随机信号李晓峰版第一章习题答案
电子科技大学通信原理李晓峰版课件-第1章绪论
信息的度量与性质
信息的度量
除了信息量之外，还有其他一些度量信息的方法，如冗余度、互信息等。冗余度衡量了信息中重复内容的多少， 而互信息则表示两个随机变量之间的相关性。
信息的性质
信息具有可压缩性、可加性和不确定性。可压缩性意味着可以通过编码技术减少信息的位数；可加性意味着多个 信息源的信息可以合并；不确定性则与信息的不确定性有关。
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CATALOGUE
信息论基础ห้องสมุดไป่ตู้
信息量的定义与计算
信息量的定义
信息量是衡量信息多少的量，通常用熵来表示，熵是系统不 确定性的量度。在通信中，信息量用来衡量传输的信号所包 含的信息量大小。
信息量的计算
信息量的计算基于概率论，通过计算随机变量的不确定性来 得出信息量。在离散随机变量中，信息量等于各个事件发生 的概率的对数之和；对于连续随机变量，信息量等于概率密 度函数的积分对数的面积。
电子科技大学通信原理李 晓峰版课件-第1章绪论
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目 录
• 通信系统概述 • 信号与信道 • 信息论基础 • 通信原理的发展历程
01
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通信系统概述
通信系统的基本组成
信息源
产生需要传输的信息 ，如声音、图像、文 字等。
发送设备
将信息转换为适合传 输的信号形式，如调 制器、编码器等。
01
02
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传输速率
单位时间内传输的信息量，单 位为比特/秒（bps）。
误码率
传输过程中出现错误的概率， 单位为比特/千比特（bit/kb
）。
频带利用率
单位频带内传输的信息量，单 位为比特/秒/赫兹（bps/Hz
）。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
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9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析第一章
的理论与方法，必然是“张冠李戴”
t
无法得到正确的处理结果。
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随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所 遇到的大量信号均属于随机信号。如：
（1）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。 （2）－某交叉路口每天24小时测量的噪音的分贝记录。 （3）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。 （4）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。 (5)－反映地球物理特性的“地震信号”。 (6)－人说话时发出的“语音信号”。 （7）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。 (8)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
7
分析确定信号所用的数学工具有：微富积氏分变、换线、性拉代氏数变、换复、变等函等数
分析随机信号所用的数学工具有：随机概过率程论理论
上述的所有
数学工具
概率论研究的对象－－随机变量 X
随机过程理论研究的对象－－随机过程 X (t)
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（一）课程的特点、地位、作用和任务：
20
教材及主要参考书
教材：随机信号分析基础（第4版） 王永德 王军 （编著）
电子工业出版社
参考教材：
李晓峰,周宁等编著 随机信号分析(第4版) 电子工业出版社
随机信号分析 赵淑清 郑薇（编著） 哈尔滨工业大学出版社
随机信号处理 陆光华 彭学愚 西安电子科技大学出版社
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参考书籍
李晓峰,周宁等编著,随机信号分析(第4版)，电子工业出版社
29
30
1.1 概率的基本概念
定义(概率的统计定义) ：
在一定条件下,重复做 N 次实验, NA为 N 次实验中
事A发生的次数,如果随着
N
逐渐增大,频率
随机信号分析答案CH1习题答案
ρ XY =
σ X σY
C XY
→ C XY = ρ XY ⋅ σ X σ Y = 0.4 × 2 × 1 = 0.8
∴ 方差D [V ] = 4.8 D [W ] = 17.8
2 2 2 ⎤ E⎡ ⎣ X ⎦ = D [ X ] + mX = 4 + 1 = 5 2 2 2 ⎤ = D [Y ] + mY E⎡ Y = 1 + 2 =5 ⎣ ⎦
CVW = RVW − mV ⋅ mW = 22.2 − 3 × 7 = 1.2
ρVW =
σV σW
CVW
=
1.2 4.8 × 17.8
≈ 0.13
1.32 已知对随机变量 X 与 Y ，有 E [ X ] = 1 ， E [Y ] = 3 ，
D [ X ] = 4 ， D [Y ] = 16 ， ρ XY = 0.5 ， 又 设 U = 3 X + Y ，
= FX ( 0.7 ) − FX ( 0.3) = 0.7 2 − 0.32 = 0.4
k =1
（2） P {0.3 < X < 0.7} = P {0.3 < X ≤ 0.7} − P { X = 0.7}
0 ≤ x <1 else
（3） f X (x) =
dFX (x) ⎧2x =⎨ dx ⎩0
1 2 3 1 2 3
jv3X3 jvX1 jv2 X2 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ X1, X2 , X3独立 E ⎡ e E e E e ⋅ ⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= φ1(v)φ2 (2v)φ3 (3v)
jv( 2 X + X +4 X +10) ⎡ ⎤ φ ( v ) E e = （4） X ⎣ ⎦
李晓峰应用随机过程课后习题_随机过程答案CH1
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
最新-通信原理李晓峰版习题解答 精品
通信原理李晓峰版习题解答篇一：通信原理李晓峰课后习题答案习题一1（略）2两个二元消息符号与2的取值及概率分别为：求它们的熵。
解：利用式()???2?1易见，(1)??03203?072207?08812()()(2)??2?0303?2?0202?19713（略）4假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0099，按压“*”或“#”的概率各为0005，拨号速率为2次。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？解：（1）利用式()???2?1，??10?009920199?2?000520005?3356连续按键产生的熵率??335605?6712（2）拨号产生的二进制数率,4?2?85（略）6假定容量为47的盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？解：数据率为?47?2?8133?603030?50599注意，1=2?1073741824?10，有时也可用109。
