PPT—复杂网络
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【原创】社会网络分析 复杂网络 课件 PPT 完整版 图文
2.渗流模型
2.1应用
Forest fires Power blackouts Social uprisings Financial network collapse Generally best for environments with fixed interactions Stations in power grid Trees in forest Computers in a network A bit harder for financial network that changes, but still useful
2.渗流模型
2.2 三种模型
1. Basic Percolation Model (edge percolation) Assumes people/trees/computers connected on a fixed grid Not necessarily accurate, but closer than random mixing All models are wrong Percolation applied to Forest Fires and Banks (site percolation) Help clarify logic of basic model, see how complicating it a little can generate domain-specific insights Knowledge Growth Model
2.3 基本模型
If there are no open edges, no percolation As number of open edges increases, more likely to see percolation As proportion open edges 1, probability of percolation 1 Simulate this many times! There is a critical threshold
复杂网络 PPT课件
二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要的研 究对象，整合成为主要方法；
整合的方法在于了解细部以后，研究“如何组合”的
问题，这导致复杂网络结构的研究； 如：普列高津的耗散结构理论、哈肯的协同学、混沌 和复杂系统理论、系统生物学、…
复杂系统与复杂网络
复杂系统与复杂网络的概念
系统：集合（具体元素）+ 系统的结构是什么？
统失控等一系列不同网络间的连锁反应。
（4）网络分层结构的复杂性
行政管理网络是具有层结构的，多数网络都有节点的
分层结构，只是在许多网络中没有意识到是一种造成 复杂性的重要结构。
对复杂网络的理解
复杂网络是二十一世纪科学研究的思想和理念， 它启发我们用什么观点理解这个世界：整个世界 以及组成世界的任何细部都是由网络及其变化形 成的； 复杂网络也是研究复杂系统的一种技术和方法， 它关注系统中个体相互作用的拓扑结构，是理解 复杂系统性质和功能的基本方法。
复杂网络 Complex Network
为什么研究复杂网络？
二十一世纪涌现的新现象
互联网是怎样“链”接的？ 从一个页面到另一个页面，
平均需要点击多少次鼠标？
美国航空网
城市公共交通网
为什么两者结构差异如此之大？ 这种差异是必然还是偶然的？ 城市交通涌堵的原因是什么？
• 非典发现在广州，为什么却 在北京爆发呢？ • 传染病是怎样扩散和消失的？
互联网 病毒传播网
计算机病毒是怎样传播的？ 为什么“好事不出门，坏事 行千里”呢？……
神经网络
生态网络
社交网络
电力网络
电信网络航空网络Biblioteka Facebook 全球友谊图
PPT—复杂网络.ppt
20
三、社区结构
整个网络是由若干个“社区"或“组’’构成的。每个社 区内部的结点间的连接相对非常紧密，但是各个社区之间 的连接相对来说却比较稀疏（网络中的顶点可以分成组, 组内连接稠密而组间连接稀疏）。我们将复杂网络的这种 结构特征称之为复杂网络的社团结构或社区结构。
社区结构是复杂网络的一个重要的特性，社区也被称为簇， 大量研究表明网络是由各种不同类型的节点构成的，一般 情况下，在不同类型的节点间存在较少的边，而在相同类 型的节点间会有较多的边。位于一个子图内的节点和边组 成一个社团。 复杂网络社区结构还有一个很重要的特性,即是它的层次特
复杂网络的统计特征
网络的聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值。
（0C1） C=0网络中所有节点都是孤立点 C=1网络中任意节点间都有边相连
★ 网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚力
★ 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实 上，在很多类型的网络(如社会关系网络)中，你的朋友同 时也是朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非 零常数，即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这些实际的复杂 网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社 会关系网络中“物以类聚，人以群分”的特性。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
