构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三角形解题的辅助线做法
构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.）[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中*∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB.[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2…∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
等腰三角形有关问题的一点心得
JIETI JI Q IAO YU FANGFA • •等腰三角形有关［题，一点l 得◎刘春发1刘秀明2 （1.武汉市第六初级中学，湖北 武汉 430000；2.武汉市第六中学，湖北 武汉 430000）【摘要】等腰三角形是平面几何学习的一个重点难点内容•平面几何中的很多问题同等腰三角形有关•本文主要讲述同等腰三角形有关问题的解决方法•【关键词】等腰三角形；问题；解题方法45°,4CMB = 30°.求证：AM BC 是等边三角形.一、构造有公共顶点的两个等腰三角形具体到解题的时候，可以先找好黄金点，然后以黄金点 为顶点，另外再作岀一个与原等腰三角形相似的三角形.什么是黄金点呢？黄金点就是等腰三角形的顶点•什 么叫与原等腰三角形相似的三角形呢？原等腰三角形相似 的三角形就是另作一个等腰三角形，使这个等腰三角形同原等腰三角形的顶角相同.因为平面图形是由点和线组成,我们在思考同等腰三 角形相关问题时,抓住了黄金点，就找到了问题的切入点.例1 已知：如图1所示，MB 二AC , 4A BM= 4ACM ，求证:AM 平分4CMN.图6提示 此题的黄金点为点B 此题的解题方向是如图6 所示的以点B 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等边三角形•等边三角形的题经常可以考虑构造有公共顶点的两个相似的等边三角形.二、利用黄金点、黄金线、黄金垂的思路来解决同等腰 直角三角形有关的问题黄金点、黄金线、黄金垂是在解决等腰直角三角形问题中的一个通法•黄金点就是指等腰直角三角形的顶点，黄金线就是指过等腰直角三角形的顶点非直角边的任一直线，垂 是 等 的 点 所 作 的解 如图2所示，在CM 上取点/使得CF = BM ，则可 证,MBM= △ACF ，进而可以构造岀,ABC 和△ A MF 形成了有公共顶点的两个相似的等腰三角形•此题思考的切入点 在以点A 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰三角形，点A 为黄金点.例2 已知：如图3所示，在AM BC 中,4ACB = 90°, AC = BC ,AM 丄BM ,求证：4BMC = 45°.垂,例4 如图7所示，四边形ABCE 中,AB=BC,AB 丄BC ,CN 丄AE,BD 丄ME 于 M ,求证：BM - CE 二 AM.B B图7 图8分析 此题的黄金点就是点B ，黄金线就是BM ，黄金垂就是AM ，CF.此题如果将黄金垂作岀来（如图8所示），就变 得很容易了.例 5 如图 9 所示，AABC 中，MB 二 AC , 4BAC=90 °, M 为BC 上一点，过M 作ME 丄AM ,且ME 二AM ,连BE ,求4MBE的度数.提示 此题的黄金点为点C.此题的解题方向是如图4所示的以点C 为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形•等腰直角三角形的题经常可以考虑构造有公共 点 的 个 似的等 ,例 3 如图 5 所示，4ABM = 4AMB = 15°, 4CBM =数学学习与研究2019.20JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法分析此题的黄金点就是点M,黄金线就是3C,黄金垂就是AG,EF.此题如果将黄金垂作岀来（如图10所示），就找到解题的切入点了.当然，此题还有其他解法，比如，图11以点M为顶点构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形.一般而言，等腰直角三角形问题有两种思考途径•途径一，构造有公共顶点的两个相似的等腰直角三角形•途径二，黄金点、黄金线、黄金垂的思路.三、遇45。
构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
八年级数学下册-第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)
第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (1)【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (6)【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 (18)【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED=是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P 为AOB ∠的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD OB ∥交OA 于点D ，易得POD 为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，则重合部分ACE △的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，ABC 中，内角ABC ∠与外角ACG ∠的角平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥分别交AB AC 、于点D E 、，试探究线段BD DE CE 、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD 中，,AD BC E ∥为CD 边的中点，AE 平分BAD ∠，连接BE ，求证：AE BE ⊥．【答案】(1)ACE 是等腰三角形(2)BD DE CE =+，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，BDO △为等腰三角形，则BD OD =，且OCG ECO EOC ∠=∠=∠，可证CE OE =，由此即可求解；（3）如图所示，过点E 作EF AD ∥，E 为CD 边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出BEF △为等腰三角关系，证明BE 平分ABC ∠，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明2590∠+∠=︒，即直角三角形AEB ，由此即可求证．【详解】（1）ACE △是等腰三角形；理由：在长方形ABCD 中， DC AB ∥，∴∠=∠ACD BAC ，由折叠性质可得BAC B AC '∠=∠，∴ACD B AC '∠=∠，AE CE ∴=，ACE ∴ 是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）解：BD DE CE =+，理由如下，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ，∴ABC CBO DOB ∠=∠=∠，∴BDO △为等腰三角形，则BD OD =，CO 平分ACG ∠，DO ∥BC ，OCG ECO EOC ∴∠=∠=∠，COE ∴ 为等腰三角形，即CE OE =，BD DO DE EC ==+ ，BD DE CE ∴=+．（3）证明：如图所示，过点E 作EF AD ，AD 交AB 于点F ，E 为CD 边的中点，∴点F 是AB 的中点，即AF BF =，AD ∥BC ，AE 平分BAD ∠，123∴∠=∠=∠，AEF ∴ 是等腰三角形，即AF EF =，EF BF ∴=，∴∠=∠，45∥，EF AD∴∠=∠，46∴∠=∠，56∥BC，AD∠+∠=︒，1256180∴∠+∠+∠+∠=︒，即2225180∴∠+∠=︒，2590()∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，180251809090AEB∴⊥．AE BE【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC=．线上，且BD DE(1)若点D是AC的中点，如图1，则线段AD与CE的数量关系是__________；(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D作DF BC∥，交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．=，理由见解析【答案】(1)AD CE=，理由见解析(2)AD CE(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段(2)如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段说明理由．【答案】(1)1 2过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，如图，∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒，120,EFC AFE A ∴∠=︒∠=∠，EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，120EBD ∴∠=︒，EFC EBD ∴∠=∠，CE DE = ，∴EDB ECB ∠=∠，60EDB DEB ECB ECF ∠+∠=∠+∠=︒ ，DEB ECF ∴∠=∠，在EDB △和CEF △中，∵,,DEB ECF EBD EFC DE CE ∠=∠∠=∠=，∴()AAS EDB CEF ≌，BD EF ∴=，∵EF EA =，BD AE ∴=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)【感知】如图1，当点E 为AB 的中点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．）(3)【拓展】在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若ABC 的边长为2，3AE =，则CD 的长是______．∵ABC 是等边三角形，∴AB AC A =∠=∠，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，ABC 中，AB AC =，10BC =，点P 从点B 出发沿线段BA 移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿AC 的延长线移动，并与点P 同时停止．已知点P ，Q 移动的速度相同，连接PQ 与线段BC 相交于点D (不考虑点P 与点A ，B 重合时的情况)．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，PBF ∴△为等腰三角形，PE BC ⊥ ，BE EF ∴=，【观察猜想】如图①：D 为线段AB 上一点，DE BC ∥，交AC 于点E ．可知ADE V 【实践发现】如图②：D 为线段AB 外一点，连接AD ，以AD 为一边作等边三角形想BD 与CE 数量关系为______，直线BD 与CE 相交所产生的交角中的锐角为______【深入探究】：D 为线段AB 上一点，F 为线段CB 延长线上一点，且DF DC =．（1）特殊感知：当点D 为AB 的中点时，如图③，猜想线段AD 与BF 的数量关系为ADE ∴V 是等边三角形．实践发现BD CE =，60︒理由：ABC ADE Q V V 、都是等边三角形，60,,BAC DAE AB AC AD AE ∴∠=∠=︒==，BAD CAE ∴∠=∠，()SAS BAD CAE ∴ ≌，,BD CE ABD ACE ∴=∠=∠，延长BD 交CE 于F ，BCF 中，180BCF CBF BFC ∠+∠+∠=︒，180ACB ACE CBF BFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，即6060180BFC ︒+︒+∠=︒，60BFC ∴∠=︒，深入探究（1）特殊感知∶AD BF=理由：当点D 为AB 的中点时，AD BD =，ABC 是等边三角形，30ACD BCD ∴∠=∠=︒，DF DC =，30F BCD ∴∠=∠=︒，30BDF ABC F ∴∠=∠-∠=︒，30F BDF ∴∠=∠=︒，BD BF ∴=，AD BF ∴=．（2）特例启发：猜想AD BF =，证明：过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．DE BC ∥，60ADE ABC ∴∠=∠=︒，60AED ACB ∠=∠=︒．ADE ∴V 是等边三角形，AD DE AE ∴==．.BD CE ∴=DF DC =，.DCF F ∴∠=∠又6060FDB DBC F F DCE DCF ︒︒∠=∠-∠=-∠∠=-∠ ，，.FDB DCE ∴∠∠=在BFD △和EDC 中，BD CE FDB DCE DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BFD EDC ∴ ≌，.BF DE AD ∴==.AD BF ∴=（3）①如图：②如图，当点D 在BA 的延长线上时，作DE AC ⊥，交直线BC 90,DEB ∴∠=︒60B ∠=︒ ，30BDE ∴∠=︒，12BE BD ∴=，ABC 的边长为2，AD 【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