7（略）8（略）9（略）10假定电传打字机的信道带宽为300，信噪比为30（即，?1000），试求该信道的容量。
)解：利用式?2(1?有?103010?300?2(1?1000)?299()2511假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400，信噪比为25（即，），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、288或96的调制解调器中哪个较合适？解：带宽=3400-300=3100，利用式?2(1??10)，有?3100?2(1?31623)?2573()故应采用288的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
习题三1（略）2一个信号具有如下形式：????20?23000??106000??2?其中?10；5（1）试确定每个频率分量的功率；（2）确定调制指数；（3）确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比。
通信原理-李晓峰-课后习题答案
习题一1. （略）2. 两个二元消息符号X 与X 的取值及概率分别为：解：利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑易见，)(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--=)(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-=3. （略）4. 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s 。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？ 解：（1）利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑，22100.099log 0.09920.005log 0.0053.356bits/keyH =-⨯-⨯≈连续按键产生的熵率3.356/ 6.7120.5/H bits key R T s key===/bits s（2）拨号产生的二进制数率,4/2/8/bit key key s bits s ⨯=5. （略）6. 假定容量为4.7GB 的DVD 盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？ 解：数据率为304.728/ 5.059Mbps 13360Bytes bits Byte R s⨯⨯==⨯注意，1GB=3092107374182410Bytes Bytes =≈，有时也可用910。
7. （略） 8. （略） 9. （略）10. 假定电传打字机的信道带宽为300Hz ，信噪比为30dB （即，30/10/101000S N ==），试求该信道的容量。
解：利用式bps NSB C )1(log 2+=有2C 300log (11000) 2.99()kbps =⨯+=11. 假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz ，信噪比为25dB （即，2.5/10S N =），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps 的调制解调器中哪个较合适？解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz ，利用式bps NSB C )1(log 2+=，有2C 3100log (1316.23)25.73()kbps =⨯+=故应采用28.8kbps 的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
(整理)现代通信原理李晓峰版一到三章部分答案
习题第一章 2 4 6 10 11；2 两个二元消息符号1X 与2X 的取值及概率分别为：解：利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑易见，)(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--=)(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-=4 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s 。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？解：（1）利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑，22100.099log 0.09920.005log 0.0053.356bits/keyH =-⨯-⨯≈连续按键产生的熵率（信息速率）3.356/ 6.7120.5/H bits key R T s key===/bits s（2）拨号产生的二进制速率,4/2/8/bit key key s bits s ⨯=6 假定容量为4.7GB 的DVD 盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？解：数据率为304.728/ 5.059Mbps 13360Bytes bits Byte R s⨯⨯==⨯注意，1GB=3092107374182410Bytes Bytes =≈，有时也可用910。
10 假定电传打字机的信道带宽为300Hz ，信噪比为30dB （即，30/10/101000S N ==），试求该信道的容量。
解：利用式bps NSB C )1(log 2+= 有2C 300log (11000) 2.99()kbps =⨯+=11假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz ，信噪比为25dB（即， 2.5/10S N =），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps 的调制解调器中哪个较合适？解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz ，利用式bps NSB C )1(log 2+=，有 2C 3100log (1316.23)25.73()kbps =⨯+=故应采用28.8kbps 的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
随机信号分析第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kxx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问 {}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问201()()0X X xx d F x f x elsedx≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxxx xxF x f x dx e dx x e x e dx edxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-=答案 0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!keP X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XYkex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},X YDP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y x f x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号李晓峰版第一章习题答案
