高中数学复习：立体几何解答题

高中数学复习：立体几何解答题

立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

例题：(12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.

(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；

(2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.

切入点：联想线面平行的判定定理，找线线平行.

关键点：建系，求平面AMA 1与平面MA 1N 的法向量.

规范解答 (1)证明 连接B 1C ，ME .

因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，

所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12

B 1

C .(2分)

又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12

A 1D . 由题设知A 1

B 1∥D

C 且A 1B 1＝DC .

因此，B 1C ∥A 1D 且B 1C ＝A 1D ，

故ME ∥ND 且ME ＝ND ，

因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN ∥ED .(4分)

又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ，

所以MN ∥平面C 1DE .(5分)

(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，

则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，

3，－2)，

A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →

＝(0，－3，0).(7分)

设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的一个法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0， 所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，

可得m ＝(3，1，0).(9分) 设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的一个法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，

所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0， 可取n ＝(2，0，－1).(10分)

于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155

，(11分) 则sin 〈m ，n 〉＝105

. 所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为

105.(12分) [满分心得]

写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一

定要写全.如第(1)问中ME ∥B 1C ，且ME ＝12

B 1

C ，MN ∥E

D .第(2)问建立空间直角坐标系D －xyz . 写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清

得分关键点，如第(1)问漏掉条件MN ⊄平面C 1DE ；第(2)问中不写公式cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |

而

得出余弦值都会各扣去1分.

正确计算是得分的保证：第(2)问中，点N 的坐标，两个半平面法向量的坐标及cos 〈m ，n 〉的求值，否则不能得分.

[满分体验]

如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，CC 1＝3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD ＝1，CE ＝2，M 为棱A 1B 1的中点.

(1)求证：C 1M ⊥B 1D ；

(2)求二面角B －B 1E －D 的正弦值；

(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.

解 依题意，以C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间

直角坐标系(如图)，可得C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，3)，A 1(2，0，

3)，B 1(0，2，3)，D (2，0，1)，E (0，0，2)，M (1，1，3).

(1)证明 依题意，C 1M →＝(1，1，0)，B 1D →＝(2，－2，－2)，

从而C 1M →·B 1D →＝2－2＋0＝0，所以C 1M ⊥B 1D .

(2)解 依题意，CA →＝(2，0，0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1→＝(0，2，1)，ED →＝(2，0，

－1).

设n ＝(x ，y ，z )为平面DB 1E 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB 1→＝0，n ·ED →＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，2x －z ＝0. 不妨设x ＝1，可得n ＝(1，－1，2).

因此有cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →||n |＝66， 于是sin 〈CA →，n 〉＝306

.

所以二面角B －B 1E －D 的正弦值为306

. (3)解 依题意，AB →＝(－2，2，0).

由(2)知n ＝(1，－1，2)为平面DB 1E 的一个法向量，

于是cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－33. 所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33.