三、社区结构
整个网络是由若干个“社区"或“组’’构成的。每个社 区内部的结点间的连接相对非常紧密，但是各个社区之间 的连接相对来说却比较稀疏（网络中的顶点可以分成组, 组内连接稠密而组间连接稀疏）。我们将复杂网络的这种 结构特征称之为复杂网络的社团结构或社区结构。
社区结构是复杂网络的一个重要的特性，社区也被称为簇， 大量研究表明网络是由各种不同类型的节点构成的，一般 情况下，在不同类型的节点间存在较少的边，而在相同类 型的节点间会有较多的边。位于一个子图内的节点和边组 成一个社团。 复杂网络社区结构还有一个很重要的特性,即是它的层次特
复杂网络的统计特征
网络的聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值。
（0C1） C=0网络中所有节点都是孤立点 C=1网络中任意节点间都有边相连
★ 网络节点间联系的密切程度, 体现网络的凝聚力
★ 许多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应。事实 上，在很多类型的网络(如社会关系网络)中，你的朋友同 时也是朋友的概率会随着网络规模的增加而趋向于某个非 零常数，即当N→∞时，C=O(1)。这意味着这些实际的复杂 网络并不是完全随机的，而是在某种程度上具有类似于社 会关系网络中“物以类聚，人以群分”的特性。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
复杂网络第六章ppt课件
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
算法6-2生成的随机图具有如下几种情形：
（1）如果p=0，那么G=(N,p)只有一种可能：N 个孤立节点，边数M=0
（2）如果p=1，那么G=(N,p)也只有一种可能：
N个节点组成的全耦合网络，边数
M1N(N1) 2
（3）如果p∈（0,1），那么从理论上说，N个
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.1 本章要点
常见的规则网络模型 随机图模型及其拓扑性质 具有任给定度分布的广义随机图模型 基于随机重连的零模型
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
例如，传感器网络等。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.2.2 最近邻耦合网络
常见的一种具有周期边界条件的最近邻 耦合网络包含围成一个环的N个节点，其中 每个节点都与它左右各K/2个邻居点相连， 这里K是一个偶数。
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
2 ER随机图G(N,p)构造算法 （1）初始化：给定N个节点以及连边概率p∈[0,1]。 （2）随机连边：
①选择一对没有边相连的不同的节点 ②生成一个随机数r ∈（0,1） ③如果r﹤p，那么在这对节点之间添加一条边； 否则就不添加边。 ④重复步骤① ~③，直至所有的节点对都被选 择过一次。
①随机选取一对没有边相连的不同的节 点，并在这对节点之间添加一条边。
算法6-2生成的随机图具有如下几种情形：
（1）如果p=0，那么G=(N,p)只有一种可能：N 个孤立节点，边数M=0
（2）如果p=1，那么G=(N,p)也只有一种可能：
N个节点组成的全耦合网络，边数
M1N(N1) 2
（3）如果p∈（0,1），那么从理论上说，N个
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.1 本章要点
常见的规则网络模型 随机图模型及其拓扑性质 具有任给定度分布的广义随机图模型 基于随机重连的零模型
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
例如，传感器网络等。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
6.2.2 最近邻耦合网络
常见的一种具有周期边界条件的最近邻 耦合网络包含围成一个环的N个节点，其中 每个节点都与它左右各K/2个邻居点相连， 这里K是一个偶数。
具有固定连边概率的ER随机图G(N,p)
2 ER随机图G(N,p)构造算法 （1）初始化：给定N个节点以及连边概率p∈[0,1]。 （2）随机连边：
①选择一对没有边相连的不同的节点 ②生成一个随机数r ∈（0,1） ③如果r﹤p，那么在这对节点之间添加一条边； 否则就不添加边。 ④重复步骤① ~③，直至所有的节点对都被选 择过一次。
①随机选取一对没有边相连的不同的节 点，并在这对节点之间添加一条边。
复杂网络(度相关性与社团结构)PPT课件
i 1
.
10
knn (k) 与条件概率和联合概率之间具有如下关系：
knn
kmax
(k)
k 'Pc (k ' | k)
k' kmin
1 qk
kmax
k
'
e k
k
'
k' kmin
如果 knn (k) 是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的 节点倾向于与度大的节点连接，从而表明网络是同配的；反之，
任一条边与某个节点相连的概率与该节点的度成正比，度不相关网
络的条件概率为
Pn
(k
'
|
k
)
Pn
(k)
k 'P(k ' ) k
.
.
9
判断度相关性的更为简洁的方法：计算度为k的节点的邻居节 点的平均度，也称度为k的节点的余平均度，记为 knn (k).
