处处不可导连续函数
连续一定可导吗
连续一定可导吗
连续一定可导吗：不一定
可导一定连续，连续不一定可导。
连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。
可以说：因为可导，所以连续。
不能说：因为连续，所以可导。
1、连续的函数不一定可导。
2、可导的函数是连续的函数。
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。
连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
连续不可导函数例子
连续不可导函数例子1.绝对值函数考虑函数f(x)=，x，它在整个实数轴上都是连续的。
然而在x=0处不可导。
右导数f'(0+)=1，左导数f'(0-)=-1，因此不存在f'(0)。
这是因为绝对值函数在x=0处的图像有一个尖点。
2.魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数是一个连续且处处不可导的函数。
它的定义如下：f(x) = ∑(n=0 to ∞) a^n cos(b^nπx)其中0 < a < 1，且ab > 1 + 3π/2、这个函数在任意区间上都连续，但是它的导数在任意点都不存在。
3.波尔查诺函数波尔查诺函数是一个依赖于黎曼猜想的连续不可导函数。
它的定义如下：f(x) = ∑(n=1 to ∞) 1/n^x这个函数在x>1时为连续函数，但在x=1处不可导。
波尔查诺函数的导数只在x>1时存在。
4.符号函数符号函数是一个在整个实数轴上连续但不可导的函数。
它的定义如下：f(x)=-1,x<00,x=01,x>0这个函数在x=0处不可导，因为在0的左侧导数为-1，在0的右侧导数为1，导数不存在。
5.古典魏尔斯特拉斯函数古典魏尔斯特拉斯函数是魏尔斯特拉斯函数的一个特殊情况。
它的定义如下：f(x) = ∑(n=0 to ∞) a^n cos(b^nπx)其中0<a<1，且b是大于1的偶数。
这个函数连续但不可导，因为它的导数需要无限次的求和。
这些都是一些常见的连续不可导函数的例子。
它们在数学分析和实际应用中起着重要的作用。
通过研究这些函数的性质，我们能够更深入地理解连续函数和导数的概念。
比狄利克雷函数更加诡异的函数
比狄利克雷函数更加诡异的函数在上一篇文章里，我们谈到了狄利克雷函数，并指出了它所具有的三个诡异的性质：处处不连续，处处不可导，在任意闭区间上不可积。
文章的链接如下：诡异的狄利克雷函数我们还指出，狄利克雷函数其实是一类最简单的病态函数，这就意味着存在比狄利克雷函数更加复杂，更加诡异的函数，本篇文章就带着读者开一开脑洞，自己来想办法构造出一些更诡异的函数来。
1.只在一点连续的函数只在一点不连续的函数非常好构造，只需要把一整个曲线在某一点掰开就可以了，而狄利克雷函数则是在所有点都不连续的。
那么如何来构造只在一点处连续的函数呢？我们可以把狄利克雷函数稍微改造一下，变成下面这个样子：为了让大家直观地理解，我们近似地把它的图像画出来千万要注意！这只是它近似的图像，而真正的图像我们是不可能画出来的，因为有理数和无理数都是密密麻麻地分布在实数轴上的。
这个函数只在x=0 处连续，在其它点均不连续，我们来说明这一点。
在x不等于0的地方，如果是有理点，则函数的取值也不为0，但是在它附近任意小的邻域内，都包含无数多个无理点，在那上面函数取值一定是0，函数趋近于这一点时是无穷震荡形式的，因而极限不存在，也就不可能连续。
同样如果x在无理点出，那么这一点的函数取值为0，但是在它的任意领域之内都包含无数多个有理点，那些点处函数取值不为0，因此它也是一个无穷震荡形式的，故而极限也不存在，亦不连续。
那么它为什么在x=0 处就连续了呢？我们还是根据连续性的定义，即它在这一点的函数值等于极限值来证明。
首先有f(0)=0，然后我们利用夹逼定理来求函数在这一点的极限值：所以我们得到了函数值等于极限值，于是函数在0这一点连续。
上面这个例子只是让大家初步领略了一下病态函数的威力，以此为基础，还可以构造出更多的病态函数，具有更加诡异的性质。
2.只在一点处可导的函数我们把上面的函数再稍加改造一下，得到如下函数：我们还是先来近似地画一下它的函数图像：这个函数的性质就是只在x=0 处可导。
处处不可导的连续函数
魏尔斯特拉斯函数
数学家们早就知道，一个可导的函数必定是连续的，但反之不然。
像y=|x|这样的函数，是处处连续的，它在x=0处突然改变方向，形成了一个拐角（尖点）。
然而，人们曾经认为，一个连续函数多半是“光滑”（可导）的。
数学家安培对连续函数是可微的命题曾经提出过一个证明，在19世纪整个前半期，微积分教科书都支持这种见解。