模型34 两圆中垂构造等腰三角形(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.例题精讲【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即C1（0，0）、（4，0）（舍去）；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（4﹣2，0）（4+2，0），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2，0），（0，﹣2）；将点C的坐标表示出来，如图：综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．变式训练【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．解：依题意得A（2，0），B（0，2），△AOP为等腰三角形，有三种情况：当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（2﹣，），（2+，﹣）；当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）．故答案为：（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当△CDP为等腰三角形时，AP的值为1或2.5或4．解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝5，①当CD＝CP＝5时，过点P作PQ⊥CD于点Q，∴PQ＝AD＝3，CQ＝＝4，∴BP＝4，∴AP＝1；②当CD＝DP＝5时，同①可得AP＝4，③当DP＝CP时，可知P为AB的中点，AP＝2.5．故答案为：1或2.5或4．【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．解：∵反比例函数y＝图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB＝＝2，PA＝，PB＝，当PA＝AB时，则有＝2，解得x＝﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB＝AB时，则有＝2，解得x＝3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．变式训练【变式2-1】．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（2，2），（0，4），（4﹣2，2），（4+2，﹣2）．．解：依题意得A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，有三种情况：（1）当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点B，B（2，2）符合题意；（2）当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（4﹣2，2），（4+2，﹣2）；（2）当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（2，2）．故本题答案为：（2，2），（0，4），（4﹣2，2），（4+2，﹣2）．【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．（1）求点B的坐标．（2）若点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标．解：（1）∵直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，∴解得∴B（﹣1，3）；（2）∵直线y＝﹣x+与直线y＝x+交于点B，与x轴交于点A．∴A（3，0），B（﹣1，3），∴AB＝＝5，设点C（m，0），AC2＝（3﹣m）2＝m2﹣6m+9，BC2＝（m+1）2+32＝m2+2m+10，当AC＝AB时，m2﹣6m+9＝52，解得：m＝8或﹣2；当AB＝BC时，m2+2m+10＝52，解得：m＝﹣5或3（与点A重合，舍去）；故点C的坐标为（﹣5，0），（﹣2，0），（8，0）．1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有（）A．4个B．5个C．6个D．7个解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．故选：D．2．如图，已知函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（﹣3﹣2，0）B．（3，0）C．（﹣1，0）D．（2，0）解：如下图所示：∵函数y＝x+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在y＝x+中，令y＝0可得x＝﹣3，令x＝0可得y＝，∴A（﹣3，0），B（0，），∴AB＝＝2，（1）当AB＝BP时，点P与P1重合，则P1（3，0）；（2）当AP＝BP时，点P与点P2重合，如图②所示：过AB的中点C作x轴的垂线，垂足为D，由题意知：CD2＝AD•PD，∵点C的坐标为（﹣，），设点P的坐标为（a，0）∴（）2＝（﹣+3）（a+）解之得：a＝﹣1即：点P的坐标为（﹣1，0）（3）当AB＝AP时，点P3重合，则P3（﹣3﹣2，0）或（﹣3+2，0）综上所述：若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标可能是（3，0）、（﹣1，0）、（﹣3﹣2，0），（﹣3+2，0）故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形时，∠ABC＝30°，则点C的坐标为（）A．（﹣2，0），（，0），（﹣4，0）B．（﹣2，0），（，0），（4+，0）C．（﹣2，0），（，0），（，0）D．（﹣2，0），（1，0），（4﹣，0）解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝＝4，tan∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝30°，∵∠ABC＝30°，∴点C在点B的左边．①若AB＝AC＝4，又∵OA⊥BC，∴OC＝OB＝2，∴点C1坐标为（﹣，0）；②若BC＝AB＝4，又∵点B的坐标为（，0），∴点C2坐标为（2﹣4，0）；③若CA＝CB，则C在线段AB的垂直平分线上．设OC＝x，则AC＝BC＝OB﹣OC＝2﹣x．在直角△OAC中，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，即22+x2＝（2﹣x）2，解得x＝．∴点C3坐标为（，0）．综上所述：点C坐标为（﹣2，0）或（2﹣4，0）或（，0）．故选：A．4．已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个解：如图：当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴于点C1，C2，当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，交y轴于点C6，∵点A，B，C2三个点在同一条直线上，∴满足条件的点C的个数是5，故选：A．5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1D．1﹣或1+解：令x＝0，则y＝﹣3，所以，点C的坐标为（0，﹣3），∵点D的坐标为（0，﹣1），∴线段CD中点的纵坐标为×（﹣1﹣3）＝﹣2，∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∵点P在第四象限，∴点P的横坐标为1+．故选：A．6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有4个．解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故答案为：4．7．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC 是等腰三角形，则符合条件的C点共有8个．解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有8个，故答案为：8．8．已知直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y＝﹣x+3中x＝0，则y＝3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y＝﹣x+3中y＝0，则﹣x+3＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0）．∴AB＝2．∵抛物线的对称轴为x＝，∴点C的坐标为（2，3），∴AC＝2＝AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．令y＝﹣（x﹣）2+4中y＝0，则﹣（x﹣）2+4＝0，解得：x＝﹣，或x＝3．∴点M的坐标为（﹣，0），点N的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故答案为：3．9．在平面直角坐标系中，已知A（5，0），B（0，12），且AB＝13，在x轴上取一点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．解：如图，①若AB＝BP，则OA＝OP＝5，则点P1（﹣5，0）；②若AB＝AP，则点P2（﹣8，0）；点P3（18，0）；∴符合条件的点P的坐标分别为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．故答案为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB＝50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是40°或100°．解：分三种情况：当OA＝OC时，∠AOC＝90°﹣∠AOB＝40°，当AO＝AC时，∠CAO＝180°﹣2×40°＝100°，当CO＝CA时，∠ACO＝180°﹣2×40°＝100°，综上所述，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数为40°或100°，故答案为：40°或100°．11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．（1）求直线AB的函数表达式；（2）若在y轴上取一点P，使△ABP是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．解：（1）由x2﹣7x+12＝0，得x1＝3，x2＝4，∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4．∴A（3，0）B（0，4）设直线AB的函数表达式y＝kx+b，则∴∴（2）满足条件的P的坐标：（0，9）（0，）（0，﹣1）（0，﹣4）因为OA＝3，OB＝4所以AB＝5，以B为圆心，以AB为半径作弧，交y轴与两点，这两点的坐标分别是（0，9）、（0，﹣1）这两点与A、B都构成的△ABP是等腰三角形．根据轴对称的意义，当P（0，﹣4）时，△ABP是等腰三角形．当点P在AB的垂直平分线与y轴的交点上时，设P（0，m）则（4﹣m）2＝m2+32解得，m＝所以点P的坐标为：（0，9）（0，）（0，﹣1）（0，﹣4）12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．（1）求AB的长度．（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，（2）如图，过点C作CE⊥OB于E，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCE，在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝OB+BE＝7，∴C（3，7）；（3）设P（a，0），∵A（4，0），B（0，3），∴PA＝|a﹣4|，PB2＝a2+9，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当PA＝AB时，∴|a﹣4|＝5，∴a＝﹣1或9，∴P（﹣1，0）或（9，0），②当PA＝PB时，∴（a﹣4）2＝a2+9，∴a＝，∴P（，0），③当PB＝AB时，∴a2+9＝25，∴a＝4（舍）或a＝﹣4，∴P（﹣4，0）．即：满足条件的点P的坐标为（﹣1，0）、（﹣4，0）、（9，0）、（，0）．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PQ⊥x轴，OQ＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AO•CO+（PQ+CO）•OQ＝×1×3+（﹣2m+6+3）•m＝﹣m2+m+（1≤m≤3）．（3）CM＝，CN＝，MN＝①当CM＝NC时，，解得x1＝，x2＝1（舍去）此时N（，）②当CM＝MN时，，解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），此时N（1+，4﹣）③当CN＝MN时，＝解得x＝2，此时N（2，2）综上所述：线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC 为等腰三角形．15．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴点C（0，﹣4），∴OC＝4，∵＝，∴OB＝3，∴点B（3，0），∴3k﹣4＝0，解得：k＝；（2）设A的纵坐标为h，＝OB•h＝6，且OB＝3，∵S△AOB∴h＝4，∵直线BC的解析式为：y＝x﹣4，∴当y＝4时，4＝x﹣4，解得：x＝6，∴点A（6，4），∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；（3）存在．∵A（6，4），∴OA＝＝2，①若OP＝OA＝2，则点P1（2，0），P2（﹣2，0）；②若OA＝AP，过点A作AM⊥x轴于点M，则PM＝OM＝6，∴P3（12，0）；③若OP＝AP，过点P作PN⊥OA于点N，则ON＝AN＝OA＝，∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，∴△OPN∽△OAM，∴，∴，解得：OP＝，∴P4（，0）；综上所述：点P1（2，0），P2（﹣2，0），P3（12，0），P4（，0）．16．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1；（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），当PA＝PD时，则＝，解得y＝﹣，当DA＝DP时，则＝，解得y＝﹣4±2，当AD＝AP时，则＝，解得，y＝±4（舍去﹣4），由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+2）或（1，4）．。
(八)压轴题解题方法——等腰三角形的存在性
