高级中学数学竞赛定理
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学联赛几何定理.
高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 则1BDCD EC AE FA BF =••。
逆定理：一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 若1BD CD EC AE FA BF =••，则D,E,F 三点共线。
塞瓦定理在△ABC 内任取一点O,直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 AF CE BD ••=1。
托勒密定理ABCD 为任意一个圆内接四边形，则B D AC B C AD CD AB •=•+•。
逆定理：若四边形ABCD 满足B D AC B C AD CD AB •=•+•，则A 、B 、C 、D 四点共圆西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H 。
西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟P 的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
斯特瓦尔特定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD 。
三角形旁心1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。
2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。
费马点在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
必备速看！高联中最常用的146个重要定理、公式、概念！（赶紧转给你身边即将参加联赛的数竞党）
必备速看！高联中最常用的146个重要定理、公式、概念！（赶紧转给你身边即将参加联赛的数竞党）在2008年之前，高中数学联赛第一试有选择题6道（占36分），填空题6道（占54分），解答题3道（占60分），第二试有3道解答题，各50分，其中一道为平面几何题，而从2009年起，其高联题型结构发生了较大的调整，其一试换成了8道填空题（每道8分，共64分）和3道解答题，分别为16分、20分、20分（共56分，满分120分），二试题量增加到了4道，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面，分值分别为40分、40分、50分、50分（满分180分），调整后的一试题量较少，难度向高考靠拢，二试题量增加，难度向国际竞赛靠拢，而高联的试题由各省（区、市）数学会提供，经精选出所需题量的2-3倍后，再由全国命题工作会议定稿，离今年联赛的时间越来越近，在最后这个阶段巩固基础、清理盲点、补漏重要定理、公式、概念是重中之重，而下方是联赛中最常用到的146个重要定理、公式、概念，其包含了代数中的集合、三角函数、不等式、数列、计数原理、复数、几何中的常用定理、面积与面积比、勾股定理与线段长度、共线点与共点线、圆、交比与调和点列、圆的幂和根轴、几何变换、几何不等式与极值、立体几何、三角法、解析几何、向量、复数几何，初等数论中的唯一分解定理、裴蜀恒等式、费马小定理、欧拉定理、中国剩余等定理以及组合中的抽屉原理、容斥原理、算两次、极端原理.曾有人说，高联是一场属于数竞党的高考，短短的半天，薄薄的两张试卷，却包含了数竞党坚持了无数个日日夜夜的努力，我们越过无数的坎坷荆棘，我们用一个个数学符号写下青春的诗性，我们走过无数的苦乐时光，我们用成堆的卷子、成箱的废笔让我们的数学梦想展开翅膀！—over如果需要这一份联赛中最常用到的146个重要定理、公式、概念的电子版，只要你答应小数君，能在9号狠狠地揍高联那家伙一顿的话，能把它揍的皮青脸肿的话，那就给小数君留下邮箱来吧！听说点赞的都能狠揍高联一顿☟。
高中竞赛数学辅导数论重要定理
数论一 、欧拉定理设1m >的整数，()()(),1,1ma m a modm ϕ=≡则.例1设(10005x =+，求[]x 的末三位数.解 由二项式定理，((()()()()10001000249950010002998349963998233100010001000552552352352323C C C ++-⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦是一个正整数.记(100015x =-，因为1051,01,x <-<<<所以从而{}11x x =.而1x x +是一个正整数，则{}{}11,x x +=所以{}{}1111.x x x =-=-于是[]{}111 1.x x x x x x x =-=-+=+-又因为 ()()500100031252251000x x mod +≡+ ，33100025= ，()100032505,mod ≡()()50010002500325252122mod =≡≡ ，又10003255,y =所以 ()3528y mod ≡ ，()25528y mod ≡ ，()528y mod ≡，则min 所以8 2.y k =+则()()()100033332558258525210002501000.k k mod mod =+=+≡=因为()11251251100,5ϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()()10010021125,31125mod mod ≡≡， 于是，有 ()()150050021125,31125mod mod ≡≡，()()50032232125mod ≡ ，又因为 ()150********mod ≡ ，()5003322552y =+ ，所以()35208y mod +≡，即()528y mod ≡-， 所以()68min y mod =， 于是，有86y k =+. 所以()()5003333223586256582k k =++=++所以[]()11250751111000x x x mod=+-≡+-≡.故[]x 的末三位数是001.二、费马小定理 （1）p 为素数，且(),1,a p =则()11p a modp -≡；（2）p 为素数，则()p a a mod p ≡.例2 ,,,a b c d 为整数，证明()44240/b d c d a a ++-. 证明4240235= ，由于()()()2440,13,0,13,0,13,b c a moda mod a mod≡≡≡ 所以()()444403b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即443/()b d c d a a ++-.由于奇数的4次方被16除余1，偶数的4次方被16除余0，故有()()4444016b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡.即4442/()b d c d a a ++-.又由于()()()4440,15,0,15,0,15,b c a moda mod a mod≡≡≡ 则()()444405b d c d d b c a a a a a mod ++-=-≡，即445/()b d c d a a ++-.又2,3,5两两互素，故()44240/b dc d aa ++-.例 3 设整数199919991999,,0,a b c a b c d a b c ++==++满足记，求证d 不是素数.证明由于1999aa 与同奇偶，则()()()1999199919992,2,2,a a modb b modc c mod≡≡≡ 所以()19991999199902d a b c a b c mod=++≡++≡，即2/d .又 ()()6662221999199836663222aa aa aa aa aa a ==≡=≡()()()74258374753253a aa a a aa a a=≡==≡=()()389333a a a aa a mod ≡==≡≡ ，同理()()199919993,3,b b mod cc mod≡≡则()19991999199903d a b c a b c mod=++≡++≡.即3/d . 从而d 不是素数.例4 设{}()21np n n -≥是给定的素数，证明：数列中有无穷多项被p 整除.证明 当2p =时，结论显然成立.当()()1221,21p p p modp ->=≡时，由于，所以，所以对任意的()()1,21p mm Z mod p -∈≡有，即()()121m p mod p -≡.特别地，取1,m kp k Z =-∈.则()()()()()112111kp p kp p mod p --≡≡--.令()()11,n kp p =--则()2n n mod p ≡，即()/2n p n -.三、威尔逊定理 设p 是素数，则()()1!1p mod p -≡-()()1!1p modp ⇔-≡.