假设节点i的 ki 个邻居节点的度为 kij , j 1,2,...,ki. 我们可以计算节
点i 的余平均度，即节点i的 ki 个邻居节点的平均度 knn i 如下：
1
knn i ki
ki
ki j .
j 1
（egP124图4-4）
假设网络中度为k的节点为 v1, v2,..., vik , 那么度为k的节点的余平 均度可计算如下：
1 ik
knn (k ) ik
k nn vi
显然度分布中已经包含了平均度的信息 k kP(k). k 0 具有相同度分布的两个网络可能具有非常不同的其他性质或行为。eg:P121 为进一步刻画网络的拓扑结构，考虑包含更多结构信息的高阶拓扑特性。
.
.
10
knn (k) 与条件概率和联合概率之间具有如下关系：
knn
kmax
(k)
k 'Pc (k ' | k)
k' kmin
1 qk
kmax
k
'
e k
k
'
k' kmin
如果 knn (k) 是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的 节点倾向于与度大的节点连接，从而表明网络是同配的；反之，
任一条边与某个节点相连的概率与该节点的度成正比，度不相关网
络的条件概率为
Pn
(k
'
|
k
)
Pn
(k)
k 'P(k ' ) k
.
.
9
判断度相关性的更为简洁的方法：计算度为k的节点的邻居节 点的平均度，也称度为k的节点的余平均度，记为 knn (k).
假设节点i的 ki 个邻居节点的度为 kij , j 1,2,...,ki. 我们可以计算节
点i 的余平均度，即节点i的 ki 个邻居节点的平均度 knn i 如下：
1
knn i ki
ki
ki j .
j 1
（egP124图4-4）
假设网络中度为k的节点为 v1, v2,..., vik , 那么度为k的节点的余平 均度可计算如下：
1 ik
knn (k ) ik
k nn vi
显然度分布中已经包含了平均度的信息 k kP(k). k 0 具有相同度分布的两个网络可能具有非常不同的其他性质或行为。eg:P121 为进一步刻画网络的拓扑结构，考虑包含更多结构信息的高阶拓扑特性。
.
复杂网络理论和应用研究PPT课件
最近的研究文献揭示了复杂网络的许多重 要特性，其中最有影响的是小世界(smallworld)特性和无标度(scale-free)特性。
早期网络模型-ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网 络模型并对模型进行了深入研究，他们 是用概率统计方法研究随机图统计特性 的创始人。
在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
~ 1.5 Poisson distribution
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随机 网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。
WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点 相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
成的一张图。
中国教科网
中国教科网拓扑结构
网络（图）的基本概念
• 关联与邻接 • 度、平均度 • 节点的度分布 • 最短路径与平均路径长度 • 群系数
网络(图)的基本概念
a
b
c
d
e
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k的节点的概率 p(k随) 节点
度 的变k化规律。
网络(图)的基本概念
规则图的特征
平均度为3
随机图的特征
节点确定，但边以概率 p任意连
接。 节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
4. 复杂网络的演化模型
复杂网络是大量互联的节点的集合，节点 是信息的载体，比如互联网，万维网，以 及各种通信网、食物网、生物神经网、电 力网、社会经济网、科学家合作网等。
早期网络模型-ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网 络模型并对模型进行了深入研究，他们 是用概率统计方法研究随机图统计特性 的创始人。
在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
~ 1.5 Poisson distribution
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随机 网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。
WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接点 相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
成的一张图。
中国教科网
中国教科网拓扑结构
网络（图）的基本概念
• 关联与邻接 • 度、平均度 • 节点的度分布 • 最短路径与平均路径长度 • 群系数
网络(图)的基本概念
a
b
c
d
e
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k的节点的概率 p(k随) 节点
度 的变k化规律。
网络(图)的基本概念
规则图的特征
平均度为3
随机图的特征
节点确定，但边以概率 p任意连
接。 节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
4. 复杂网络的演化模型
复杂网络是大量互联的节点的集合，节点 是信息的载体，比如互联网，万维网，以 及各种通信网、食物网、生物神经网、电 力网、社会经济网、科学家合作网等。
