2.2_单表代替密码

第二章 古典密码学
第二节 单表代替密码
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第二章 古典密码学
代替密码
代替密码是通过对明文字母表的置换，将明文 加密为密文的密码。
代替密码分为单表代替和多表代替
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第二章 古典密码学
假设所采用语言的字母表含有q个字母, 即 Zq={0, 1, …, q-1}
集合Zq上置换的全体记为SYM(Zq), 则SYM(Zq) 是 Zq上的对称群 。
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若明文m为affine cipher, 则密文c为 DCCRQX NRAMXK
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第二章 古典密码学
设gcd (k, q) = 1, 则以k为加密密钥的乘法代 替密码的解密变换是以k modq的逆k−1为加密密钥的 乘法代替密码, 即
Dk(c)= k−1c ≡ m (mod q) 0 ≤ c < q
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例如例2.4中乘法代替密码的解密变换为 D3(c)= 3c ≡ m (mod 26)
则密文为 C = E3(m) = FDVHDU FLSKHU LV D VKLIW VXEVWLWXWLRQ
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加密变换为： Ek(m) = m + k ≡ c (mod q) 0 ≤ m, c＜q
解密变换为： Dk = Eq−k(c) ≡ m (mod q)
移位代替密码的密钥空间K = {k | 0≤ k < q}元素的个 数为q, 其中k = 0是恒等变换。
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例2.3 凯撒密码(Caesar Cipher)是对英文字母表进 行移位代替的密码, 即q = 26。例如, 选择密钥k = 3, 则有 下述代替表:
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若明文 m = multiplicative cipher
则有密文 c = EYVPUFVUSAPUHK SUFLKX
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下面介绍几种简单的单表代替密码。
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移位代替密码
以下将q个字母的字母表与Z模q中数作一一对应, 用 每个字母对应的数字代替该字母。例如, 将英文字母表作 如下对应:
abcde f gh i j k lm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nopq r s t uvwx y z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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定 理 2.1 在 乘 法 代 替 密 码 中 , 当 且 仅 当 gcd(k,q) = 1, Ek 才是一一映射。
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证明: 对于任意的 j, k, i ∈ Zq, jk ≡ ik (mod q) ⇔ (j - i)k ≡ 0 (mod q)。
若 gcd(k, q) = 1, 则必有 j = i, 因而是一一映射。 若 gcd(k, q) = d＞1, 则 j = i + q/d 也可使 (j−i)k ≡ 0 (modq), 因而对 j ≠ i, j 和 i 将被映射成同一字母, Ek 不再 是一一的。
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若q为素数, 则有q − 2个可用密钥。否则就只有 φ(q) − 1个可用密钥。这里φ(q)是欧拉函数, 它表示小 于q且与q互素的正整数的个数。
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例2.2 英文字母表q = 26, 选k = 9, 则有乘法代替密 码的明文密文字母对应表:
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称上述加密方式为代替加密(substitution)。当 σ1= σ2 =…= σn时, 称Ek 为单表代替加密。否则, 称 其为多表代替加密。称 σi为代替加密密表。
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单表代替
由于SYM(Zq)的阶等于q!, 故单表代替密码共有q! 个(其中含恒等代替加密EI)不同的代替加密密表。
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密钥短Baidu Nhomakorabea密码
可以通过下述方法对例2.1 的加法代替密码进行改 造, 得到一种密钥可灵活变化的密码。
选一个英文短语, 称其为密钥字(key word)或密钥 短语(key phrase)，如HAPPY NEWYEAR, 按顺序去 掉重复字母得HAPYNEWR。
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初等数论中欧几里德扩展算法 辗转相除法
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因为gcd(k1,q) = 1, 所以存在k1−1∈Zq,使得 k1⋅k1−1≡ 1 (mod q),
故仿射代替密码的解密变换为
Dk(c) = (c − k0)⋅k1−1 (mod q)
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例2.5 k1 = 5, k0 = 3 的仿射代替密码的代替表为:
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乘法代替密码
乘法代替密码的加密变换为： Ek(m) = mk ≡ c (mod q), 0 ≤ c ＜ q.
这种密码又叫采样密码, 这是因为其密文字母表是将明 文字母表按下标每隔k位取出一个字母排列而成 (字母表 首尾相接)。
当gcd(k, q) = 1时, 明文字母与密文字母才是一一对应 的。
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定义2.1 设k = (σ1, σ2,…, σn,… ) 是一列置换， x = (x1,x2,…,xn,…)是一列明文，其中σi ∈SYM(Zq), xi ∈Zq。变换Ek将n-明文组 x = (x1,x2,…,xn)加密成n密文组 y = (y1,y2,…,yn), 即
Ek (σ1(x1), σ2(x2), …, σn (xn)) = (y1,y2,…,yn) = y
故解密密表为
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问题： 在(k, q) = 1时，如何求k模q的逆？
将它依次写在明文字母表之下, 而后再将明文字 母表中未在短语中出现过的字母依次写在此短语之 后, 就可构造出一个代替表, 如下所示:
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解密时, 只要用密钥k = 23的加密密表对密文c进行 加密运算就可恢复出原明文。
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这种密码是将明文字母表中字母位置下标与 密钥 k 进行模 q 加法运算的结果作为密文字母位置 下标, 相应的字母即为密文字母, 因此又称其为加 法代替密码。
为了加密与解密方便, 可将英文字母表的所有 移位作为行列出,该表称作维吉尼亚密表。见书 P17
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由定理 2.1 可知, 乘法代替密码实际可用密钥
个数为 φ(q) −1。
若
q
=
r
∏
piαi
,
其中 pi 为素数,
则
i=1
φ(q)
=
r
q∏ (1−
1
)
i=1 pi
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对于 q = 26, 与 q 互素且小于 q 的正整数个数 为 φ(26) = 12, 除去 k =1 的恒等变换, 还有 11 种选 择, 即 k = 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 和 25。
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这样, 我们就得到了一种易于记忆而代替表 又有多种可能选择的密码。用不同的密钥字就可得 到不同的代替表。q = 26时, 将可能有26! = 4×1026 种代替表。除去一些不太有用的代替表外, 绝大多 数代替表都是可用的。
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若明文 m = casear cipher is a shift substitution