证明 考虑多项式()1p xmod p -.由费马小定理，当{}1,2,,1a p ∈- 时，有()11p a modp -≡所以11p a x --是多项式的根.则1,2,,1x x x p ---+ 均为11p x --的因式.则设()()()()11121p x x x x p Q x -----+ =.得()1Q x =，则()()()11121p x x x x p -----+ =.取x p =代入，得()111!p p p --=-所以()()1!1p mod p -≡-.例5 ()()1!1p p modp -≡-是素数，则.证明：若21p +为奇素数，则()()()()2!1021pp mod p +-≡+.证明：()()()()2!1021pp mod p +-≡+()()()()()()()()()()()()1!!121!1!121!121121p pp p mod p p p mod p p p p modp +⇔≡-+⇔-≡-+⇔-----≡-+⎡⎤⎣⎦()()()()()!21212211121p p p p p mod p ⇔+-+-+-≡-+()()()()()1212121p p p p mod p ⇔+-≡-+ ！()()()2!121p modp ⇔≡-+.而21p +为奇素数，有()()()2!121p mod p ≡-+.四、中国剩余定理设12,,,k m m m k 是个两两互素的正整数，则同余方程组()()()1122k k x b mod m x b mod m x b mod m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有整数解.令12.k Mm m m =则同余方程组在模M 下的解是唯一的. 令,i i iMM M m '=取使得()1i i i M M mod m '≡，则解为()111222k k k x M M b M M b M M b modM '''≡+++ .例 6 证明：对任意给定的正整数,n n 均有个连续正整数，其中每一个都有大于1的平方因子.分析：()()()2122210200n x mod p x mod p x n modp +≡+≡+≡则()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-. 证明： 设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理知，()()()2122212n x modp x mod p x n modp ≡-≡-≡-存在正整数解，设S 为一个正整数解，则12S S S n +++ ，，，满足要求.例7 任给正整数n ，存在n 个连续正整数，使得其中每一个数都不是幂数.证明 设12,,,n p p p n 为个互不相同的素数，由中国剩余定理，同余方程组()()()211222212n n x p mod p x p mod p x p n mod p ⎛≡-≡-≡-⎝存在正整数解0000,12S S S S n +++ 则，，，满足要求.例8给定正整数n ，设()f n 是使()1f n k k =∑能被n 整除的最小正整数.证明：当且仅当n 为2的幂时，有()21f n n =-.分析：()112mk m m k =+=∑，因为()1/,2m m n +当21m n =-时， 1mk k =∑n/，所以()21f n n ≤-.则问题归结为：()()()()122122 1.m mn f n n f n n ==-≠<-当时，；当n 2时，证明：（1）当2mn =时，()2112122n k n n k -=-=∑. 当()1121.2rk r r r n k =+<-=∑时， ∵112,12122121m m r r n r r n +<+<<+≤+=-=- 即，∴()112/1,2/m m r r +++.∴()()112/,/.22mr r r r n ++即 综上，知()21f n n =-.（2）分析：()2121,f n n r n <-⇔∃<-使1/,rk n k =∑即()1/2r r n +.（证明）2m n ≠当时，令()21.mn a a =为大于的奇数此时需证()12/1m a r r ++，即证存在()12/,/1m r a r ++即可.构造同余方程组()()1021m x mod x mod a +⎧≡⎪⎨≡-⎪⎩（1）由中国剩余定理知，同余方程组（1）有正整数解()12rr n ≤≤，则()12/,/1m r a r ++.从而有()12/1m a r r ++ ，即()12/2mr r a + ，()1/2r r n +.考虑r 的取值范围：若()()2,020,rn r mod n r mod a =≡⇒≡则这与()1x moda ≡-相矛盾，故2r n ≠.若()()121,1212m rn r modn r mod +=-≡-⇒≡-则，这与()102m x mod+≡相矛盾,故21r n ≠-.从而有12221r n n ≤≤-<-，于是得证21,r n ∃<-使()1/2r r n +.五、阶及应用定理1 设()1,,,1n n a a n >=为整数，且，则必有一个r()11,r n ≤≤-使得()1r a mod n ≡.证明： 011,,,n a a a - 均与n 互质，所以有()0,0,1,,1i a mod n i n ≡=- .由抽屉原则，,01,i j i j n ∃≤<≤-满足使得()j i a a mod n ≡，()1j i a modn -≡，令(),11,1r r j i r n a modn =-≤≤-≡则有.定义1：设()(),1,1m a n a modn m a =≡则满足的最小正整数叫做a n 对模的阶.注：若a n r 对模的阶为，则()1r a modn ≡. 当()11ii r a modn ≤<≡时，.定理2 设()(),1,,1m a n a n r a modn =≡对模的阶为若，则/.r m证明：令()110m qr r r r =+≤<，则()()1111qqr r r r r mqr r a aa a aaa mod n +==== .而()1mamodn ≡，所以()11r a mod n ≡.而a n r 对模的阶为的定,义知10r =.从而,/.m qr r m =即推论：若a n r 对模的阶为，则()/r n ϕ.特例：当n 为素数p 时，/1r p -.例9 设1,/21,3/.n n n n >+证明：证明：显然n 为奇数.假设 3.p n p =为的最小素因数，下证 ∵/21n n +，∴()210n mod n +≡， ()21n mod n ≡-， ∴()()2221,21n n mod n mod p ≡≡. 设2/2.p r r n 对模的阶为，则 ① 又由小费马定理知，()121p mod p -≡， ∴/1r p -. ② 由①，②知，()/2,1r n p -. ∵2/,n ∴()()22/2,1,2/2,1n p n p --.又若奇数()/2,1,/,/ 1.q n p q n q p --则 ∵p n 为的最小奇素约数，∴1q =.∴()2,1 2.n p -=由()/2,1r n p -，即/2,1r r >及知2r =. 由2p r 对模的阶为，知()21r mod p ≡，即()221mod p ≡，从而 3.p =而p n 为的最小素因数，则/,3/p n n 即.。
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。
《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。
《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。
在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
高中数学竞赛平面几何常用定理