复杂网络概述 ppt课件
ppt课件
9
小世界实验---Erdos数
Erdos从来没有一个固定的职位，从来不定居在一 个地方，也没有结婚，带着一半空的手提箱，穿 梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有 人称他为流浪学者(wande ring scholar)。
他效忠的是科学的皇后， 而非一特定的地方。各 地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他 的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性 的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
ppt课件 6
小世界实验--- Bacon数
截止到几天前，世界电影史上共产生了大约 23万 部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 几 年 前 ,Virginia 大 学 的 计 算 机 专 家 Brett Tjaden 设计了一个游戏，他声称电影演员 Kevin Bacon是电影界的中心。 在游戏里定义了一个所谓的 Bacon 数：随便想一 个演员，如果他（她）和 Kavin Bacon 一起演过 电影，那么他（她）的 Bacon 数就为 1 ；如果他 （她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为 1 的演员一起演过电影，那么他的 Bacon 数就为 2 ； 依此类推。 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个 人的Bacon数超过4。
Virginia大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据库，放在
网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近60万个世界各 地的演员的信息以及近30万部电影信息。通过简单地输入演员名字就
可以知道这个演员的Bacon数。
复杂网络概述 ppt课件
ppt课件 7
小世界实验--- Bacon数
在网上有一个网页。网站的数据库里总共存有有783940个世界 各地的演员的信息以及231,088部电影信息。
通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的 bacon 数。目 前比如输入Stephen Chow（周星驰）就可以得到这样的结果： 周星驰在 1991 年的《豪门夜宴 (Haomen yeyan)》 中与洪金宝 (Sammo Hung Kam-Bo) 合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部 电影，即 1978 年的《死亡的游戏 （ Game of Death ）》 中与 Colleen Camp 合作； Colleen Camp 在去年的电影《Trapped》 中与Kevin Bacon 合作。这样周星驰的Bacon数为3。 对78万个演员所做的统计：演员的最大Bacon数仅仅为8，平均 Bacon数仅为2.948。
ppt课件 6小世界实验--- Bac Nhomakorabean数
截止到几天前，世界电影史上共产生了大约 23万 部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 几 年 前 ,Virginia 大 学 的 计 算 机 专 家 Brett Tjaden 设计了一个游戏，他声称电影演员 Kevin Bacon是电影界的中心。 在游戏里定义了一个所谓的 Bacon 数：随便想一 个演员，如果他（她）和 Kavin Bacon 一起演过 电影，那么他（她）的 Bacon 数就为 1 ；如果他 （她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为 1 的演员一起演过电影，那么他的 Bacon 数就为 2 ； 依此类推。 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个 人的Bacon数超过4。
小世界实验--- Bacon数
在网上有一个网页。网站的数据库里总共存有有783940个世界 各地的演员的信息以及231,088部电影信息。
通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的 bacon 数。目 前比如输入Stephen Chow（周星驰）就可以得到这样的结果： 周星驰在 1991 年的《豪门夜宴 (Haomen yeyan)》 中与洪金宝 (Sammo Hung Kam-Bo) 合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部 电影，即 1978 年的《死亡的游戏 （ Game of Death ）》 中与 Colleen Camp 合作； Colleen Camp 在去年的电影《Trapped》 中与Kevin Bacon 合作。这样周星驰的Bacon数为3。 对78万个演员所做的统计：演员的最大Bacon数仅仅为8，平均 Bacon数仅为2.948。
ppt课件 6小世界实验--- Bac Nhomakorabean数
