高三年级第一学期期中考试数学试题(附答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。
辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案
2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。
山东省青岛2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C.D.2. 已知集合，，则（ ）A. B.C. D. 3. （ ）A.B.D.24.已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C.D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7. 已知a ，且，，，则（ ）A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.44i z =+z z i -=5(){}2024log 20250M x y x ==-<{}2026x N y y ==M N = (2024,2025)(,2025)-∞(0,)+∞(2025,)+∞4log 50.5=1215-()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()b a b ⋅-=34-ABC △B 6π3π2π23πR ()f x [)0,+∞1πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭31f ⎛⎫- ⎪⎝⎭127f -⎛⎫⎪⎝⎭12117π3f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121173πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 21a b a bα-=+ab =1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x ex x a -≥(],0-∞(20,e ⎤⎦(],1-∞[)e,+∞9. 已知且，则（ ）A. B. C.2D.10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）A. B.是偶函数C. D.若，则11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q . 后三项成等差数列，公差为d ，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知单位向量，满足．（1）求；（2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）0xy >21x y +=0y <102x <<42xy+≥22log log 0x y +<()f x 14,16⎛⎫⎪⎝⎭()00f =()f x ()12f '-=()()321f x f x ->+233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(1)log x f x x +=()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x <+>21e x y x x -=-()1,0{}n a dq +=111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △1e 2e121()23e e e ⋅+= 1232e e -125e e - 1e1e定义三阶行列式运算：，其中（i ，）.关于x 的不等式的解集为M .（1）求M ；（2）已知函数在实数集单调递增，求a 的取值范围.17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q 是图象上的最低点．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.19.（17分）已知函数（1）求的值；111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---ij a ∈R {}1,2,3j ∈10100001x x x->()()241,,e 22,x x a x x Mf x a x M⎧-+∈=⎨--∈⎩R ðR ()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<()1,0P ()4,2Q -()f x ()f x ()056f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos x π{}2na {}nb 321212222n n b b b b n -++++= {}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S ()3f x x x =-()0f（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.高三期中考试题 数学参考答案1. D 【解析】由，可得.故选D.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. C 【解析】由题意得.故选C 项.4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选D.5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.故选B.6. .B 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又()()()ln 0g x a x x f f x =-+-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -44i z =+45i z i -==-=()2024log 20250x -<020241x <-<()2024,2025M =20260x y =>()0,N =+∞()2024,2025M N = 444222log 5111log loglog log 5log 552510.522222-⎛⎫======⎪⎝⎭()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()2,81,4124834b a b ⋅-=⋅--=-⨯-⨯=-2b ac =2222221cos 2222a cb ac b ac ac B ac ac ac +---=≥==0B π<< 03B π∴<≤()f x R 3113f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭127-=，在上单调递增，所以.故选B 项.7. D 【解析】由题意可得，解得.故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. BCD 【解析】由且，得，解得，同理得，故A 项错误，B 项正确；对于C 项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D 项正确.故选BCD 113π>>()f x [)0,+∞1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 21a b a bα-=+22221sin 2sin cos 2sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos a b αααααααααα+++==-+-()()()()22222sin cos 1tan πtan 4sin cos 1tan ααααααα++⎛⎫==+ ⎝--=⎪⎭ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭1ln ex x ≥-ln tx x =()1e et g t et t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e t g t e '=-11e t -≤<()0g t '<1t >()0g t '>()g t 1,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()1,+∞()()min 01g t g ==0a ≤0xy >210x y +=>(12)0x x ->102x <<01y <<422x y +==>…14x =12y =()22222222121log log log log log log 302822x y x y x y xy ⎡⎤⋅+⎛⎫+====-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…项.10. BCD 【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A 项错误；，所以是偶函数，故B 项正确；由，得，故C 项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D 项正确.故选BCD 项.11. ACD 【解析】对于A 选项，由函数的定义知的定义域为，故A 正确.对于B 选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B 错误.对于C 选项，，可知，设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选ACD.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处()a f x x =()14416af ==2α=-()2f x x -==()0f ()()f x f x -=()f x ()32f x x -=-'()12f '-=()f x ()0,+∞()()321f x f x ->+321x x -<+22(32)(1)x x -<+320,10,x x -≠⎧⎨+≠⎩243x <<32x ≠()f x ()0,+∞(1)log 2x x +=2(1)x x +=2403x x +=+70∆=-<()(1)ln log ln(1)x x xf x x +==+()2211ln(1)ln (1)ln(1)ln 1ln 1)(1)ln )((1x xx x x x x x f x x x x x +-++-+==+++'()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()(1)21lo (1)g log x x x f x x f x ++-+=+-()()()2ln ln 2ln 1ln(2)ln 1x x x x x ⋅+-++⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x <+>22y x =-()212e 1x y x x -'+-=1x =2y '=21e x y x x -=-()1,0的切线方程为.13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ 取得最小值.15. 解：（1）．……6分（2）在上的投影向量为．……13分16．（15分）解：（1），（3分）所以，所以原不等式的解集.（6分）（2）由（1）知，所以（7分）22y x =-()212d q +()12d q +12d +1d +()()211218,121235,d d q d d q ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩()()221217,2234,q d q q d q ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩()()()()2212341722q q q q +-=-+232334682343422q q q q q q -+-=+--235700q q -=2,3,q d =⎧⎨=⎩5q d +=1-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =11232e e -==125e e -1e ()121111352e e e e e e -⋅⋅=-()()1010110001x x x x x xx x x=-=->-1x >{|1}M x x =>{|1}M x x =>()()241,1e 22,1xx a x x f x a x ⎧-+>=⎨--⎩…在实数集上单调递增，，又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得（10分）综上，a 的取值范围是.17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即单调递增区间为，．……9分（2）由，即，又，则，故，．……15分18.解：（1）由题意得，（2分）所以.（3分）由，得当时，，（5分）所以，即.（6分）又当时，也符合，()f x R 4112a +∴≤14a ∴≤1x ≤()f x 1x =224e a a --≤-12ea ≤-,1(]2e -∞-2A =334T =4T =π2ω=2113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π113π2π232k ϕ⨯+=+k Z ∈π2π3k ϕ=-+k Z ∈π2ϕ<π3ϕ=-()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ152π2π44223233k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x 154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈()056f x =0ππsin 2335x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04ππcos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22000ππcos cos(2c )2)1os (2(122x x x π=-∴=⨯=⨯-=1212422na n n --=⨯=21n a n =-32122222n b b b b n ++++= 2n …()31212222122n n b b b b n --++++=- 122nn b -=2n n b =1n =12b =所以.（7分）（2）设，则，（8分）（9分）两式作差得，（10分）即，（12分）所以.19.（17分）已知函数（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以.（5分）（2）由（1）可得，（6分）2nn b =()1212nn n n a c n b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()21221111()32221nn n S c c c n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()231111132112222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231111112211222222221nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1121722222212111272111n n n n n S n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--=- ⎪⎝⎭-2277n nn S +=-()3f x x x =-+()0f ()()()ln 0g x a x x f f x =-++-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -()3f x x x =-+()()332223031()2e f f x x e x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-()206f e =()32ln 6g x x a x e =-++，（7分）①当时，，， 在区间上单调递减， （8分）所以的最小值.（9分）的最大值，（10分），（11分）这时的取值范围为.（12分）②当时，，，在区间上，， 在区间上单调递减，（13分）所以的最小值.（14分）的最大值，（15分），这时的取值范围为.（16分）综上所述，当时，取值范围为；当时，取值范围为.（17分）变式：已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.()32333x a x a g x x x '⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭10a -<≤03a ->()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161(1,]M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈-Mm -33(1,]e e -03a <≤013a<≤01<≤[1,]e ()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161[4,1)M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈--Mm -33[4,1)e e --10a -<≤M m -33(1,]e e -03a <≤Mm -33[4,1)e e --()3f x x x =-+()y f x =0x =()()()20g x ax x f f x =+--10a -<<()g x []1,0-M m -解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以，所以.（5分）所以在处的切线方程为（6分）化为.（7分）（2）由（1）可得，（8分）所以，，两零点为 （9分）-+单调递减单调递增（11分）因为，（12分）所以时，，（13分）()3f x x x =-+()()3223031(1)2f f x x x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-+()06f =()y f x =0x =()620y x -=-260x y -+=()()()()22332006g x ax x f f x ax x f x x x ax =-++-⎛=-+--+ ⎝=-++()22323()3a g x x ax x x =-+=--'10a -<<1222,0,033a x x ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭x 21,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x '()g x ()60g =()()7106g a g =+>=-[]1,0x ∈-()()max 17M g x g a==-=+（14分）所以设，（15分）（16分）所以在上单调递增，因为，所以的取值范围为.（17分）()n 33mi 3238462742769a m g x g a a a ⎛⎫== ⎪⎝=-++=+⎭()33472741276h a M m a a a a -=-==+--++10a -<<()22449433'1()()()0994922h a a a a a =-+=--=-+->()h a 10a -<<()4127h -=()01h =M m -4,127⎛⎫⎪⎝⎭。
镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点B ．当C ．当313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r.14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为 .16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 /m h ，再经过 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=18．设函数3()log (933)x x f x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ A ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ C ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ D ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ B ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ D ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ A ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ BCD ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ BD ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ABD ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ACD ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点 B ．当 C ．当32313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r3- .14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 4,2,1-- .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为329. 16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 100039 /m h ，再经过 10 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=17．解：（1）22,12m A x=≥-中：18．设函数3()log (933)x xf x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．解：（1）32()log (9233)x x k f x ==-⋅-时，，19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.19．解：（1）有条件得1cos cos()sin sin(A )332C A C ππ---=，20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.20．解：（1）112112311211933129,6121218112a a a a a a a a a a a a +====+++++，21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.21．证明：（1）PD ABCD ⊥底面Q ，22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.22．解：（1）2221(2)1()0(1)x(1)a x a x f x x x x +++'=+==++，。
