函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)
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恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾
１、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >;()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为Ｍ
()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨
≤⎪⎩
在上恒成立
在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值
A x f =)(min ,若
,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则
()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则
()()x g x f max max ≤
6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤
8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数
()y g x =图象上方;
9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数
()y g x =图象下方;
ﻬ二、经典题型解析
题型一、简单型
例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ,x
a
x g =
)(，其中0>a ,0≠x . 1）对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围;(构造新函数） ２）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）
简解：（1)由12012232
++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足1
2)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即
可．对1
2)(23++=x x
x x ϕ求导，0)12(12)(2
224>+++='x x x x ϕ,故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32
)1()(min ==ϕϕx ,所以a 的取值范围是3
2