用积分表计算不定积分

合集下载

不定积分的基本性质与计算方法

不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。

本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。

1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。

即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。

若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。

例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。

常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。

- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。

- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。

2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。

不定积分的计算方法I

不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。

不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。

在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。

不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。

1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。

对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。

例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。

当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。

2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。

给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。

分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。

通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。

3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。

对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。

例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。

4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。

对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。

5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。

例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。

类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。

不定积分表

之马矢奏春创作卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创建之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉.虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨.在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表.如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎覆盖各种不定积分.积分表的编订对积分运算可以说是需要,亦是数学发展之需要结果.本表给出经常使用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单元,并使用虚数单元推演某些复杂的不定积分运算.而对简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步伐简要之说明.本表收录公式16组,151式.公式一基本初等函数的不定积分18式：三角函数反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分,其中部份公式均可以由分部积分公式给出,特另外,对正切函数,余切函数,正割函数与余割函数的不定积分,使用了诸多三角变换完成.公式二含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对其中的第二式,是利用换元积分完成的.对第一者,可以利用凑的方式,我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.而第二式依然采用类似的方式,可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦,然后利用第一个积分式即可获得结论.对分母是二次多项式或者更高者,经常分成多个低次多项式之和,这两个积分即是沿用了此结论所获得的.我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭,积分即得.对第二式依然可用分离拆项的方式：221()11()()ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++,然后积分即可,而一般对拆项,经常使用待定系数的方法完成.