2024-2025北京海淀高三(上)期中数学试卷及答案
2024北京海淀高三（上）期中数 学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则A B =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
山西省太原市2024-2025学年高三第一学期期中测评数学答案
2024-2025年第一学期高三年级期中试题参考答案及评分建议一．选择题：D B C A B C A B二．选择题：9.BC10.AC 11.BCD 三．填空题:12.14513.)1,21(14.33四．解答题：15.解：（1）由题意得}21|{≤<=x x A ，}0|{>=∴y y B ，]2,1(=∴B A ；………6分（2）由题意得xxax f 22)(+=的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，01)0(=+=∴a f ，1-=∴a ，xx x f 212)(-=∴，………9分x x x f 212)(-= 在]2,1(上单调递增，23)1(=f ，415)2(=f ，∴当B A x ∈时，)(x f 的值域为]415,23(.………13分16.解（1）设}{n a 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧===-=-,8,12)1(2132124q a a q q a a a 解得⎩⎨⎧==2,21q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==21,321q a （舍去），)(2*N n a n n ∈=∴；………6分（2）由（1）可得)N (2)4(*∈⨯-=n n b nn ，n n n n n S 2)4(2)5(2)2(2)3(12⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴- ，①1322)4(2)5(2)2(2)3(2+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴n n n n n S ，②①-②，整理得102)5(1+⨯-=+n n n S ，………10分所以对于任意的*N ∈n ，不等式102)4(102)5(1+⨯-≤+⨯-+n n n n λ恒成立，即不等式0)410()2(≥-+-λλn 对于任意的*N ∈n 恒成立，………12分⎩⎨⎧≥-+-≥-∴,04102,02λλλ解得382≤≤λ，∴实数λ的取值范围是]38,2[.………15分17.解：（1）由题意得)62sin(2cos 212sin 23)(π-=-=x x x x f ，………3分1)62sin()(=-=∴πA A f ，20π<<A ，65626πππ<-<-∴A ，=∴A π3，C B sin 3sin 2= ，由正弦定理可得c b 32=，即c b 23=，………5分7=a ，由余弦定理得747cos 22222==-+=c A bc c b a ，2=∴c ，3=b ；………7分（2）由题意得x x x f x g 2cos )22sin()3()(=+=+=ππ，………9分02cos )(==∴B B g ，20π<<B ，π<<∴B 20，4π=∴B ，………10分n m ⋅∴C A C A sin sin cos cos +=)cos(C A -=432cos(π-=A ，………13分24ππ<<A，44324πππ<-<-∴A ，1)432cos(22≤-<∴πA ，n m ⋅∴的取值范围为]1,22(.………15分18.（1）证明：连接OA ，P A AB = ，︒=∠60P AB ，∴△P AB 是正三角形，P A AB PB ==∴，同理可得AB PC =，PC PB =∴，O 是BC 的中点，BC OP ⊥∴，………2分AC AB = ，BC OA ⊥∴，AC AB ⊥ ，BC OB OA 21==∴，BC OP ⊥ ，222OB OP PB +=∴，222222OA OP OB OP PB P A +=+==∴，OA OP ⊥∴，………4分O BC OA = ，⊥∴OP 平面ABC ；………6分（2）由（1）得OA OP ⊥，OB OP ⊥，OB OA ⊥，以O 为原点，OP OB OA ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-C ，)1,0,0(P ，AP BQ = ，)1,1,1(-∴Q ，显然)1,0,0(=OP 是平面ABC 的一个法向量，………8分设),,(z y x m =是平面BCQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,BQ m BC m ⎩⎨⎧=+-=-∴,0,02z x y 取1=z ，则0,1==y x ，)1,0,1(=∴m ，………10分2221||||,cos ==>=<∴OP m OP m OP m ，∴二面角Q BC A --的大小为︒135；……12分（3）假设存在点M ，设BM =λBQ (0≤λ≤1)，则BM =λBQ =(-λ,0,λ)，QPBCAzOyxM),1,1(λλ--=+=∴BM AB AM ，………13分直线AM 与平面BCQ 所成角的正弦值为77，71|1)1(21||||||||,cos |22=+++-==><∴λλAM m AM m AM m ，………15分21=∴λ或23-=λ（舍去），21=∴BQ BM .………17分19.（1）证明：由题意得曲线)(x f y =在点))(,(n n a f a 处的切线方程为))(()(n n n a x a f a f y -'=-，即)(n a a a x e e y n n -=-，令0=y ，解得1-=n a x ，则11-=+n n a a ，即11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以数列}{n a 是以1a 为首项、1-为公差的等差数列；………5分（2）由（1）可得11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以ee af a f n n a a n n 1)()(11==-++，所以数列)}({n a f 是以)(1a f 为首项、e1为公比的等比数列，其前4项的和为1)1(431---e e e a )1)(1(231++=-e e e a )1)(1(2++=e e ，所以实数31=a ；………10分（3）原不等式等价于23121xe x x m x-++≥在),0(+∞上恒成立，令23121)(x e x x x h x-++=，0>x ，则322)222)(2()(x e x x x x h x -++-='，令xe x x x t 222)(2-++=，0>x ，则0)1(2)(<-+='xe x x t ，所以)(x t 在),0(+∞上递减，所以0)0()(=<t x t ，令0)(<'x h ，则2>x ；令0)(>'x h ，则20<<x ，所以)(x h 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，所以47)2()(2e h x h -=≤，所以实数m 的取值范围为),47[2+∞-e .………17分注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024—2025学年第一学期11月高三期中考试数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面向量，且∥，则（ ）A ．B ．C．D ．13．已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论：①②函数为偶函数③④在上单调递增所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④6．若函数在（1，3）上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1()ln(22)1f x x x =++-(1,)+∞(0,1)(1,)-+∞ (,1)-∞(1,1)(1,)-+∞ (1,2),(1,1)a b λ=+()a b +a λ=12-1-123()2sin 2f x x x =-+()f m a -=()f m =4a-2a -2a +a-tan 3α=3cos 2sin 2cos 3sin αααα-=+511511-311311-()cos()f x A x B ωϕ=++0A >0ω>πϕ<23π()(6f x f ≤π(3f x +()()26f x f x π+-=()f x 4π13π[,]363()2ln f x x t x x=--7)(7,)+∞[7,)+∞7]7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在锐角△中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知下列函数中，最小正周期为的是（）A ．B ． C ．D ．10．在△中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）A ．B ．C ．的最大值为D ．的最小值为911．过点（2，）可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________．13．已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示）14．在等边三角形的三边上各取一点，满足，，°，则三角形的面积的最大值是________．π()sin()(0)6f x x ωω=+>π3()g x ()g x ω132312ABC a b c A B C 23cos cos b c C A-=3a =b c +(3,6)(3,6]6]6)πcos 2y x=π2sin(213y x =++sin 2y x =tan()4y x π=-ABC 14CD CA = P BD ,,(0,)CP CA CB λμλμ=+∈+∞41λμ+=41λμ+=λμ1911λμ+a xy xe =a e 26e -21e -2e 122,3z a i z i =+=-12z z a =(2,1)a = (1,3)b =-b a ABC ,,M N P MN =4MP =30PMN ∠=ABC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知向量，满足．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求的值．16．（本题满分15分）（1）已知都是锐角，若，求的值；（2）已知，求的值．17．（本题满分15分）设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．18．（本题满分17分）△的内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．19．（本题满分17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在△中，，，若点为该△的外心，求的最大值．2024-2025学年第一学期11月高三期中考试数学答案1．D 2．D 3．A4．D5．B6．A7．C8．C9．ABD10．AD11．ABDa b 2,3,(2)a b a b b ==-⊥a b2a b -,αβ38sin ,cos()517ααβ=+=sin β1sin cos ,(0,π)3ααα-=∈πsin(26α-21()ln 1()2f x x x ax a R =+-+∈52a =()f x ()f x 12,x x 11(0,]2x ∈12()()f x f x -ABC ,,A B C ,,a b c cos sin 2A Cc b C +=B BE ABC AC 3BE =ABC O ()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b =()f x ()f x OM(3,ON =()f x ()3f x =ππ(,33x ∈-x ππ())cos()()36g x x x x R =++-∈()g x OM OM(0,1)OA = ()h x ABC 2AB =πcos ()6C h =G ABC GC AB CA CB ⋅+⋅12． 13． 1415．【解析】（1）设与的夹角为，因为，所以，又，所以，所以所以向量与夹角的余弦值为；（2）由，所以．16．【解析】（1）∵已知、都是锐角，且，∴．∵，∴，∴．（2）因为，所以，即，所以，又，所以，故，故，故，所以，所以，，故17．【解析】（1），则定义域为（0，），23-21,55⎛⎫⎪⎝⎭a b θ(2)a b b -⊥2(2)20a b b a b b -⋅=⋅-=2,3a b == 223cos 90θ⨯⨯⨯-=3cos 4θ=a b 342223244442349224a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯= 2a b -=αβ3sin 5α=4cos ,0π5ααβ==<+<8cos()17αβ+=15sin()17αβ+==1548336sin sin[()]sin()cos cos()sin 17517585βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=1sin cos 3αα-=21(sin cos )9αα-=112sin cos 9αα-=4sin cos 9αα=(0,π)α∈sin 0α>cos 0α>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22217(sin cos )sin cos 2sin cos 9αααααα+=++=sin cos αα+=8sin 22sin cos 9ααα==22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-=81sin(2sin 2cos cos 2sin 66692πππααα-=-=+⨯=21()ln 12f x x x ax =+-+()f x +∞211()x ax f x x a x x-+'=+-=当时，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）∵定义域为，由（1）可知当时有两个极值点等价于在上有两个不等实根，∴，∴ ∴设，则，∴在上单调递减，∴，即，∴的最小值为18．【解析】（1）在△中，由，根据正弦定理可得因为为△的内角可知，，且，所以，即因为为△的内角，，故；所以，即（2）由题知是边的中线，所以．两边平方得：52a =2511(2)(21)22()x x x x f x x x -+--'==()0f x '>2x >102x <<()0f x '<122x <<()0f x '>1(0,),(2,)2+∞1(,2)2()f x 211(0,),()x ax f x x a x x-+'+∞=+-=2a >()f x 12,x x 210x ax -+=(0,)+∞12,x x 1212,1x x a x x +==211x x =221211122211()()ln 1ln 122f x f x x x ax x x ax -=+-+--+-22211211112221111111111ln ln ()2ln 2222x x a x x x x x x x x x ==--+-=+-+-21121112ln 22x x x =-+22111()2ln 0222g x x x x x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭24223332121(1)()0x x x g x x x x x x---'=--==-≤()g x 1(0,]21115()2ln 222ln 2288g x g ⎛⎫≥=--+=-+ ⎪⎝⎭1215()()2ln 28f x f x -≥-+12()()f x f x -152ln 28-+ABC cos sin 2A Cc b C +=sin cos sin sin 2A CC B C+=C ABC sin 0C ≠A B C π++=πsin coscos sin 2222A C B B B +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2sin cos sin222B B B =B ABC sin02B ≠1cos 22B =π23B =2π3B =BE AC 2BE BA BC =+222(2)2cos BE c a ac B =++ 2236c a ac=+-又，故，当且仅当时等号成立．所以面积的最大值为19．【解析】（1）根据题意知，向量的相伴函数为当时，，又，则，所以，故（2）因为，故函数的相伴特征向量，则与同向的单位向量为（3）由题意得，，在△中，，，因此，设△外接圆半径为，根据正弦定理，，故所以，代入可得，所以当时，取得最大值14．222c a ac +≥2236c a ac ac =+-≥6a c ==11sin 3622ABC S ac B =≤⨯=V ABC (3,ON =π()3sin 6f x x x x =+=+π()36f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,662x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ63x +=π6x =ππππππ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin363366g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎫=++-=-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭sin x x =-+()g x (1,OM =-(1,OM =- 11(1,,22OM OM ⎛=-=- ⎝()cos h x x =ABC 2AB =ππcos (cos 66C h ===π6C =ABC R 24sin ABR C==2R =2GA GB GC ===()()()GC AB CA CB GC GB GA GA GC GB GC ⋅+⋅=⋅-+-⋅- =2GC GB GC GA GA GB GA GC GC GB GC⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+ 228cos 4cos 4GC GA GA GB GC AGC AGB =-⋅+⋅+=-∠+∠+ πππ1,2,cos cos 6332C AGB C AGB =∠==∠==68cos GC AB CA CB AGC ⋅+⋅=-∠ πAGC ∠=GC AB CA CB ⋅+⋅。
