充分条件与必要条件(公开课)

人教版高一数学第一册（上）
充分条件与必要条件
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1、命题：可以判断真假的语句
复 可以写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系
习
原命题
互逆
逆命题
旧
若 p则 q
若 q则 p
知引 互否 互为
逆否 互否
否命题
入 若 p则 q
互逆
逆否命题
若 q则 p
新 3、若命题“若p则q””为为真真,, 课 记作p q（或q p）.
(1)p: (x-2)(x-3)=0; q: x-2=0
(2)p: 同位角相等; q: 两直线平行
(3)p: x=3;
q: x2=9
(4)p: 四边形的对角线相等
q: 四边形是平行四边形
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解：
(1) q:（x-2)=0
p:(x-2)(x-3)=0
(x-2)(x-3)=0 （x-2)=0
⑵ p：三角形的三条边相等；
q：三角形的三个角相等.
分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判
断解.:(1) 由pq ,即x=y
x2=充y分2，条件，q是知p的p是必q要的条件.
⑵由pq,即三角形的三边相等
三角形知的p是三q角的相充等分,条件,q是p的必要条件;
反过来，由q p，即三角形的三个角相等 三
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 集
C.丙是甲的充要条件
合
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 的
角
度
丙 乙
甲
丙
考
虑
甲（乙）
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情况１
情况２
解法２（常规解法－－画线型流程图）
丙
乙
甲
从而丙是甲的充分不必要条件
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小结
充分条件、必要条件、充要条件的概念
充
要
从定义出发
条
件
充分条件、必要条件的正确判断 从命题角度考虑
所以p是q的 必要不充分条件
（２）同位角相等 两直线平行 所以p是q的充要条件
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(3)p:x=3 x2=9
q:x2=9 x=3
所以p是q的充分不必要条件
4)p:四边形的对角线相等 形
q:四边形是平行四边
四边形是既平不行充四分边也形不必要条四件边形的对角线相等 所以p是q的
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“x是４的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要条件
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归纳
条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
p q pq
p是q的必要 不充分条件
pq
pq
} p是q的充要条件
pq
pq p q
p是q的既不充分 也不必要条件
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pq pq
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例２
指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而 不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充要条件 ”和“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
充分必要条件,简称充要条件.
一般地,如果既有p q,又有q p,就记作
P
q
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件， 我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 。
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例：
“x是6的倍数” 是“x是2的倍数” 的充分不必要条件
“x是2的倍数”是“x是6的倍数” 的必要不充分条件
“X既是2的倍数也是3的倍数”“是x是６的倍数”的充要条件
4 、 如 果 命 题 “ 若 p 则 q” 为 假 ， 则记作p q.
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一.充分条件与必要条件
例 “若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；
“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真
命题, 可写成：两三角形全等 两三角形面积相等.
一般地，如果已知p q，那么我们就说，
即 充分不
:必要条件
p q qp
㈡若原命题是假命题,逆命题是真 命题,那么p是q的必要不充分条件
即: 必要不 充分条件
pq q p
} ㈢若原命题和逆命题都是真命题, 那么p和q互为充要条件
㈣若原命题和逆命题是假命题, 那么p是q的既不充分也不必要条件
充
即:要 条
件
pq q p
即:既不充分也 不必要条件
从集合角度考虑
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角形的三条边相等，q也是p的充分条件，p也是q的
必要条件．
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课堂练习：课本P35练习：1、2
答案： 1填在课本上(略）
2⑴∵pq，∴p是q的充分条件, q是p的必要条件 ⑵∵qp，∴p是q的必要条件, q是p的充分条件
⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件 又∵qp∴q也是p的充分条件p也是q的必要条件.
p q
pq qp
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引申⑴p是q的充分不必要条
② 件，相当于P Q,如右图
从
集
⑵p是q的必要不充分条
合
件,相当于P Q ,如左图
角
度 ⑶p q,相当于P=Q ,
看
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如
back 右图:
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例３（用集合的方法来判断下列
各题中的p是q的什么条件）
⑷∵p q,∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
又∵q p，∴ q也是p的充分条件,p也是q的必要条件
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二.充要条件
在例1的第(2)小题中,”三角形的三条边相等”既
是三角形的三个角相等”的充分条件,又是”三角
形的三个角相等”的必要条件,我们就说,”三角
形的三条边相等”是”三角形的三个角相等”的
p是q的充分条件，
q是p的必要条件.
在上面两个例子中， “x>0”是“x2>0”的
，“x2>0”是“x>0”
的
充分条件
必要条件
“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件 “两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
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例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，
q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
课堂练习：课本P36练习：1，2；
答案： 1.填在课本上（略） 2.（口答）
⑴充分不必要条件 ⑵.充分不必要条件 ⑶.充要条件 ⑷.必要不充分条件
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引申 ①从命题角度看
若把命题中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题
与逆命题同p与q之间有如下关系：
㈠若原命题是真命题,逆命题是假 命题, 那么p是q的充分不必要条件
１．p:菱形 q:正方形 2. p: x>4 q: x>1
解：１．由图１可知p是q的 必要不充分条件 ２．由图２可知p是q的 充分不必要条件
p:菱形 q:正方形
图１
q
p
01
4
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图２
练习
设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必 要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么（ ）A
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 从