我们不难想象一副连续的“锯齿”状的图形，平滑地上升到一个齿角，再接着遇到另一个齿角，如此延续下去，当我们压缩“锯齿”时，得到越来越多不可导的点。
尽管如此，似乎应该存在使函数图形从一个齿角平滑地上升或下降到另一个齿角的区间。
几何图形似乎表明，任何连续函数必定存在大量可导的点。
当魏尔斯特拉斯构造出处处连续但无处可导的函数时，引起了巨大震惊。
这是一个稀奇古怪的函数实体，它是连续的，确是处处不可导的。
这个函数把几何直观作为微积分的可靠基础的主张逐出了历史舞台。
魏尔斯特拉斯(Weierstrass)是德国数学家，1815年生，1897年卒于柏林。
魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，工作涵盖：幂级数理论、实分析、复变函数、阿贝尔函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、整函数等。
他的论文与教学影响
了整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的风貌。
魏尔斯特拉斯以其解析函数理论与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人。
数学分析课程中的一个反例--处处连续处处不可导的函数
数学分析课程中的一个反例--处处连续处处不可导的函数陈纪修;邱维元
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2006(9)1
【摘要】介绍数学分析课程中处处连续但处处不可导函数的教学,通过电子课件演示函数的图象,使学生理解这一类函数的局部与整体的某种相似性质,并对"分形"概念有一个初步的了解.
【总页数】4页(P2-5)
【作者】陈纪修;邱维元
【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海,200433;复旦大学数学科学学院,上海,200433
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1;G642.1
【相关文献】
1.一个处处连续但处处不可导的一元函数 [J], 程开敏
2.一类处处连续处处不可导函数 [J], 唐家德
3.处处连续但处处不可导函数的构造方法 [J], 刘雁鸣
4.处处连续而处处不可导函数一例 [J], 乔治华;张燕
5.一个处处连续处处不可导函数 [J], 方又超;
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导函数连续的充要条件
导函数连续的充要条件
导函数连续的充要条件：函数f（x）在x0连续，当且仅当f （x）满足以下三个条件：
1、f（x）在x0及其左右近旁有定义。
2、f（x）在x0的极限存在。
3、f（x）在x0的极限值与函数值f（x0）相等。
连续的函数不一定可导。
可导的函数是连续的函数。
越是高阶可导函数曲线越是光滑。
存在处处连续但处处不可导的函数。
（威尔斯特拉斯构造出第一个这样的函数。
）
对于这个问题：函数连续，导函数存在则连续。
导函数连续的条件是有定义：有极限；极限值等于函数值；可导一定连续，连续不一定可导。
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f'（x）。
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f'（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数。
处处不可导连续函数的构造法
科 生在 学习 有关 内容 时无从 参考 ．
Ｆ （ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ∑
，
其中 ａ 为 大 于 ２的正整数 ． 这样 构 造 的函数 Ｆ（ ｚ ）即
在（ 一ｃ × ３ ， ＋Ｃ ｘ ３ ）上处 处连续 但却 处处 不可 导．
事实上， 由 于∑
０ 以∑Βιβλιοθήκη 为 优级 数， 故 ｎ＝ ０
本 文在 仔 细 研 究 前 人 工 作 的 基 础 上 ， 推广了 ｖ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｗａ ｅ ｒ ｄ ｅ ｎ的构造 处 处 不 可 导 的连 续 函数 的
ｌ ２ ｔ ｘ，
０ ≤ ｚ≤ 寺 ，
（ ｚ ） 一｛ Ｉ
２ （ １ 一ｚ ） ， ÷ ＜ ｚ≤ １ ．
１