（高中）平面几何常用基本定理1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p ah a sin sin sin ))()((2===---=．5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DCBD=；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp cb t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 张角定理：ABDAC ACBAD ADBAC ∠+∠=∠sin sin sin ．7． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．8． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 9． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 10． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 11． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．12． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 13． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 14． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．15． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．16． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．17． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;18． （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．19． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．20． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d2=R2－2Rr ．21． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．22． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(CB AC B A y y y x x x G ++++23． 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；24．（2）设G 为△ABC 的重心，则ABCAC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；25． （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；26． （4）设G 为△ABC 的重心，则27．①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+；28． ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；29．③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；30．④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；31． ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．32． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C cB b A a yC cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++33．垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍； 34． （2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；35． （3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； 36． （4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．37． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；38． ),(c b a cy by ay c b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++39． 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然； 40．（2）设I 为△ABC 的内心，则CAIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；41．（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；42．（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则a cb KD IK KI AK ID AI +===； 43．（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．44． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； 45．)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O CB AC B A ++++++++46． 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；47． （2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；48． （3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．49．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ． 50． 三角形面积公式：C B A R R a b cC ab ah S a ABCsin sin sin 24sin 21212====∆)c o tc o t (c o t4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=．51．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===52． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立）53． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．54． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．55．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．56．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．57．塞瓦定理的逆定理：（略）58．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．59．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．60．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．61．西摩松定理的逆定理：（略）62．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．63．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．64．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P 的西摩松线通过线段PH的中心．65．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC的镜象线．66．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．67．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．68．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．69．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A 和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．70．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．71．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R 关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．72．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．