公式三 9式第一式的证明用凑微分的方式即可完成.而有了第一式的结论,第二式可用分部积分完成计算.我们有：其中,对上式右侧的23a 再次使用凑微分的方法,即可得解：同理利用分部积分可以将第三式拆开,并以第二式证明之.利用凑微分的方式,我们显然有不定积分1Ca =,本组公式可以考虑用此公式,并使用分部积分即可证明一式：二式同理使用分部积分,并利用一式的结论即可证明.该公式是重要的不定积分之一,不定积分等式.可是该积分是欠好计算的,首先分部积分就不容易得出结果,而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分,因此对这一类带有根号式的积分,往往是先强行换失落根号,再作观察.因此令22,t b t t x dx dta a -=⇒==,于是22212()a t dt dt tb t a t b ==--⎰⎰,显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b 是负的,那么显然会使用反三角,如果b 是正的,则可能使用三角换元：然后将t 带入上式得原积分212,0dt C b t b ==+>-⎰.另外对负的b ,有：即原积分,0C b=<.该不定积分公式对负数的b 计算是很容易的.注意到微分公式,故上面公式均可以分部积分公式指出. 公式四含有22x a ±的积分3式一式用凑微分的方式以及微分公式21(arctan )1d x x =+容易得出.第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形,然后带入一式即可得解.三式是有理分式的不定积分,通常是将之拆分为两个容易计算的分式,则不难得出结果：公式五含有2(0)ax b a +>的积分7式除开显然的32()3ax ax b dx bx C +=++⎰不列为公式表所用之公式外,其余均与2ax b +有关,不外在下面公式的推理中,我们可以肯定的是推理可能是不惟一的,因此某些推理也是可能涉及了该公式的.是一个需要分类讨论的积分.显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的,不外反正切的分母是加法运算,因此如果这里b 是负的,那么就不能适用反正切,这招致了积分需要分类讨论之. 该公式的证明中再一次的遇到了22dxx a -⎰形式的不定积分,虽然这里我采纳的是换元为三角函数的方法,而其实不是使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理,可是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法,也许在这个公式中体现不出来,可是在某些场所下,三角换元无疑是强年夜的.一式是显然的.在这组公式中,除一式之外,后者在各种场所的运用还是相对频繁的.二式、三式都是典范的有理函数的不定积分问题,可以采用分离常数的方法来求解,其推理及其陈说如下：类似的对之后的不定积分,依然可以拆项：可是对最后一式,拆项显然是不理想的,分子也不具备变量以进行凑微分,因此从分母考虑：接着带入公式（45）即得所证.公式六含有2(0)ax bx c a ++>的积分2式先给出最基本的积分：该积分的证明需要分情形处置.一般来说,如果分母的二次式对应的二次方程是有根的,那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和,而对无实数解的情形,可以考虑配方的方式,并利用反三角函数的微分公式获得该不定积分的证明,不外在此我将使用另一种方式证明上述公式,我将在此引入虚数单元i ,并规定21i =-：这里的,R S 为20ax bx c ++=的两根,则：如果240b ac ->,那么R S -=则积分式即为否则为R S -==,则积分酿成：这里值得注意的是辐角arg 的取值问题,我们选择,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭这个区间并考虑反正切暗示,则这时候辐角中所给之复数必需保证实部恒正或恒负,但由判别式240b ac -<依然无法断言2ax b +之正负,这对反正切的暗示是晦气的,因此考虑对辐角进一步转化,一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单元,则：将该式与Constant C =,得：虽然此方法比力复杂,可是可以说明的是,以复数进行实数的不定积分是可能的.以拆项的方式来拆分为两个不定积分,这是及其显然的：公式七0)a >的积分14式0)a >的不定积分,通常会考虑的变换是221tan sec x x +=,特别是呈现在分母中的根式,这样做的好处不单可以抵消根式,同时可以处置并约分失落分母中的积分变量,以年夜幅度化简积分运算.不外在很多时候,我们也经常考虑双曲换元来完成,这是因为对正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便.下面几个公式都是可以通过换元获得的：第一式是典范的反双曲三角函数的微分,以及反双曲三角函数的界说式所得,事实上,我们设arsinh cosh cosh dx y x dx ydy dy y =⇒=⇒=因此对第一个不定积分式,采纳凑的方式即刻得之.二式也是典范的双曲换元获得的等式：其中,将ar sinh 2211tanh1x x y aa y a a =回带,即得之所证.三、四均是由微分公式d .然而如果对三式没有直接观察到亦无妨以双曲换元的得出：于是四式也可如法炮制：五式、六式可以凑得之：2xd =⎰,2xd ⎛⎫=⎰,再以分部积分得：这样就完成了五式和六式.一式三角换元是显然的.但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：二式以双曲换元获得积分44cosh a xdx ⎰,以降幂进行变形,所得积分的计算是容易的：在得出结果之后,再以（二）倍角公式将2x 和x 还原为x 即得二式右侧.三式凑的方式即得其之所证.四式以分部积分,并二式,即得之所证.先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分.