2023-2024学年江苏省启东市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{3}D．{2，3}2．已知a∈R，若（2+i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（）A．−12B．12C．﹣2D．23．已知直线l1：x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣12y﹣4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm35．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ）A ．−725B ．−1225C ．725D ．12258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)10．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜311．已知点P 满足|PA|=√2|PB|，点A （﹣1，0），B （1，0），C(0，√7)，则（ ） A ．当∠PCA 最小时，|PC|=2√2B ．当∠PCA 最大时，|PC|=2√2C ．当△P AB 面积最大时，|PA|=2√2D ．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB 面积为√712．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ．14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）． （1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2．2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ，因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．已知直线l 1：x ﹣ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣12y ﹣4＝0，则“a ＝4”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1∥l 2可知1a−1=−a−12，解得a ＝4或a ＝﹣3，当a＝4时，l1：x﹣4y+1＝0，l2：3x﹣12y﹣4＝0，l1∥l2成立，当a＝﹣3时，l1：x+3y+1＝0，l2：﹣4x﹣12y﹣4＝0即x+3y+1＝0，l1与l2重合，所以若l1∥l2，则a＝4，所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x，2x，因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°，所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x＝15，下底面半径为2x＝10，高为5√3．由此可得圆台的体积为V=13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm3）．故选：A．5．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：对于甲，该f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T2=πω=π2，则f（x）的周期T＝π；对于乙，将函数y=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2cos[2(x−π4)+π3]=2sin(2x+π3)的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2）＝﹣f [2﹣（x ﹣2）]＝﹣f （4﹣x ）＝f （x ﹣4）， 即函数f （x ）是以4为周期的周期函数， 故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2． 故选：B ．7．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ）A ．−725B ．−1225C ．725D ．1225解：∵cos(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin （2α+π3+π2）＝cos （2α+π3）＝2cos 2（α+π6）﹣1＝2×（35）2﹣1=−725． 故选：A ．8．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49解：因为不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }， 所以f （m ）＝f （m +1）＝0，且x ＝m 为f （x ）＝0的二重根， 所以f （x ）＝（x ﹣m ）2[x ﹣（m +1）]，则f ′（x ）＝2（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]+（x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）（3x ﹣3m ﹣2）， 则当x ＞3m+23或x ＜m 时f ′（x ）＞0，当m ＜x ＜3m+23时f ′（x ）＜0， 所以f （x ）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m ）上单调递增，在(m ，3m+23)上单调递减， 所以f （x ）在x =3m+23处取得极小值， 即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m +1)]=−427． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A．当c＝0时，a|c|＞b|c|不成立，故选项A不正确．选项B．由b+c2a+c2−ba=(b+c2)a−b(a+c2)a(a+c2)=c2(a−b)a(a+c2)＞0，所以ba≤b+c2a+c2，故选项B正确．选项C．由a2−b2−(1a−1b)=(a−b)(a+b)−b−aab=(a−b)(a+b+1ab)＞0，所以a2−b2＞1a−1b，故选项C不正确．选项D．由[√2(a2+b2)]2−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2＞0，所以a+b＜√2(a2+b2)，故选项D正确．故选：BD．10．已知数列{a n}满足a4＝4，a n a n+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1B．数列{a n}为递增数列C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3D．1a1+1a2+⋯+1a n＜3解：依题意，a4＝4，a n a n+1=2n，a n=2na n+1，a n+1=2na n，所以a3=23a4=84=2，a2=22a3=42=2，a1=21a2=22=1，A选现正确．所以a3＝a2，所以B选项错误．由a n a n+1=2n得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a1+a2+⋯+a2023＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列．当n为偶数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n−1)+(1a2+1a4+⋯+1a n)，=1(1−12n2)1−12+12(1−12n2)1−12=3−32n2＜3；当n为奇数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n)+(1a2+1a4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3，综上所述，1a1+1a2+⋯+1a n＜3，所以D选项正确．故选：ACD．11．已知点P满足|PA|=√2|PB|，点A（﹣1，0），B（1，0），C(0，√7)，则（）A．当∠PCA最小时，|PC|=2√2B．当∠PCA最大时，|PC|=2√2C．当△P AB面积最大时，|PA|=2√2D．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB面积为√7解：设点P（x，y），|PA|=√(x+1)2+y2，|PB|=√(x−1)2+y2，又|PA|=√2|PB|，得√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，化简可得（x﹣3）2+y2＝8，即点P在以M（3，0）为圆心，2√2为半径的圆，又点A（﹣1，0）和点C(0，√7)均在圆外，所以当PC与圆相切时，∠PCA取最值，设切点为Q，则|PC|=√|MC|2−|MP|2=√(3−0)2+(0−√7)2−(2√2)2=2√2，故A，B选项正确；又△P AB的面积S=12|AB|⋅|y P|=|y P|，所以当|y P|最大时，S取最大值，此时P(3，±2√2)，|PA|=√(3+1)2+(2√2)2=2√6，故C选项错误；由|PA|=√2|PB|，所以√2|PC|−|PA|=√2|PC|−√2|PB|=√2(|PC|−|PB|)≤√2|BC|=4，当且仅当P为CB延长线与圆M的交点时，等号成立，又CB延长线方程为y=−√7x+√7，x＞1，联立方程组{y=−√7x+√7(x−3)2+y2=8，解得x1=12（舍），x2＝2，所以P(2，−√7)，此时△P AB的面积为S=|y P|=√7，故D选项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）恒有1个极值点B．当a＝e时，曲线y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方C．若函数f（x）有2个零点，则1＜a＜e 1 2eD．若过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，则0＜t＜1解：f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），f′（x）＝2a2x lna﹣1，对于A：因为a2x＞0恒成立，所以当a∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以此时不存在极值点，A错误；对于B：当a＝e时，f（x）＝e2x﹣x，令g（x）＝f（x）﹣（lnx+2）＝e2x﹣x﹣lnx﹣2，下面先证明：e x≥x+1和lnx≤x﹣1，令f1(x)=e x−x−1，则f1′(x)=e x−1＞0⇒x＞0，所以f1（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f1（x）≥f1（0）＝0，所以e x≥x+1，当且仅当x＝0时，取到等号；令f2（x）＝lnx﹣x+1，则f2′(x)=1x−1＞0⇒0＜x＜1，所以f2（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f2（x）≤f2（1）＝0，所以lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，取到等号，由上结论可得：e2x≥2x+1，﹣lnx≥﹣x+1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e2x﹣lnx＞x+2，即e2x﹣lnx﹣x﹣2＞0恒成立，即g（x）＞0恒成立，所以y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方，B正确；对于C：函数f（x）有2个零点等价于方程a2x﹣x＝0有两个根，即a2x=x⇒lna2x=lnx⇒2xlna=lnx⇒2lna=lnxx有两个根，令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2＜0⇒x＞e，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e，当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0，所以要使得2lna=lnxx有两个根，则2lna∈(0，1e)，所以0＜lna＜12e⇒1＜a＜e12e，所以C正确；对于D：设切点坐标为(x0，a2x0−x0)，则k=f′(x0)=2a2x0lna−1，又因为切线经过点P（0，t），所以k=a2x0−x0−tx0，所以2a2x0lna−1=a2x0−x0−tx0，解得t=a2x0−a2x0lna2x0，令m=a2x0，则m∈（0，+∞），所以t＝m﹣mlnm，因为过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，所以方程t＝m﹣mlnm有两个不同的解，令φ（m）＝m﹣mlnm，则φ′（m）＝﹣lnm＞0⇒0＜m＜1，所以φ（m）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m）max＝φ（1）＝1，当m→0时，φ（m）→0，当m→+∞时，φ（m）→﹣∞，所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)，所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝ （12）x +1（答案不唯一） ．①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由∀x ∈R ，f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在R 上单调递减， 又函数f （x ）的值域为（0，+∞）， 可设f(x)=a ⋅(12)x ，a ＞0，又f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2），即a ⋅(12)x 1+x 2=2a ⋅(12)x 1⋅a ⋅(12)x 2=2a 2(12)x 1+x 2，即a ＝2a 2，解得a =12，所以f(x)=12⋅(12)x =(12)x+1．故答案为：（12）x +1（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 5 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4） 解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e −0.08t =23，所以−0.08t =ln 23，解得t =−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟． 故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A′E=AE=√62，FC=FE+EC=x+√22，A′C=√3，在Rt△A′FE中，有A′F2+FE2＝A′E2，即x2+(2ℎ)2=32，在Rt△A′FC中，有A′F2+FC2＝A′C2，即(x+√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x=√22，ℎ=12，所以R=√ℎ2+12=√14+12=√32，从而四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为S=4πR2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E用现在的点F来代替，而现在的点E为线段BD的靠近点B的三等分点，此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ，由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n =1n −1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1．（2）b n =(−1)n−14n a n a n+1=(−1)n−14n (2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1，当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．解：（1）根据条件可知，4x +a ≠0，当a ≥0时，函数的定义域为R ， 又函数f(x)=4x+14x +a为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以4−x +14−x +a=−4x +14x +a在R 上恒成立，即（a +1）（4x +1）＝0，a ＝﹣1（舍），当a＜0时，x≠log4（﹣a），函数的定义域为（﹣∞，log4（﹣a））∪（log4（﹣a），+∞），又函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以log4（﹣a）＝0，a＝﹣1，此时f(x)=4x+14x−1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数成立，所以f(x)=4x+14x−1=1+24x−1，所以函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，所以f(x)＞53=f(1)，解得0＜x＜1，所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}．（2）由（1），得f(x)=4x+14x−1在x∈（0，1]的值域A=[53，+∞)，又g(x)=log2x2⋅log2x4+m=(log2x−1)(log2x−2)+m，x∈[2，8]．设t＝log2x，t∈[1，3]，则y＝（t﹣1）（t﹣2）+m＝t2﹣3t+2+m，当t=32时，取最小值为−14+m，当x＝3时，取最大值为2+m，即g（x）在x∈[2，8]上的值域B=[−14+m，2+m]，又对任意的x1∈[2，8]，总存在x2∈（0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，所以B⊆A，所以−14+m≥53，解得m≥2312，所以m的取值范围为[2312，+∞)．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A+tan B=−√3cacosB．（1）求角A；（2）已知a＝7，D是边BC的中点，且AD⊥AB，求AD的长．解：（1）因为tan A+tan B=−√3cacosB，所以sinAcosA+sinBcosB=−√3cacosB，由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=−√3sinCsinAcosB，因为sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72，因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6， 在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，AD sinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD =AD×1272=AD7，在△ABC 中，由正弦定理知，b sinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3， 所以b 2AD 7=c AD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）24AD 3×2AD3=49，解得AD =√212．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．证明：（1）连接OM，MN，BM，因为M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，所以有∠MON＝∠NOB＝60°，又因为OM＝ON＝OB＝2，所以△MON，△NOB都为正三角形，所以MN＝NB＝BO＝OM，即四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON＝60°，OP＝ON，所以三角形OPN为正三角形，所以PQ=√3=12BM，所以PB⊥PM，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥P A，因为PM∩P A＝P，PM，P A⊂平面P AM，所以PB⊥平面P AM；解：（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)， 设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ，所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=√3+√36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）． （1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 解：（1）设C （a ，b ），直线l ：x +y ﹣4＝0即y ＝﹣x +4， 由圆C 与直线相切于A （2，2），则CA ⊥l ，即b−2a−2×(−1)=−1，可得b ＝a ，又圆C 过点P(−1，√7)，所以|CP |＝|CA |，即√(a +1)2+(b −√7)2=√(a −2)2+(b −2)2， 解得a ＝b ＝0，所以圆心C （0，0），半径|CA|=√(0−2)2+(0−2)2=2√2， 所以圆C 的方程为x 2+y 2＝8；（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立直线与圆{y =kx +mx 2+y 2=8，得（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣8＝0， 则Δ＝（2km ）2﹣4（1+k 2）（m 2﹣8）＝﹣4m 2+32+32k 2＞0，即8k 2﹣m 2+8＞0， x 1+x 2=−2km 1+k 2，x 1x 2=m 2−81+k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+k2，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−8k2+m2 1+k2，又k AM=y1−2x1−2，k AN=y2−2x2−2，所以k AM⋅k AN=(y1−2)(y2−2)(x1−2)(x2−2)=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2−2(x1+x2)+4=−8k2+m2−4m+4+4k2m2−8+4km+4+4k2=−2，即4k2+3m2+8km﹣4m﹣4＝0，则（2k+m﹣2）（2k+3m+2）＝0，解得m＝2﹣2k或m=−23k−23，都满足Δ＞0，所以方程为y＝kx+2﹣2k或y=kx−23k−23，即y﹣2＝k（x﹣2）或y+23=k(x−23)，当直线方程为y﹣2＝k（x﹣2）时，恒过点A（2，2），不成立，当直线方程为y+23=k(x−23)时，恒过(23，−23)；当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x＝x0，则M（x0，y0），N（x0，﹣y0），x02+y02=8，则k AM=y0−2x0−2，k AN=−y0−2x0−2，所以k AM⋅k BM=y0−2x0−2⋅−y0−2x0−2=4−y02x02−4x0+4=x02−4x02−4x0+4=−2，解得：x0＝2（舍）或x0=23，即MN方程为x=23，仍过(23，−23)，综上所述，直线MN恒过定点(23，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．解：（1）由f(x)=1+lnxx得，f′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2）将ae b﹣be a＝e a﹣e b变形为a+1e a=b+1e b．令e a＝m，e b＝n，则上式变为1+lnmm=1+lnnn，即有f（m）＝f（n），于是命题转换为证明：m+n＞2．不妨设m＜n，由（1）知0＜m＜1，n＞1．要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，由于f（x）在（1，+∞）上单调递减，故即证f（n）＜f（2﹣m），由于f（m）＝f（n），故即证f（m）＜f（2﹣m），即证f（m）﹣f（2﹣m）＜0在0＜m＜1上恒成立．令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），x∈（0，1），则g′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnxx2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2，=−(4−4x+x2)lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x2ln[(2−x)x]x2(2−x)2≥0，所以g（x）在区间（0，1）内单调递增，所以g（x）＜g（1）＝0，即m+n＞2成立．所以e a+e b＞2．。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−135．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．126．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种7．