等腰三角形的存在性1.几何法三部曲：先分类；再画图；后计算2.代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．3.几何法与代数法相结合 几何法…….. 确定目标 代数法……..准确定位几何法与代数法相结合——又好又快)4)(2(214212-+-=++-=x x x x y点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC 若平行于x 轴的动直线与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，问：是否存在这样的直线，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标 . 第一步 分类 ①OD = OF ②DO = DF ③FO = FD第二步 画图 ).0,2(),4,0(),0,4(),0,2(D C A B -F 在直线AC 上， △ODF 是等腰三角形第三步 计算)0,2(),4,0(),0,4(),0,2(D C A B - 4212++-=x x y F 1(2,2)，F 2(1,3).若PF //x 轴，F 在抛物线上，P 在直线AC 上，求点P 的坐标 (1)当y =2时，直线与抛物线的交点P 有两个； (2)当y =3时，直线与抛物线的交点P 有两个.因P 而F ? 还是因F 而P ?222++-=x x y),3,1(),1,1(--P A 若△ABP 是等腰三角形，求点B 的坐标．①O D = O F ， ②D O = D F ， ③F O = F D ， 点F 不存在点F 有两个：与A 重合， F 1(2,2) . 点F 2(1,3) .第一步 分类 ①AB = AP ②BA = BP ③PA = PB第二步 画图第三步 计算——具体情况具体分析点B 与点P 关于直线y =－1对 ①AB = AP )5,1(-B ②BA = BPBA2 = BP2 222)3()1(2-=++m m )21,1(,21B m =③PA = PB 524222=+=PA )523,1(-B代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．第一步 罗列三边（的平方）222)1(2++=m AB 202=AP 22)3(-=m BP①A B 2 = A P 2 ②B A 2 = B P 2 ③P A 2 = P B 220)1(222=++m 222)3()1(2-=++m m 20)3(2=-m ① ② ③)5,1(-B )21,1(B )523,1(-BDEFG BC DE 正方形,// x AD D =,动点 当△BDG 是等腰三角形时，求AD 的长．寻找△BDG 中不变的元素∠BDG 的大小不变用x 表示BD 、DG x BD -=5x DP DE DG 562===54cos =∠D 第一步 分类 ①BD = BG②DB = DG ③GB = GD6,5===BC AC AB B C①BD = BG 因B 而G ②DB = DG 因B 而G ③GB = GD 因G 而BD 的坐标为（3，4）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标 ．①PO = PD②OP = OD ③DO = DP①PO = PD ②OP = OD ③DO = DP∠O 横看成岭侧成峰①PO = PDOP OE O ==∠53cos 2521==OD OE 62535==OE OP ⎪⎭⎫⎝⎛0,6251Px x D -==∠55354cos 207x =x x 565=-2511x =x x D 56)5(2154cos -==∠12573x =②OP = OD OP = OD =5 P2 (5,0)③DO = DP OP =2CD =6 P3(6,0)代数法三部曲：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．224)3(,,5+-===a PD a OP OD①PO = PD ②OP = OD ③DO = DP224)3(+-=a a 5=a 224)3(5+-=a点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点以P 为圆心，3为半径作⊙P 当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？这是特例！反例？三部曲失效了！第一步 画图——不求准确，但求思路点P 在y 轴的负半轴上 假设一个位置画P以P 为圆心，3为半径作⊙P⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形先画PE 再画PC 、PD第二步 罗列、标记已知量——理清思路⊙P 的半径为3 PC=3 正三角形PCD 求出PE A(－4, 0)，B(0,－8) 求出sinB 求出BP 求出OP 点P （0，k ）是y 轴的负半轴 上的一个动点 写出点P 的坐标第三步 丰富思想——完善思路分类讨论思想P 在B 上，P 在B 下 P 与P ′关于B 对称 OP ′＝OB ＋BP点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点 写出点P ′的坐标233=PE 51sin =∠ABO 21535==PE BP 21538-=-=BP OB OP ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21538,0P 21538+=+=BP OB OP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21538,0'P点P 是x 轴的正半轴上的一个动点PQ ⊥AB ，与y 轴的正半轴交于Q 若△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标 ．几何法解答不了 观察图形得出结论：△AOB ∽△QOP OP ＝2OQ代数法：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．).0,2(,0),0,(a P a a Q 那么设>①AP = AQ②PA = PQ ③QA = QP22(21)AP a =+122+=a AQ 225a PQ =22(21)1a a +=+22(21)5a a +=2251a a =+1240,3a a ==-25a =±21±=a ()425,0P +)0,1(P。
新人教版数学八年级上册 小专题(四) 等腰三角形问题中常见的解题策略
小专题( 四)等腰三角形问题中常见的解题策略在解决等腰三角形的角度( 或边长)问题时,若题目中没有明确顶角和底角( 或腰长和底边),做题时要注意分类讨论,这是解题的关键.有时候在解决问题时,需要通过添加辅助线的方式构造等腰三角形求解,如截长补短法等,这也是一种常见的解题策略,可以将零碎的知识加以整合,进而将复杂问题简单化.类型1分类讨论法——求角度在题目没有给出图形,已知条件也未确定顶角或底角的情况下,要进行分类讨论,一般情况都是锐角三角形与钝角三角形两种形状.1.如果等腰三角形中有一个内角等于70°,那么这个三角形最小的内角等于55°或40°.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为21°或69°.3.( 改编)在等腰三角形ABC中,( 1 )若∠A=100°,则∠B=40°;( 2 )若∠A=50°,则∠B=65°或80°或50°.类型2分类讨论法——求边长在题目没有出示图形,也未确定腰长和底边长时,要进行分类讨论,并利用三角形的三边关系加以验证,以确定能否组成三角形,这是最容易错的点.4.已知等腰△ABC的两边长分别为2和5,则等腰△ABC的周长为( B)A.9B.12C.9或12D.不能确定5.已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1,x+1,3x-2,求这个等腰三角形的周长.( 1 )完成部分解题过程,在以下解答过程的空白处填上适当的内容.解:①当2x-1=x+1时,解得x=2,此时能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”).②当2x-1=3x-2时,解得x=1,此时不能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”). ( 2 )请你根据( 1 )中两种情况的分类讨论,完成第三种情况的分析,若能构成等腰三角形,求出这个三角形的周长.解:( 2 )③当x+1=3x-2时,解得x=,此时能构成等腰三角形,周长为7.类型3分类讨论法——分割等腰三角形分割三角形时,根据“等角对等边”定理,重点关注三角形的内角度数,尤其是两个底角相等,进而得到等腰三角形.6.在△ABC中,∠A=70°,∠B=30°.请在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个为等腰三角形,请在图中画出至少两种方案.解:提供四种分割方案如图所示.( 答案不唯一)类型4构造等腰三角形——作平行线在解决几何问题时,构造等腰三角形是常见的解题方法.这里提供三种构造方案,供大家参考:①“角平分线+平行线”;②作腰的平行线;③作底边的平行线.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于点F,且DF=EF.求证:BD=CE.证明:过点D作DG∥AE,交BC于点G.易证△DGF≌△ECF,∴DG=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴DG=BD,∴BD=CE.8.已知,△ABC为等边三角形,D为AC上的一个动点,E为BC延长线上一点,且BD=DE.( 1 )如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;( 2 )如图2,若点D在AC的延长线上,那么( 1 )中的结论是否仍然成立,请说明理由.解:( 1 )AD=CE.理由:过点D作DP∥BC,交AB于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,∴∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.( 2 )AD=CE仍然成立.理由:过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD和△DCE中,∴△BPD≌△DCE( AAS ),∴PD=CE,∴AD=CE.类型5构造等腰三角形——截长补短法解决此类题,都需要添加辅助线,利用将长线段“截短”或短线段“延长”的方法,使之长度相等,再综合全等三角形的知识加以证明.9.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证:BC=CD+AB.解:如图,延长BA至点E,使BE=BC,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.易证△EBD≌△CBD,∴DE=DC,∠E=∠C=36°.∵∠EAD=72°,∴∠EDA=∠EAD=72°,∴EA=ED,∴CD=DE=AE,∴BC=BE=AB+AE=AB+CD.类型6构造等腰三角形——倍角关系在解决此类问题时,可利用角平分线的性质,添加辅助线,构造等腰三角形.10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC.证明:在AC上截取AE=AB,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,∴△ABD≌△AED( SAS ),∴∠B=∠AED,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C,而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+CE=AC.。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)解析
第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (6)【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (12)【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (15)【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (24)【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 (28)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴1602∠=∠=︒DAC BAC ，ADC ∠1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作EF BC ∥，且AE AF =．求证：(1)DE DF =；(2)BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得AD BC ⊥，再利用平行线的性质得90DAF ADB ∠=∠=︒，从而说明AD 垂直平分EF ，则有DE DF =；（2）利用等角的余角相等EDB FDC ∠=∠，再利用ASA 证明BDG CDH ≌，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，ABAC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．（2）若点E F 、分别在线段AB ，CA 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD ，理由如下：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（）；∴DE DF ADE CDF =∠=∠，，又∵90CDF ADF ∠-∠=︒，∴90ADE ADF ∠-∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M N 、在边OB 上，PM PN =，若5OM =，求MN 的长．【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM 练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中PM PN = ，PC ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，PCO ∠162OC OP ∴==，5OM = ，1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在ABC 中，点,D E 是边BC 上的两点．(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EOB =∠OBC ,∠FOC =∠OCB ，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，∴∠EBO =∠OBC ,∠FCO =∠BCO ，∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD DE =．(1)若点D 是AC 的中点，如图1，则线段AD 与CE 的数量关系是__________；(2)若点D 不是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F )(3)若点D 在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)AD CE =，理由见解析(2)AD CE =，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E 运动到线段AB 的中点，点D 在线段(2)如图2，当点E 在线段AB 上运动，点D 在线段说明理由．【答案】(1)12∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒120,EFC AFE ∴∠=︒∠EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，∥，交AC于点F．示如下：过点E作EF BC(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线（2）AE DB =，理由如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，则AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，，FEC ECD ∠=∠，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC A ABC ACB =∠=∠=∠=︒，，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到CQ PB ∴=，AB AC = ，2AP AQ AB PB AC CQ AB ∴+=-++=；（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE △(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)若E点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是，请说明理由．