来代替 （ ｚ ） ， 其中 ｔ 为 某个 任意 正 整数． 将 （ ｚ ）作 周期延 拓 ， 成为定 义 在 （ 一。 。， ＋ｏ 。 ） 上 的周期 为 １的 连续 函数 ， 仍记作 （ ） ． 容易证 明 ， 对 于任 意整 数 忌 ，
的 函数 ， 只需令
、
才 为上 述猜 想 给出 了否定 的 回答 ． 对 Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ函 数 处处 连续 但 却 处 处 不 可 导 的性 质 的证 明 较 为 复 杂口 ］ ， 不适合作为例子为本科生讲授． １ ９ ３ ０年 ， 荷
兰 数学 家 ｖ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｗａ ｅ ｒ ｄ ｅ ｎ 给 出了另外 一个 例子 ， 虽 然 这个 例子 仍然采 用 了 Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ 的思 想方法 ， 但 它 的证 明却 比较 简单 ［ ３ ］ ． 美 国数 学 家 Ｂ ｕ ｓ ｈ在 １ ９ ５ ２
连续不可导
连续不可导
1、函数在该点不连续，且该点是函数的第二类间断点。
如y=tan()，在=π／2处不可导。
2、函数在该点连续，但在该点的左右导数不相等。
如Y=，，在=0处
连续，在处的左导数为－1，右导数为1，不相等（可导函数必须光滑），函数在=0不可导。
3、对于可导的函数f()，↦f'()也是一个函数，称作f()的导函数
（简称导数）。
寻找已知的函数在特定点的导数或其导函数的过程称为求导。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。
函数在
定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，
不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才
能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不
可导。
处处连续处处不可导函数 波尔察诺
处处连续处处不可导函数波尔察诺
波尔察诺（Weierstrass）函数是一种处处连续但处处不可导的函数，它的定义式为：
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)
$$
其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且满足 $0<a<1$ 且 $b$ 是大于 1 的奇数
整数。
波尔察诺函数的特点在于它在每个点都有无限多个切线斜率。
这意味
着无论我们在哪里对它进行微分，都会得到一个无穷大的结果。
因此，波尔察诺函数是一种非常奇特的函数。
虽然波尔察诺函数在数学上具有很多重要的性质，但它最初被引入是
为了提供一个反例来说明连续性和可导性之间并不总是存在必然联系。
事实上，波尔察诺函数是第一个被证明处处连续但处处不可导的例子。
波尔察诺函数具有许多有趣的性质。
例如，它具有自相似性质，即其
图像可以通过缩放和平移自身来获得。
此外，在某些方面，波尔察诺
函数类似于布朗运动（Brownian motion），这是一种随机过程，它在不断变化的随机路径上移动。
波尔察诺函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
例如，在分形几何学中，它被用来构造分形对象。
在物理学中，波尔察诺函数被用来描述具有各种复杂性质的系统，如液滴的表面形态和非线性振动系统。
总之，波尔察诺函数是一种非常重要且具有深刻意义的函数。
虽然它看起来非常奇怪和复杂，但它却展示了连续性和可导性之间的微妙关系，并且在数学和物理学中都有广泛的应用。
连续不可导函数举例
连续不可导函数举例
因为第一个是x*sin（1 x），正弦外面的是x，正弦里面的是1 x，
所以这个题目的是求x→∞时的极限，当x→∞的时候，x的极限是∞，sin（1 x）的极限是无穷小，所以这个函数在x→∞时的极限就是
∞*0这种未定式形式，必须进行转换或变形后求出来，事实上是根据下面的第二个函数式极限来求出来的。
第二个是（1 x）*sinx，正弦外面的是1 x，正弦里面的是x（和第
一个刚好反过来），而这个函数当x→0的时候分子和分母的极限都
是0，成为0 0的未定式形式。
这个函数极限是个经典的极限式，极
限是1，这个很多书上都有证明.我们很多极限证明，计算中，都经
常用到这个极限式。
有了第二个lim（x→0）（sinx x）=1后，
再来看第一个lim（x→∞）（x*sin（1 x））
令t=1 x