转化三角积分时,以正切与正割的恒等式可得22sec 1csc tan sec a ydy ydy a y y a=⎰⎰,转化双曲积时,以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得2cosh 1csch sinh cosh a ydy ydy a y y a =⎰⎰,最后以余割或双曲余割的积分获得结果. 二式典范的转化为三角积分2222sec 1sec 1csc cot tan sec tan a ydy ydy y ydy a y y a y a==⎰⎰⎰,这是典范的余割函数的导数公式1(csc )'csc cot sin tan x x x x x =-=-. 注意到2xd a =⎝⎭⎰,带入一式.又注意到1x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭带入（50）式.公式八0)a >的积分6式利用最值公式对分母配方,得：首配方,再凑微分,并公式（56）,得：这里的推理虽然是相对复杂的,可是对一些好算的数值计算,这个推理过程会获得年夜年夜的简化.在这两个积分的基础上,下面的积分相对是容易计算的：用凑微分的方式进行变换：剩下的计算是容易的.依然是配方,与（64）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.依然是配方,与（65）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.用凑微分的方式进行变换,其方法同于（66）.在（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）的比力中我们可以发现,对任意非零的实数a ,除后面的对数部份外,其暗示形式都是一样的,例如我们以（64）（67）为例,将两个公式和在一起写,并把对数部份写成对应的反三角形式的不定积分之后,则可以写成：其相似度可见一斑,那么我们将会询问这是为何.这里我将再度引入虚数单元i ,并规定其满足21i =-,借助欧拉公式和双曲三角函数的界说,我们考察正弦函数获得的是这样一个结果：sin sinh 2ix ixe e x i i ix --=-=-,令之为y 并反解之,得arcsin x y =的同时,也获得了另一个结果：arsinh()x i yi =-,也就是说获得一个转化等式arcsin arsinh()i y yi =,这个结果是令人感到惊奇的,如果在上述积分中我们无视a 为正数之情形,并对负的a 直接使用反双曲的结果,同时引入虚数单元i ,根据负数的平方根即是其绝对值开根后与虚数单元作乘积这一规定,即得：这与直接使用反正弦的结果是一样的.这个结果标明,（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）是可以统一的.公式九0)a >的不定积分14式0)a >型的不定积分,此处继公式七之讨论,以及公式七和公式九的推演思想,给出根号下取负号的不定积分.在（50）~（55）六式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面六式的正确性.不外对（70）式要注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数. 在12arsinh ln(x C x C a =+=+中取ai 替换a 得：在（56）~（59）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.在（60）~（63）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.其中对较为特殊的（80）和（83）中,我们注意以虚数单元替换之后,原本的对数表达式酿成了附带虚数单元的表达式：于是：公式十 0)a >的不定积分14式（84）（86）（87）均以凑的方式即可证明,其中（84）利用了反正弦函数的微分公式,（86）（87）实际上就是幂函数的复合所得,因此可以考虑凑出根式内的微分,然后以幂函数的积分公式计算最终结果.（85）以三角换元完成计算：对（88）（89）各自使用分部积分即可完成演算：将上式所得最后的第三项分式进行处置,将其中一个a 乘进根式里,再与第一项合并即可.（89）式在处置的思想上是与之一致的,考虑分部积分,然后利用三角换元或者之前已经给出的不定积分式处置：显然使用三角换元是容易的：（92）式的证明与（56）式的推理类似,虽然我在前面指出（56）式的思路使用三角换元是显然的,可是真正处置起是来略微方便的：因此如果我们在已经建立了积分公式2arsinh 2a x C a =+的情形下,供认并使用这个积分公式来推导（92）式会比独自在证明（92）容易很多：在上述实数积分中引入虚数单元i 并供认21i =-,则令自变量以ix 替换之,则可立刻得：这样就完全可将（92）式与（56）式统一为同一公式.而同理的,可以在（57）（58）（59）中均引入虚数单元,则（93）（94）（95）的证明可以年夜幅度化简：在关于22x a +的积分中指出22222222222ln ||arsinh x a x a a dx x a a C x x x a x a x dx C x x a ⎧++-=+++⎪⎪⎨⎪++=-++⎪⎩⎰⎰,即公式（62）和公式（63）,同上之所证,利用虚数及公式（62）（63）可证明（96）（97）：公式十一含x ax b -±-,()()x a x b --,0,0a b >>的积分4式：由分部积分公式得：其中：带回上式得()()ln ||||22x a x a b a b a dx x b x a x b C x b x b ----⎛⎫=-+-+-+ ⎪--⎝⎭⎰即为（98）式之所证.（98）式的给出,亦可使用还原的方式证明,考虑到不定积分自己具有根号,其干扰运算性太强,考虑强行抹消根号,于是令22222()1(1)x a a bt tdt t x dx a b x b t t --=⇒=⇒=----：对上式第二项中积分,可令,则获得,然后以三角函数处置,得：接着是计算式中的诸三角函数,可利用三角恒等式,如果限定了k 为锐角,亦可借助直角三角形,我在此选择后者：最后把x a t x b-=-,即得：同理对（99）式换元之后,亦可解之,但鉴于计算复杂,这里不用换元的方法,我依然采纳分部积分的方式：其中：带回则完成证明.根据反三角的计算公式,考虑到根式恒正,因此上式中的反三角亦可写作：因此写作arcsinC =+⎝⎭亦是正确的.