73．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．74．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．75．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．76．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．77．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．78．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）79．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．80．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．81．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．82．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．83．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．84．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．85．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．86．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．87．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．88．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．89． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．90． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆． 91． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．92． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．93． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．94． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC ＝BC·DC·BD 。
高中数学联赛中常见的几何定理
高中数学联赛中常见的几何定理第一篇：高中数学联赛中常见的几何定理梅涅劳斯定理：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。
证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于GAF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
塞瓦定理：在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]= 1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
高中数学竞赛公式定理大全
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于：
1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。
2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。
3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。
4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。
5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。
6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。
7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。
这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。
同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。
高级中学数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDCS S AD DB S S ∆∆∆∆==． 根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-，所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=，BPCAPB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．ABCD FP2．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B=．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=．ABCD EFPD /ABCD EFG证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CG // AB ，所以CG CFAD FA= ————（1） 因为CG // AB ，所以CG ECDB BE= ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CFAD EC FA=⋅，即得1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证．4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线．证明：设直线EF 交AB 于点D /，则据梅涅劳斯定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CF DB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．AB CDEFD /三、 托勒密定理5．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有 AB ·CD + BC ·AD = AC ·BD ．证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD 上找一点，使得∠DAE =∠BAM ．因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE ∽∆ACB ，即得AD DEAC BC=，即AD BC AC DE ⋅=⋅ ————（1） 由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线，则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P. 证明：△MPQ ∽△ABCj MQGAC BXY P【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点. 求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中，∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F. 若BE ：ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则1=••PACPNCBNMBAM塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足1=••PACPNCBNMBAM，则AN、BP、CM相交于一点.