已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x ﹣1）+f （x +3）＝0，当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x ﹣2﹣x +x ，则（ ）A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．4是f （x ）的一个周期C ．f(2023)=52D ．f(12)＞f(0．50.2)8．设函数f （x ）={x +|lnx|−2，x ＞0，sin(ωx +π4)−12，−π≤x ≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．[134，174) B ．[174，214) C ．[4912，6512)D ．[6512，7312)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A ．样本的众数为6712B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥311．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=1212．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 ． 14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α= ．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 ． 16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的单调增区间．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＜3，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2，3}D ．{0，1，2}解：因为B ＝{x |x ＜3，x ∈N }＝{0，1，2}，A ＝{0，1，2，3}，因此A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．−15B ．−85C ．−15iD ．−85i解：∵（1+2i ）z ＝3﹣2i ， ∴z =3−2i 1+2i =(3−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−15−85i ， ∴z 的虚部为−85． 故选：B ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．数列{a n }满足a 1=12，a n+1=1+a n1−a n(n ∈N ∗)，则a 2023＝（ ） A ．12B ．3C ．﹣2D ．−13解：因为a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N ∗)，所以a 2=1+a 11−a 1=1+121−12=3，a 3=1+a 21−a 2=1+31−3=−2， a 4=1+a31−a 3=1−21+2=−13，a 5=1+a 41−a 4=1−131+13=12，a 6=1+a 51−a 5=1+121−12=3，所以数列{a n }是周期为4的周期数列， 所以a 2023＝a 505×4+3＝a 3＝﹣2． 故选：C ．5．已知O 为△ABC 的外心，且AO →=λAB →+(1−λ)AC →．若向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，则cos∠AOC 的值为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：因为AO →=λAB →+(1−λ)AC →=λAB →+AC →−λAC →， 所以CA →+AO →=λAB →+λCA →=λ(CA →+AB →)，即CO →=λCB →，所以O 在BC 上，故△ABC 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径， 所以△ABC 为直角三角形，且AC ⊥AB ，O 为BC 中点， 过A 作BC 的垂线AQ ，垂足为Q ，因为向量BA →在向量BC →上的投影向量为34BC →，所以OA →在BC →上的投影向量为OQ →=BQ →−BO →=34BC →−12BC →=14BC →， 因为|OA →|=12|BC →|，所以cos ∠AOC =|OQ||OA|=|OQ →||OA →|=14|BC →|12|BC →|=1412=12． 故选：D ．6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ） A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种解：根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有A44=24种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有C43C31A33=72种；④当甲乙都选中，则由C42种选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有A33=6；若甲未去金华赛区，则有C21C21A22=8，则不同的安排方案有C42×(6+8)=84种，由分类计数原理，可得共有24+72+72+84＝252种不同的安排方案．故选：D．7．已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x﹣1）+f（x+3）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x﹣2﹣x+x，则（）A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．4是f（x）的一个周期C．f(2023)=52D．f(12)＞f(0．50.2)解：∵函数y＝xf（x）是R上的偶函数，∴﹣xf（﹣x）＝xf（x），∴﹣f（﹣x）＝f（x），即y＝f（x）为奇函数，对于A：∵f（x﹣1）+f（x+3）＝0，∴f（x）+f（x+4）＝0，从而f（﹣x）+f（﹣x+4）＝0，∴﹣f（x）+f（﹣x+4）＝0即f（﹣x+4）＝f（x），即f（x）的图象关于直线x＝2对称，A正确；对于B：∵f（﹣x+4）＝f（x），∴﹣f（x﹣4）＝f（x），即f（x﹣4）+f（x）＝0，∴f（x﹣8）+f（x﹣4）＝0，∴f（x）＝f（x﹣8），∴f（x）是以8为周期的函数，B错误；对于C：f(2023)=f(253×8−1)=f(−1)=12−2−1=−52，C错误；对于D：当x∈[﹣2，0]时，y＝2x，y＝﹣2﹣x，y＝x均为单调递增函数，∴f（x）＝2x﹣2﹣x+x在[﹣2，0]上单调递增，又y＝f（x）为奇函数，∴y＝f（x）在[0，2]上单调递增，又0＜12=0．51＜0．50.2＜2，∴f(12)＜f(0．50.2)，D错误．故选：A．8．设函数f（x）={x+|lnx|−2，x＞0，sin(ωx+π4)−12，−π≤x≤0有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A．[134，174)B．[174，214)C．[4912，6512)D．[6512，7312)解：∵当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣lnx﹣2，f′(x)=1−1x＜0恒成立，f（x）单调递减，且f（e﹣2）＝e﹣2＞0，f（1）＝﹣1＜0，此时f（x）有且只有一个零点；当x≥1时，f（x）＝x+lnx﹣2单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝ln2＞0，此时f（x）有且只有一个零点，∴当﹣π≤x≤0时，f(x)=sin(ωx+π4)−12有5个零点，即方程sint=12在[−ωπ+π4，π4]上有5个实根，则−5π−π6＜−ωπ+π4≤−4π+π6，即4912≤ω＜6512．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）A ．样本的众数为6712 B ．样本的80%分位数为7212C ．样本的平均值为66D ．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人 解：对于选项A ，样本的众数为65+702=6712，故正确；对于选项B ，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8， 0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8， ∴样本的80%分位数在（70，75]之间， 70+0.8−0.70.04×5×5＝7212，故正确；对于选项C ，样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75， 故错误； 对于选项D ，该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确； 故选：ABD ．10．正数a ，b 满足a ＜b ，a +b ＝2，则（ ） A ．1＜b ＜2 B ．2a ﹣b ＞1C ．√a +√b ＜2D ．1a+2b≥3解：因为a +b ＝2， 所以a ＝2﹣b ，由题意得2﹣b ＜b 且2﹣b ＞0， 故1＜b ＜2，A 正确； 因为a ＜b ，即a ﹣b ＜0， 所以2a ﹣b ＜1，B 错误；因为（√a+√b 2）2≤a+b2=1，显然等号无法取得， 故√a +√b ＜√2，C 正确；1a+2b=a+b 2a+a+b b=32+b 2a+a b≥32+√2，当且仅当b =√2a 且a +b ＝2，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取等号，D 错误． 故选：AC ．11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A ．P(A)=37B ．P(B)=1742 C ．事件A 与事件B 相互独立D ．P(B|A)=12解：由题意P(A)=37，故A 正确； P(B)=37×36+47×26=1742，故B 正确； P(AB)=37×36=314， 因为P(A)P(B)=37×1742=1798≠P(AB)，所以事件A 与事件B 不相互独立，故C 错误； P(B|A)=P(AB)P(A)=31437=12，故D 正确．故选：ABD ．12．已知偶函数f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的周期为π，将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，下列结论正确的是（ ）A ．g(x)=2cos(2x −π6)B ．函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称C ．不等式g （x ）≥1的解集为{x|kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z} D ．g(x)=12f 2(x 2)在(0，π2)上有两个相异实根解：f(x)=cos(2ωx +φ)−√3sin(2ωx +φ)=2cos(2ωx +π3+φ)， 则T =2π2|ω|=π，ω＞0，解得，ω＝1， 又f （x ）为偶函数，所以π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=−π3+kπ，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f （x ）＝2cos2x ，其向右平移π6个单位长位得y =g(x)=2cos(2x −π3)，A 错误；g(π6)=2cos(2×π6−π3)=2，所以函数g （x ）的图象关于直线x =π6对称，B 正确； 令g(x)=2cos(2x −π3)≥1，解得kπ≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，C 正确：； g(x)=12f 2(x2)，即2cos(2x −π3)=12(2cosx)2，整理得sin2x =√33，根据y ＝sin2x 的图象明显可得方程sin2x =√33在(0，π2)有两个相异实根，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在（x 2√x ）8的展开式中，含x 2项的系数为 1120 ． 解：（x 2√x ）8的展开式的通项公式为 T r +1=C 8r•（﹣2）r •x 8−3r2， 令8−3r 2=2，求得 r ＝4，可得含x 2项的系数为C 84×（﹣2）4＝1120， 故答案为：1120．14．已知向量a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →，则sin2α3−2sin 2α=47．解：因为a →=(−2，sinα)，b →=(cosα，1)，且a →⊥b →， 所以a →⋅b →=−2cos α+sin α＝0，所以tan α＝2， 所以sin2α3−2sin 2α=2sinαcosα3(sin 2α+cos 2α)−2sin 2α=2sinαcosαsin 2α+3cos 2α=2tanαtan 2α+3=2×222+3=47．故答案为：47．15．若项数为n 的数列{a n }，满足：a i ＝a n +1﹣i （i ＝1，2，3，…，n ），我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{c n }为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2，…，c k +1是公差为﹣2的等差数列，数列{c n }的最小项等于﹣10，记数列{c n }的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1＝﹣50，则k 的值为 5或4． ．解：由于c 1，c 2，⋯，c k +1是公差为﹣2的等差数列，故c 1，c 2，⋯，c k +1单调递减，所以c k +1＝﹣10， 故c 1﹣2k ＝﹣10，则c 1＝﹣10+2k ，c k ＝c k +1+2＝﹣8．又S 2k +1＝﹣50，故2（c 1+c 2+⋯+c k ）+c k +1＝﹣50，即c 1+c 2+⋯+c k ＝﹣20， 由等差数列前n 项和公式有k(−10+2k−8)2=−20，化简得k 2﹣9k +20＝0，解得k ＝5或k ＝4． 故答案为：5或4．16．若对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a 恒成立，则实数a 的最大值为 ﹣1 ．解：∵x 1＜x 2，x 2sinx 1−x 1sinx 2x 1−x 2＞a ，对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立，∴sinx 1x 1+a x 1＜sinx 2x 2+a x 2对任意的x 1，x 2∈[1，π2]恒成立．令f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]， 即对任意的x 1，x 2∈[1，π2]，当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2）， 则f(x)=sinx x +a x ，x ∈[1，π2]为单调递增函数， 即f ′(x)=xcosx−sinx−a x 2≥0在[1，π2]上恒成立，令g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a ，x ∈[1，π2]， g ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ＜0， 即g （x ）＝x cos x ﹣sin x ﹣a 在[1，π2]上单调递减， 可得g(x)min =g(π2)=π2cos π2−sin π2−a ≥0， 即﹣1﹣a ≥0，解得a ≤﹣1． 即实数a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①a 2﹣c 2＝bc ；②b +bcosA =√3asinB ；③sinA =√3sinC ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 证明：选①②当条件，③当结论 由②得sinB +sinBcosA =√3sinAsinB ， 因为sin B ＞0，所以1+cosA =√3sinA ，即sin(A −π6)=12，0＜A ＜π， 所以A =π3，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ，由①知，a 2＝c 2+bc ，代入可得，b ＝2c ，所以a =√3c ， 即sinA =√3sinC ；选①③作条件，②当结论，由③得：a=√3c，因为a2＝c2+bc，所以3c2＝c2+bc，则b＝2c，所以cosA=b2+c2−a22bc=12，0＜A＜π，所以A=π3，由③知，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA√3=12，所以C=π6，所以B=π2，所以，b+bcosA=2c+c=3c=√3×√3c=√3a=√3asinB；选②③作条件，①当结论，由②得：sinB+sinBcosA=√3sinAsinB，而sin B＞0，所以1+cosA=√3sinA，即√3sinA−cosA=1，根据辅助角公式可得，sin(A−π6)=12，所以，A=π3，由③，sinA=√3sinC，所以sinC=sinA3=12，得：C=π6，所以B=π2，所以sinA=√3sinC，sin B＝2sin C，则a=√3c，b＝2c，即：a2﹣c2＝bc．18．（12分）已知函数f(x)=(1x+1)ln(1+x)．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为f(x)=(1x+1)ln(1+x)，定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），所以f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x+1)11+x=x−ln(x+1)x2，又f′（1）＝1﹣ln2，f（1）＝2ln2，所以切线方程为y＝（1﹣ln2）（x﹣1）+2ln2，即y＝（1﹣ln2）x+3ln2﹣1．（2）函数f（x）定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），f′(x)=x−ln(x+1)x2，设g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），所以g′(x)=1−1x+1=xx+1，当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递递增，所以g （x ）min ＞g （0）＝0，所以g （x ）＝x ﹣ln （x +1）＞0恒成立， 所以f ′(x)=x−ln(x+1)x 2＞0在（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增， 所以函数f （x ）单调增区间为（﹣1，0）和（0，+∞）．19．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．（1）求第三回合甲发球的概率；（2）设前三个回合中，甲的总得分为X ，求X 的分布列及期望．解：（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲， 故第三回合甲发球的概率为35×35+(1−35)×15=1125．（2）设甲在第i 回合得分记为事件A i ，乙在第i 回合得分记为事件 B i ，i ∈{1，2，3}， 则P(A 1A 2A 3)=(35)3=27125，此时甲得3分， P(A 1A 2B 3)=(35)2×25=18125，此时甲得2分， P(A 1B 2A 3)=35×25×15=6125，此时甲得2分， P(A 1B 2B 3)=35×25×45=24125，此时甲得1分， P(B 1A 2A 3)=25×15×35=6125，此时甲得2分， P(B 1A 2B 3)=25×15×25=4125，此时甲得1分， P(B 1B 2A 3)=25×45×15=8125，此时甲得1分， P(B 1B 2B 3)=25×45×45=32125，此时甲得0分， 故X 的分布列为：故E(X)=0×32125+1×36125+2×30125+3×27125=176125． 20．（12分）已知公差为d 的等差数列{a n }和公比q ＞0的等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2+b 3＝8，a 3+b 2＝9．（1）求数{a n }列{b n }和的通项公式；（2）删去数列{b n }中的第a i 项（其中i ＝1，2，3，⋯），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由已知得{a 2+b 3=1+d +q 2=8a 3+b 2=1+2d +q =9，解得d ＝3，q ＝2，∴a n =3n −2，b n =2n−1；（2）由已知得数列{c n }：b 2，b 3，b 5，b 6，b 8，b 9，…， 当n 为偶数时，S n =(b 2+b 5+b 8+⋯+b 3(n 2)−1)+(b 3+b 6+b 9+⋯+b 3(n 2)) =2(1−8n 2)1−8+4(1−8n 2)1−8=6(8n2−1)7， 当n 为奇数（n ≥3）时，S n =b 2+(b 3+b 6+⋯+b3(n−12))+(b 5+b 8+b 11+⋯+b 3(n−12)+2) =2+4(1−8n−12)1−8+16(1−8n−12)1−8=20(8n−12−1)7+2，当n ＝1时，S 1＝2，符合上式，故S n ={6(8n2−1)7，n 为偶数20(8n−12−1)7+2，n 为奇数．21．（12分）为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金x i （亿元）与年销售额y i （亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y ＝α+βx 2，②y ＝e λx +t ，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金x i 和年销售额y i 的数据，i ＝1，2，⋯，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令u i =x i 2(i =1，2，⋯，12)，v i ＝lny i （i ＝1，2，⋯，12），经计算得如下数据：（1）设{u i }和{y i }的相关系数为r 1，{x i }和{v i }的相关系数为r 2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；（3）为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如表：根据小概率α＝0.001的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关． 