闭区间上连续函数的性质(详细版)-完整版
合集下载
ch1-9闭区间上连续函数的性质
则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理， 由零点定理，得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
福州大学数计学院
13
定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理 上连续
第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
福州大学数计学院
3
对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换， 因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义， 定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义， 若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ，那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续， 为的连续点。 在点 x0 连续， 称 x0 为的连续点。 定义2 内有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例 证明 方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (－3,－2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
福州大学数计学院
10
例2 证 明 方 程 x + e x = 0 在 区 间 ( − 1, 1)内 )内
1.10闭区间上连续函数的性质
则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大值 (最小值).
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
微积分2-8闭区间上连续函数的性质
微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,
高等数学课件--D1_10闭区间上连续函数的性质
y
证: 作辅助函数
y f (x)
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(a) (b) ( A C )( B C )
B C A
O a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
最大值之间的任何值 .
目录 上页 下页 返回 结束
O a 1 2 y
b x
y f (x)
a
O
b x
目录
上页
下页
返回
结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
( x) f ( x) C
O
1
2
x
目录
上页
下页
返回
结束
推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
y
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x)
y f (x)
M
上有界 .
m
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
x
1 , 2
在区间 又 使
内至少有
即
f
(1) 2
1 8
0,
O
二分法
1 2
3 4
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
证: 作辅助函数
y f (x)
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
(a) (b) ( A C )( B C )
B C A
O a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
最大值之间的任何值 .
目录 上页 下页 返回 结束
O a 1 2 y
b x
y f (x)
a
O
b x
目录
上页
下页
返回
结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
( x) f ( x) C
O
1
2
x
目录
上页
下页
返回
结束
推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
y
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x)
y f (x)
M
上有界 .
m
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
x
1 , 2
在区间 又 使
内至少有
即
f
(1) 2
1 8
0,
O
二分法
1 2
3 4
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
1.10闭区间上连续函数的性质
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx
D1-10闭区间上连续函数的性质-文档资料
则面积函数 S ( ) C [ , ]
因 S ( ) 0 ,S ( ) A
S ( )
O
x
故由介值定理可知:
A ( , ) ,使S( 0) . 0 2
目录 上页 下页 返回 结束
因为 则 但
1 1 ,x ( n N ) , 取点 x 0 ( 0 1 ) , 1 n 2n 1
1 1 1 x x 1 2 n n 1 n( n1) 可以任意小
f ( x ) f ( x ) n ( n 1 ) 1 1 2
) 0 ,即 使 f( ( 0 , 1 ) , 故据零点定理, 至少存在一点
3 2 4 1 0
说明: 1 1 f ( ) 0 , x1 , 取 [0,1]的中点 2 8 2
则(1 , 1) 内必有方程的根 ; 2
1 2
二分法
x 1 3 3 x , 取[ 1 的中点 f ( )0 , , 1 ] 4 4 2 3 , ) 则 (1 可用此法求近似根. 2 4 内必有方程的根 ;
M max f( x ), m min f( x ) y
x [ a ,b ]
x [a ,b ]
有 m f ( x ) M , 故 x [ a , b ] ,
因此 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
M
yf( x )
二、介值定理
( x ) C [ a , b ] , 定理2. ( 零点定理 ) f
显然 F ( x ) C [ a , b ]
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1-9闭区间上连续函数的性质
即 f ( ) .
内蒙古工业大学
9
贾永旺
Advanced Mathematics
例 3 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至少 有一个正根，并且它不超过 a b .
证：f ( x ) x a sin x b 在0，a b上连续，
取 K max{ m , M },
内蒙古工业大学
则有 f ( x ) K .
3 贾永旺
函数f ( x )在[a, b]上有界.
Advanced Mathematics
二、介值定理
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
f ( x )的零点.
定理 2(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ),
若 f ( x ) C [a , b], 则 , [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
10
贾永旺
Advanced Mathematics
小结
四个定理
最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足, 上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
内蒙古工业大学
9
贾永旺
Advanced Mathematics
例 3 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至少 有一个正根，并且它不超过 a b .
证：f ( x ) x a sin x b 在0，a b上连续，
取 K max{ m , M },
内蒙古工业大学
则有 f ( x ) K .
3 贾永旺
函数f ( x )在[a, b]上有界.
Advanced Mathematics
二、介值定理
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
f ( x )的零点.
定理 2(零点定理) 设函数 f ( x ) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ),
若 f ( x ) C [a , b], 则 , [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
10
贾永旺
Advanced Mathematics
小结
四个定理
最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足, 上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
高等数学闭区间上连续函数的性质
利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
17闭区间上连续函数的性质-15页精选文档
例 一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山 峰，在下午7:00到达山顶；第二天早上7:00再次从 山顶沿原路下山，下午7:00到达山脚。证明这个
运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的 同一地点。
C
a
o
A
1
2 3
bx
连续y曲 f(x 线 )与水平 yC 直 至线 少有一 .