截止到几天前，世界电影史上共产生了大约 23万 部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 几 年 前 ,Virginia 大 学 的 计 算 机 专 家 Brett Tjaden 设计了一个游戏，他声称电影演员 Kevin Bacon是电影界的中心。 在游戏里定义了一个所谓的 Bacon 数：随便想一 个演员，如果他（她）和 Kavin Bacon 一起演过 电影，那么他（她）的 Bacon 数就为 1 ；如果他 （她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为 1 的演员一起演过电影，那么他的 Bacon 数就为 2 ； 依此类推。 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个 人的Bacon数超过4。
复杂网络基础理论(ppt)
IP
朋
地
友
址 网
关系
网
数理统计基础
概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析
图论的基本概念
图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示
复杂网络的研究内容和意义
研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络 的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模 型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学 机制等。
间的距离dij和从节点vj到vi之间的距离dji是不同的。距离dij 定义为从节点vi出发沿着同一方向到达节点vj所要经历的弧的 最少数目，而它的倒数1／dij称为从节点vi到节点vj的效率， 记为εij。
有向连通简单网络的平均距离L
因为效率可以用来描述非连通网络，所以可以定义有向网 络的效率LC为
介数
介数 节点的介数Bi定义为
式中，Njl表示从节点vj到vl的最短路径条数，Njl（i）表示 从节点vj到vl的最短路径经过节点vi的条数。 边的介数Bij定义为
式中，Nlm表示从节点vl到vm的最短路径条数，Nlm（eij ）表示从节点vl到vm的最短路径经过边eij（方向相同）的 条数。
加权网络的静态特征
核度 一个图的k－核是指反复去掉度值小于k的节点及其连线后
，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。 节点核度的最大值叫做网络的核度。 节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然
就对应着网络结构中最中心的位置。
度中心性
度中心性分为节点度中心性和网络度中心性。 节点vi的度中心性CD（vi）定义为
网络G的度中心性CD定义为
介数中心性
介数中心性分为节点介数中心性和网络介数中心性。 节点vi的介数中心性CB（vi）定义为
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随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集聚系数为0.133。
ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并进行了深入研究，他们是用概率统 计方法研究随机图统计特性的创始人。
给定N个节点，没有边，以概率p用边连接 任意一对节点，用这样的方法产生一随机 网络。
ER模型
小世界实验--- 六度分离
米尔格伦的实验过程是：他计划通过人传人的送信方式来统 计人与人之间的联系。
首先把信交给志愿者A，告诉他信最终要送给收信人S。如果 他不认识S，那么就送信到某个他认识的人B手里，理由是A认 为在他的交集圈里B是最可能认识S的。但是如果B也不认识S， 那么B同样把信送到他的一个朋友C手中，……，就这样一步 步最后信终于到达S那里。这样就从A到B到C到……最后到S连 成了一个链。斯坦利•米尔格伦就是通过对这个链做了统计后 做出了六度分离的结论。
性现实中的网络是由一个个较小的社团组成,而这些社团又可 以包括更小的社团。发现网络中的社团结构,对于了解网络结 构，分析网络特性都具有很重要的意义。
复杂网络研究内容
1）复杂网络模型 典型的复杂网络：随机网、小世界网、无标度网等； 实际网络及其分类。
2）网络的统计量及与网络结构的相关性 度分布的定义和意义，聚集性、连通性的统计量及其实际 意义等。
度(degree)：节点 i 的度 ki 定义为与该节点连接的其他
节点的数目。
★ 直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在
某种意义上越“重要”（“能力大”）。
网络的平均度：网络中所有节点的度和的平均值
dv
vV G
，记作<k>。
p
度分布函数p(k):随机选定节点的度恰好为k的概率
电力系统复杂网络受到随意攻击
网络图的基本概念
图的基本元素：节点、边
G (V,E)
关联，邻接 有限图，无限图 规则图，随机图 有向图，无向图
度、平均度 节点的度分布 最短路径与平均路径长度 集聚系数
a
b
c
d
e
有向图、无向图、不连通图
复杂网络的统计特征
按分布定义：如果网络中有一定数量的连 接的节点数与此连接数量成减函数，这个 网络就叫无尺度网络。
Scale-free网络的发现
信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电力网） 社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文网、
人类性接触网、语言学网） 生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
复杂网Байду номын сангаас的统计特征
最短路径（Shortest path）:两个节点之间边数最少 的路径，最短路径的长度称为两点间的距离.
平均路径长度（特征路径长度）L：
所有节点对之间的距离的平均值.