附：①相关系数r =∑(x i −x)(y −y)ni=1√∑(x i −x)2∑ n i=1(y i −y)2i=1，回归直线y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑x i y i −nxy ni=1∑x i 2−x2ni=1=∑(x i−x)(y i −y)ni=1∑n i=1(x i −x)2，a =y −b x ；②χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ；③参考数据：308＝4×77．解：（1）r 1=∑(u i −u)(y −y)12i=1√∑(u i −u)2i=1∑(y i −y)2i=1=3125000×200=2150025000=4350=0.86，r 2=∑(x i −x)(v i −v)12i=1√∑(x i −x)2i=1∑(v i −v)2i=1=14√770×0.308=1477×0.2=1011≈0.91，则|r1|＜|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx+t的拟合程度更好．（2）先建立v关于x的线性回归方程，由y＝eλx+t，得lny＝t+λx，即v＝t+λx，由于λ=∑(x i−x)(v i−v)12i=1∑(x i−x)212i=1=14770≈0.018，t=v−λx=4.20−0.018×20=3.84，所以v关于x的线性回归方程为v=0.02x+3.84，所以lny=0.02x+3.84，则y=e0.02x+3.84．（3）零假设为H0：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关，χ2=(200×150−100×150)2350×250×300×300≈0.029＜10.828，根据小概率α＝0.001独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即H0成立，该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关．22．（12分）已知函数f（x）＝x2（lnx﹣a），a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在x＝e处取得极值，f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x1）＝f′（x2），x1＜x2，证明：2＜x1+x2＜e．解：（1）函数f（x）＝x2（lnx﹣a）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x（lnx﹣a）+x＝x（2lnx﹣2a+1），令f′（x）＝0，所以lnx=2a−12，得x=e2a−12，当x∈(0，e 2a−12)，f′（x）＜0，当x∈(e 2a−12，+∞)，f′（x）＞0，所以函数f（x）递减区间为(0，e 2a−12)，递增区间为(e2a−12，+∞)．（2）证明：因为函数f（x）在x＝e处取得极值，所以x=e 2a−12=e，得a=32，所以f(x)=x2(lnx−32)，f′（x）＝x（2lnx﹣2）＝2x（lnx﹣1），令g（x）＝2x（lnx﹣1），g′（x）＝2lnx，因为当x＝1时，g′（x）＝0，所以当x∈（0，1），g′（x）＜0，当x∈（1，+∞），g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，又当x∈（0，e）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＜0，当x∈（e，+∞）时，g（x）＝2x（lnx﹣1）＞0，所以0＜x1＜1＜x2＜e．①先证x1+x2＞2，需证x2＞2﹣x1，因为x2＞1，2﹣x1＞1，下面证明g（x1）＝g（x2）＞g（2﹣x1），设t（x）＝g（2﹣x）﹣g（x），x∈（0，1），则f′（x）＝﹣g′（2﹣x）﹣g′（x），t′（x）＝﹣2ln（2﹣x）﹣2lnx＝﹣2ln[（2﹣x）x]＞0，所以t（x）在（0，1）上为增函数，所以t（x）＜t（1）＝g（1）﹣g（1）＝0，所以t（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜0，则g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2），又因为g（x）在（1，+∞）单调递增，所以2﹣x1＜x2，即得x1+x2＞2，②下面证明：x1+x2＜e，因为x1∈（0，1），g（x1）＝2x1（lnx1﹣1）＜﹣2x1，当x∈（1，e）时，设h（x）＝g（x）﹣（2x﹣2e）＝2xlnx﹣4x+2e，因为在（1，e）上h′（x）＝2lnx﹣2＜0，所以h（x）在（1，e）上单调递减，所以h（x）＞h（e）＝2e﹣4e+2e＝0，所以h（x2）＞0，g（x2）＞2x2﹣2e，因为g（x1）＝g（x2），所以2x2﹣2e＜g（x2）＝g（x1）＜﹣2x1，即x1+x2＜e，所以2＜x1+x2＜e．。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案
2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．23．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．124．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A ．12B ．43C ．﹣1D ．−436．已知a ＞0，且10ab +a 2＝1，则a +b 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．35D ．2√11117．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =n+22n ，若S n ≤k 恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．58．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f （x ），存在一个实数x 0，使得f （x 0）＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x 0为函数的不动点．设函数f （x ）＝e x ﹣1+e 1﹣x +x 2﹣x +a ，a ∈R ．若f （x ）在区间（0，3）上存在不动点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣3，﹣1]B ．[﹣e 2﹣e ﹣2，﹣1]C ．[﹣e 2﹣e ﹣2﹣7，﹣e ﹣e ﹣1]D ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣5，﹣e ﹣e ﹣1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知函数f （x ）＝（x 2+a 2）（x +a ），下列结论正确的是（ ）A ．若f （x ）为奇函数，则a ＝0B ．f （x ）的图象关于点（﹣a ，0）中心对称C ．f （x ）没有极值点D ．∀x ∈（﹣a ，+∞），f （x ）＞010．已知圆C 1：x 2+y 2−2x +2y −7=0，圆C 2：x 2+y 2+2x −4y −44=0，则（ ） A ．直线C 1C 2与直线4x +6y ＝0垂直 B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13 11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（ ）A ．这两个球体的半径之和的最大值为3+√32B ．这两个球体的半径之和的最大值为23C ．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D ．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ ．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为 ．15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值； （2）求sin B 的值．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1．（1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =2a n2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2． （1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C的蒙日圆方程为x2+y2＝3．（1）求C的方程；（2）若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线l1，l1与C的蒙日圆交于P，Q两点，过F作直线l2与C交于M，N两点，且l1∥l2，证明：|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}解：由x 2﹣2x ≤0⇒0≤x ≤2即A ＝{x |0≤x ≤2}， 又因为B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }＝{1}，所以A ∩B ＝{1}． 故选：D ．2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．2解：由题意可知：z =2−2i 1+i =(2−2i)(1−i)2=(1−i)2=−2i ． 故选：B ．3．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．12解：已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则|a →+2b →|2=a →2+4b →2+4a →⋅b →=4，则a →⋅b →=−14．故选：C ．4．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若m ⊥n ，则α，β不一定垂直，A 错误；对于B ，若m ∥n ，必有m ∥β，由直线与平面平行的性质，可得m ∥l ，B 正确； 对于C ，若m ∥β，必有m ∥l ，而n ⊥l ，必有m ⊥n ，C 错误； 对于D ，若m ⊥l ，m ⊥n ，α，β不一定垂直，D 错误． 故选：B ．5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A．12B．43C．﹣1D．−43解：因为cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，所以cos（α+π8）+2cos（α+π8−π2）＝0，即cos(α+π8)+2sin(α+π8)=0，所以tan(α+π8)=sin(α+π8)cos(α+π8)=−12，所以tan(2α+π4)=2tan(α+π8)1−tan2(α+π8)=2×(−12)1−(−12)2=−43．故选：D．6．已知a＞0，且10ab+a2＝1，则a+b的最小值为（）A．1B．2C．35D．2√1111解：由10ab+a2＝1得b=1−a2 10a，故a+b=a+1−a210a=9a10+110a≥2√9a10⋅110a=35，当且仅当a=13，b=415时，等号成立．故选：C．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=n+22n，若S n≤k恒成立，则k的最小值是（）A．72B．4C．92D．5解：S n=32+422+523+⋯+n+22n，12S n=322+423+524+⋯+n+22n+1，两式相减可得：1 2S n=32+122+123+124+⋯+12n−n+22n+1，=32+122(1−12n−1)1−12−n+22n+1=2−n+42n+1，∴S n=4−n+42n，∵n+42n＞0，∴4−n+42n＜4，即S n＜4恒成立，故k≥4．故选：B．8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．设函数f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a，a∈R．若f（x）在区间（0，3）上存在不动点，则a的取值范围是（）A．（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]B．[﹣e2﹣e﹣2，﹣1]C．[﹣e2﹣e﹣2﹣7，﹣e﹣e﹣1]D．（﹣e2﹣e﹣2﹣5，﹣e﹣e﹣1]解：由题意可得，f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a＝x在（0，3）上有解，即e x﹣1+e1﹣x+x2﹣2x+1＝1﹣a有解，令x﹣1＝t，t∈（﹣1，2），则﹣a+1＝e t+e﹣t+t2，令函数g（t）＝e t+e﹣t+t2，g′（t）＝e t﹣e﹣t+2t，当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，2）上单调递增，g（﹣t）＝e﹣t+e t+（﹣t）2＝e t+e﹣t+t2＝g（t），所以g（t）为偶函数，所以g（t）在（﹣1，0）上单调递减．g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝e2+e﹣2+4，故﹣a+1∈[2，e2+e﹣2+4），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知函数f（x）＝（x2+a2）（x+a），下列结论正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则a＝0B．f（x）的图象关于点（﹣a，0）中心对称C．f（x）没有极值点D．∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞0解：对于A选项，函数f（x）＝（x2+a2）（x+a）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝a2•a＝a3＝0，解得a＝0，此时，f（x）＝x3为奇函数，合乎题意，A对；对于B选项，f（0）＝a3，f（﹣2a）＝5a2•（﹣a）＝﹣5a3，当a≠0时，f（0）+f（﹣2a）＝﹣4a3≠0，此时，函数f（x）的图象不关于点（﹣a，0）对称，对于C选项，f′(x)=2x(x+a)+x2+a2=3x2+2ax+a2=3(x+a3)2+2a23≥0，所以，函数f（x）在R上为增函数，函数f（x）没有极值点，C对；对于D选项，因为函数f（x）在R上为增函数，且f（﹣a）＝0，所以，∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞f（﹣a）＝0，D对．故选：ACD．10．已知圆C1：x2+y2−2x+2y−7=0，圆C2：x2+y2+2x−4y−44=0，则（）A．直线C1C2与直线4x+6y＝0垂直B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13解：由题意可知圆C 1：(x −1)2+(y +1)2=9，则圆心C 1（1，﹣1），半径r 1＝3， 圆C 2：(x +1)2+(y −2)2=49，则圆心C 2（﹣1，2），半径r 2＝7， 则k C 1C 2=−1−21−(−1)=−32，直线4x +6y ＝0的斜率为−23，因为−32•（−23）≠﹣1，所以两条直线不垂直，故A 不正确；因为|C 1C 2|=√22+32=√13＜7−3=4，所以圆C 1与圆C 2的位置关系为内含，故B 正确，C 不正确； 对于D ，|PQ |的最大值为|C 1C 2|+r 1+r 2=10+√13，故D 正确． 故选：BD ．11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点解：令x ＝y ＝1，得f （1）＝0，A 正确； 令x ＝2，y ＝1，得f(2)=f(2)1+f(1)2=f(2)+0， 故f （2）的值不确定，B 错误； 令x ＝y ＝﹣1，得f （﹣1）＝0， 令y ＝﹣1，得f(−x)=−f(x)+f(−1)x=−f(x)，则f （x ）为奇函数，C 正确； 由f(xy)=f(x)y +f(y)x，可得xyf （xy ）＝xf （x ）+yf （y ）， 根据函数结构举例，当x ＞0时，可设xf （x ）＝lnx ， 则f(x)={lnxx ，x ＞0ln(−x)x，x ＜0， 当x ＞0时，f(x)=lnx x ，f ′(x)=1−lnx x 2， 当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 此时f （x ）有极值点，D 错误． 故选：AC ．12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（）A．这两个球体的半径之和的最大值为3+√3 2B．这两个球体的半径之和的最大值为2 3C．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π解：当这两个球体的半径之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示．过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点O'作O'E⊥AB垂足为E，过点O'作O'D⊥OF，垂足为D．设圆O的半径为R，圆O'的半径为r，R的最大值为13√(√3)2−(√32)2=13×32=12，且R取最大值时，r取得最小值，最小值为r=13(23×32−12)=16，∴R∈[16，12]，r∈[16，12]．|OD|＝R﹣r，|OO'|＝R+r，|O′D|=|EF|=|AB|−|AF|−|BE|=√3−√3R−√3r．∵|OD|2+|O'D|2＝|OO'|2，∴(R−r)2+(√3−√3R−√3r)2=(R+r)2，①整理得R=1−r3−23√3r−2r2．令函数f(r)=R+r=1−r3−23√3r−2r2+r=1+2r3−23√3r−2r2，r∈[16，12]，则f ′(r)=√23√3r−2r2．令函数g(r)=2√3r −2r 2−3+4r ，g ′(r)=1√3r−2r 2+4＞0，∴g （r ）是增函数．又∵g(16)＜0，g(12)＞0，∴∃r 0∈[16，12]，g （r 0）＝0，∴当r ∈[16，r 0]时，g （r ）＜0，f ′（r ）＜0；当r ∈[r 0，12]时，g （r ）＞0，f ′（r ）＞0，∴f （r ）在[16，r 0]上单调递减，在[r 0，12]上单调递增．∵f(16)=f(12)=23，∴f （r ）的最大值为23，即这两个球体的半径之和的最大值为23；由①可得R 2+r 2=−12[(R +r)2−6(R +r)+3]，这两个球体的表面积之和为4π（R 2+r 2）＝﹣2π[（R +r ）2﹣6（R +r ）+3]．令x =R +r ≤23，函数y ＝﹣2π（x 2﹣6x +3）在(−∞，23]上单调递增，∴y max =−2π×[(23)2−6×23+3]=10π9，即这两个球体的表面积之和的最大值为10π9．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ 32 ．解：由题意得f(−1)=12，f(f(−1))=f(12)=2−12=32．故答案为：32．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515．解：取AC 中点E ，连接EB ，ED ，EB 1，∵D 是CC 1的中点，所以DE ∥AC 1，则∠EDB 1为异面直线夹角或其补角，又AB ＝BC ＝AA 1＝2，AB ⊥BC ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，所以B 1D =√5，DE =√3，B 1E =√6，cos ∠EDB 1=DE 2+DB 12−B 1E 22DE⋅DB 1=3+5−62√3×√5=√1515， 故异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515． 故答案为：√1515． 15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 192． 解：因为f （x ）的图象关于直线x =π3对称， 所以πω3+π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=12+3k ，k ∈Z ， 因为f （x ）在(π36，π9)上单调，所以π9−π36=π12≤T 2， 即T =2π|ω|≥π6，解得|ω|≤12， 当ω=192时，f(x)=sin(19x 2+π3)， 当x ∈(π36，π9)时，19x 2+π3∈(43π72，25π18)， 所以当x ∈(π36，π9)时，f （x ）单调递减， 所以ω的最大值为192． 故答案为：192． 16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ 34ln3 ．解：f(x)=ln|x|+|lnx 2|={ 3lnx ，x ≥1，−lnx ，0＜x ＜1，−ln(−x)，−1＜x ＜0，3ln(−x)，x ≤−1.因为f （﹣x ）＝ln |﹣x |+|ln （﹣x ）2|＝ln |x |+|lnx 2|＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，如图：所以x 1＝﹣x 4，x 2＝﹣x 3．因为x 1，x 2，x 3，x 4成等差数列，所以x 3﹣x 2＝x 4﹣x 3，则3x 3＝x 4．因为f （x 3）＝f （x 4）＝m ，所以﹣lnx 3＝3lnx 4＝3ln （3x 3），可得x 3−1=（3x 3）3⇒x 34=3﹣3， 所以x 3=3−34，m =f(x 3)=34ln3． 故答案为：34ln3． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值；（2）求sin B 的值．解：（1）因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以13＝b 2+c 2+bc ，又b ＝3c ，所以13＝（3c ）2+c 2+3c 2，解得c ＝1；（2）由（1）可得b ＝3c ＝3，因为b sinB =a sinA ，所以3sinB =√13sin 2π3， 解得sinB =3√3926． 