浙江省余杭高级中学2020届高三3月模块检测数学试题

高三年级三月份模块检测

数学试卷

选择题部分（共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答.

1.已知全集{2,3,5,7,11,13}U =，集合{2,3,5}A =，{3,5,7}B =，则()U C A B ⋃=

.{2,3,5,7}A .{3,5}B C.{11,13} .{7,11,13}D

2.已知椭圆2221(0)2x y b b +=>的离心率为2

，则b =

.12A 或 .1B .2D

3.若实数,x y 满足约束条件||1,||1x y x y +≤⎧⎨-+≤⎩

，则23z x y =+的最大值是 .2A .3B C.4 .6D

4.古希腊著名数学家阿基米德曾经研究过球的体积问题，并得出圆

柱的内切球的体积是这个圆柱体积的23

，并把圆柱和其内切球的图形刻至他的墓碑上.如图是将一个圆柱挖去内切球后的几何体的三

视图，则该几何体的体积是

2.3A π 2.3B C.π 1.3

D π 5.已知,x R y R ∈∈，则"2"x y y x

+<-是"0"xy <的 A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.充分不必要条件

8.如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB=BC=4,∠ABC=90°，侧棱SB 与平面ABC 所在平面成45°，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当△BMN 的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）

A. 6

B. 6

C. 3

D. 16 9.对任意的12b ≤≤，若有且只有一个正整数0x ，使得0x x bx axe ae -->恒成立，则a

的取值范围为（ ）

241.[

,)32A e e 221.[,)3B e e 11C.[,)2e e 2224.[,)33D e e

10.已知数列111{},1,ln(12)22

n n n n a a a a a +<<=++，则下列说法正确的是 2020.02A a << 2020.24B a << 2020C.46a << 2020D.68a << 非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.请在答题卡指定区域内作答.

11.已知复数z =

（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____,||z =______. 12.已知圆C: 223x y += P 为圆上一动点，直线l :0(,)my kx k m k R +-=∈，则直线l 过

定点_________;设定点为A.若A 1与A 点关于原对称，则PA+PA 1的最小值为_________.

13.在62

2()x x -的展开式中，常数项为___________;系数最大的项是___________. 14.用4种不同的颜色给三棱柱111ABC A B C -的6个顶点染色，要求每一点涂一种颜色，且每一条棱两端点颜色不同，则不同的染色方法有_____种，点1A C 和颜色相同的概率为___.

15.在等腰ABC ∆中，,CA CB AD BC =⊥，且3cos 5

C =

，则过点C ，且以,A D 两点为焦点的双曲线的离心率为______.

16.设函数2()1,()2ln x f x x e g x x kx =-=+.若对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≥，则实数k 的最大值为_____.

17.已知向量||2OA =，||1OB =，对于任意的t R ∈，||||,

OA tOB OA OB -≥-OP OA OB λμ=+，若12

λμ=-，则||OP 的最小值为______. 三、简答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡指定区域内作答.

18.（本小题满分14分）

在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin cos cos sin A C A B C +=+，1sinB

b =.求： （1）角B 的大小;

（2）22a c +的取值范围.

20.（本小题满分15分）

已知数列{}n a 的首项10a >且11a ≠,前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈,都有112()1n n n n a a a a ++=-+

(1) 求证: 1101n n

a a +->-； (2) 若数列{}n a 是单调递减数列，求首项1a 的取值范围;

(3) 若11=2a ，求证: 112

n n S n -<≤-.

21.（本小题满分15分） 已知椭圆22

:194

x y C +=，过点(1,0)P 作两条垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别为点,M N .

（1）直线MN 是否过定点，如果是，求出定点坐标;如果不是，请证明;

（2）若弦,AB CD 所在的直线斜率存在，求PMN ∆的面积的最大值.

22.（本小题满分15分）

已知2()3ln 4()f x x x x ax a R =+-+∈.

（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围;

（2）证明不等式

ln 2

x x e <-