【答案】(1)DE =DF(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】(1)解：如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，∴∠BDE +∠ADE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠ADF+∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ，故答案为：DE =DF ．(2)解：DE =DF ，理由如下：①如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD ,∠ABD =∠DAC =45°,AD ⊥BC ，∴∠DBE =∠DAF =135°,∠ADF +∠BDF =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠BDE +∠BDF =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠DBE =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ；②如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =CD ,∠ACD =∠DAB =45°,AD ⊥BC ，∴∠DCF =∠DAE =135°,∠ADE +∠CDE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠CDF +∠CDE =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，∠DAE =∠DCFAD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≅△CDF ASA ，∴DE =DF ；综上，线段DE 与DF 的数量关系是DE =DF ，故答案为：DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =a ，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F ．求证：CE +CF为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，得CE =BF ，进一步证明CE +CF =BC =AC =a ，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，CD 平分∠ACB ，AD =BD =CD∴∠DCA =∠DCB =∠DBC =45°又DE ⊥DF∴∠EDC +∠FDC =90°而∠FDC +∠FDB =90°∴∠EDC =∠FDB在△CDE 和△BDF 中，∠DCE =∠DBFCD =CD∠EDC =∠BDF∴△CDE ≌△BDF∴CE =BF∵BC =AC =a ∴CE +CF =BE +CF =BC =AC =a ，故：CE +CF 为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE =BF 是解答此题的关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边AC ,BC 上，连接PD ,PE ，若PD ⊥PE．(1)求证：PD =PE ；(2)若点D ，E 分别在边AC ,CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明；(3)在(1)或(2)的条件下，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB 的度数(不用说理)；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°【分析】(1)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP =45°=∠B ，从而得到CP =BP ，再由PD ⊥PE ，可得∠DPC =∠EPB ，可证得△DPC ≌△EPB ，即可求证；(2)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，从而得到CP =AP ，再由∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，可得∠APD =∠CPE ，可证得△APD ≌△CPE ，即可；(3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】(1)明∶连接PC，∵∠ACB =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠DCP =45°=∠B ，∴CP =BP ，∵PD ⊥PE ，∴∠DPC +∠CPE =∠CPE +∠EPB =90°，∴∠DPC =∠EPB ，在△DPC 和△EPB 中，∠DCP =∠BPC =PB ∠DPC =∠EPB，∴△DPC ≌△EPB ASA ，∴PD =PE ；(2)解：PD =PE 仍成立，理由如下：连接CP，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，∴CP =AP ，又∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，∴∠DPE =∠CPA =90°，∴∠DPE +∠CPD =∠CPA +∠CPD ，∴∠APD =∠CPE ，在△APD 和△CPE 中，∠PAD =∠PCEPC =PA ∠APD =∠CPE，∴△APD ≌△CPE ASA ，∴PD =PE ；(3)解：△PBE 能成为等腰三角形，①当BE =BP ，点E 在CB 的延长线上时，则∠E =∠BPE ，又∵∠E +∠BPE =∠ABC =45°，∴∠PEB =22.5°；②当BE =BP ，点E 在CB 上时，则∠PEB =∠BPE =12180°-45° =67.5°；③当EP =EB 时，则∠B =∠BPE =45°，∴∠PEB =180°-∠B -∠BPE =90°；④当EP =PB ，点E 和C 重合，∴∠PEB =∠B =45°；综上所述，△PBE 能成为等腰三角形，∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点．(1)若∠EOF=90°，两边分别交AC,BC于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；②如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF=．(2)如图3，若∠EOF=45°，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3,EF=5，试求AE的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】(1)①由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；②由“ASA”可证△COE≌△BOF，可得OE=OF=6，即可求解；(2)由“ASA”可证△COF≌△AOH，可得CF=AH=3，OF=OH，由“SAS”可证△EOF≌△EOH.，可得EF=EH=5，即可求解．【详解】(1)①证明：如图1，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠=∠B=45°.∵点O为AB的中点，∴∠AOC=∠EOF=90°，∴△AOC和△BOC是等腰直角三角形，∴AO=CO=BO，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF；②解：如图2，连接OC，同理可证：AO=CO=BO，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=135°，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF=6，×OE⋅OF=18，∴SΔEOF=12故答案为：18；(2)解：如图3，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=B0,∠AOC=∠FOH=90°,∠BAC=∠BCO=45°，∴.∠COF=∠AOH,∠OCF=∠OAH=135°，∴△COF≌△AOH(ASA)，∴CF=AH=3,OF=OH，∵∠EOF=45°,∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH,EO=EO，∴△EOF≌△EOH(SAS)，∴EF=EH=5，∴.AE=EH-AH=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】1如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD-BD的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A作AH⊥BC于点H，根据三线合一可得：BH=CH，DH=EH，即可证明；(2)过A作AH⊥BC于点H，易证△AHD≌△CMD，可得MD=DH，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AE，∴DH=EH，∴BD=CE；(2)解：过A作AH⊥BC于点H，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1如图，△ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD =AB =CB ，且∠ABC =90°，E 为DB 延长线上一点，∠DAB =2∠EAC．(1)若∠EAC =20°，求∠CBE 的度数；(2)求证：AE ⊥EC ；(3)若BE =a ，AE =b ，CE =c ，求△ABC 的面积(用含a ，b ，c 的式子表示)．【答案】(1)20°(2)见解析(3)12a 2+12bc 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D =∠DBA =70°，即可由∠CBE =180°-∠DBA -∠ABC 求解；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG AAS ，得出AF =BG ，BF =CG ，进而求得∠AEF =∠ACB =45°，∠CEG =∠AEF =45°，即可得出∠AEC =90°，从而得出结论；(3)由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，从而有CG =BF =EF -BE =AF -BE ，再根据S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，则有S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG =12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC ，即可求解．【详解】(1)解：∵∠EAC =20°，∠DAB =2∠EAC ，∴∠BAD =40°，∵AD =AB ，∴∠D =∠DBA =12180°-∠BAD =12180°-40° =70°，又∵∠ABC =90°，∴∠CBE =180°-70°-90°=20°．(2)证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB =∠ABC =∠CGB =90°，又∵AD =AB =CB ，∴∠BAC =∠ACB =45°，∠FAB =12∠DAB =∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA =∠FBA +∠CBG =90°，∴∠FAB =∠CBG =∠CAE ，∴在△BAF 和△CBG 中，∠BAF =∠CBG∠AFB =∠CGB AB =BC，∴△BAF ≌△CBG AAS ，∴AF =BG ，BF =CG ，∵∠CBG =∠CAE ，设AE 、BC 交于点O ，则∠AEF =180°-∠CBG -∠BOE∠ACB =180°-∠CAE -∠AOC又∠BOE =∠AOC ，∴∠AEF =∠ACB =45°，∴AF =EF =BG ，BF =CG ，∴BF =EG =CG ，∴∠CEG =∠AEF =45°，∴∠AEC =90°，∴AE ⊥EC ．(3)解：由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，∴CG =BF =EF -BE =AF -BE ，∵S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，∴S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG ．=12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC =12a 2+12bc ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2已知OP 平分∠MON ，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA ⊥OM 于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC =BO ．(1)若线段OA =3cm ，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作∠DBE ，使得∠DBE =∠ABO ，∠DBE 的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①∠OBC =2∠DBE 是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE ，OD ，DE 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①∠OBC =2∠DBE 成立，理由见解析；②CE =OD +DE ，理由见解析【分析】(1)如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到OC=2OH，由角平分线的定义得到∠BOA=∠BOH，进一步证明△BAO≌△BHO，得到OH=OA=3cm，则OC=2OH=6cm；(2)①如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，则∠OBH=∠OBA，由∠DBE=∠ABO，即可推出∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，先证明∠BOD=∠BCQ，进而证明△BOD≌△BCQ，得到BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，进一步证明∠EBQ=∠EBD，从而证明△EBD≌△EBQ，得到DE=QE，由CE=CQ+QE可证明CE=OD+DE．