ve e φ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=； （4）()(sin 5)/(5)v v v φ=； 解：（1）1()i k jvxiivpe φ==∑ ()()1 k i i i f x p x x δ==-∑ 2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++ ()()()()()() 0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++ ()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==?+?+-?+-?= ()()()()22 2 2 2 2 (0) 20.340.220.240.1 6.8 EX j φ''=-=?+?+-?+-?= ()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-= （2）() 11 ()0.30.7jv jv v e e φ??-=+ ()()()0.310.71f x x x δδ=-++ ()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==?+-?=()()()
25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此 独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示 1,1,2,,0i X i N ?==? ? 造成损坏没有造成损害 , 造成损坏的粒子数 1 N i i Y X ==∑ ，于是 () 1 1 (|)(|) |n iin i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑ 可合理地认为N 和i X 是独立的，于是 ()1 (|)n i i E Y N n E X np ====∑ ()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ==== 27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数： （1）X 为常数c ，即{}1P X c ==； （2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布： ()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++ （4）指数分布： 30 3(), x x e f x -≥?=??其他 解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ????===???? ， 如果c=0，则()1X v φ=。 （2）
李晓峰通信原理习题答案CH1.doc
习题1. （略）2. 两个二元消息符号X X求它们的熵。
解：利用式21()log M i i i H X P P ==-∑易见， )(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--= )(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-= 3.4. 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s 。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？ 解：（1）利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑， 22100.099log 0.09920.005log 0.0053.356bits/keyH =-⨯-⨯≈连续按键产生的熵率3.356/ 6.7120.5/H bits key R T s key===/bits s （2）拨号产生的二进制数率, 4/2/8/bit key key s bits s ⨯=5. （略）6. 假定容量为4.7GB 的DVD 盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？解：数据率为304.728/ 5.059Mbps 13360Bytes bits Byte R s⨯⨯==⨯ 注意，1GB=3092107374182410Bytes Bytes =≈，有时也可用910。
7. （略）8. （略）9. （略）10. 假定电传打字机的信道带宽为300Hz ，信噪比为30dB（即，30/10/101000S N ==），试求该信道的容量。
解：利用式bps N S B C )1(log 2+=有2C 300log (11000) 2.99()kbps =⨯+=11. 假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz ，信噪比为25dB （即， 2.5/10S N =），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps 的调制解调器中哪个较合适？ 解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz ，利用式bps NS B C )1(log 2+=，有 2C 3100log (1316.23)25.73()kbps =⨯+=故应采用28.8kbps 的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
随机信号分析与处理简明教程 第一章习题答案
dx n 1 = dy 1− y2
fY ( y ) = = =
1 1− y 1 1− y 1 1− y
2 2 2
n =−∞ +∞
∑ [g ∑ [g ∑g
+∞
+∞
−1
( x2 n ) + g −1 ( x2 n +1 )] (arcsin y − θ + 2π n) + g −1 (π − arcsin y − θ + 2π n)]
=∑
i =0
n! a i b n −i i !(n − i )! a i b n −i
=∑
i =0
n
n(n − 1)(n − 2) i!
(n − i + 1)
所以有
m=0
∑
n −1
(n − 1)(n − 2)
[(n − 1) − m + 1] m p (1 − p )[( n −1) − m ] = [ p + (1 − p)]n −1 m!
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
m m E ( X ) = ∑ mP{ X = m} = ∑ mCn p (1 − p) n − m m =0 m =0 n n
= ∑m
m=0 n
n
n! p m (1 − p) n − m m !(n − m)! n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) m p (1 − p) n − m m! n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) m p (1 − p) n − m m!