亦可通过公式（67）C =来计算,获得：通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的：换言之,arcsin ⎝⎭以及2()arcsin x a b a b -+- 当我们获得该结论之后,对第（100）式的证明方法就很多了,最简单的就是通过已建立的公式（68）来完成对不定积分公式（100）,其推理在（99）之中已经给出.由公式（68）：2C ,得：上式所给出三个不定积分的形式,均是正确的.公式十二含三角函数的不定积分23式除基本初等三角函数之外,本组公式总结更为复杂的三角积分,其中包括了递推关系,凑微分以及分部积分等方法来完成其推理.（102）,（103）以降幂公式变形,再以基本初等函数的积分直接积分获得.（104）~（105）实质上就是导数公式的逆,因此我们如果要证明,只需以导数公式指出即可：先以凑微分对积分变量进行替换,紧接着以分部积分对之变形,当等式左右两侧都呈现相同的项时,通过移项的方式获得不定积分（108）的递推关系.（109）与之同理.依然可以考虑用同样的步伐完成（110）和（111）式,这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系,因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算,不如使用割函数更为明了.对正切函数、余切函数高次幂的不定积分,鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式,二次切函数会单出一个积分变量,招致积分是困难的,不外下面等式给出了切函数积分的一种算法,其中它们的幂都是取整数的：上面证明的分部积分是对正弦凑微分获得的,如果对余弦凑微分,则同理可获得以积化和差公式是容易证明的.典范的采纳万能变换,转化为有理函数的不定积分问题.因此我们很自然的会采用换元：tan 2x t =,于是由万能变换公式,得2222sin ,(2arctan )11t x dx d t dt t t ===++,于是所求的不定积分（117）即为2222112221t dt dt t at bt a a b t+=++++⎰⎰,这是典范的二次真分式的有理函数积分的问题,通过考虑判定式是否为正来讨论对应之二次方程是否有两个实数根,以方便拆分,如果没有实数根则配方,并利用反三角暗示,否则就拆为两个分式之和或者差,以对数的形式暗示.另外,借助已建立的公式（48）：亦可给出证明,且我们说过公式（48）指出判别式在为负数的情形下,借助虚数可以证明上下两个不定积分是等价的,因此我们对（117）之证明实际上也只需指出一个成立即可.（118）同理.证明是容易的.在现行的积分公式表中,（117）和（118）两式是被分成四个公式来处置的,考虑到三角函数与对数具有统一性,故在此将之合并为两式.由降幂公式得21cos21cos2sin ,cos 22x x x x -+==,再由万能代换得221tan cos21tan x x x-=+,令tan x t =,则：从（117）至（120）,可见万能代换公式是很方便的一个公式,它将所有三角函数转化为有理分式成了可能,然后借助有理函数的不定积分来完成积分运算.从这一点看,万能代换公式无疑是很强年夜的.分部积分得：同理可证（122）.固然考虑万能代换也是可能的,不外要注意的是万能代换对公式（121）和（122）来说,比力繁杂.而公式（123）和（124）的推理思路与（121）和（122）相同,依然是通过分部积分完成推理,不外注意的是,可以使用（121）和（122）已经建立的结论.公式十三含反三角函数的积分9式以上为弦函数的反函数之不定积分,其中（125）和（128）很容易就通过分部积分公式的获得：arcsin arcsin arcsin x x x dx x x C a a a =-=+⎰,（128）式与之同理.下面推导（126）和（127）,对（129）和（130）是可以类比的：对（127）,注意到使用换元arcsin x t a=之后,积分运算下的被积函数酿成正弦函数的平方和余弦函数之乘积,它自身是正弦三次方的微分,因此可以考虑分部积分公式,也就是232333333arcsin sin cos (sin )sin sin x x dx a t t tdt a td t a t t a tdt a===-⎰⎰⎰⎰,最后对正弦三次方的不定积分,可以采纳凑微分的方式,先凑出余弦函数的微分,然后对剩下的正弦二次方以恒等式换作余弦函数,最后以幂函数的不定积分一举收官,完成推理：另一方面,我们在建立了（125）,（126）,（127）之后,用反三角恒等式直接将反正弦化作反余弦,不定积分的计算也是可行的：且如此计算比重新建立更为方便和简洁.对（130）以分部积分完成,（131）与（132）令arctan x t a=即可得出结论.公式十四含指数函数的积分9式以基本不定积分公式,ln x x x xa e dx e C a dx C a =+=+⎰⎰所建立起来的不定积分组,并对之进一步拓展.这是显然的.均以分部积分即可.可是某些时候我们所关心的其实不是这些积分之自己,而是关心这样一个特殊的关于t 的函数ln x t a a ,显然可以看到当t 为正整数时,函数暗示的是x a 的t 阶导函数,而如果t 为负整数,则暗示的是函数的t 重不定积分——这样的函数是关于求导次数的函数,我们把求导次数作连续延拓获得了一个对一切实数t 展开的新的连续函数,这个函数在微积分里被称作函数x a 的次导函数,该函数直接反应出了函数的非整数阶导数.以分部积分作推导,不难有下面两个等式：等式组可以看作是关于sin(),cos()ax ax e bx dx e bx dx ⎰⎰的方程组,解之即得.对（140）的证明,如下：移项并整理,得将④带入③,得⑤带入②,得所以移项并整理：（141）的证明与之类似.公式十五含对数函数的积分4式以基本不定积分ln ||,ln ln dx x C xdx x x x C x=+=-+⎰⎰展开的积分公式组.（142）凑微分.（143）分部积分可直接推得,而（144）也是分部积分,可是我们依然优先给出递推关系,然后利用递推关系进一步推得结果.由于对数函数的递推结果相对较简单,因此可以写成和的形式.而（145）的推导比（144）相对更为简单,因此这里先给出（145）：（145）的积分结果是简单的.可以看到,当这个积分我们不竭进行下去的时候,对数函数的幂会逐次下降,知道为零次,积分最终将酿成幂函数的积分问题.公式十六双曲函数的积分6式根据双曲函数的界说可直接获得.推理同正切函数和余切函数,先将双曲切函数转为弦函数,然后以凑微分的方式一举完成证明.以双曲之降幂公式即可.。