【详解】(1)解：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴OH=CH，即OC=2OH，∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠BOH，∵BA⊥OM，BH⊥OC，∴∠BAO=∠BHO=90°，又∵OB=OB，∴△BAO≌△BHO AAS，∴OH=OA=3cm，∴OC=2OH=6cm(2)解：①∠OBC=2∠DBE成立，理由如下：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴∠OBH=∠CBH，即∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，∴∠OBH=∠OBA，∵∠DBE=∠ABO，∴∠DBE=∠OBH，∴∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②CE=OD+DE，理由如下：如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，∵OB=BC，∴∠BOC=∠BCO，∵△BAO≌△BHO，∴∠BOA=∠BOH，∴∠BOD=∠BCQ，∴△BOD≌△BCQ SAS，∴BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，∠OBC，∵∠DBE=12∠OBC，∴∠OBD+∠ODE=12∴∠CBQ+∠ODE=1∠OBC，∴∠EBQ =12∠OBC ，∴∠EBQ =∠EBD ，又∵EB =EB ，∴△EBD ≌△EBQ SAS ，∴DE =QE ，∵CE =CQ +QE ，∴CE =OD +DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 的中点，过点E 作FG ⊥AD 交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF =AG ；(2)BF =CG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明△AHF ≌△AHG ，即可得出AF =AG ；(2)过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，由△AHF ≌△AHG 可得∠AFH =∠G ，根据平行线的性质得出∠CMG =∠AFH ，可得∠CMG =∠G ，进而得出CM =CG ，再根据据ASA 证明△BEF ≌△CEM ，得出BF =CM ，等量代换即可得到BF =CG ．【详解】(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAH =∠GAH ，∵FG ⊥AH ，∴∠AHF =∠AHG =90°，在△AHF 和△AHG 中，∠FAH =∠GAHAH =AH ∠AHF =∠AHG，∴△AHF ≌△AHG ASA，∴AF =AG ；(2)证明：过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，∵△AHF ≌△AHG ，∴∠AFH =∠G ，∵CM ∥AB ，∴∠CMG =∠AFH ，∴∠CMG =∠G ，∴CM =CG ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，∵CM ∥AB ，∴∠B =∠ECM ，在△BEF 和△CEM 中，∠B =∠ECMBE =CE ∠BEF =∠CEM，∴△BEF ≌△CEM ASA ，∴BF =CM ，∴BF =CG ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1如图所示，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ，若BD =1，BC =3，求：线段AC的长．【答案】5【分析】延长BD 交AC 于点E ，由题意可推出BE =AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC =CE ，AE =BE =2BD ，根据BD =1，BC =3，即可求出AC 的长度．【详解】解∶延长BD 交AC 于点E ，∵∠A =∠ABD ，∴BE =AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∴∠BDC =∠EDC =90°，∴∠BCD +∠EBC =∠ECD +∠BEC =90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =∠ECD ，∴∠EBC =∠BEC ，∴BC =CE，∵BE ⊥CD ，∴BE =2BD ，∵BD =1，BC =3，∴BE =2，CE =3，∴AE =BE =2，∴AC =AE +EC =2+3=5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3(2)a -b(3)14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得出AE =AC =5，再利用BE =AB -AE 即可求得答案；(2)利用SAS 证明△AED ≌△ACD ，得出∠AED =∠C ，ED =CD ，由题意可得出BE =AB -AE =a -b ，再利用等角对等边证得DE =BE ，即可得出答案；(3)延长AC 、BG 交于H ，先证明△ABG ≌△AHG ，得出：BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，即可得出答案．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAF =∠CAF ，∵CE ⊥AD ，∴∠AFE =∠AFC =90°，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF ASA ∴AE =AC =5，∵AB =8，∴BE =AB -AE =8-5=3；故答案为：3．(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，AE =AC∠EAD =∠CAD AD =AD，∴△AED ≌△ACD SAS ，∴∠AED =∠C ，ED =CD ，∵AE =AC ，AB =a ，AC =b ，∴BE =AB -AE =a -b ，在△BDE 中，∠AED =∠B +∠BDE ，∴∠C =∠B +∠BDE ，∵∠C =2∠B ，∴∠B =∠BDE ，∴DE =BE =a -b ，∴CD =a -b ；(3)解：如图，延长AC 、BG 交于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAG =∠HAG ，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB =∠AGH =90°，在△ABG 和△AHG 中，∠BAG =∠HAGAG =AG ∠AGB =∠AGH，∴△ABG ≌△AHG ASA ,∴BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，∴S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，∵S △ACG =7，∴S △AGH =S △ACG +S △CGH =7+x ，∴S △ABG =S △AHG =7+x ，∴S △ABH =27+x =14+2x ，∴S △ABC =S △ABH -S △CBG +S △CGH =14+2x -x +x =14．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 是BC 边上的一个动点，连接AD 并延长，过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F．(1)如图1，若AD 平分∠BAC ，AD =6，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分∠MAC 时，试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：∠AFC =45°；②S △BCF =354，S △ACF =21，求AF 的值．【答案】(1)3(2)AC +CD =AM ，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】(1)如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．证明△ADC ≌△BEC ASA ，得到BE =AD =6，再证明△ABF ≌△AEF ，即可得到BF =EF =12BE =3；(2)如图，分别延长BF ，AC 交于点E ，由(1)可得△ACD ≌△BCE ，得CD =CE ，再证△AFM ≌△AFE 得到AM =AE ，由此可得结论；(3)如图所示，在AD 上截取AH =BF ，证明△ACH ≌△BCF ，得到CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，进一步证明∠HCF =90°，则∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，则△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，可得GH =GF =GC ，由全等三角形的性质得到S △ACH =S △BCF =354则S △CHF =S △ACF -S △ACH =494，据此求出HF =7，则CG =3.5，进一步求出AH =5则AF =AH +HF =12．【详解】(1)解：如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠ACB=90°，又∵∠ADC =∠BDF ，∴∠DAC =∠EBC ．在△ADC 和△BEC 中，∠DAC =∠EBCAC =BC∠ACD =∠BCE =90°∴△ADC ≌△BEC ASA ．∴BE =AD =6；∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠AFE =90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠EAF ．在△ABF 和△AEF 中，∠BAF =∠EAFAF =AF∠AFB =∠AFE∴△ABF ≌△AEF ASA ．∴BF =EF =12BE =3；(2)解：AC +CD =AM ，理由如下：如图所示，延长MF ，AC 交于点E ．由(1)可得，△ADC ≌△BCE ，∴CD =CE ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFM =∠AFE =90°，∵AF 平分∠MAE ，∴∠MAF =∠EAF ．在△AMF 和△AEF 中，∠MAF =∠EAFAF =AF∠AFM =∠AFE∴△AFM ≌△AFE ASA ．∴AM =AE ．∵AE =AC +CE =AC +CD ．∴AC +CD =AM ．(3)解：①如图所示，在AD 上截取AH =BF ，在△ACH 和△BCF 中，AH =BF∠CAH =∠CBF AC =BC，∴△ACH ≌△BCF SAS ，∴CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，∵∠ACH +∠BCH =90°，∴∠BCF +∠BCH =90°，即∠HCF =90°，∴∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，∴∠GCH =GCF =45°，∴△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，∴GH =GF =GC ，∵△ACH ≌△BCF ，∴S △ACH =S △BCF =354∴S △CHF=S △ACF -S △ACH =494，∴12HF ⋅CG =494，即12HF ⋅12HF =494，∴HF =7，∴CG=3.5，∴1 2AH×3.5=354，∴AH=5，∴AF=AH+HF=12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC= BC(即点C为AB的中点)．(2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC=13，AC=10，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26°(3)BE=12CD，证明见解析(4)△ACD的面积是10013【分析】(1)证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；(2)延长AE交BC于点F，由问题情境可知，AC=FC，再由等腰三角形的性质得∠EFC=∠EAC=63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；(3)拓展延伸延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由问题情境可知，BE=FE =12BF ，即可得出结论；(4)实际应用延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，则S △ACD =S △ECD ，再由三角形面积关系得S △ACE =1013S △ABC =20013，即可得出结论．【详解】(1)解：∵OP 平分∠MON ，∴∠AOC =∠BOC ，∵AC ⊥OP ，∴∠ACO =∠BCO ，∵OC =OC ，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴AO =BO ，AC =BC ，故答案为：ASA ；(2)解：如图2，延长AE 交BC 于点F ，由可知，AC =FC ，∴∠EFC =∠EAC =63°，∵∠EFC =∠B +∠DAE ，∴∠DAE =∠EFC -∠B =63°-37°=26°，故答案为：26°；(3)解：BE =12CD ，证明如下：如图3，延长BE 、CA 交于点F ，则∠BAF =180°-∠BAC =90°，∵BE ⊥CD ，∴∠BED =90°=∠BAC ，∵∠BDC =∠ABF +∠BED =∠ACD +∠BAC ，∴∠ABF =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (ASA )，∴BF =CD ，由问题情境可知，BE =FE =12BF ，∴BE =12CD ；(4)解：如图4，延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，∴S △ACD =S △ECD ，∵S △ABC =20，∴S △ACE =1013S △ABC =20013，∴S △ACD =12S △ACE =10013，答：△ACD 的面积是10013．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中李敬峰谷兴武学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。
掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。
它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。
本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。
熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC 的值(3)(1)(2)F E D C B A A B C D E F (1)（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-2：如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
