上海证券市场的多重分形特征研究

上海证券市场的多重分形特征研究

吴金克，谭庆美

天津大学管理学院（300072）

Email：wujinke@

摘 要：本文利用MF-DFA方法对上海证券市场日收益率价格波动进行研究，发现上海证券市场具有明显的多重分形特征。但实行涨跌停板制度前后，上海证券市场多重分形的成因不同。实行涨跌停板制度前，上海证券市场多重分形特征仅受长程相关性和胖尾分布这两个因素的影响。而实行涨跌停板制度后，多重分形特征除受长程相关性和胖尾分布这两个因素的影响外，还受其他因素的影响，说明涨跌停板制度对上海证券市场价格波动的多重分形特征产生了重要的影响。

关键词：上海证券市场；MF-DFA；多重分形；涨跌停板制度

1.引言

目前，很多学者利用分形理论对证券市场进行分析，但正如Mandelbrot指出，单一分形只能抓住价格波动的某一特征[1]，而多重分形可以更为全面的描述价格波动的特征。目前，国外已有不少学者对金融市场的多重分形进行了研究，Schmitt和Schertzer等考察了Us Dollar//French France汇率改变量的q阶矩结构函数，非线性的标度指数表明该汇率变化是一个多重分形过程[2]。Hiroaki Katsuragi对日本证券市场进行了研究，得出了日本证券市场具有多重分形的结论[3]。Andreadis和Serletis对Dow Jones工业指数1928年~2000年的日收盘指数，运用统计学及系统动力学中的一些检验方法，提供了美国股票市场具有多重分形的有力证据[4]。Alvarez-Ramirez和Cisneros等讨论了国际原油价格的多重分形特征，发现存在与星期和季节有关的两个特征时间标度[5]。近几年来，国内学者开始运用多重分形理论对我国沪深两市进行多重分形研究，如何建敏和常松、胡雪明和宋学锋、卢方元、施锡铨和艾克凤、黄诒蓉等均证明我国沪深两市具有多重分形特征[6~10]。但这些研究所用数据量相对较少，而且没有考虑实施涨跌停板制度对我国证券市场多重分形特征的影响。

对证券交易价格实行涨跌停板制度是市场监管的一种措施，其主要目的是为了平抑价格的剧烈波动，稳定市场，保护投资者利益。涨跌停板制度是否对证券市场的多重分形特征产生了影响？对该问题进行研究，直接关系到对涨跌停板制度作用效用的评价，具有十分重要的意义。为了考察涨跌停板制度对上海证券市场分形特征的影响，本文以1996年12月26日为界，将上海证券市场日收益率时间序列分为两个阶段，利用MF-DFA方法对上海证券市场日收益率时间序列进行多重分形分析。

2. 多重分形的含义

多重分形(Multi-fractal)也称为多标度分形、复分形，是定义在分形结构上的由多个标度指数（如广义维数、广义Hurst 指数，多重分形谱等）的奇异测度(Singular measure)组成的无限集合。它刻画了分布在子集上的局部标度性，是对分形维数的拓广 [6，10]

。多重分形的定

义可以表述如下：

如果具有平稳增量的随机过程{x (t )}对所有的Q q T t ∈∈,满足：

1)())(())()((+∆=−∆+q q

t q c t x t t x E τ (1)

其中，T 和Q 是长度均为正的实数区间，t ∆为时间增量，T ∈0，，τ(q )和c (q )是在Q 上的函数，则称该过程为一个多重分形过程。

Q ⊆]1,0[根据式(1)，可以推导出多重分形过程的广义Hurst 指数h (q )，q >0，即：

)(/1))(()])()(([q h q q

t q c t x t t x E ∆=−∆+ (2)

当q =1时，h (1)对应于单分形分析的Hurst 指数。广义Hurst 指数h (q )和尺度函数τ(q )之间的关系为：

q

q q h 1

)()(+=

τ (3)

3．多重分形消除趋势波动分析法

Kantelhardt 等人提出的多重分形消除趋势波动分析（Multi-fractal detrended fluctuation analysis, MF-DFA ）方法是验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形的有效方法[11]。给定长度为N 的时间序列{x t }(t =1, 2, …, N )，MF-DFA 一般可以按照如下过程进行：

(1)探测序列的“轮廓”(Profile)。通过求和把原序列归并成为一个新的轮廓序列

∑=−=k

t t x x k y 1

)()(，k =1, 2, …, N (4)

其中，x 是序列{x t }的平均值，∑==

N

t t

x

N

x 1

1

。

(2)将序列{y k }分割成长度为s 的)/int(s N m s =个互不重叠的等长的区间，为了使得序列{y k }的全部数据均进入计算，对{y k }按照k 由小到大和由大到小各划分一次，这样对于给定的s ，可以得到个区间。

s m 2

(3)对于每一区间v (v =1, 2, …, )中的s 个点，用最小二乘法进行多项式拟合，得到拟合方程：

s m 2i k v k a k a a k y

ˆˆˆ)(ˆ10+++=L ，k =1, 2, …, s ，i =1, 2, … (5) )(ˆk y

v 是子区间v 上的局部趋势函数，可以是一次、二次或更高的多项式。通常要求

}10,2max{+≥k s 对于子区间v (v =1, 2, …, )，其消除趋势序列为：

s m )(ˆ))1(()(k y

k s v y k D v v −+−=，k =1, 2, …, s (6) 对于子区间v (v =+1, +2,…, 2 ) ，其消除趋势序列为：

s m s m s m )(ˆ)))((()(k y

k s m v N y k D v s v −+−−=, k =1, 2, …, s ( 7) (4)计算均方误差 ),(2

s v F 当v =1, 2, …, 时

s m ∑∑==−+−==s

k v s k v k y

k s v y s k D s s v F 1

2122

))(ˆ))1(((1)(1),( ( 8) 当v =+1, +2,…, 2 时

s m s m s m ∑∑==−+−−==s

k v s s k v k y

k s m v N y s k D s s v F 1

2122

))(ˆ)))((((1)(1),( (9) 显然，与s 、v 及的阶数有关，不同阶数消除趋势的能力不同。 ),(2

s v F )(ˆk y

v (5)对于2个区间，计算的均值，得到q 阶波动函数如式(10)所示。

s m ),(2

s v F )(s F q ⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨

⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=∑∑==0

,),(ln 41exp 0,)),((21)(212/1212/2q s v F m q s v F m s F s

s

m v s q m v q s q (10)