设 (x)f(x)C
则 (x)在 [a,b]上连 , 续
且 (a )f(a ) C(b)f(b)C
因 C 是f介 (a )f,(b 于 )之间 (a ) ， (b ) 0 故 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
例如：y=x在开区间(a,b)内是连续的，但在 (a,b)内无最大值和最小值。
y
a o
b x
又如函数
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，f(x)在此区间上 无最大最小值。
y
2
1
x
o
12
二 介值定理
1 ,若 x0使 f(x 得 0)0 ，x 则 0 为称 f函 (x)的 数 零点
定理（零点定理数） f(x设 )在函闭区[a间 ,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开 (a,区 b)内间至少存在函
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有一
方x程 34x210在 (0,1)内只有 . 一根
第7节 闭区间上连续函数 的性质
一、最值定理
1、定 义 ： 设 函 f (x数 )在I上 有 定, x义 0 I,如 果 对 任 意 xI,都有
高等数学上闭区间上连续函数的性质-文档资料
因
f(x)a0xn1aa01x aa0xnn,
13
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连 续, 则 f ( x ) 在点 和 处
y f x
分别取到最大值和最小 值.
O a
bx
5
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
15
注 零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
16
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
6
例 设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在， 证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证 因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,
f(x)a0xn1aa01x aa0xnn,
13
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连 续, 则 f ( x ) 在点 和 处
y f x
分别取到最大值和最小 值.
O a
bx
5
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
15
注 零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
16
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
6
例 设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在， 证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证 因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,
闭区间上连续函数的性质(77)
f (an ) 0,
f (bn ) 0 ，bn an
1 2n
(b
a)
(n 1, 2,3,...)
由单调有界准则，{an} 和 {bn} 都收敛。
再由
lnim(bn
an )
lim
n
1 2n
(b
a)
0,
存在
c (a,b)，使得
lim
n
an
lim
n
bn
c。
由连续性和不等式性，
f
(c)
lim
n
f
(an )
[a, b] such that f ( ) C
1.10 闭区间上连续函数的 性质 17
介值定理的几何解释
f (x)
M
C
m
a
b
C m C M [a, b] f ( ) C 1.10 闭区间上连续函数的 性质 18
介值定理的几何解释
f (x)
M
C
m
a
b
即函数 f(x) 的值域为 [m, M]。
介值定理实质是说明值域 f([a, b]) 是一个没有
1.1缝0 闭隙区间的上连连续函通数的区间
性质 19
定理 3（介值定理）
设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大 值和最小值，则对任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。
若 f (c1) 0, 则令 a2 c1, b2 b1, 有 f (a2 ) 0, f (b2 ) 0（图1）；
若 f (c1) 0, 则令 a2 a1, b2 c1, 仍有 f (a2 ) 0, f (b2 ) 0）（图2）；
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
闭区间连续函数的性质
f (0) e3 1 0
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
闭区间上连续函数的性质
例 f ( x ) x [ x ] 在[0,1] 上有最小值 f (0) 0 ，但 没有最大值；f ( x ) sgn x 在( 0, ) 上最大值最小值 都是 1，在( , ) 上最大值是 1，最小值是 1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连 续的函数一定有最大值和最小值.
那么在开区间 a, b 内至少有函数 f ( x )的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 。即方程
f ( x ) 0 在( a , b ) 内至少存在一个实根。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
几何解释:
y
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
第八节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、一致连续性定理
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ) , 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值 .
结束
三、一致连续性
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义,如果 对任意给定的正数 ,总存在正数 ，使得对 于区间 I 上的任意两点 x1 , x2 ， x1 x2 当 时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连 续的函数一定有最大值和最小值.
那么在开区间 a, b 内至少有函数 f ( x )的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 。即方程
f ( x ) 0 在( a , b ) 内至少存在一个实根。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
几何解释:
y
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
第八节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、一致连续性定理
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ) , 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值 .
结束
三、一致连续性
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义,如果 对任意给定的正数 ,总存在正数 ，使得对 于区间 I 上的任意两点 x1 , x2 ， x1 x2 当 时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
第10节 闭区间上连续函数的性质
y
y f ( x)
o
a
2
1 b
x
注意: 1、若区间是开区间, 定理不一定成立； 2、若区间内有间断点, 定理不一定成立。
高等数学一⑩
4/12
例如：由右图知
y
y ln x 在 开 区 间 (1,10)内 是 连续的 , 虽然在开区间 (1,10) 有 界, 但 在 开 区 间 (1,10)内 既 无最大值又无最小值 .
y
即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
⑶几何解释: 连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于 x轴的不同侧 , 则曲 线弧与x轴至少有一个交点 .
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
高等数学一⑩
6/12
⑴定理3(介值定理): 设f ( x ) C[a , b], 且端点值 f (a ) A与
高等数学一⑩
y
y f ( x)
1
o
1
2
x
5/12
1、零点定理
⑴定义: 若 x0 使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数f ( x )的零点.
⑵定理2(零点定理): 设f ( x ) C[a , b], 且f (a )与f (b)异号
(即f (a ) f (b) 0), 那么在开区间 (a , b)内至少存在一 点 (a b), 使f ( ) 0.
练习：第73页 3；4；5。
思考题
下述命题是否正确？ 若 f ( x ) 在[a , b]上有定义，在 ( a , b ) 内连续，且 f ( a ) f ( b ) 0 ， 那么 f ( x ) 在( a , b ) 内必有零点. 作业：第73页 1；2。