【例1】B E是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.GCLMEDFN【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =31，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F 求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G 是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPE【练习2】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均为锐角.D 是BC 边BC 上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 作垂线DP ⊥AB 于P ，DQ ⊥AC 于Q ，CP 于BQ 相交于K. 求证：AK ⊥BCCCC托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.求证：OP 1+OQ1为定值HABCEFAXYPOQ【例3】 解方程42-x+12-x=x 7【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点D ，E. 求证：DE ⊥AF【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与B ，C不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内心.证明：PD=∣PE-PF ∣西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作P D ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.求证：PF 1+PD 1=PE1【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.CABPEFD HABP1P2CP三角形的五心内心【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求证：AE 等于内切圆半径r【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线AD 交△ABC的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200求∠MBA 的度数.B外心【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN.求∠OMN【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、⊙O 1与⊙O 2相交于P ，Q ，⊙O 1的弦PA 与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切.设△PAB 的外心为O ，求证：OQ ⊥PQ重心【例1】在△ABC 中，G 为重心，P 是形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于F ，E ，D.求证：FG FP +EG EP +DGDP=3【例2】已知△ABC 的重心G 和内心I 的连线GI ∥BC ，求证：AB+AC=2BCC【练习】1、设M 为△ABC 的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求△ABC 的面积.2、设O 是△ABC 的外心，AB=AC ，D 是AB 的中点，G 是△ACD 的重心，求证：OG ⊥CD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.BCB【例1】△ABC 的外接圆为⊙O ，∠C=600，M 是弧AB 的中点，H 是△ABC 的垂心.求证：OM ⊥OH【例2】已知AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高，过D 作EF 的平行线RQ ，RQ 分别交AB 和AC 于R ，Q ，P 为EF 与CB 的延长线的交点.证明：△PQR 的外接圆通过BC 的中点M.旁心【例1】在锐角∠XAY 内部取一点，使得∠ABC=∠XBD ，∠ACB=∠YCD.证明：△ABC 的外心在线段AD 上.CD【例2】AD是直角△ABC斜边BC上的高（AB<AC），I1，I2分别是△ABD，△ACD的内心，△A I1 I2的外接圆⊙O分别交AB，AC于E，F，直线FE与CB的延长线交于点M.证明：I1，I2分别是△ODM的内心与旁心.相交两圆的性质与应用【例1】证明：若凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE，∠AEC=∠ADB. 证明：∠BAC=∠DAEE【例2】已知⊙O1与⊙O2相交于A，B，直线MN垂直于AB且分别与⊙O1与⊙O2交于M，N，P 是线段MN的中点，Q1，Q2分别是⊙O1与⊙O2上的点，∠AO1Q1=∠AO2Q2求证：PQ1=PQ2【练习】梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKBA其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c 则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有ACABDC BD =外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，则有ACABDC BD =3、 三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P4、 正弦定理、在△ABC 中有R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径） 余弦定理： a 、b 、c 为△ABC 的边，则有： a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;5、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与FA 的交点P 、Q 、R 共线.。
高中数学竞赛常用定理
高中数学竞赛常用定理在高中数学竞赛中，掌握一些常用的数学定理和公式是至关重要的。
这些定理和公式可以帮助学生在比赛中更快、更准确地解决问题，提高竞赛成绩。
下面我们就来介绍一些高中数学竞赛中常用的定理和公式。
1. 三角函数的基本关系：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=2R$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形$ABC$的三边长度，$A$、$B$、$C$为对应的内角，$R$为三角形$ABC$的外接圆半径。
- 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
- 正弦函数和余弦函数的关系：$\sin(a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cosa \sin b$，$\cos(a \pm b)=\cos a \cosb \mp \sin a \sin b$。
2. 相似三角形的性质：- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
- 直角三角形中，正弦、余弦、正切函数的关系：$\sinA=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
3. 平面几何中的重要定理：- 圆的性质：圆内角的和为$180^\circ$，圆周角等于其对应圆心角的一半。
- 相交弦定理：相交弦乘积相等，即$AB \times CD=BC \timesDA$。
- 切线和半径的关系：切线和半径垂直，切线与半径的交点与圆心连线构成直角三角形。
- 内切圆和外切圆的性质：内切圆的切点和三角形的顶点共线，外切圆的切点和三角形的对边中点共线。
4. 数列和级数中的常用公式：- 等差数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。
- 等比数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
高中数学竞赛平面几何定理证明大全
Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。
設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP的角平分线。
莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。
为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。
于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE 和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。