得到lim（x→∞）（x*sin（1 x））=lim（t→0）（sint t）
这样就转换为第二个函数极限了。
所以第一个也是等于1
【篇二：连续不可导函数举例】
一言难尽。
最常见：
1.含绝对值函数，出现尖点的。
如y=|x^2-2x|,在x=0,x=2处不可导；
出现角点的。
如y=|x|,在x=0处不可导
2.分段函数在分界点曲线发生突变的（包括尖点、角点）；
3.个别幂函数。
出现尖点的。
如y=x^(2/3),在x=0处不可导。
【篇三：连续不可导函数举例】
楼上说的那个有问题,f(x)=inx,它的定义域是x大于零,它的导函数在
定义域上是可导的,且是连续的.。
92揭秘数学界的“魔法函数”：魏尔斯特拉斯函数为何连续却不可导？
揭秘数学界的“魔法函数”：魏尔斯特拉斯函数为何连续却不可导？在数学的世界里，总有一些令人惊叹的存在，它们挑战着我们对数学的常规认知。
其中，魏尔斯特拉斯函数就是这样一个充满魔力的“神秘嘉宾”。
它有着连续的外表，却隐藏着不可导的内在。
那么，究竟是什么原因让这个函数如此特别呢？今天，就让我们一起揭开魏尔斯特拉斯函数的神秘面纱吧！一、初识魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数，又称魏尔斯特拉斯病态函数，是德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯于19世纪70年代构造出的一个数学函数。
这个函数在实数域上处处连续，但处处不可导。
这一特性使得魏尔斯特拉斯函数成为了数学分析中的一个重要反例，打破了人们对连续函数与可导函数关系的常规认知。
二、连续却不可导的奥秘要理解魏尔斯特拉斯函数为何连续却不可导，我们首先需要了解什么是连续性和可导性。
1.连续性：简单来说，如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，那么我们就可以说该函数在该点连续。
魏尔斯特拉斯函数在实数域上的每一点都满足这一条件，因此它是一个连续函数。
2.可导性：可导性则是指函数在某一点的变化率存在。
具体来说，如果一个函数在某一点的左导数等于右导数，那么我们就可以说该函数在该点可导。
然而，魏尔斯特拉斯函数在实数域上的每一点都不满足这一条件，因此它是一个不可导函数。
那么，为什么魏尔斯特拉斯函数会具有这样独特的性质呢？这背后其实隐藏着一种精妙的数学构造。
魏尔斯特拉斯函数是通过无限级数的方式定义的，每一项都是一个特定频率和振幅的三角函数。
通过巧妙地调整这些三角函数的频率和振幅，魏尔斯特拉斯成功地构造出了一个处处连续但处处不可导的函数。
三、魏尔斯特拉斯函数的“魔法”应用虽然魏尔斯特拉斯函数看起来有些怪异，但它在数学和物理学中却有着广泛的应用。
例如，在分形几何中，魏尔斯特拉斯函数可以用来描述一些具有自相似性的复杂结构；在量子力学中，魏尔斯特拉斯函数则可以用来描述微观粒子的概率分布。
连续但不可导的例子
连续但不可导的例子
它是连续的对其求导，当X大于等于0时，它的导数是
一则X大于等于0上的每一点的斜率都应该为一但在X等于
0这一点，它的斜率为0 （不为一），所以连续的不一定可导。
1、函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右
导数都存在并相等。
2、函数可导与连续的关系：定理：若函数f(x)在x1处可导，则必在点x1处连续。
上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
1、必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
2、充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻
域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
3、几何意义：曲面被平面所截所得点处切线的斜率。
处处连续但处处不可导函数的构造方法
虽然对上述猜想给出了否定的回答.但是Weierstrass给出的这个函数，其处处连续但却处处不可导的性质的证明较为复杂[2-4].1930年，荷兰数学家Van der Waerden给出了另外一个例子，虽然这个例子仍然采用了Weierstrass的思想方法，但它的证明确比较简单[5-6].美国数学家Bush在1952年也给出了直接构造处处连续但处处不可导函数的例子[7].
当n=0,1,2,…,m-1时，在anx的表示中am的位置是第m-n位小数，anx=a1a2…an·an+1an+2…am…，an(x+hm)=a1a2…an·an+1an+2…(am±1)….