不定积分的基本积分表与性质

性质3可以推广到有限个函数的情形，即有
利用基本积分表和不定积分性质，可以直接求一些简单的不定积分．
二、不定积分的性质
【例4】
解对于两个有理多项式的商的积分，特别是分母是幂函数的情形，我们一般可以除下来，利用性质2，把分式函数看成是一些幂函数相加得到的新函数，再应用不定积分基本公式（2）求不定积分．
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这些公式时, 有时需要对被积函数做适当的变形.
【例1】
一、基本积分表
解应用不定积分基本公式(2)，有
【例2】
解应用不定积分基本公式(2)，有
一、基本积分表
注意
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一般先化成xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
（3）∫1/x dx=ln|x|＋C；
（4）∫ax dx=ax/lna＋C （a>0，a≠1）;
（5）
（6）∫sinx dx=-cosx＋C;
（7）∫cosx dx=sinx＋C;
（8）∫sec2x dx=tanx＋C;
一、基本积分表
（9）∫csc2x dx=-cotx＋C; （10）∫secxtanxdx=secx＋C ; （11）∫cscxcotx dx=-cscx＋C;
一、基本积分表
【例3】
例3表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系，但是通过恒等变形以后，实际上是可以直接应用基本积分表的．
二、不定积分的性质
性质1
性质1清楚地表明了不定积分运算与微分运算之间的互逆关系．
二、不定积分的性质
注意
对函数f（x）先求积分，再求导数，其结果等于f （x），而对函数f（x）先求导数，再求积分，其结果不再是f（x），而是f（x）＋C．

高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法

还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a

三角函数的不定积分与不定积分的计算

三角函数的不定积分与不定积分的计算不定积分是微积分中的一个重要概念，而三角函数在数学中也扮演着重要的角色。

本文将介绍三角函数的不定积分以及如何计算不定积分。

一、三角函数的不定积分三角函数是数学中的基本函数之一，它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的倒数函数。

三角函数的不定积分可以通过积分表得到，以下是常见的三角函数不定积分公式：1. 正弦函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 余弦函数的不定积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C3. 正切函数的不定积分：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中，C为常数项。

值得注意的是，除了上述公式外，还存在许多三角函数的不定积分公式。

在计算中，我们可以根据具体函数形式选择相应的不定积分公式。

二、不定积分的计算不定积分是求解函数的原函数的过程。

计算不定积分时，我们需要注意以下几点：1. 基本积分法：对于一些常见的函数形式，我们可以使用基本积分法进行计算。

基本积分法是根据函数的导数与原函数之间的关系来进行计算的。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法进行计算。

分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。

3. 常数项处理：在计算不定积分时，常数项需要特殊处理。

我们需要在计算过程中将常数项保留，并且在最终结果中添加常数项。

4. 替代变量法：有时候，我们可以通过进行替代变量来简化计算。

例如，将x替代为sin(t)或cos(t)，然后进行计算。

在实际计算过程中，我们可以根据需要和题目要求灵活运用这些方法，以求得准确的结果。

三、示例为了更好地理解三角函数的不定积分及计算方法，以下是一些示例：示例1：计算∫2sin(x)cos(x)dx。

解：根据分部积分法，我们令u = sin(x)，dv = cos(x)dx。

则du =cos(x)dx，v = sin(x)，根据分部积分法的公式有：∫2sin(x)cos(x)dx = 2∫udv = 2(uv - ∫vdu)= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)d(cos(x))= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)(-sin(x))dx= 2sin(x)cos(x) + ∫sin^2(x)dx进一步计算∫sin^2(x)dx：∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx= ∫dx - ∫cos^2(x)dx= x - ∫cos^2(x)dx根据正弦函数和余弦函数的不定积分公式，进一步计算可得：∫sin^2(x)dx = x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)d(cos(x)))= x - (sin(x)cos(x) - ∫cos(x)d(sin(x)))= x - (sin(x)cos(x) + ∫cos(x)sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) - cos(x)) + C= x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C综合以上结果，最终计算结果为：∫2sin(x)cos(x)dx = 2sin(x)cos(x) + x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C示例2：计算∫(sec^2(x) + tan(x))dx。

有理函数积分表

有理函数积分表有理函数积分表是数学中的一个重要工具，用于求解有理函数的不定积分。

有理函数是指多项式函数与有理函数的商，其积分可以通过分部积分、换元积分等方法来求解。

本文将介绍有理函数积分表的使用方法及一些常见的有理函数积分公式。

有理函数积分表是一个包含各种有理函数积分公式的表格，它可以帮助我们快速求解有理函数的不定积分。

在使用有理函数积分表时，我们只需要查找相应的公式，并根据具体的问题进行运用即可。

下面是一些常见的有理函数积分公式：1. $\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$这是最基本的有理函数积分公式之一，其中C为常数。