接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF ＝FD＝FE＝ED＝EH。
下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。
为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。
看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDC S S AD DB S S ∆∆∆∆==．根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-，所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=，BPCAPB S CF FA S ∆∆=． 三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明ABCDFP定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=． 因为1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理ABCD FPD /定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CGCG CF AD FA =CG EC DB BE =DB BE CF AD EC FA =⋅1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=∆/∠∠∠∠∆∆AD DEAC BC=AD BC AC DE ⋅=⋅∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∆∆AB BEAC CD=AB CD AC BE ⋅=⋅AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅EAB DAC∠=∠EBA DCA ∠=∠EAB ∆DAC∆AE ABAD AC =DAE CAB ∠=∠DAE ∆CAB∆EBA DCA ∠=∠DBA DCA∠=∠///A B A D AB BD =///B C C D BCBD =//////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+= 另一方面，///A C A DAC CD =，即///AC A DA C CD⨯=． 欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证即//()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯． 据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，即证//CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C ∠互补．由于//A BB DAB ∠=∠，//BBC DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ————（1）且AE ABAD AC = ————（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是AD ×BC = DE ×AC ————（3）由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB ×CD + BC ×AD ≠AC ×BD所以BE + DE ≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD ．所以AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD ． 三、 西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /． 因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。
高一数学竞赛常用定理
定理1.1等系数和线我们熟知，若=x+y，x+y=1那么C点在AB上，即A，B，C三点共线. 类似地，若x+y=m (m为常数)，就可以写成，=1不难发现，C点在与AB平行的直线A'B'上. 其中A'为向量的终点，B'为向量的终点. 这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题.进一步探索，令x= 0或y= 0可以得到.例题1.1在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=60°，C为(不包括端点)上的一点，且=x+y.(1)求x+y的取值范围；(2)若t=x+λy存在最大值，求λ的取值范围.解(1)如图1，C所在的在m=1和m=的两条等系数和线之间（包括MN，不包括AB），于是x+y 的取值范围是.图1 图2(2)如图2，将已知条件改写为=x+λy，于是t所对应的等系数和线是一系列与直线AP平行的直线，其中P为向量的终点.由于t有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此P位于线段MN上（不包括端点），其中AM与B处的切线平行，AN为A处的切线. 从而易得λ的取值范围是.已知O为锐角△ABC的外心，，且=x+y，求2x-y的取值范围.解设BD和CE为圆O的直径，则点A在劣弧DE上运动，于是=(-x)+(-y),且x, y < 0.方法一考虑到问题涉及的代数式为2x-y，为了利用向量分解的系数和的几何意义，将条件转化为=2x+,此时可知连接向量的终点F与向量的终点E的直线EF即等系数和线2x-y=1，如图.依次作出其等系数和线，可得2x-y的取值范围是.方法二根据题意，有，于是，且x, y<0配方，有，令则所求范围即2a的取值范围. 根据题意，有规划如图.不难得到，a的取值范围是，因此所求代数式的取值范围是根据外心的向量表达，有于是将已知条件整理为从而可得,π). 欲求代数式根据题意，有. 记2B = θ，则θ∈(π3由θ的取值范围不难得到的取值范围是例题1.3已知圆O：x2+y2=1为△ABC的外接圆，且tan A=2，若=x+y，求x+y的最大值.解如图，延长AO交边BC于点D，设，则有λλ于是由平面向量共线的表达可得λλ从而可得λ显然，当OD取最小值时x+y取得最大值，此时△ABC为等腰三角形，容易计算得定理2.1 极化恒等式（注：本节中，向量有时用粗体表示）设a，b是2个平面向量，则成立恒等式a·b[(a+b)2-(a-b)2]. ①有时也将式①写成4a·b=(a+b)2-(a-b)2.注式①表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出（也是向量内积的另一种定义），是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式．若a, b是实数，则恒等式①也叫“广义平方差”公式．极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即a·b[||2-||2].在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即a·b =||2-||2，它揭示了三角形的中线与边长的关系.例题2.1设△ABC，P0是边AB上一定点，满足4=，且对于边AB上任意一点P，恒有·≥·，则（）A．∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC解如图，取线段BC的中点M，则4·=(+)2-(-)2=4||2-||2.要使·的值最小，只需||取最小值。
个人整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
一、平面几何1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。
如百科名片中图。
※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。
（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。
高中数学联赛常用定理
常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（II）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB 为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
费马点（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