★ 研究发现：尽管许多实际复杂网络的节点数巨 大，网络的平均路径长度却小的惊人。（小世界效应）
18
复杂网络的统计特征
复杂网络概述
不同领域的真实网络
社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系 网，科研合作网，Email网
生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网， 蛋白质网，基因网络
信息网络：WWW，专利使用，论文引用， 计算机共享
技术网络：电力网，Internet，电话线路 网
交通运输网：航线网，铁路网，公路网， 自然河流网
★ 网络介数说明了网络的什么性质？
核数
★ 一个图的k-核：反复去掉图中度小于k 的节点后，所剩余的 子图
★ 若一个节点存在于k-核，而在(k+1)-核中被去掉，则此节点核 数为k
★节点核数中的最大值称为网络图的核数 ★节点核数可以表明节点在核中的深度；即便一个节点的度数 很高，它的核数也可能很小。例如：包含N个节点的星型网络的 中心节点的度数为N-1，但它的核数为1
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随 机网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。
WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接 点相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。 （一）很小的最短路径长度平均值 （二）很大的群聚系数的小世界网络
3）复杂网络性质与结构的关系 同步性、鲁棒性和稳定性与网络结构的关系。
4）复杂网络的动力学 信息传播动力学、网络演化动力学、网络混沌动力学。
5）复杂网络的复杂结构 社团结构、层次结构、节点分类结构等。
6）网络控制 关键节点控制、主参数控制和控制的稳定性和有效性。
22
7）复杂网络建模 机理建模、数据建模和实际系统的复杂网络正向与逆向建模。
规则图和随机图
规则图
系统中节点及其与边的关系是固定的， 每个节点都有相同的度数。
随机图
平均说来系统中节点及其与边的关系 不确定。
规则图的特征
平均度为3。
随机图的特征
节点确定，但边以概率 p任意连接。
节点不确定，点边关系也不确定。
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集聚系数为0.13。
六度分离: 平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的 任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的”大 小”，或者说人与人关系的紧密程度。
30多年来，六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之 一。
尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理 学教授朱迪斯•克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初 的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低。
3）连接多样性：节点之间的连接权重存在诧异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发 生复杂变化。 5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的 复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为 难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网 络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点 之间频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加， 通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能
小世界实验—六度分离
我们或许有过这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一 会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出”这个 世界真小”的感叹。那么对于世界上任意两个人来说，借助第 三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来 说最少要通过多少人呢？
美国社会心理学家斯坦利•米尔格伦(Stanley Milgram)在1967 年通过一些实验后得出结论：中间的联系人平均只需要5个。他 把这个结论称为“六度分离”。
无标度(Scale-free)网络
现实世界的网络大部分都不是随机网络， 少数的节点往往拥有大量的连接，而大部 分节点却很少。——无标度网络。
这里的无标度是指网络缺乏一个特征度值 （或平均度值），即节点度值的波动范围 相当大。
无标度网络（Scale - free network）
按生长方式定义：如果网络的每个节点的 连接数与此节点产生新连接的概率成增函 数关系，这个网络就叫无尺度网络。
节点的度分布：平均值为 的泊松分布
P(k) eλλk k!
Poisson distribution
三、复杂网络模型
小世界（small-world) 网络模型
无标度 （scale-free) 网络模型
小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家 Stanley Milgram通过一些社会调查后给出的推 断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。 这就是著名的“六度分离”（six degrees of separation）推断。
人物关系网
社会网络
食物链网
生物网
神经网络
WWW 网
信息网络
电话网
技术网络
公路网
交通运输网
航空网
河流网
复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。
1）结构复杂：表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如world-widenetwork，网页 或链接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。
BA模型
增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert 模型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变
化的网络。 模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。
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三、社区结构
整个网络是由若干个“社区"或“组’’构成的。每个社 区内部的结点间的连接相对非常紧密，但是各个社区之间 的连接相对来说却比较稀疏（网络中的顶点可以分成组, 组内连接稠密而组间连接稀疏）。我们将复杂网络的这种 结构特征称之为复杂网络的社团结构或社区结构。
社区结构是复杂网络的一个重要的特性，社区也被称为簇， 大量研究表明网络是由各种不同类型的节点构成的，一般 情况下，在不同类型的节点间存在较少的边，而在相同类 型的节点间会有较多的边。位于一个子图内的节点和边组 成一个社团。 复杂网络社区结构还有一个很重要的特性,即是它的层次特
Scale-free网络的特性
度分布呈幂率分布 中枢节点出现 鲁棒性 脆弱性
无标度（Scale-free）网络
无标度模型由Albert-László Barabási和 Réka Albert在1999年首先提出，现实网 络的无标度特性源于众多网络所共有的两 种生成机制： （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。