类似地可得
E ( X 2 ) = E[ X ( X − 1) + X ] = E[ X ( X − 1)] + E ( X )
通信原理李晓峰习题答案
通信原理李晓峰习题答案【篇一：李晓峰__通信原理习题答案-ch4】相应的单极性nrz信号、双极性rz信号与传号差分码信号的波形。
解：单极性nrz双极性rz-v 传号差分码（假设参考码元为0）也可以是双极性2. 某数字基带系统速率为2400baud。
解：四进制：rb?rslog2m?2400?log24?4800bps八进制：rb?rslog2m?2400?log28?7200bps双极性nrz矩形脉冲时，绝对带宽无限，第一零点带宽：bt?rs?2400hz 只与信号的波特率有关。
3. 某数字基带系统速率为9600bps。
解：四进制：rs?rb/log2m?9600/log24?4800baud十六进制：rs?rb/log2m?9600/log216?2400baud单极性rz考虑50%的脉冲占空比，四进制： bt?2rs?2?4800?9600hz 十六进制：bt?2rs?2?2400?4800hz 4.某二元数字基带信号用脉冲的有、无表示。
解：仿单极性nrz信号，但脉冲形状为三角形：g?f??ats22sa???fts??2? ?又由等概特性，m1a?e?an??12?1?12?0?24-1?a?e?a22n?1?1??e?an???1??0????224?2?222112由教材p134公式（4.2.2），该数字基带信号的功率谱为： ps?f??1?2ats?gt?fats4422?2?mts42a2??k????kgt??t?s??k????f????ts?????2?4ts21??fts??sa???2?2?4ts2??ats16ats162??fts?a?sa????2?164?k????k?4??fts????sa?f????4?ts??2??k???? ?k?4?k????sa??f???ts??2???ats?22???fts?a?sa???f????216??2?k??1,?3,?5.......a424k????f???k??ts??f1和0概率为p和1-p，用g?t?和?g?t?表示。
随机信号与系统课第一章习的题目部分问题详解
第一章 习题1-1 对某一目标进行射击，直到击中为止。
如果每次射击命中率为p ，试求（1）射击次数的概率分布表； （2）射击次数的概率分布函数。
解：（1）设 事件A ：每次射击命中目标 事件B ：第n 次首次命中目标 则射击次数的概率分布表为：（2）射击次数的概率分布函数：1()(1)n P B p p -=-.1-2 假设测量某一目标的距离时，随机偏差X （单位m ）的分布密度为2(200)()]3200x p x -=-试求在三次测量中，至少有一次测量偏差的绝对值不超过30m 的概率。
解：由随机误差分布密度可知，2()200,1600E X σ==设 事件A ：一次测量中的测量误差的绝对值超过30m ；事件B ：三次测量中至少有一次测量误差的绝对值不超过30m ；则()()()30200121212 4.252 4.25140x x P A σ--⎛⎫⎛⎫=-Φ=-Φ=-Φ-=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()3111[2(4.25)1]P B P B P A P A P A =-=-⋅⋅=-Φ-1-3 对某一目标进行射击，直到击中为止。
如果每次射击命中率为p ，试求射击次数的数学期望和方差。
解：设射击次数为X ，由题1-1，知其概率分布函数为1()(1)n P X p p -=-，所以其数学期望为11()(1)n n E X n p p ∞-==-∑.设11(1)ni n i S i p -==-∑，则S n =1+2(1-p )+3(1-p )2+…+(n-1)(1-p )n-2 +n (1-p )n-1 ①(1-p )S n = (1-p )+2(1-p )2+3(1-p )3+ … +(n-1)(1-p )n-1+n (1-p )n② ①-②，得 pS n =1+(1-p )+(1-p )2+(1-p )3+…+(1-p )n-1-n (1-p )n，化简得11(1)(1)n n n p pS n p p---=--.∴ 11(1)11()lim lim[(1)]lim[(1)]n n n n n n n p E X pS n p n p p p p-→∞→∞→∞--==--=--=.射击次数的方差为22()()[()]D X E X E X =-， ∵ 2211()(1)n n E X n p p ∞-==-∑，11()(1)n n E X n p p ∞-==-∑，∴ 22111()()()(1)(1)n n E X E X E X n n p p p ∞-=-=-=--∑.设11(1)(1)ni n i Q i i p -==--∑，则Q n =1×0+2×1(1-p )+3×2(1-p )2+…+(n-1)(n-2)(1-p )n-2 +n (n-1)(1-p )n-1③ (1-p )Q n =1×0(1-p )+2×1(1-p )2+3×2(1-p )3+ …+(n-1)(n-2)(1-p )n-1+n (n-1)(1-p )n④③-④，得 pQ n =2×1(1-p )+2×2(1-p )2+2×3(1-p )3+…+2(n-1)(1-p )n-1-n(n-1)(1-p )n， 整理得11112(1)[(1)](1)(1)2(1)(1)(1)n i n n n n i pQ p i p n n p p S n n p ---==-----=----∑又 11(1)(1)n n n p pS n p p---=--，∴ 222(1)2(1)2(1)(1)(1)n n nn p p n p pQ n n p p p p---=-----， ∴ 22212(1)(22)(1)()lim lim[(1)(1)]n nn n n p pn p E X pQ n n p p p p→∞→∞----==---- 2222(1)222(1)lim(1)lim (1)lim[(1)(1)]n n nn n n p p p n p n n p p p p p→∞→∞→∞--=-------=. ∴ 222222(1)111()()[()]().p pD XE X E X p p p p--=-=+-= 1-4 对圆的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a ，b ]内，求圆面积的分布密度和数学期望。
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随机信号分析第一章1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()())0.210.520.33i i if x p x x x x x δδδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i iF x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（9.10. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae-=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 11. 12.13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
解：（1）()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijF x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijf x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑（2）X 的分布律为（i ij jP P ⋅=∑）()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+=（3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