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重 心定义：重心是三角形三边中线的交点，可用燕尾定理证明，十分简单。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。
求证：F 为AB 中点。
证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ，再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、三角形内到三边距离之积最大的点。
5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3外 心定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )垂 心定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
性质：锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c垂心坐标：( 1c /c ，2c /c ，3c /c )九点圆三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）九点圆性质：1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即九点圆r：外接圆r=2：12.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c垂心坐标：：( (3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ) 欧拉线定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：1、在任意三角形中，以上四点共线。
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1如图 作△ABC 的外接圆，连结并延长BO ，交外接圆于点D 。
连结AD 、CD 、AH 、CH 、OH 。
作中线AM ，设AM 交OH 于点G ’ ∵ BD 是直径∴ ∠BAD 、∠BCD 是直角 ∴ AD ⊥AB ，DC ⊥BC ∵ CH ⊥AB ，AH ⊥BC ∴ DA//CH ，DC//AH ∴ 四边形ADCH 是平行四边形 ∴ AH=DC∵ M 是BC 的中点，O 是BD 的中点∴ OM=21DC ∴ OM= 21AH∵ OM//AH∴ △OMG ’ ∽△HAG ’ ∴GM AG =12∴ G ’是△ABC 的重心 ∴ G 与G ’重合∴ O 、G 、H 三点在同一条直线上欧拉线的证法2如图 设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。
连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。
连接ODΘO 为外心∴OD ⊥BC连接AH 并延长交BC 于EΘH 为垂心∴ AE ⊥BC∴OD//AE ，有∠ODA=∠EAD 。
由于G 为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG 并延长交BA 于F 则可知F 为AB 中点 同理，OF//CM ∴∠OFC=∠MCF 连接FDΘFD//AC,DF:AC=1:2∴∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC∴△OFD∽△HCA∴OD:HA=DF:AC=1:2又GA:GD=2:1∴OD:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD∴△OGD∽△HGA∴∠OGD=∠AGH又连接AG并延长∴∠AGH+∠DGH=180°∴∠OGD+∠DGH=180°即O、G、H三点共线欧拉线的证法3设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 则OH=OA+OB+OCOG=（OA+OB+OC）/3，3 ×OG=OH∴O、G、H三点共线(注：OH, OA, OB , OC ,OG 均为向量）费马点定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点性质：（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点.(3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点 (4)特殊三角形中，当△ABC 为等边三角形时,此时外心与费马点重合 证明(1)费马点对边的张角为120度 在B CC 1∆和B AA 1∆中BC=1BA ,BA=1BC ,1CBC ∠=∠B+︒60=1ABA ∠, ∴B CC 1∆和B AA 1∆是全等三角形 ∴∠PCB=B PA 1∠同理可得∠CBP=P CA 1∠由B PA 1∠+P CA 1∠=︒60，得∠PCB+∠CBP=︒60, ∴∠CPB=︒120同理,∠APB=︒120，∠APC=︒120 (2)PA+PB+PC=1AA将△BPC 以点B 为旋转中心旋转︒60与1BDA ∆重合，连结PD ，则△PDB 为等边三角形 ∴∠BPD=︒60 又∠BPA=︒120因此A 、P 、D 三点在同一直线上又∠CPB=DB A 1∠=︒120，∠PDB=︒60，PDA ∠=︒180 ∴A 、P 、D 、1A 四点在同一直线上故PA+PB+PC=1AA (3)PA+PB+PC 最短在△ABC 内任意取一点M （不与点P 重合），连结AM 、BM 、CM ，将△BMC 以点B 为旋转中心旋转︒60与1BGA ∠重合，连结AM 、GM 、G A 1(同上)，则1AA <A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A 、B 、C 的距离最短。
梅涅劳斯定理内容：如果一条直线与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么FB AF ×DC BD ×EACE=1。
或 设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是ZB AZ ×XC BX ×YACY=1证明一：如图 过点A 作AG ∥BC 交DF 的延长线于G,则FB AF =BD AG ,DC BD =DC BD , EA CE =AGDC。
三式相乘得：FB AF ×DC BD ×EA CE =BD AG ×DC BD ×AGDC =1 证明二：过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则DC BD =PF FB ，EA CE =AFPF∴FB AF ×DC BD ×EA CE =FB AF ×PF FB ×AFPF=1 它的逆定理也成立：若有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足FB AF ×DC BD ×EACE=1，则F 、D 、E 三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：过ABC 三点向三边引垂线AA'BB'CC'， ∴AD ：DB=AA'：BB'， BE ：EC=BB'：CC'， CF ：FA=CC'：AA' ∴FB AF ×DC BD ×EACE=1在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，又分比是λ=BL/LC 、μ=CM/MA 、ν=AN/NB 。
于是L 、M 、N 三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则 FCB ACF ∠∠sin sin ×DAC BAD ∠∠sin sin ×ABECBA ∠∠sin sin =1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O ，且EDF 共线，则DOB AOF ∠∠sin sin ×DOC BOD ∠∠sin sin ×AOECOA ∠∠sin sin =1。
(O 不与点A 、B 、C 重合)塞瓦定理内容:在△ABC内任取一点O直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1证法:（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直线COF所截∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 ②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，∴三条高CD、AE、BF交于一点。