由hm的取法，可知an(x+hm)与anx同时属于或者因此：
ψ(an(x+hm))-ψ(anx)=±lanhm.
根据a进制无限小数x=0.a1a2…am…来给定数列{hm}.如果a为奇数，则当am等于或者a-1时，规定；当am取其他值时，规定如果a为偶数，则当am等于或者a-1时，规定；当am取其他值时，规定显然，hm→0(m→).只要证明极限：不存在，就说明函数F(x)在点x处不可导.由于：
当n≥m时，ψ(an(x+hm))=ψ(anx+anhm)=ψ(anx±an-m)=ψ(anx)，上式第二项为零.所以：
[7] Bush K A. Continuous functions without derivatives[J].Amer Math,Monthly,1952,59:222-225.
下面给出一般地构造处处连续但处处不可导函数的方法.
令其中a为大于2的正整数.这样构造的函数F(x)在(-,+)上为处处连续但却处处不可导的函数.由于以为优级数，故由Weierstrass判别法，上述函数项级数关于x∈(-,+)一致收敛，所以函数F(x)在(-,+)上连续.
处处不可导的连续函数
常见的连续函数在其绝大部分连续点上总是可导的，因此人们一直猜测：连 续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数 的不可导点至多是可列集。但 Weierstrass 利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结。下面给出由荷兰 数学家 Van Der Waerden 于 1930 年构造的一个处处不可导的连续函数的例子。
⑵
当n
m
时，10n(
x
hm
)与
10n
x
或者同属于区间
k,
k
1 2
，或者同属于
区间
k
1 2
,
k
1
（
k
为某一整数），因而
(10n( x hm )) (10n x ) = 10n hm ， 其中符号是由 x ，n 与 m 唯一确定。
现在考察
f (x hm ) f (x) = (10n (x hm)) (10n x)
设(x) 表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，则(x) = 0.26； 当 x = 3.67，则(x) = 0.33。显然 (x)是周期为 1 的连续函数，且(x) 1/ 2 。
令
f
(x)
n0
(10n 10n
x)
，
由于
(10n x) 10n
பைடு நூலகம்
1 2 10n
，及
1
n0 2 10n
的收敛性，应用 Weierstrass 判别法，可知
f (x)
表达式中的函数项级数在 (, ) 上一致收敛。再由 (x)的连续性，可知 f (x)
在 (, ) 上连续。
几种构造处处不可导的连续函数的方法
例，薹扣ｃ㈨，薹半ｓｉｎ桫也
其中ａ＞１为实数，ｂ为大于２的整数．
由此有
№…卜删Ｉ一陵学ｌ≥嘉
（９）
例２∑矿ｓｉｎ（ｂ＇ｘ），∑（一１）１Ⅱ”ｓｉｎ（ｂｌｚ），
其中０＜口＜１，ｂ为正整数，且ａｂ＞要＋１．
而由（１）与（８）有
∽。ｋＩ≤砉
由（９）与（１０）得
（１０’
倒。蚤１击ｃｏｓ㈣“；孚ｃｏｓ∽此
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｈｉｎｇｓ ｔｈａｔ ｎｏｗｈｅｒｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ
ａｓ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
ｗｅｒｅ
ｆｏｕｎｄ．Ａｎｄ ｔｈｅ
ｅｐｏｃｈ—ｍａｋｉｎｇ ｃｈａｎｇｅ
ｈａｓ ｔａｋｅｎ ｐｌａｃｅ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｈｒａｎｃｈｓ ｓｕｃｈ Ｋｎｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｗｈｅｒｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ
＾一１ ｏ ｏ ＾１““
下面我们来证明： （１），（ｚ）是连续函数．
（１）
一ｏ．掣：……一蚤器；
３２＾一０，１，…，６—１
设工∈ＥＯ，１］，且ｚ与，（ｚ）分别由（１）与（２） 表示．我们约定，如果ｚ有两种ｂ进位小数表示 法，则（１）取从某位起ｚ。恒为０的形式．
利用二迸小数定义函数Ｕ一，（ｚ）如下：
“一０．“，Ｕ２－ｏ－一一∑警；
—ＹＹＳ—ＺＸＨ】】
万 方数据
几种构造处处不可导的连续函数的方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 钟远涛， 袁力， 邓歆 郧阳师范高等专科学校,数学系,湖北,丹江口,442700 郧阳师范高等专科学校学报 JOURNAL OF YUNYANG TEACHERS COLLEGE 2003,23(6)
什么函数不可导
什么函数不可导
不连续的函数在不连续的区域上是不可导的；连续函数如果有折点，那么在折点处也是不可导的；还有一些难度大的，一串收敛但不一致收敛的可导函数列，其极限也不一定是可导函数。
函数不可导点四种情况：
1、无定义：无定义的点，没有导数存在。
2、不连续：不连续知的点，或称为离散点，导数不存在。
3、不光道滑：连续点，但是此点为尖尖点，左右两边的斜率不一样，也就是导数不一样，不可导。
4、导数值为∞：有定义，连续、光滑，但是斜率是无穷大。
数学分析课程中的一个反例处处连续处处不可导的函数
Ｏ Ｏ
Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
７