北师大版八年级数学下册期末复习专题训练(二) 分类讨论在等腰三角形中的五种思路
8．如图2－ZT－1，直线m与直线n交于点B，m，n所夹锐角为 50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是 等腰三角形，这样的点C有___4_角形时分三种情况讨论：①若点C是顶角的顶 点，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，即点C为线段AB的 垂直平分线与直线n的交点，只有一个；②若点A是顶角的顶点，则有AC ＝AB，由两直线所夹锐角为50°，可知此时点C在直线n上，只有一个； ③若点B是顶角的顶点，则有AB＝CB，此时点C在直线n上，有两个．综 上可知，满足条件的点C有4个．故答案为4.
专题训练(二)
分类讨论在等腰三角形中的五种思路
思路一 关于边长不确定的讨论
1．等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( C )
A．16 cm
B．17 cm
C．20 cm
D．16 cm或20 cm
[解析] C 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，若腰长是4 cm， 则三角形的三边长分别是4 cm，4 cm，8 cm，4＋4＝8(cm)，不满足三角 形的三边关系，舍去；若腰长是8 cm，则三角形的三边长分别是8 cm，8 cm，4 cm，此时满足三角形的三边关系，三角形的周长是20 cm.故选C.
思路四 关于中线的位置不确定的讨论
11．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和 15两部分，求这个三角形的三边长． 解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝BD.设 AB＝x，BC＝y， (1)若 AC＋AD＝15，BC＋BD＝12， (2)则x2x2＋ ＋xy＝＝1125，，解得xy＝＝71.0，
3．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则另外两边的
长度分别是( C )
解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】1【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】13【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】22【典型例题】【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】1已知，如图△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)如图1若AB=AC，图中有个等腰三角形，且EF与BE、CF的数量关系是．(2)如图2若AB≠AC，其他条件不变，(1)问中EF与BE、CF间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在△ABC中，若AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．请直接写出EF与BE、CF间的数量关系是．【变式训练】1在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF∥AD交CA延长线于P，交AB于F，求证：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．2已知：如图1，ΔABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．(1)求证：BE+CF=EF；(2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变(如图2)(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．(不需证明)3(2023春·江西吉安·八年级统考期末)类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．已知△ABC．(1)观察发现如图①，若点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，过点D作EF∥BC分别交AB，AC于E，F．填空：EF与BE、CF的数量关系是．请说明理由(2)猜想论证如图②，若点D是外角∠CBE和∠BCF的角平分线的交点，其他条件不变，填：EF与BE、CF的数量关系是．请说明理由(3)类比探究如图③，若点D是∠ABC和外角∠ACG的角平分线的交点．其他条件不变，则(1)中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．4解答(1)问题背景如图(1)，已知AB∥CD，AD平分∠BAC，求证：AC=CD．(2)尝试应用：如图(2)，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．(3)拓展创新：如图(3)，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．5【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P为∠AOB的角平分线OC上一点，常过点P作PD∥OB交OA于点D，易得△POD为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B 处，则重合部分△ACE是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形ABCD中，DC∥AB，∴∠ACD=∠BAC，由折叠性质可得：，∴∠ACD=∠B AC，∴AE=CE，(依据是：)∴△ACE是等腰三角形；(2)【类比探究】如图3，△ABC中，内角∠ABC与外角∠ACG的角平分线交于点O，过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，AE平分∠BAD，连接BE，求证：AE⊥BE．【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】方法点拨：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形。
专题04 等腰三角形的证明(解析版)
专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥∥AB AC =．证明步骤正确的顺序是（ ） A ．∥→∥→∥→∥→∥ B ．∥→∥→∥→∥→∥ C ．∥→∥→∥→∥→∥ D ．∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明． 【详解】 具体步骤为： ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AB AC =． 故选：B ． 【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．2．（2021·江西）如图，在∥ABC 中，∥A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是∥ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】试题分析：在∥ABC 中，∥A=36°，AB=AC ，求得∥ABC=∥C=72°，且∥ABC 是等腰三角形；因为CD 是∥ABC 的角平分线，所以∥ACD=∥DCB=36°，所以∥ACD 是等腰三角形；在∥BDC中，由三角形的内角和求出∥BDC=72°，所以∥BDC 是等腰三角形；所以BD=BC=BE ，所以∥BDE 是等腰三角形；所以∥BDE=72°，∥ADE=36°，所以∥ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D考点：角平分线，三角形的内角和、外角和，平角3．（2021·河北）已知：如图，ABC 中，B C ∠=∠，求证：AB AC =，在证明该结论时，只添加一条辅助线：∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，∥取BC 中点D ，连接AD ，∥作BC 的垂直平分线AD ，其中作法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解． 【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥取BC 中点D ，连接AD ， 无法证明∥ABD ∥∥ACD ， ∥∥作法不正确；∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上，∥∥作法不正确；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2021·云南文山·）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30B．60︒C．30或60︒D．15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，∥CD=12AC，∥∥A=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=；如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，AC，∥CD=12∥∥CAD=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°，∥∥B=∥ACB=15°．∥这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5．（2021·广东九年级二模）已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根，则k的值等于（）x x kA．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D【分析】当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k ＋2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∥当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，2680-+=的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；x x当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，2690-+=的两个根为：x1=x2=3，符合题意；x x综上所述，k的值等于6或7，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．6．（2021·甘肃兰州·九年级）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∥A＝46°，CD∥AB于点D，则∥DCB＝（）A ．46°B ．67°C ．44°D ．23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∥等腰三角形ABC 中，AB =AC ， ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°，∥∥ABC =12×（180°-46°）=12×134°=67°， ∥CD ∥AB 于D ，∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°， 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案． 7．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ，再根据三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：由已知可得：∥B=∥C=k∥A=（36k ）°， 由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∥k=2， 故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．8．（2021·四川成都·九年级一模）在螳螂的示意图中，AB∥DE ，∥ABC 是等腰三角形，∥ABC ＝124°，∥CDE ＝72°，则∥ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°【答案】C 【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A，【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28AACB， //AB DE ，28CFD A，72CDE CFD ACD，722844ACD，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021·全国九年级专题练习）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长． 【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5． 故选：B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．10．（2021·河北九年级专题练习）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( ) A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∥方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6；当m=n 时，2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =，6b =-，2c k =+，∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿， 解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 二、填空题11．（2021·江苏九年级）若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm ． 【答案】12 【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可． 【详解】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm ）， 而8+8=16，无法构成三角形， ∥此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32-8）÷2=12（cm ）， 此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∥∥ABC＝∥BAE＝∥AED＝∥BCD＝∥CDE＝108°，∥AB＝BC＝AE＝ED，∥∥BAC＝∥BCA＝36°，∥EAD＝∥ADE＝36°，∥∥CAD＝36°，∥ACD＝∥ADC＝72°，∥AC＝AD，∥∥ACD是黄金三角形，同理可求：∥BAN＝∥ANB＝∥AME＝∥EAM＝72°，∥CBM＝∥BMC＝∥DNE＝∥DEN＝72°，∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB，∥ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．