函数极限单侧极限的单调有界定理(老黄学高数第99讲)

老黄学高数
第99讲 函数单侧极限的
单调有界定理
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
f(x)存在.
证：若f在U⁰+(x0)上递增且有界， 由确界原理，可设inf f(x)=A, x∈U⁰+(x0). ∀ε>0,由下确界定义知有x’∈U⁰+(x0)，使得f(x’)<A+ε. 取δ=x’-x0>0，由f递增知对一切x∈(x0,x’)=U⁰+(x0;δ)， 有f(x)≤f(x’)<A+ε. 又A≤f(x)，∴A-ε<f(x)<A+ε，
1、设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数，证明： f(x)存在的充要条件是f在[a, +∞)上有上(下)界.
当f递减时，若f在[a, +∞)上有下界，则
f在[a, +∞)上有下确界，设B=inf f(x)，(x∈[a, +∞))， 对∀ε>0，有x0∈[a, +∞)，使 当x>x0时，有B-ε<f(x)≤f(x0)<B+ε ， ∴ f(x)=B.
2、证明： 证：记f(x)= ,取x1,x2∈(0, +∞)且x1<x2，则
f(x)递减，
又当x>0时， >0，所以f(x)有下界， ∀ε>0, ∃x0= ∈(0, +∞)，使得 ∴inf f(x)=0 (x∈(0, +∞)). 由单调有界定理知，
2、证明：
已证
取x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2，则
∴ f(x)=B.得证！
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
f(x)存在.
单调有界定理同样适用于 递增则下确界为右极限；递减则上确界为右极限； 递增则上确界为左极限；递减则下确界为左极限； 请自行证明. 单调有界定理是否适用 不一定适用，因为左、右极限不一定相等.
1、设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数，证明： f(x)存在的充要条件是f在[a, ]若
f(x)=A，则
对∀ε>0，有正数M，使x>M时，A-ε<f(x)<A+ε. 当f(x)递增时，对于一切a≤x’≤x，有f(x’)≤f(x)<A+ε. ∴f在[a, +∞)上有上界；
当f(x)递减时，对于一切a≤x’≤x，有f(x’)≥f(x)>A-ε. ∴f在[a, +∞)上有下界.
1、设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数，证明： f(x)存在的充要条件是f在[a, +∞)上有上(下)界.
[充分性]当f递增时，若f在[a, +∞)上有上界，则
f在[a, +∞)上有上确界，设A=sup f(x) (x∈[a, +∞))， 则对∀ε>0，有x0∈[a, +∞)，使 当x>x0时，有A-ε<f(x0)≤f(x)<A+ε， ∴ f(x)=A；
∴ f(x)=A.得证！
设f为定义在U⁰+(x0)上的单调有界函数，
则右极限
f(x)存在.
若f在U⁰+(x0)上递减且有界， 由确界原理，可设sup f(x)=B, x∈U⁰+(x0). ∀ε>0,由上确界定义知有x”∈U⁰+(x0)，使得f(x”)>B-ε. 取δ=x”-x0>0，由f递减知对一切x∈(x0,x”)=U⁰+(x0;δ)， 有f(x)≥f(x”)>B-ε.又B≥f(x)，∴B+ε>f(x)>B-ε，
函数f(x)递减，
又当x<0时， <0，所以f(x)有上界，
∀ε>0, ∃x0= - ∈(-∞,0)，使得 ∴sup f(x)=0 (x∈(-∞,0)). 由单调有界定理知，