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
（ｄ）
图２．Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ函数（口＝１／２，ｂ一３）图像的整体与局部．其中图（ａ）表示在区间［ｏ，１］上函数的图象；图（ｂ）表示
在区间［ｏ．６４，０．７０］上函数的图象（即图（ａ）小方块中图象的放大）；图（ｃ）表示在区间［ｏ．６７２５，０．６７５２］上函数的图
karlweierstrass18151897是19世纪德国数学家他在数学的许多领域如分析学代数学解析函数论变分学微分几何等众多学科都作出了重大贡献其中不少成果是在他做中学教师时取得1856年柯尼斯堡大学授于他名誉博士学位1865年他被聘为柏林大学教授后来成为法国巴黎科学院院士
２
■墨圜
高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ例子的证明较为复杂，不适合放到数学分析课程的教学中．在１９３０年，荷兰数学家 Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ给出了另外一个例子．Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ的例子在思想方法上与Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ的 例子是一致的，但它的证明却很简单，而且初等．Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ的例子使得在数学分析课程中 介绍处处连续处处不可导的函数成为可能．
象（ｅＰ图（ｂ）小方块中图象的放大）；图（ｄ）表示在区问［ｏ．１００００００１，０．１００００００２＂］上函数的图象．
万方数据
第９卷第１期
陈纪修，邱维元：数学分析课程中的一个反例
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廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等．这些变化无穷的曲线，虽然处处 连续，但可能处处不可导．Ｂ．Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ通过对这些不规则图形的研究，创建了一门新的学科 “分形几何”．所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性．“形” 的这种性质又称为“自相似性”．而Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ函数的图像就是一种典型的分形，它已成为“分形几 何”中最基本的例子之一．“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一 门具有广泛应用前景的新学科．
数学分析课程中的一个反例——处处连续处处不可导的函数
数学分析课程中的一个反例——处处连续处处不可导的函数函数是数学中非常重要的概念，它是由若干自变量到一定值的映射，广泛应用于数学的各个领域中，特别地，函数在数学分析中扮演着重要的角色。
在数学分析里，处处连续处处不可导的函数是一个很不常见的反例。
处处连续处处不可导的函数是指在函数中，每一点都是连续的，每点的切线都不存在，因此无法导出函数的偏导数，也就是说函数无法在每一点进行导数定义。
这种函数存在于很多数学领域，其中最著名的例子是函数y=|x|，它在x=0处不可导，但是在x=0的左右两边各分别连续存在，因此在x=0这一点是处处连续处处不可导的函数。
除了y=|x|之外，还有很多类似的反例，比如函数y=x^2sin(1/x)，它在x=0处也不可导，但它的左右两边也都连续存在，因此它也是处处连续处处不可导的函数。
处处连续处处不可导的函数提出了挑战，如何在这种函数上定义极限？以及如何从定义上判断它是否可导？就极限而言，应用极限的定义，即函数在某一点处沿两个方向趋近于一定值时，那么函数在该点处的极限就等于这两个值的平均值，即极限存在。
但是如何判断该函数是否可导？应用可导性的定义，如果存在某一点处的极限，那么函数在该点的一阶导数存在且有限，那么函数就是可导的。
因此可以得出，处处连续处处不可导的函数，它们在某一点处极限存在，但是函数在该点处一阶导数不存在，因此函数在某一点是处处连续处处不可导的。
本质上来说，处处连续处处不可导的函数是极其罕见的，但是它们的存在也使得函数的可导性存在了一定的异常，从而影响到我们在数学分析中的判断过程，就极限和可导性而言，处处连续处处不可导的函数使得我们的判断更加复杂，从而带来更多的挑战。
因此，对于处处连续处处不可导的函数，我们应该尊重它们存在的异常，结合极限和可导性的定义，合理判断函数的可导性，用更多的深刻见解去理解并探索这种反例，最后有效提高我们在数学分析中的水平。
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教案
数学分析中一个反例的教学
复旦大学 陈纪修 金 路 邱维元
教学内容
讲授数学分析发展历史上一个重要的反例：处处连续处处不可导的函数，以及这一反例对数学学科发展的影响；介绍德国数学家Weierstrass 的生平与对数学分析所作的贡献。
指导思想
通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家Weierstrass 的贡献，使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用，认识到数学家如何通过从提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，从而使学生在今后的学习中重视对反例的探讨。