13．（2021·浙江九年级期末）ABC中，∥A=36°，∥B是锐角．当∥B=72°时，我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∥B的角度还可以取到的有____________．【答案】54°，36°，18°，12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案．【详解】∠=解：这条直线从A、B、C出发皆可，设B x()I假设从A出发，如下图：∥当BD=AD，AD=DC时，B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在；∥当BD=AD，AC=DC时∠=∠，ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒；解得：12∥当BD=AD，AD=AC时∠=∠∠=∠，ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=，180361442x x∴=︒-2144解得：48x=︒︒>︒，此种情况不存在；此时4836∥当AB=AD，AD=DC时，∠=∠∠=∠，ADC CB ADBC x∠=︒-，18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒（不符合题意）解得：96()II假设从B出发，如下图：∥当AD =BD ，BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立；∥AD =BD ，BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒， 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得：90x =︒，此时不成立；()III 假设从C 出发，如下图：∥BD =DC ，AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得：18x =︒，此时成立； ∥BD =DC ，AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得：54x =︒，此时成立； ∥BD =BC ，AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=，36A ACD ∠=∠=︒，BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒；解得：36综上所述，∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒．故答案为：54°，36°，18°，12°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情况讨论，注意不要漏掉．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∥如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∥A=x°，则∥ACD=∥A=x°，∥B=∥A=x°，∥∥BCD=∥B=x°，∥∥A+∥ACB+∥B=180°，∥x+x+x+x=180，解得x=45，∥原等腰三角形的底角是45°；∥如图2，∥ABC 中，AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥∥B =∥C =∥BAD ，∥CDA =∥CAD ， ∥∥CDA =2∥B ， ∥∥CAB =3∥B ， ∥∥BAC +∥B +∥C =180°， ∥5∥B =180°， ∥∥B =36°，∥原等腰三角形的底角为36°； 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 15．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 上一点，EF AE ⊥，将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得∥ABE ∥∥AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到14=33BE BC =．【详解】解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-， ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△，∥=4EC EC x '=-，在Rt∥ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+， 解得：7=8x ； 当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，∥AH ∥EC '，=AE AC '， ∥EH C H '=， ∥EF AE ⊥，∥=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△， ∥=C EF FEC '∠∠， ∥BEA AEH =∠∠，在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥AHE （AAS ）， ∥BE HE =， ∥=BE HE HC '=， ∥12BE EC '=∥EC EC '=， ∥12BE EC =， ∥14=33BE BC =，综上所述，7483BE =或，故答案为：7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题16．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =． （1）求证：AEF ∆是等腰三角形； （2）求线段FD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠，FEC AEF ∠=∠，即可得证；（2）设FD x =用含x 的代数式表示AF ，由折叠，AG DC =，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠，则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形（2）四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =，则8AF AD x x =-=-因为折叠，则FG x =，4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得：3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．17．（2021·湖南郴州市·）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ． ∥证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；∥若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）∥见详解；∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形 【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∥HAG =90°，从而得∥BAH =∥CAG ，进而即可得到结论； （2）∥由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；∥AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，（b ）当∥GAQ =∥GQA =67.5°时，（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】解：（1）∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ， ∥AH =AG ，∥HAG =90°，∥在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ， ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG ， ∥AHB AGC ≌；（2）∥∥在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形， ∥AH =AG ，∥BAH =∥CAG ， ∥AEH AFG ≌， ∥∥AEH =∥AFG =45°，∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒； ∥∥4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF =2，∥∥AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，如图，则∥HAF =90°-45°=45°， ∥AH 平分∥EAF ， ∥点H 是EF 的中点，∥EH 12=（b ）当∥GAQ =∥GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∥EAH =∥GAQ =67.5°， ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°， ∥∥EHA =∥EAH ， ∥EH =EA =2；（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．18．（2021·江苏九年级二模）如图（1），已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，点E 为对角线AC 上的动点．连接BE ，过E 作EB 的垂线交CD 于点F ．（1）探索BE 与EF 的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F 作AC 垂线交AC 于点G ，交EB 于点H ，连接CH ．若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动，设E 的运动时间为s t ． ∥是否存在t ，使得H 与B 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ∥t 为何值时，CFH △是等腰三角形； ∥当CG GH =时，求CGH 的面积．【答案】（1）BE =；（2）∥t=1，∥t =； 【分析】(1)连接BF ，易证B. C. F. E 四点共圆，,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ；(2)∥存在，当H 、B 重合时，如图所示，结合(1)知可得BG =3，CG =，同理可知CF =2，FG =1,EG CG ==CE =，由此可得t=1，∥先得出60CFH ∠=︒ ，再由△FHC 为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ，△ABE =15°，△EBC =75°，根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ，根据题意列等式64t -=求出t =，∥过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，求证出 ~FEM EBN ∆∆ ，根据相似的性质结合4DF t =，64CF t =- ，32FG t =- 得出EG =-=，再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ，代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可； 【详解】解：(1)连接BF ，如图：已知矩形ABCD 中，BE EF ⊥ ， ∥∥BEF =∥BCF =90°，∥点B ， C ，F ， E 四点共圆，∥∥EBF =∥ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在，当H 、B 重合时，如图所示：由(1)知，∥EBF =30°， ∥∥ACD =∥EBF =30°， 则∥ACB =60°，∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°，BC =∥BG =3，CG =，同理可得CF=2，FG=1，EG CG ==∥CE =， ∥AE AC CE =- ，又∥已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，∥AC =，∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动， ∥t=1； ∥∥∥CFH 为等腰三角形， 又∥∥ACD =30°， ∥60CFH ∠=︒ ， ∥∥CFH 为等边三角形， ∥FG =GH ，又由（1）知90BEF ∠=︒， ∥FG =GH =EG ， ∥45CEB ∠=︒ ， ∥∥ABE =15°， ∥∥EBC =75°， ∥∥BCH =30°，∥∥CHB 为等腰三角形， ∥CH =CB =CF ，∥3CE CG EG =+=，∥3AE CE == ，即3= ，解得：t =， ∥由题意知：过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，则由（1）得EN =，3t AN =，∥∥FME =∥ENB ，∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°， ∥∥FEM =∥EBN ， ∥FEM EBN ∆~∆ ， ∥ME MFBN EN= ，，∥MF =t ，∥4DF DM MF AN MF t =+=+=，则64CF t =- ， ∥32FG t =- ，∥CG = ，EG AC AE CG =--=-=，在t R EFH ∆中，EG FH ⊥ ，,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ，∥()()232t =⨯-，∥()232t -∥CG GH =，∥()()221122CGH S CG ∆===； 【点睛】此题属于四边形综合试题，考查动点问题，涉及到圆周角，三角形相似，特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明，有一定难度．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 边于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作O 的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，且DF AC ⊥，连接DE ．