18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =2a n 2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为1a n+1−1a n =2n +1，所以当n ≥2时，1a 2−1a 1=2×1+1=3，1a 3−1a 2=2×2+1=5，1a n −1a n−1=2n −1，1a n−1−1a n−2=2n −3，⋯，1a 2−1a 1=2×1+1=3， 累加得1a n −1a 1=3+5+⋯+(2n −1)=(n−1)(3+2n−1)2=n 2−1，又a 1＝1，所以1a n =n 2，故a n =1n 2； （2）b n =2a n 2na n +1=2×1n 22n×1n 2+1=2n(n+2)=1n −1n+2， T n =1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)． 19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．解：（1）因为f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x +2x cos x ﹣2x cos x +x 2sin x ＝（x 2+2）sin x ，则f ′（π）＝0，f （π）＝π2，故曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y ＝π2．（2）因为f ′（x ）＝（x 2+2）sin x ，所以当x ∈（0，π）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（π，2π）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减．所以当x ＝π，为f （x ）在区间[0，2π]的极大值且为最大值，又f （0）＝0，f （π）＝π2，f （2π）＝﹣4π2，所以f （x ）在[0，2π]上的最大值为π2，最小值为﹣4π2．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2．（1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ，因为平面ABFE ∩平面CDEF ＝EF ，AB ⊂平面ABFE ，所以AB ∥EF ，又EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ；（2）解：分别取AD ，BC 的中点O ，M ，连接OE ，OM ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，△ADE 为正三角形，以O 为坐标原点，OA ，OM ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，4，0），C （﹣1，4，0），E （0，0，√3），设F(0，m ，√3)(0＜m ＜4)，则AE →=(−1，0，√3)，BC →=(−2，0，0)，BF →=(−1，m −4，√3)， 设平面BCF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则由{BC →⋅m →=0BF →⋅m →=0，得{−2x =0−x +(m −4)y +√3z =0，令z =√3，得m →=(0，−3m−4，√3)，因为直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217， 所以|cos ＜AE →，m →＞|=|AE →⋅m →||AE →||m →|=32×√(m−4)2+3=√217，解得m ＝2或m ＝6（舍去），故EF ＝2．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． （1）求C 的方程；（2）若F 为C 的左焦点，过C 上的一点A 作C 的切线l 1，l 1与C 的蒙日圆交于P ，Q 两点，过F 作直线l 2与C 交于M ，N 两点，且l 1∥l 2，证明：|PQ |2+8√2|MN|是定值． （1）解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． 可得{a 2+b 2=3e =c a =√22a 2=b 2+c2，得{a 2=2b 2=1c 2=1， 所以C 的方程为x 22+y 2=1． （2）证明：当l 1，l 2的斜率不等于0时，设l 1：x ＝my +t ，则l 2：x ＝my ﹣1．由{x =my +t ，x 22+y 2=1，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0， 令Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣2）＝0，得t 2＝m 2+2．设O 到l 1的距离为d ，则d =|0+0−t|√m 2+1=|t|√m +1， 得|PQ|=2√3−d 2=2√3m 2+3−t 2m 2+1=2√3m 2+3−(m 2+2)m 2+1=2√2m 2+1m 2+1． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =my −1，x 22+y 2=1， 得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，则{y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2， 则|MN|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2(m 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)m 2+2．故|PQ|2+8√2|MN|=4(2m2+1)m2+18√2(m2+2)2√2(m2+1)=4(3m2+3)m2+1=12．当l1，l2的斜率等于0时，|PQ|=2√3−1=2√2，|MN|=2√2，所以|PQ|2+8√2|MN|=12．综上，|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．（1）证明：令函数g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−x x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即lnx≤x﹣1．令函数v（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），v′（x）＝e x﹣1＞0，所以v（x）在（0，+∞）上单调递增，所以v（x）＞v（0）＝0，即e x﹣x﹣1＞0，即x﹣1＜e x﹣2．综上，当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），且a＞0，f′(x)=2ax2−x−1x．令函数2ax2﹣x﹣1＝0，解得x1=1+√1+8a4a＞0，x2=1−√1+8a4a＜0，所以2ax12−x1−1=0，即a=x1+1 2x12．当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，f(x)≥f(x1)=ax12−lnx1−x1−lna=x1+12−lnx1−x1−lnx1+12x12=−x12+12−ln(12+12x1)，令函数u(x)=−x2+12−ln(12+12x)，u′(x)=−(x−1)(x+2)2(x2+x)，当x∈（0，1）时，u′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，故u（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以u（x）在x＝1处取得极大值．①因为当x＝1时，u（1）＝0，所以当x1＝1，即a＝1时，f（1）＝0，此时f（x）只有一个零点．②因为当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，u（x）＜u（1）＝0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x1）＜0，f（x）＝ax2﹣ln（ax）﹣x≥ax2+1﹣ax﹣x＝ax2﹣（a+1）x+1，令函数h（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0），h（0）＝1，h（x1）≤f（x1）＜0，根据二次函数的图象及性质可得，∃x2∈（0，x1），h（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），h（x3）＞0，即∃x2∈（0，x1），f（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），f（x3）＞0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．综上，当a＝1时，f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．。
北京市2025届高三上学期期中考试数学试卷含答案
2024—2025学年度第一学期期中练习题（答案在最后）年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{|0}2xB x x =≤-，则A B = （）A.{}01x x ≤≤B.{}12x x -≤≤C.{}12x x -≤< D.{}02x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx ≤-，得(2)020x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得02x ≤<，则{|02}B x x =≤<，而{}11A x x =-≤≤，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：C2.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为（）A.()0,x ∃∈+∞，e ln x x >B.()0,x ∀∈+∞，e ln x x <C.()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤D.()0,x ∃∈+∞，e ln x x≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定为“()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤”.故选：D ．3.已知复数z 满足i 1z -=，则z 的取值范围是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.[)0,2 D.[]0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，i 1z -=表示到点 馀य़距离为1的所有复数对应的点，即i 1z -=表示以 馀य़为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是 馀h .故选：D .4.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.0y ±= B.0x ±=C.0x y ±=D.y ±=【答案】A 【解析】【分析】根据公式b a ==.【详解】由题意可知，2e =，则b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =0y ±=.故选：A5.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线712x π=对称C.函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称D.函数()y f x =在区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】B 【解析】【分析】先依据图像求得函数()f x 的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312T A ππ==-，即T π=，所以22Tπω==，又212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，又因为||2ϕπ<所以3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 错误；当712x π=时，73sin 2sin 2sin 131232x ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故B 正确；当512π=-x 时，sin 2sin 1032x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；当2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，则2[,0]3ππ+∈-x ，函数()f x 不单调递减.故D 错误．故选：B7.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=，125PF PF =，则C 的离心率为（）A.6B.22C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PF PF ，在12PF F 中，利用余弦定理求得,a c 的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，因为125PF PF =，所以215,33a aPF PF ==，在12PF F 中，122F F c =，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222222552149999a a a a c =+-=，所以222136c a =，所以C 的离心率216c e a ==.故选：A .8.函数()2sin 41x x xf x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin ,22x xxf x f x -=+的定义域为R ，()()sin 22x xxf x f x ---==-+，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 选项.143ππ<<,()sin12201sin115522f <==<+，排除BD 选项.所以A 选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，根据题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x ，由题意得300.756x ⨯<，即0.750.2x <，得0.75log 0.2x >.因为0.751lnln0.2lg55log 0.2 5.33ln0.75ln32ln2ln 4-===≈-，所以 5.3x >，即6x =.故选：B.10.已知函数2,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（）A.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x ≠0时，21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当x 0≠时，由题意可得21,0a 0x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，即y=a 与y 21,00x x lnxx x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x 0lnx x >，,令h′（x ）=312l 0nxx -=，则x=12e ，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e ∞+，）上单调递减，∴y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a 与y 21,00x x lnx x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a 2e <<，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b = ，若向量a 在b 上的投影向量为12b，且a 与b 不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12a bb b b b ⋅⋅=，求得10a b ⋅=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b =，可得向量b = ，因为向量a 在b 上的投影向量为12b，可得12a b b b b b ⋅⋅=，可得10a b ⋅= ，设(,)a x y =，可得4210x y +=，取1,3x y ==，此时向量a 与向量b 不共线，故()1,3a =.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)n x y +展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为___________.【答案】3280x y ##2380y x 【解析】【分析】令1x y ==，即可求出展开式系数和，从而求出n ，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1x y ==，得()21243n+=，解得5n =，所以5(2)x y +的展开式的通项()555155C 22C kkk k k k kk T x y x y ---+==，则展开式的第3项为323232352C 80T x y x y ==．故答案为：3280x y 13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615p x =-=，代入横坐标可得p y =±(5,P ±，所以PF 的中点坐标为或(3,，6PF =，所以以PF 的中点为圆心， ᬈ长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y -+-=或(22(3)9x y -++=，圆心到x ，所以与x 截得的弦长为4=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】(5π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，进而求球体表面积.1的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O ，正方形ABCD 的中心为1O ，则点O 到平面ABCD 的距离1212OO +=，又122O C =，所以该多面体外接球的半径r ===故该球的表面积为(24π5π⨯=+⎝⎭.故答案为：(5π+15.已知数列 中各项均为正数，且211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，给出下列四个结论：①对任意的*N n ∈，都有1n a >；②数列 可能为常数列；③若102a <<，则当2n ≥时，12n a a <<；④若12a >，则数列 为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式211n n n a a a ++-=看作关于1n a +的一元二次方程，即2110n n n a a a ++--=，该方程有解，则140n a ∆=+≥，所以当14n a ≥-时，方程2110n n n a a a ++--=有解，即当101a <<时，一定存在数列 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故①错误；对于②，令n a x =，由题意可得2x x x -=，解得0x =（舍去）或2，常数列2,2,2, 满足211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，故②正确；由题意作函数()()0f x x x =≥与函数()()20g x x x x =-≥的图象如下：由211(1,2,3,)n n n a a a n ++-== ，则点()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，易知(),n n a a 在函数()f x 的图象上，对于③，当102a <<时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，则212a <<，由()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a <<，当2n ≥时，102n a -<<，由()1,n n a a -在函数()g x 的图象上，则12n a <<，由()11,n n a a --在函数()f x 的图象上，则12n n a a -<<，综上所述，若102a <<，当2n ≥时，12n a a <<，故③正确；对于④，当12a >时，由()21,a a 在函数()g x 的图象上，且()11,a a 在函数()f x 的图象上，则122a a >>，当2n a >时，由()1,n n a a +在函数()g x 的图象上，且(),n n a a 在函数()f x 的图象上，则12n n a a +>>，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=353214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V的面积为113sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()31115343sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =34327=，解得212a =，所以ABC V 的面积为112153453sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.17.已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=o，1B D AB ⊥.（1）证明：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 是正方形，求平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，证明出AB ⊥平面1OB D ，//OD AC ，由此可证得AB AC ⊥；（2）以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABB A 与平面1ADC 夹角的余弦值.