教学安排
（1）德国数学家Weierstrass 的简单介绍
同学们，前一阶段，我们学习了函数项级数一致收敛的理论，有了这一基础，我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。
这个结果是属于Weierstrass 的。
关于Weierstrass 这个名字，我们并不陌生（我们已学过以他的名字冠名的定理有：有界数列必有收敛子列，函数项级数的Weierstrass 判别法等），在以后的学习中，你们将会不断遇上Weierstrass 这个名字。
Karl Weierstrass （1815—1897）是19世纪德国数学家，他在数学的许多领域都作出了重大贡献，其中不少成果是在他做中学教师时取得的。
后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院士。
他是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一位大师。
Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论；关于连续函数的分析定义（即δε-语言）也是他给出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化。
（2）处处连续处处不可导的函数
在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。
也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。
但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。
Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：
()∑∞==
0cos )(n n n x b a x f ，b a <<<10， 1>ab 。
下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的：
设ϕ(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则ϕ(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕ(x ) = 0.33。
显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且2/1)(≤ϕx 。
注意当y x ,]21,[+∈k k 或]1,2
1[++k k 时，成立|||)()(|y x y x -=-ϕϕ。
Van Der Waerden 给出的例子是：
)(x f = ∑∞
=ϕ010)10(n n n x . 由n n x 10)10(ϕ≤n 1021⋅，及∑∞=⋅010
21n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞-∞∈x 一致收敛。
所以)(x f 在),(+∞-∞连续。
（3）处处不可导的证明
现考虑)(x f 在任意一点x 的可导性。
由于)(x f 的周期性，不妨设10<≤x ，并将x 表示成无限小数
x = 0.a 1a 2…a n …。
若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。
然后我们取
h m = ⎩⎨⎧
-=-,8,7,6,5,3,2,1,0,10m m a 当例如设x = 0.309546…，h 5 = 510--，h 6= 610-，…。
显然
于是我们只要证明极限m lim →m
m h x f h x f )()(-+
当n 当n
由m h ]1+k ，因此
m =0
n 等式右端必定是整数，且其奇偶性与m 一致，由此可知极限
∞→m lim m
m h x f h x f )()(-+ 不存在，也就是说，)(x f 在任意一点x 是不可导的。
这样，一个处处连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。
（4）电子课件演示
（5）总结
Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。
但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。
所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。
“形”的这种性质又称为“自相似性”。
我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性”。
如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。
这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。
因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。
通过这个例子，同学们可以了解到数学学科的发展规律，认识到一个反例如何促成一门注意点
（1）在Weierstrass 取保证了当1,,2,1,0-=m n ，或者同时属于]1,2
1[++k k ，从而有 m m h x f h x f )()(-+-==010m n m n h =0n （2）在用电子课件演示Weierstrass 反例的几何性状时，应强调Weierstrass 函数的局部与整体性质上的相似性，从而使学生对“分形”有一个初步的感性认识。