形宜角三角形全等三角形的判定 SASSSSAAS (ASA)HL相似三角形的判定两边对应 成比例夹 角相等三边对应 成比例两角对应相 等一条直角边 与斜边对应 成比例9. 相似•二角形的性质① 相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③ 相似厂角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等丁相似比 ④ 相似三角形周长的比等于相似比相似图形比例线段位似比例线段平行线分线段成比例性质I —应用①基木性质: a®’②合比性质:<=>③等比性质：鱼=b\ b 2 b 3 b n = — (/?] +b 2 +・・・ +仇 H0)7.较长线段二较短线段 整条线段-较长线段铝，停叫做黄金比值。
相似三角形相似多边形 b da±b c±b⑤相似二角形面积的比等丁•相似比的平方10.相似多边形：①性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形周长的比等丁相似比，相似多边形面积的比等于相彳以比的平方。
②判定:对应角相等，对应边成比例的多边形相似11.位似变换定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结相似三角形是初中数学中的重要内容之一，学好相似三角形的知识对于解决各种几何问题非常有帮助。
相似三角形包含了多个知识点，接下来将对这些知识点进行总结。
1. 相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
用符号表示为∆ABC∼∆DEF。
判定两个三角形相似的方法有几种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，而这个角的两边分别与另一个角的两边成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应角相等是相似的基本性质，也是判定相似三角形的一个重要标志。
如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
（2）相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应边成比例是相似三角形的另一个重要性质。
即使两个三角形的对应边依次成比例，那么这两个三角形就是相似的。
（3）相似三角形的边比例与面积比例的关系。
如果两个三角形相似，那么它们的边比例的平方等于它们的面积比例。
即若∆ABC∼∆DEF，则AB/DE = BC/EF = AC/DF，并且[(AB/DE)^2] = [(BC/EF)^2] = [(AC/DF)^2] = ∆ABC的面积/∆DEF的面积。
3. 相似三角形中的一些重要定理（1）相似三角形的高定理如果两个三角形相似，那么它们的高也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则(AD/DF) = (BE/EF) = (CF/DF)，其中AD、BE和CF分别是∆ABC和∆DEF的高。
（2）相似三角形的角平分线定理如果两个三角形相似，那么它们的内角的角平分线也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相交于点K，而∠ABC的平分线与∠DEF的平分线相交于点L，则AK/KE = BL/LF。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
第二十七章相似 小结与复习
一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位 似中心.（这时的相似比也称为位似比） E B O
2.性质：
B
D F O C
C A
F D E
A
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于位似比；对应线段平行或者在一条直线上.
3.位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
E′
D′ B′ C′
BD AD 2 7 ，即 =2， ED CD ED
∵ED 7，∴BE BD ED 3 7.
5. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm， 高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一
边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零
件的边长是多少？ A
6m D
∴ CD=5.4m.
答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．
7. 如图，△ABC在方格纸中 (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),
并求出B点坐标；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将 △ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′;
(3)计算△A′B′C′的面积S.
【解析】(1)画出原点O，x轴、y轴如图.B（2，1）. (2)画出图形△A′B′C′.
1 3 S 4 8 16. 2
二 相似三角形的判定
通过定义（三个角分别相等，三条边成比例）
平行于三角形一边的直线 三边成比例 两边成比例且夹角相等 两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
三 相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方EFCB
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相似三角形小结与复习
教学设计思想
本节课系统的对本章内容做以归纳总结，让学生对本章内容更加清晰更加条理化。
通过本章知识结构图，让学生对知识有个总体认识，这样本章知识不再是零散的，而是有内在联系的。
这节课设计思路是让学生回顾所学知识，理清知识的脉络，体会知识之间的联系，然后通过例题与练习思考解决问题的方法，查漏补缺，并在原有基础上有所提高。
教学目标
知识与技能：
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算。
3．能熟练运用相似的判定证明三角形相似，提高解决实际问题的能力。
4．熟记三角形相似的周长比和面积比。
过程与方法：
经历总结与反思的学习过程，进一步加深对相似图形，相似三角形的判定、相似三角形的性质、位似图形以及利用有关知识解决一些实际问题的认识。
情感态度价值观：
发展数学的应用意识，进一步提高反思的意识，养成良好的学习习惯。
教学重难点
重点：知识的归类整理
难点：知识的记忆和应用方法
教学方法
小组合作与自主探究相结合
教学媒体
多媒体
教学过程
【师】本章内容已经全部学完了，你掌握了哪些知识呢？这节课我们一起做一个总结。
（幻灯片打出本章知识结构图）通过知识结构图，让我们对本章内容一幕了然。
回顾与思考
把本章内容从四个方面来划分，这样归纳，调理清晰
一、概念梳理。
1．相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
4．位似：相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的两个图形叫做位似图形。
二、性质
1．相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等。
2．位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
三、相似三角形的判定
判定一：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定二：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定三：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
四、思考
1．三角形相似与三角形的全等有什么关系。
“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性。
2．举例说明三角形相似的一些应用。
可以测量一些不好测量的物体，比如大树，楼房等等。
3．位似图形与相似图形的区别
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形．作业：P71第1，2，3，4
板书设计。