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接1AB 、OD 、1OB ，因为160B BA ∠=o，12AB BB ==，故1ABB 为等边三角形，因为O 为AB 的中点，则1OB AB ⊥，因为1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=，故AB ⊥平面1OB D ，OD ⊂ 平面1OB D ，所以，AB OD ⊥，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则//OD AC ，因此，AB AC ⊥；（2）112AA BB == ，则四边形11ACC A 是边长为2的正方形，O 、D 分别为AB 、BC 的中点，则112OD AC ==，由（1）可得11sin 60OB BB == ，//OD AC ，11//BB AA ，故OD 与1BB 所成角为190A AC ∠= ，即1OD BB ⊥，又因为OD AB ⊥，1AB BB B Ç=，OD ∴⊥平面11AA B B ，1OB ⊂ 平面11AA B B ，则1OD OB ⊥，所以，OD 、AB 、1OB 两两垂直，以点O 为坐标原点，OB 、OD 、1OB 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -、()0,1,0D 、()1,2,0C -、(1B 、()1,0,0B，(1BB =- ，()1,1,0AD =，()0,2,0AC =，(1111,AC AC CC AC BB =+=+=- ，设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =，则1020n AD x y n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，则(1,n =-，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =u r，cos ,5m n m n m n⋅<>==-=-⋅.因此，平面11ABB A 与平面1ADC夹角的余弦值为5.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.30 6.50 5.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望()E X ；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲 6.50 6.48 6.47 6.51 6.46 6.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a ，用2212,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明）【答案】（1）25（2）() 1.4E X =（3） 5.81a =或 5.87a =.【解析】【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X 的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()E X ；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6i i y x b i =+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,A B C ，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25P A =，()12P B =，()12P C =，X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X 可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220P X P ABC ===⨯⨯=，()()()()2113113118152252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()()()2113112117252252252220P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()2112352220P X P ABC ===⨯⨯=，估计X 的数学期望()38720123 1.420202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6i x i =，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6i y i =，当 5.81a =时，满足()0.651,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立；当 5.87a =时，满足()0.641,2,3,4,5,6i i y x i =-=，2212s s =成立.所以 5.81a =或 5.87a =.19.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程.（2）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值.（3）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a -，求a 的取值范围.【答案】（1）340x y --=（2）极大值15ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值()12f =-；（3）(1],-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）根据()f x 在1x =处取得极值，求出a 的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a 的取值范围.【小问1详解】若0a =，则()2=-f x x x ，则()21f x x '=-，故()()22,23f f '==，故曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为23(2)y x -=-，即340x y --=；【小问2详解】()()221ln ,f x x a x a x a =-++∈R 定义域为(0),+∞，则()()221af x x a x'=-++，由于()f x 在1x =处取得极值，故()()12210,1f a a a '=-++=∴=，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+==，令()0f x '>，则102x <<或1x >，函数()f x 在10(1)2,,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增，令()0f x '<，则112x <<，函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当12x =时，()f x 取到极大值11315ln ln 224224f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当1x =时，()f x 取到极小值()1132f =-=-；【小问3详解】由于()()()()[],1,e 21221x x a a f x x a x x x--'=-++=∈，当1a ≤时，()0f x '≥，仅在1,1a x ==时等号取得，()f x 在[]1,e 上单调递增，则()min (1)2f x f a ==-，符合题意；当1e a <<时，则1x a <<时，()0f x '<，()f x 在[]1,a 上单调递减，e a x <<时，()0f x '>，()f x 在[],e a 上单调递增，故()min ()(1)2f x f a f a =<=-，不符合题意；当e a ≥时，()0f x '<，()f x 在[]1,e 上单调递减，故()min (e)(1)2f x f f a =<=-，不符合题意；综上，可知a 的取值范围为(1],-∞.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a 与区间[]1,e 的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,m A a a a 为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,m B b b b + ，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +≤<，则称数列A 是长为m 的Ω数列．（1）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)a b c a b c R <<∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（3）设M 是集合{|063}x N x ∈≤≤的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是Ω数列；②数列2，4，8，16是Ω数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当b a c b -=-，b a c b -<-和b a c b ->-三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，先考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，得到存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ，再考虑集合,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++，得到存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ，进而证得集合M 中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列．（2）①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c a b -=，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤．所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列．（3）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合{16,161,,1615}k M k k k =++L ，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ．对于其余的k ，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ．因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ．所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
2023-2024学年江苏省无锡市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{3}B ．{1}C ．{5}D ．{1，3}2．已知复数z ＝2﹣i ，则z （z +i ）的虚部为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．6D ．23．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0（1+k ）n （k ＞﹣1），其中P n 为预测期人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k ＜0，那么在这期间人口数（ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．摆动变化D ．不变4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√235．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．326．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.077．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知a ＞0，b ＞0，1a+3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为211．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f （x ）定义域为R ，满足f （x +1）=12f （x ），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣4x （x ﹣1）．则下列结论正确的是（ ） A ．f （−32）＝4B ．方程f （x ）=13x 共有三个不同实根 C ．∑ 2n i=1f （i 2）＝2−22nD ．使不等式f （x ）≥38成立的x 的最大值是74三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ ． 16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． ①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1}C．{5}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4}．∴∁U B＝{1，5}∴A∩（∁U B）＝{1}．故选：B．2．已知复数z＝2﹣i，则z（z+i）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．6D．2解：复数z＝2﹣i，则z=2+i，z（z+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝6+2i，虚部为2．故选：D．3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中P n为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（）A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变解：P n+1﹣P n＝P0（1+k）n+1﹣P0（1+k）n＝P0（1+k）n（1+k﹣1）＝P0（1+k）n•k，∵﹣1＜k＜0，∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0，k＜0，∴P0（1+k）n•k＜0．即P n+1﹣P n＜0，∴P n+1＜P n．故选：B．解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势， 故选：B ．4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√23解：因为sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝﹣cos （θ+π6）＝sin （θ−π3）=−13． 故选：B ．5．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．32解：因为f ′（x ）＝3x 2+2bx ﹣12， 又f （x ）在x ＝2处取得极值， 所以f ′（2）＝0， 所以3×22+2b ×2﹣12＝0， 所以b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣12x ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣12， 令f ′（x ）＝0，得x ＝±2，所以在（﹣∞，﹣2）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（﹣2，2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）在x ＝2处取得极小值，符合题意，所以在（﹣4，﹣2）上f （x ）单调递增，在（﹣2，2）上f （x ）单调递减，在（2，4）上f （x ）单调递增，由f （﹣2）＝（﹣2）3﹣12×（﹣2）＝16，f （4）＝43﹣12×4＝16， 所以f （x ）在[﹣4，4]上的最大值为16． 故选：C ．6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.07解：由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，把θ1＝60，θ0＝15，t ＝3，θ＝42代入公式， 得42＝15+（60﹣15）e ﹣3k，化简得e﹣3k=35，所以﹣3k ＝ln 3﹣ln 5＝1.099﹣1.609， 解得k ＝0.17． 故选：C ．7．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32，所以f （2πω）＝sin （2π+φ）＝sin φ=√32，所以φ=π3，所以f （x ）＝sin （ωx +π3）的图象向右平移π6个单位后得到f （x ）＝sin （ωx −π6ω+π3），因为所得函数的图象关于y 轴对称， 所以−π6ω+π3=k π+π2，k ∈Z ， 所以可得ω＝﹣6k ﹣1，k ∈Z ， 因为ω＞0，所以ω的最小值为5． 故选：D ．8．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解：因为f （x ）＝x +lnx 的定义域为（0，+∞），所以f ′(x)=1+1x ＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f （12）=12−ln 2＜0，f （1）＝1＞0，所以存在a ∈(12，1)，使得f （a ）＝0，所以a ∈(12，1)， 因为g （x ）＝xlnx ﹣1，g '（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（0，1e）上单调递减，当x ＞1e 时，g '（x ）＞0，则g （x ）在 (0，1e) 上单调递增， 又因为 g （1）＝﹣1＜0，g （2）＝2ln 2﹣1＞0， 所以b ∈（1，2），ℎ′(x)=2x 3+12+1x2＞0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （12）＜0，h （1）＞0，所以存在c ∈(12，1)，使得h （c ）＝0， 所以b 最大， 因为58=11.6=√2.56√e，所以ln 58＞ln√e=−12，f （ln 58）＝ln 58+58＞−12+ln 58＞0，所以12＜a ＜18，因为h （58）＝1−85+516+25643＜0，所以58＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，|c →|=2√3，故可设a →=(1，0)，B(12，√32)，C(2√3cosθ，2√3sinθ)，θ∈[0，2π），则a →+b →+c →=(32+2√3cosθ，√32+2√3sinθ)，所以|a →+b →+c →|=√(32+2√3cosθ)2+(32+2√3sinθ)2=√15+12sin(θ+π3)∈[√3，3√3]， 故选：ABC ．10．已知a ＞0，b ＞0，1a +3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为2解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0，所以1=1a +3b ≥2√3ab， 当且仅当b ＝3a 且1a +3b =1，即a ＝2，b ＝6时取等号，所以ab ≥12，A 正确；对于B ，a +b ＝（a +b ）(1a+3b)=4+b a+3a b ≥4+2√b a ⋅3a b=4+2√3，所以a +b 的最小值不是4√3，故B 错误；对于C ，将1a +3b =1两边平方，得1a 2+6ab +9b 2=1，所以a 2+b 2＝（a 2+b 2）(1a 2+6ab +9b2)=10+b2a 2+9a 2b2+6(b a +ab )， 而b 2a 2+9a 2b 2≥2√b 2a 2⋅9a 2b 2=6，6(b a +a b )≥6×2√b a ⋅ab =12，且两不等式的等号不能同时取得，所以a 2+b 2＞10+6+12＝28，即a 2+b 2的最小值不可能是24，故C 错误； 对于D ，1a−1+3b−3=1bb−3−1+3b−3=b−33+3b−3≥2√b−33⋅3b−3=2，当且仅当b−33=3b−3=1，即b ＝6，a ＝2时等号成立，故1a−1+3b−3的最小值为2，D 选项正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称 解：因为f(x +π)=sin(x +π)+1|sin(x+π)|=−sinx +1|sinx|≠f(x)， 所以π不是f （x ）的周期，A 错误；对于B，由sin x≥﹣1，1|sinx|≥1，得sinx+1|sinx|≥0，当sin x＝﹣1时取“＝”，故f（x）的最小值为0，B正确；对于C，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）+1|sin(2π−x)|=−sin x+1|sinx|，可得f（2π﹣x）+f（x）=2|sinx|≠2，故f（x）的图象不关于点（π，1）对称，C错误；对于D，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+1|sin(π−x)|=sin x+1|sinx|=f（x），可知f（x）的图象关于直线x=π2对称，故D正确．故选：BD．12．已知函数f（x）定义域为R，满足f（x+1）=12f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．f（−32）＝4B．方程f（x）=13x共有三个不同实根C．∑2n i=1f（i2）＝2−22nD．使不等式f（x）≥38成立的x的最大值是74解：x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1），当x∈（1，2]时，f(x)=12f(x−1)=−2(x−1)(x−2)，…，x∈（k，k+1]时，f（x）＝﹣22﹣k（x﹣k）（x﹣k﹣1），∴k取﹣2时，f(−32)=−16(−32+2)(−32+1)=4，A正确．