函数专题复习

函数 专题复习

第一节 函数的概念

教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数

是否为同一函数；理解分段函数的意义．

教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定

义域是灵魂．

教学内容：

（一）主要知识：

1．映射与函数的概念；

2．函数的三要素及表示法，两个函数相同的条件；

3．正确理解函数值的含义，掌握函数值的求法，会灵活解决有关函数值的问题；特别是涉及分段函数或复合函数的值的问题. （二）主要方法：

1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系． （三）例题分析： 例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； （2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；

（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应 是A 到B 的映射．

例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N =（ ）

()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>>

()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>>

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是 （ ）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

例4 设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(x

x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）

（C ）（∞-，2-）U （0，∞+） （D ）（∞-，1-） （1，∞+）

例5．矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）

将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式； （2）求S 的最大值． （四）高考回顾：

考题1 （2005山东）函数2

1sin(),10,

(),0.

x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()21=+a f f 则a 的所有可

能值为（ ）

（ A ）1 （B ）2-

（C ）1,2- （D ）1,2

考题2（2005浙江）设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (2

1

)]＝ ( )

(A) －21 (B)0 (C)2

1

(D) 1

考题3（2005江苏）若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点

(-1，0)和(0，1)，则 ( )

(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2

考题4（2006辽宁文）设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，， ，≤则12g g ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

考题5（2006安徽）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

1

2f x f x +=

，若()15,f =- 则()()5f f =_______________。

考题6（2003全国）已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）

（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1

lg

32

（D ）1lg 25

（五）巩固练习：

1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11

(,)66

-的原象是

2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）

()A 2

x y x

= ()

B 2y =

()C lg10x y = ()D 2log 2x y =

3．设函数3,(10)

()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩

，则(5)f ＝ ．

（六）课后作业：

1、下列各对函数中，相同的是（ ）

A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2==

B 、)1lg()1lg()(,1

1

lg

)(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v

v v g u

u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =

2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3个

3、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是

4、已知函数2

2

()1x f x x =+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++＝ 。 5、设函数()f x 的定义域为+N ，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，(1)1f =，则(5)f =

第二节 函数的解析式及定义域

教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际

问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．

教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函

数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．

教学内容：

（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解． （二）主要方法：

1．求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式时常用待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；

（3）应用题求函数解析式常要根据实际问题的意义来布列函数关系，确定函数的定义域． 2．求函数定义域一般有三类问题：

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：

①若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出； ②若复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域． （三）例题分析： 例1．已知函数1()1x

f x x

+=

-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ） ()A A B B = ()B A B ≠

⊂ ()C A B = ()D A B B =

例2．（1）已知3311

()f x x x x +=+，求()f x ；

（2）已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

（4）已知()f x 满足1

2()()3f x f x x

+=，求()f x ．

例3．设函数2

221

()log log (1)log (4)1

x f x x x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；

（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由． 例4．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤ 是奇函数．又

知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-． ① 证明：(1)(4)0f f +=； ② 求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③ 求()y f x =在[4,9]上的解析式．