（1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）求证：2DE EF AC =⋅；（3）若6BG =，2CF =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）DF 是△O 的切线，得到∥ODF =90°，再求出∥C +∥FDC =90° ，∥C =∥BDO ，由OB =OD ，得∥BDO =∥ABC ．∥C =∥ABC ，即可求解．（2）因为AB 是直径，得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出，ABD DEF ∽，得到AC DEDE EF=即可求解； （3）求出∥ODG∥∥AFG ，得出比例式，即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明： ∥DF 是△O 的切线， ∥OD ∥DF ． ∥∥ODF =90°．又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°， ∥∥BDO +∥FDC =90°． ∥DF ∥AC ， ∥∥DFC =90°， ∥∥C +∥FDC =90°． ∥∥C =∥BDO ． ∥OB =OD ， ∥∥BDO =∥ABC ． ∥∥C =∥ABC ． ∥AB =AC ．∥∥ABC 是等腰三角形； （2）连接AD ，∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ （3）解：∥AB =AC ， ∥∥ABC =∥C ， ∥OB =OD ， ∥∥ABC =∥ODB ， ∥∥ODB =∥C ， ∥OD ∥AC ， ∥∥GOD ∥∥GAF ， ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ，则AB =AC =2r ， ∥AF =2r -2， 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3，经检验：3r =是原方程的根，且符合题意， 即△O 的半径是3．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（2021·广东中山·）如图，已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点D ；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，证明：BDC ∆是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，然后以点M 、N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，交于点O ，连接BO ，交AC 于点D ，则问题可求解； （2）由题意易得72ABC C ∠=∠=︒，然后可得72C CDB ∠=∠=︒，则问题可求证． 【详解】.解：（1）如图所示：BD 即为所求；（2）∥36A ∠=︒，∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∥BD 平分ABC ∠，∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒， ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒， ∥72C CDB ∠=∠=︒， ∥BD BC =，∥BDC都是等腰三角形．【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把ABE△沿着AE折叠得到AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．（1）求证：AGE是等腰三角形（2）试写出线段FG，GD，EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【分析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．【详解】解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．22．（2021·安徽）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC ＝CD，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．（1）求证：∥AEF是等腰三角形；（2）填空：∥若AE BE＝5，则BF的长为；∥当∥E的度数为时，四边形OACD为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∥3；∥60°【分析】（1）由AB为半圆O的直径，AE是切线，可得∥EAC=∥ABC，结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD，从而得ACE≌ACF，，进而即可得到结论；（2）∥由等腰三角形的性质得EF=2CE，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用面积法求出AC的值，进而即可求解；∥利用菱形的性质和圆的性质，可得ACO是等边三角形，结合圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）证明：∥AB为半圆O的直径，AE是切线，∥∥ACB=90°，∥EAB=90°，∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°，∥∥EAC=∥ABC，∥AC＝CD，∥∥ABC =∥CAD，∥∥EAC=∥CAD，又∥∥ACE=∥ACF=90°，AC=AC，∥ACE≌ACF，∥AE=AF，∥∥AEF是等腰三角形；（2）∥∥∥AEF是等腰三角形，AE=AF，AC∥BE，∥点C是EF的中点，即:EF=2CE，∥AE ∥AB ，∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅，∥2AE AB AC BE ⋅===，∥1CE =， ∥EF =2CE =2， ∥BF =BE -EF =5-2=3， 故答案是：3； ∥连接OC ，∥四边形OACD 为菱形， ∥OA =OD =CD =AC =OC ， ∥ACO 是等边三角形， ∥∥AOC =60°， ∥∥ABE =30°， ∥∥E =90°-30°=60°． 故答案是：60°．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键．23．（2021·广东）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角∥A ＝108°．（1）在BC 上作一点D ，使AD ＝CD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）求证：∥ABD 是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；（2）由题意易得∥B＝∥C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∥AB＝AC，∥A＝108°，∥∥B＝∥C＝36°，由（1）得：AD＝CD，∥∥DAC＝∥C＝36°，∥∥ADB＝∥DAC+∥C＝72°，∥BAD＝∥BAC﹣∥DAC＝108°﹣36°＝72°，∥∥BAD＝∥BDA，∥AB＝BD，∥∥ABD是等腰三角形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
初中数学_巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中李敬峰谷兴武学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。
掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。
它有以下几种形式：①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。
本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。
具体证明过程略。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
等腰三角形的判定
第二讲等腰三角形的判定知识扫盲由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解决几何问题提供了理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解决一些问题的关键，判定一个三角形是否为等腰三角形的基本方法：证明一个三角形的两条边相等，证明一个三角形的两个角相等。
实际解题中的一个常用的技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1.“角平分线+平行线”构造等腰三角形2.“角平分线+垂线”构造等腰三角形3.用“垂直平分线”构造等腰三角形4.“用三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形A类经典例题例题1、已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？思路激活：设长方形的长为a，宽为b，把相应的关系式表示出来。
例题2，已知a-b=-2，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
例3：已知，a、b为自然数且a+b=40(1)求a2+b2的最小值(2)求ab的最大值例题4：已知ab=60，a2+b2=169；求a2-b2B类例题1：（1）已知多项式2x3+ax2+x-3能被2x2+1整除，商式为x-3 ，求a的值；（2）已知：2a2+3a-1=0，试求代数式(2a5+3a4+3a3+9a2-5a+1)÷（3a-1）的值。
C类例题2：已知x2-4=0，求代数式x(x+1)2-x(x2+x)-x-7的值例题3：求1+2+22+23+...+22012的值，可令S=1+2+22+23+ (22012)则2S=2+22+23+...+22013,因此就有2S-S=22013-1;仿照以上推理，求1+5+52+53...+520131、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a .∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y。
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法以等腰三角形中做辅助线的八种常用方法为标题，写一篇文章。
一、连接底边中点和顶点的直线在等腰三角形中，连接底边中点和顶点的直线是最常见的辅助线之一。
通过连接底边中点和顶点的直线，可以将等腰三角形分为两个等边三角形，从而为解决问题提供了更多可能性。
二、平分底角另一种常见的辅助线是平分底角。
通过连接底边两个顶点与底角的平分线，可以将等腰三角形分成两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加简单明了。
三、平分顶角平分顶角也是一种常用的辅助线方法。
通过连接顶点与底边中点的直线，可以将等腰三角形分为两个相等的小三角形，从而使得问题的解决更加方便。
四、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线通过连接底边两个顶点与三角形顶点的直线，可以形成一个内切等边三角形。
这个内切等边三角形可以为解决问题提供更多线索。
五、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点通过连接底边两个顶点与顶角平分线的交点，可以形成一个四边形。
这个四边形可以为解决问题提供更多线索。
六、连接底边两个顶点与底边中点的连线通过连接底边两个顶点与底边中点的连线，可以形成一个等腰梯形。
这个等腰梯形可以为解决问题提供更多线索。
七、连接底边两个顶点与对边中点的连线通过连接底边两个顶点与对边中点的连线，可以形成一个平行四边形。
这个平行四边形可以为解决问题提供更多线索。
八、连接对边中点的连线通过连接对边中点的连线，可以形成一个等腰三角形的中线。
这个中线可以为解决问题提供更多线索。
在解决等腰三角形相关问题时，可以灵活运用以上八种常用的辅助线方法。
通过合理选择辅助线，可以使问题的解决更加简单明了。
当然，在运用辅助线的过程中，需要注意辅助线与等腰三角形的关系，确保辅助线的引入能够帮助解决问题，而不会导致问题的复杂化。
总结起来，通过连接底边中点和顶点的直线、平分底角、平分顶角、连接底边两个顶点与三角形顶点的直线、连接底边两个顶点与顶角平分线的交点、连接底边两个顶点与底边中点的连线、连接底边两个顶点与对边中点的连线以及连接对边中点的连线这八种常用的辅助线方法，我们可以更加灵活地解决等腰三角形相关问题。
2024七年级数学下册练测第10招用等腰三角形“三线合一”解题的六种技巧习题课件鲁教版五四制
(2)求证：BD＝CE. 【证明】如图，过点A作AP⊥BC于点P. ∵AB＝AC，∴BP＝PC. ∵AD＝AE，∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE， 即BD＝CE.
6 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BE⊥AC 于点E. 求证：∠BAC＝2∠EBC.
【证明】∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAC＝2∠DAC.∴∠ADC＝90°. ∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°. ∴∠DAC＝90°－∠C＝∠EBC， ∴∠BAC＝2∠EBC.
4 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，CE⊥AE 于点 E，∠CAE＝ 12∠BAC，点 E 在△ ABC 外．求证：∠ACE＝∠B.
【证明】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.∵AB＝AC，∴∠CAD＝ 12∠BAC. 又∵∠CAE＝12∠BAC，∴∠CAD＝∠CAE.
∠ADC＝∠AEC＝90°， 在△ ACD 和△ ACE 中，∠CAD＝∠CAE，
【解】∵△BDC 的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10， ∴BD＋CD＝14. ∵AD＝BD， ∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14.∴AB＝AC＝14. ∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝12AB＝7.
【点拨】
由△BDC的周长和BC的长得到BD＋CD的值，从 而求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质， 求出AE的长．
AC＝6，CD⊥BC，点A，C，E在同一条直线上，则CE
的长为 ( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】 过点 B 作 BG⊥AC，过点 D 作 DH⊥CE，垂足分别为
G，H.∴∠GBC＋∠GCB＝90°，∠BGC＝∠CHD＝90°. ∵AB＝BC＝5，AC＝6，BG⊥AC， ∴GC＝12AC＝3.∴BG＝ BC2－CG2＝ 52－32＝4. ∵CD⊥BC，∴∠DCH＋∠GCB＝90°. ∴∠DCH＝∠GBC.