14.15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y V X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y ex y Rπ+-=∈由反函数 22u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 1112211222J ==--， ()()()22241,,,,4u v UV XY f u v f x y J eu v R π+-=⋅=∈由于,（3）22224441114u v u v ee e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。
16. 17. 18. 19.20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
（22()()D U EU EU =-）解：首先，22()()5EX D X EX =+=，22()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=+⨯=于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=(2)25EV E X Y EX EY =-=-=-()2222222()()3()(96)()76D U EU EUE X Y EU E X XY Y EU =-=+-=++-=()2222222()()2()(44)()52D V EV EVE X Y EV E X XY Y EV =-=--=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-21. 22.23. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。
随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试求（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY解：（1）对[0,]x a ∈有，()2a XE Y X +=（2）/23(())224a Xa a EY E E Y X E a ++⎛⎫====⎪⎝⎭24.25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。
进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。
求：造成损坏的粒子平均数目。
解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示1,1,2,,0i X i N⎧==⎨⎩造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1Nii Y X ==∑ ，于是()11(|)(|)|ni i ni i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑可合理地认为N 和i X 是独立的，于是()1(|)ni i E Y N n E X np====∑()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++（4）指数分布：303(),xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦， 如果c=0，则()1X v φ=。
（2）{}()()0001()!!jv jv jvX jvk X k kjv k jvk k k e ev E e e P X k e e e e k k e e e λλλλλφλλ∞=∞∞--==--⎡⎤===⎣⎦====∑∑∑（3）()11()0.40.60.40.6jv jvX jv jv jvX v E e e e e e φ--⎡⎤==⨯+⨯=+⎣⎦（4）3(3)003()333jvXjvx xjv xX v E e e e dx edx jv φ+∞+∞--⎡⎤==⨯==⎣⎦-⎰⎰28. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()v v v φφφ，求下列随机变量的特征函数：（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；解：（1）12X X X =+12()()()jvXX v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦（2）123X X X X =++同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）12323X X X X =++123()()(2)(3)X v v v v φφφφ=（4）1232410X X X X =+++10123()(2)()(4)jv X v e v v v φφφφ=29. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
（1）2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++；（2）()0.30.7jv jvv e eφ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=-；（4）()(sin5)/(5)v v v φ=；解：（1）1()ikj v x i i v p eφ==∑()()1ki i i f x p x x δ==-∑2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X jφ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()()222222(0)20.340.220.240.1 6.8E Xj φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=（2）()11()0.30.7jv jv v eeφ⋅⋅-=+()()()0.310.71f x x x δδ=-++()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-()()()2222(0)10.310.71E Xj φ''=-=⨯+-⨯=()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-= （3）()4/(4)v jv φ=-()4/(4)v jv φ-=+利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，()44()xf x e u x -=()4/(4)v jv φ=-()()(0)k k k E X j φ⎡⎤=-⎣⎦()21(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-= ()231(0)8(4)8v E Xjv φ-=''=-=-= ()()22111()81616Var X E X E X =-=-=。
（4）()()sin /2()2/2x t p t sa τωτωτττωτ⎛⎫=⇔=⎪⎝⎭sin 51sin10/2()10()51010/2v v v v v v φφ⎡⎤==⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦ ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。