2. $\int \frac{1}{(x-a)^n}dx = \frac{1}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$当$n \neq 1$时，其中a为常数，C为常数。

3. $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right) + C$其中a为常数，C为常数。

4. $\int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx = \frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$其中a、b为常数，C为常数。

5. $\int \frac{ax+b}{x^2 + px + q}dx = \frac{a}{2} \ln |x^2 + px + q| + (b-ap) \int \frac{1}{x^2 + px + q}dx$其中a、b、p、q为常数。

这些公式只是有理函数积分表中的一小部分，实际上有理函数积分表中还包含许多其他的公式。

在使用有理函数积分表时，我们需要根据具体的问题选择合适的公式，并注意进行适当的变量代换或分部积分等运算。

有理函数积分表的使用方法并不复杂，但需要一定的数学基础和熟练的运算技巧。

在使用有理函数积分表时，我们需要先对给定的有理函数进行分解或化简，然后根据分解后的形式选择合适的公式进行求解。

mathematica不定积分

mathematica不定积分Mathematica 是一款强大的数学软件，支持多种数学计算。

其中，不定积分是数学计算中的重要内容之一。

下面我们就来介绍如何使用Mathematica 进行不定积分。

一、输入函数首先，我们需要输入待求不定积分的函数。

在 Mathematica 中，可以使用“Integrate”函数对函数进行不定积分。

例如，对于函数 f(x) = x^2，我们可以输入以下命令进行不定积分：Integrate[x^2, x]二、确定积分常数在进行不定积分时，必须要确定积分常数。

在 Mathematica 中，可以使用“C”来表示积分常数。

例如，对于函数 f(x) = x^2，我们可以输入以下命令进行不定积分，并用“C”表示积分常数：Integrate[x^2, x] + C三、使用特殊函数在 Mathematica 中，还支持使用特殊函数来进行不定积分。

例如，对于三角函数 sin(x)，可以使用“Sin”函数来进行不定积分。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以输入以下命令进行不定积分：Integrate[Sin[x], x]四、使用换元法换元法是不定积分的常用方法之一。

在 Mathematica 中，可以使用“ReplaceAll”函数以及“Simplify”函数来进行换元法的计算。

例如，对于函数 f(x) = sin(2x)，可以使用换元法进行不定积分，如下所示：Integrate[Sin[2x], x] /. 2x -> ySimplify[%]五、使用分部积分法分部积分法是不定积分的另一种常用方法。

在 Mathematica 中，可以使用“Integrate”函数以及“ProductRule”函数来进行分部积分法的计算。

例如，对于函数 f(x) = x*cos(x)，可以使用分部积分法进行不定积分，如下所示：Integrate[x Cos[x], x] // ProductRule六、使用积分表计算不定积分时，还可以使用积分表。

不定积分的解法汇总

不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一项重要概念，用于求解函数的原函数。

在求解不定积分时，我们使用一些特定的方法和技巧，以便获得函数的原函数表达式。

1. 基本积分法：基本积分法是求解不定积分的最基本方法，它使用函数的基本积分公式或特定函数的积分公式，将函数积分转化为求导问题。

常见的基本积分公式包括幂函数的积分、三角函数的积分、指数函数的积分等。

2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分的一种常用技巧，它可以将一个函数的积分转化为两个函数的乘积的积分。