作出f（x）大致图象如下，联立{y=13xy=−2(x−1)(x−2)，解得x=32或43，y ＝f （x ）与y =13x 共四个交点，B 错．对于 C ，k为奇数时，f(k 2)=(12)k−12，k 为偶数时，f(k2)=0，∴∑ 2n i=1f(i2)=f(12)+f(32)+⋯+f(2n−12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=1−(12)n1−12=2−22n ，C 正确． 对于D ，当x ∈（1，2）时，令f(x)=−2(x −1)(x −2)=38⇒x =54或x =74，结合图象知x max =74，D正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （﹣1，1） ． 解：A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}， ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴B ⫋A ， ∴﹣1＜m ＜1，∴m 的取值范围为：（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 x ﹣πy +π＝0 ． 解：曲线y =sinxx 的导数为y ′=xcosx−sinxx 2， 可得曲线在点M （﹣π，0）处的切线斜率为k =−πcos(−π)−sin(−π)(−π)2=1π，即有曲线在点M （﹣π，0）处的切线方程为y =1π（x +π），即为x ﹣πy +π＝0． 故答案为：x ﹣πy +π＝0．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ 4 ．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则{Sn n }为等差数列，故S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1，即−2m+3m+2=0，解得m ＝4．故答案为：4．16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ﹣3 ．解：设∠APO 1＝θ，则∠AO 1P ＝π﹣2θ，因为∠APB =2π3，∠BO 2P =π3−θ，θ∈[0，π3]，过O 1作O 1D ⊥AP ，所以|P A |＝2cos θ，同理|PB|=4cos(π3−θ)， 所以PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos120°=8cosθ⋅cos(π3−θ)⋅(−12) =−4cosθ⋅(12sinθ−√32cosθ)=sin2θ+2√3cos 2θ=sin2θ+2√3⋅1+cos2θ2=−2[sin(2θ+π6)+12]≤−3， 所以(PA →⋅PB →)min =−3． 故答案为：﹣3．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．解：（1）因为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B +b cos A =c2cosC， 所以由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）＝sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）＝2cos C sin C ＝sin C ， 因为C 为三角形内角，sin C ≠0， 所以cos C =12， 又0＜C ＜π， 所以C =π3；（2）因为c ＝6，AB 边上的高等于2√3，所以S △ABC =12×6×2√3=12ab sin C =√34ab ， 解得ab ＝24，又由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得36＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝（a +b ）2﹣72， 所以可得a +b ＝6√3，所以△ABC 的周长a +b +c ＝6√3+6．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．解：（1 ）由题意，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，当P 为DE 中点时，AP →=AD →+DP →=AD →+12DE →=AD →+12(DC →+CE →) =AD →+12AB →−14AD →=12AB →+34AD →=λAB →+μAD →， 所以λ=12，μ=34， 所以λ+μ=54；（2）因为点P 在线段DE 上运动，设DP →=λDE →，λ∈[0，1]，则AP →=AD →+λDE →=AD →+λ(DC →+CE →)=AD →+λAB →−12λAD →=λAB →+(1−λ2)AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+12DC →=12AB →+AD →，∴AP →⋅AF →=[λAB →+(1−λ2)AD →](12AB →+AD →) =λ2AB →2+2−λ2AD →2+2+3λ4AB →⋅AD → =λ2×4+2−λ2×1+2+3λ4×2×1×cos60°=9λ+64， 又λ∈[0，1]，所以AP →⋅AF →=9λ+64∈[32，154]．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 解：（1）b 1＝1+a 1，b 2＝2﹣（a 1+a 2）， 结合a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5，∴{a 1=1b 1=2，∴{a 2+b 2=1a 2−b 2=5⇒{a 2=3b 2=−2， a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n =n 2， ∴b n =n −(−1)n ⋅n 2． （2）①T 10=(1+10)×102−(−12+22−32+42+⋯+102)=55﹣（1+2++10）＝0， ②事实上n 为偶数时，T n ＝（1+2+⋯+n ）﹣（﹣1+22﹣32+...+n 2） ＝（1+2+...+n ）﹣（1+2+...+n ）＝0，均满足T n ≤100， n 为奇数时，T n =(1+n)n2−(−12+22−32+...+(n −1)2−n 2) =n(n+1)2−(1+2+...+n −1)+n 2=n 2+n ， 当T n ≤100时，n 2+n ≤100，∴n ≤9，n ＝1，3，5，7，9， ∴A 中所有元素的和为（2+4+...+100）+（1+3+5+7+9）=102×502+25=2575． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＜2化为：log 2（1x +2）＜2，∴0＜1x +2＜4，解得x ∈（﹣∞，−12）∪（12，+∞），经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（﹣∞，−12）∪（12，+∞）．（2）a ＞0，对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，∴log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， ∴(1+ta)(t+1)t[1+a(t+1)]≤2，化为：a ≥1−tt 2+t=g （t ），t ∈[12，1]，g ′（t ）=t 2−2t−1(t 2+t)2=(t−1)2−2(t 2+t)2≤(12−1)2−2(14+12)2＜0，∴g （t ）在t ∈[12，1]上单调递减，∴t =12时，g （t ）取得最大值，g （12）=23． ∴a ≥23．∴a 的取值范围是[23，+∞）．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和．解：（1）由a 1＝1，a n ＞0，（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立， 可得S n+1+1a n+1=S n +1a n=S n−1+1a n−1=...=S 1+1a 1=1+11=2， 即1+S n ＝2a n ，当n ≥2时，1+S n ﹣1＝2a n ﹣1，上面两式相减a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n ﹣1；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列， 则c k =12（k +2）（2k ﹣1+2k ）﹣（2k ﹣1+2k ）=3k2•2k ﹣1，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =32（1•20+2•21+3•22+...+n •2n ﹣1），2T n =32（1•2+2•22+3•23+...+n •2n ），上面两式相减可得﹣T n =32（1+21+22+...+2n ﹣1﹣n •2n ）=32（1−2n1−2−n •2n ），化为T n =32[1+（n ﹣1）•2n ]．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．解：（1）证明：当a ＝1时，f(x)=xlnx −12x 2−x ，则f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝lnx +1﹣x ﹣1＝lnx ﹣x ， 设u （x ）＝lnx ﹣x ，则u ′(x)=1x −1=1−xx， 当0＜x ＜1时，u ′（x ）＞0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递增； 当x ＞1时，u ′（x ）＜0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递减，故u （x ）≤u （1）＝﹣1，故f ′（x ）≤﹣1，故f （x ）为减函数；（2）由题意，得f ′（x ）＝lnx +1﹣ax ﹣1＝lnx ﹣ax 有两个不同正实数根x 1＜x 2（x 1＜x 2）， 所以{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，所以a =lnx 1−lnx 2x 1−x 2=ln x1x 2x 1−x 2．1+λ＜lnx 1+λlnx 2=ax 1+aλx 2=(x 1+λx 2)ln x1x 2x 1−x 2=x 1x 2+λx 1x 2−1ln x1x 2， 令x 1x 2=t ∈(0，1)，则1+λ＜t+λt−1lnt ，即lnt −(1+λ)(t−1)t+λ＜0在t ∈（0，1）恒成立， 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，t ∈(0，1)，则ℎ′(t)=1t −(λ+1)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2， 若λ≥1，当t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0恒成立；若0＜λ＜1，当t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 所以h （t ）＞h （1）＝0，不符合题意， 综上，正实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
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高三年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={x|y=x ，x ∈R}，}R x x y |y {N 2∈==，，则M ∩N 等于（ ）A ．{（0，0），（1，1）}B ．{ x|x ∈R }C ．{y|y ≥0}D ．φ2．已知集合A={a ，b ，c}，集合B={m ，n}，设映射f ：A →B 。
如果集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射f 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个3．奇函数y=f(x)（x ∈R ）有反函数)x (f y 1-=，则必在)x (f y 1-=的图象上的点是（ ）A ．（-f(a)，-a ）B ．))a (f a (1--，C ．（-f(a)，a ）D ．))a (f a (1-，4．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x )31()x (f =，那么)21(f 的值是（ ）A ．33 B ．3 C ．3- D ．9 5．函数)x x 6(log )x (f 231--=的单调递减区间是（ ）A ．），∞+-21[ B ．]21-∞-，（ C ．），2 21[- D ．]213--，（ 6．定义在R 上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（ ）A ．-10B ．7C ．-7D ．-47．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P （1，0）变换成点Q （2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（ ）A ．y=f(x-1)+2B ．y=f(x-1)-2C ．y=f(x+1)+2D ．y=f(x+1)-28．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，那么a 与b 不可能（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 9．圆台上、下底面面积分别为22cm 49cm 1和，平行于底面的截面面积为2cm 25，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：310．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（ ）A ．96πB ．24πC ．84πD ．60π11．正四棱台1111D C B A ABCD -下底面为ABCD ，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线11BC AD 与所成角的余弦值为（ ）A ．73B ．6524C ．73- D ．75 12．三棱锥A-BCD 的高a 33AH =，H 为底面△BCD 的垂心，若AB=AC ，二面角A-BC-D 等于60°，G 为△ABC 重心，则HG 的长为（ ）A ．a 10B ．a 7C ．a 6D ．a 5二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）13．若2x )1x (f =+（x ≤0），则)x (f 1-=_______________。
14．（如右图）矩形ABCD 边长分别为15，20，PA ⊥平面ABCD ，则点P 到CD 边的距离为_______________；点P 到BD 的距离为_______________。
15．（理科做）球外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积是_______________。
（文科做）二面角内有一点，它到两个面的距离相等，并且等于它到棱的距离的一半，这个二面角的度数为_______________。
16．若f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：①f(2)=0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于直线x=0对称；④f(x+2)=f(-x)。
其中所有正确结论的序号是_______________。
三、解答题（本大题共有6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，那么f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？写出你的推理过程。
18．如图，三棱锥P-ABC 的底面△ABC 内接于圆O ，PA 垂直于圆O 所在的平面。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC 。
（2）若PA ：PB=4：3，65ABC cos =∠，求直线PB 和PAC 所成角的大小。
19．已知关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解，求实数a 的取值范围。
20．已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ，若PD=6，M ，N 分别是PB ，AB 的中点。
（1）求证：MN ⊥CD ；（2）求三棱锥P-DMN 的体积；（3）求二面角M-DN-C 的平面角。
（文科不做第（3）问）21．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：x 53Q x 51P ==，，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润？22．（理科做）已知函数)ka a (log )x (f y x a -==（0<a ≠1，k ∈R ）。
（1）当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞]内有意义，求k 的取值范围；（2）当a>1时，若f(x)的反函数就是它本身，求k 的值；（3）在（2）的条件下，解方程)x (f )2x (f 21=--。
（文科做）设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)，（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的值域；（3）求f(x)的单调区间。
参考答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A 10．A 11．D12．B 二、填空题（每小题4分，共16分）13．014．343；1515．π34；60°16．①②④三、解答题（共6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．解：设0x x 21<<<∞-，则+∞<-<-<12x x 0∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴)x (f )x (f 12-<-又f(x)是奇函数，∴)x (f )x (f 12-<-∴)x (f )x (f 21<故f(x)在（-∞，0）上是增函数18．证（1）∵PA ⊥平面ABC ，ABC BC 平面⊂∴PA ⊥BC又∵AB 是⊙O 的直径∴BC ⊥AC∴BC ⊥平面PAC又PBC BC 平面⊂∴平面PAC ⊥平面PBC（2）∵BC ⊥平面PAC∴∠BPC 为PB 和平面PAC 所成的角设PA=4k ，AB=3k ，则PB=5k∵65ABC cos =∠， ∴2k 5ABC cos AB BC =∠⋅= 在Rt △PCB 中，21PB BC BPC sin ==∠ ∴∠BPC=30°为所求19．解：原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+--=<<413)25x (a 3x 12 由其图象易得当]413 1(a ，∈时，原方程有解20．（1）∵PD ⊥平面ABCD∴PD ⊥CD又CD ⊥DA ，∴CD ⊥平面PDA∴CD ⊥PA又∵M 、N 分别是PB 、AB 的中点∵MN ∥PA∴MN ∥CD（2）设AC ∩BD=0，连MO 、PN∵MO ∥PO∴MO ⊥平面ABCD 且3PD 21MO ==∵N 是AB 的中点， ∴4821S 21S ADB NDB =⨯==∆∆ ∴4)36(431)MO PD (S 31V V V DNB DNB M DNB P DMN P =-⨯⨯=-=-=∆--- （3）过O 作DN 作垂线OK ，垂足为K ，连ON ，MK则MK ⊥ND∴∠MKO 是二面角M-DN-C 的平面角 ∵2421S 21S DNB ODB =⨯==∆∆ 又52AN AD DN 22=+= ∴525222DN S 2OK DNO =⨯==∆ ∴253OK MO OKM tg ==∠ ∴253arctg OKM =∠为所求。
21．解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为（3-x ）万元。
依题意，甲种商品可获利)x 3(51P -=万元，乙种商品可获利x 53Q =万元，共获利为 )3x 3x (51x 53)x 3(51Q P y ++-=+-=+= ]421)23x ([512+--= 当23x =，即49x =时 2021y max =（万元） 43x 3=- 答：甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润1.05万元。
22．（理科）解：f(x)在[1，+∞）内有意义， 即0ka a x >-时x ∈[1，+∞）均成立，即1x x )a 1(aa k -=<时x ∈[1，+∞）均成立 ∵0<a<1，∴1a1> ∴1x )a1(-在[1，+∞）上是增函数， 当x=1时，其最小值为1，∴当k<1时，f(x)在[1，+∞）内有意义（2）显然k ≠0， 从而ka a lg x k a a a ka a a )ka a (lg y ya y xx y x a -=⇒-=⇒-=⇒-= ∴k a a lg )x (f x a 1-=- 为使)x (f )x (f 1=-对f(x)定义域内的一切x 都成立， 则k a a ka a xx-=-， 整理得0a ak a )1k (x 2=+--对定义域中的一切x 都成立 ∴1k 0a ak 01k 2=⇒⎩⎨⎧=+-=- 此时)a a (lg )x (f )x (f x a 1-==-（x<1）（3）由a>1，12x 2<-<∞-及x<1得1x 3<<- )a a (lg )a a (lg )x (f )2x (f x a a xa 212-=-⇔=---1x 1x 302x x 2-=⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--⇔ ∴原方程有唯一解x=-1（文科）解：（1）x 9x3210)x (f +-=（0<x<3） （2）令427)23x (3u 2+--=，当x ∈（0，3）时，]427 0(，∈ ∴42710)x (f 1≤<（3）f(x)在]230(，上递增，在]3 23(，上递减。