分部积分法的公式为∫u·dv = uv - ∫v·du，其中u 和v分别是可以求导和积分的函数。

3. 换元积分法：换元积分法是求解不定积分的一种常用方法，它通过引入新的变量转化被积函数，从而简化积分的计算。

换元积分法的公式为∫f(g(x))·g'(x)dx =∫f(u)du，其中u=g(x)。

4. 递推公式法：递推公式法是一种通过递归思想求解不定积分的方法，在每一步积分中都利用前一步的结果。

递推公式法常用于求解连续幂函数的积分，如∫x^n dx，其中n为自然数。

5. 有理函数的部分分式分解法：对于一个有理函数的不定积分，我们可以使用部分分式分解法将其分解为若干个简单的分式的和，然后逐个求解每个分式的不定积分。

6. 特殊函数的积分法：在求解不定积分时，我们经常会遇到一些特殊函数，如反三角函数、双曲函数等，对于这些函数，我们可以使用特殊函数的积分公式进行求解。

7. 看似无法求解的积分：有时候我们会遇到一些看似无法求解的积分，这时我们可以通过一些技巧和转换，将其转化为可以求解的积分。

例如利用对称性、奇偶性、周期性等性质，或者通过定义新的变量进行转换。

8. 积分表法：积分表是存储了各种常用函数的不定积分表达式的工具，在求解不定积分时，我们可以参考积分表中的公式进行计算。

需要注意的是，积分表法只适用于一些常见的函数，对于一些特殊函数可能不适用。

积分方法总结

积分方法总结
积分方法是微积分中的一个重要分支，用于求解函数的不定积分或定积分。

以下是一些常用的积分方法总结：
1. 直接法：根据函数的基本积分表，直接求解函数的不定积分。

2. 分部积分法：利用积分的乘法法则，将积分式子中的一个乘积变为两个函数的乘积，再进行求解。

3. 换元积分法：通过变量替换，将原积分式子转化为更容易求解的形式。

4. 球面坐标、柱面坐标和平面极坐标的应用：对于具有对称性的问题，可以采用不同坐标系进行积分，简化计算。

5. 反常积分的处理方法：对于反常积分，通过极限计算或变量替换等方法将其转化为收敛的定积分，再求解。

6. 数值积分方法：对于无法求得解析解的积分，可以利用数值方法进行近似计算，如复化梯形法、复化辛普森法等。

7. 线性代数的应用：对于某些复杂的积分问题，可以借助线性代数的概念和技巧，进行变换和求解。

需要注意的是，以上方法仅仅是积分方法中的一部分，实际应用中还会有更多的问题和不同的解题思路。

对于不同的问题，
选择合适的积分方法是关键，需要根据具体情况进行分析和选择。

最全不定积分表(高数)

òx ò òx
1
2
a 2 - x 2 dx = 1
-1 2 x a - x 2 - arcsin + C x a x +C a
2 2
21.
a -x
2
2
dx = arx sin
七. 31.
含有 tan x, cotx,sec x, csc x 的积分
22.
1
2
a -x
2 2
2
dx =
- a -x +C a2 x
56.
òe
ax
sin bxdx =
1 e ax ( a sin bx - b cos bx ) + c 2 a +b
2
57.
eax ò e cos bxdx = a 2 + b2 (a cos bx + b sin bx) + C
ax
十.
含有 Inx 的积分 58.
ò Inxdx = x( Inx - 1) + C ò
n
1 -1 a + bx b(2n - 3) 1 dx = [ n -1 + dx], n ¹ 1 ò n -1 a (n - 1) x 2 a + bx x a + bx
利用 pdfFactory Pro 测试版本创建的PDF文档
16.
ò ò
a + bx 1 dx = 2 a + bx + a ò dx x x a + bx x -2(2a - bx) dx = a + bx + Cห้องสมุดไป่ตู้3b 2 a + bx
32. 33. 34.

不定积分表格法

不定积分表格法不定积分在高数中是一个非常重要的概念，而计算不定积分则更为重要。

不定积分表格法是一种比较实用的方法，能够帮助我们快速地计算出不定积分，并且不容易出错。

在本文中，我们将会详细介绍不定积分表格法的步骤以及应用。

首先，我们需要知道不定积分表格的具体形式。

下面是不定积分表格的样例：$$\begin{aligned}\int \sin x \ \mathrm{d}x &= -\cos x + C \\\int \cos x \ \mathrm{d}x &= \sin x + C \\\int \sec^{2}x \ \mathrm{d}x &= \tan x + C \\\int \csc^{2}x \ \mathrm{d}x &= -\cot x + C \\\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \ \mathrm{d}x &= \sin^{- 1}(\frac{x}{a}) + C \\\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \ \mathrm{d}x &= \frac{1}{a}\tan^{- 1}(\frac{x}{a}) + C \\\int \frac{1}{|x|} \mathrm{d}x &= \ln |x| + C \\\end{aligned}$$在进行不定积分时，我们需要根据被积函数的类型找到对应的表格式，并根据表格式进行计算。

以下是使用不定积分表格法计算不定积分的步骤：第一步：确定被积函数的类型，例如正弦函数、余弦函数、幂函数等等。

第二步：在不定积分表格中找到被积函数对应的表格式。

第三步：将被积函数与表格式中的形式对齐，例如将$\sin x $的形式对齐到$ -\cos x + C$的形式。

第四步：将对齐后的表格式中的常数$C$替换为不定积分的符号$\mathrm{d}C$。

求不定积分的方法总结

求不定积分的方法总结一、简单的不定积分方法总结：1. 一元函数的基本积分表：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本积分公式。

2. 函数的换元积分法：将被积函数作一定的代换，使之变得容易积分。

3. 分部积分法：将含有多项式部分和指数部分的函数进行分部积分，求出更简单的不定积分。

4. 三角函数的积分公式和半角公式：利用三角函数的积分公式，可以将复杂的三角函数不定积分化简为简单形式。

5. 有理函数的积分：对有理函数进行分解为部分分式后，根据基本积分表求出每一项的积分，再合并得到结果。

6. 看破与看似：对于某些形式复杂的函数，通过巧妙的观察可以使用简单的方法进行求解。

7. 不定积分与定积分的关系：利用定积分的性质，将不定积分转化为定积分进行求解。

8. 函数的对称性：如果被积函数具有对称性，可以利用对称性来简化不定积分的计算。

9. 反常积分：对于无穷区间的不定积分，常用极限的性质将其转化为反常积分进行求解。

10. 使用计算工具：当被积函数极为复杂或不易求出解析解时，可以使用数值积分等计算工具进行求解。

二、复杂的不定积分方法总结（需要较高的积分技巧）：1. 除有理分式：对于形如有理多项式除以多项式的分式，可以通过部分分式展开、多项式除法等方法进行积分。

2. 参数积分：当被积函数含有参数时，根据参数的不同取值选择不同的积分方法，将参数积分与常积分相结合。

3. 微分方程法：对于某些特定类型的函数，可以将其看作微分方程的解，通过求解微分方程来获得不定积分。

4. 特殊函数的积分：对于高级函数的积分，如椭圆函数、贝塞尔函数等，可以利用特殊函数的性质和积分公式求解。

5. 积分表的扩展：利用变量代换、函数展开式等方法，将已知积分表中的公式进行扩展和变形，得到更广泛适用的积分公式。

6. 奇偶变换：对于被积函数具有奇偶对称性的情况，可以利用奇偶变换将原函数化简为更易积分的形式。

7. 复合函数积分法：对于复杂的函数，将其分解为复合函数的形式，再进行积分运算。

有理函数的不定积分

有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指函数在变量x上的不定积分。

它关注的是变量x的积分，并不关注变量x的形式。

这种方式的不定积分可以帮助研究者更好地研究函数的特性，以及对不定函数的运算。

一、什么是有理函数的不定积分有理函数的不定积分是指以变量x作为函数的不定积分的形式，即函数f（x）可以表达为以下表达式：∫f（x）dx 。

它指的是x的积分，而不是f（x）本身。

它可以帮助我们分析函数特性，例如曲线的行为，最小和最大特性，以及它在某些范围内的增长和减少。

二、有理函数的不定积分的本质有理函数的不定积分可以用来就指定函数中变量x在指定范围内变化所产生的影响进行研究，它可以让我们理解不定函数的变化规律，以及不定函数的实际运算。

例如，以x为变量的一元函数的不定积分可以用来求得函数在指定范围内的变化。

三、计算有理函数的不定积分计算有理函数的不定积分的方式有以下几种：（1）积分表法将函数的不定积分使用积分表进行计算，积分表是专门为计算不定积分而提供的工具。

（2）函数展开法将函数展开为多项式，然后使用常见解法计算不定积分。

（3）图形法将函数画成图像，按照图像的形状和变化规律结合数值积分公式对函数的不定积分进行计算。

（4）数学软件计算利用计算机软件，输入函数表达式，利用计算机软件计算出函数的不定积分。

四、有理函数的不定积分的应用有理函数的不定积分可以用来分析函数的特性和变化规律，弥补函数的表示欠缺。

它可以用于多变量函数的导数计算，函数最大最小值求解，空间定位，参数估计，统计建模，地震位移分析以及动力学、物理和化学中的数值计算。

总之，有理函数的不定积分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们分析函数的特点，以及函数本质变化的规律，并且可以在多个领域中有效地应用，为这些领域的研究提供便利。

利用表格计算不定积分的方法

利用表格计算不定积分的方法
程明辉
【期刊名称】《高等继续教育学报》
【年(卷),期】2010(023)003
【摘要】利用表格,计算一些较复杂的分部积分,简化不定积分的运算.
【总页数】2页(P95-96)
【作者】程明辉
【作者单位】洛阳理工学院,附属中学,河南,洛阳,471003
【正文语种】中文
【中图分类】TP309.7
【相关文献】
1.利用 Excel 表格编辑公式计算地基沉降量的方法研究 [J], 陆进保;康媛媛
2.煤矿电厂利用电子表格计算原则性热力系统的方法 [J], 许红
3.不定积分的计算方法教学探析——基于数学思想与方法的视角 [J], 黄国建
4.利用Excel表格计算投资方案报酬率方法新探 [J], 夏庆利
5.利用表格法计算流动气体状态参数的方法初探 [J], 姜未汀; 李琦芬; 张莉; 刘江因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。