高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根

定义1： 不可约多项式 p x 称为 f x 的k重因式
k 1 k p p x f x , x 而 k N , 如果
f x。
p x 就称 f x 的单因式， 当k=1时， 当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 f x x5 x3 2x2 8x 5 的商式和余式。 解：由综合除法
1 0
2 2
1
2
10
8
16
5
48
2

1
4 5
8
24
53
4 3 2 q x x 2 x 5 x 8x 24 因此
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
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f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
c f c F
映射f确定了数域F上的一个函数 f x , f x 被称 为F上的多项式函数。
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当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 u x f x g x , v x f x g x , 则 u c f c g c , v c f c g c . 二、余式定理和综合除法 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 f x , 所得的余式是 f c 。 则 r f c 。
由定理1得：
k2 1 f x p1k1 1 x p2 x psks 1 x g x ,
故
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f x , f x p x p x p x.
k1 1 1 k2 1 2 ks 1 s
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q x b0 xn1 b1xn2 bn2 x bn1
x c q x r b0 xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x , q x 代入 f x x c q x r 中展开后比较方程两边的系数得：
f x kpk 1 x p x g x pk x g x
p x g x, p x p x ,
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p x
p x g x ,
kp x g x p x g x ,
9q x p 2p
27q 2 p 4 p2
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1. 当 r1 x 0 时，即 p q 0,
这时f有重因式 x 2. 当 p 0 时，即 4 p3 27q2 0 时，
欲 f x x3 p x q 有重因式，
27q 2 只需 p 2 0, 即 4 p3 27q2 0, 4p 2 2 p 重因式是 x q 3
'
2
2 x 1 x 1
2
把 f x 单因式化，得
f x x3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 f x , f x
2
由于 f x , f x x 1 ,
c F , 数
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。 2. 定义（多项式函数）：设 f x F x , 对
f c a0 a1c ancn F 称为当
c F , 作映射f：
a0 b0
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b0 a0
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a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
b2 a2 cb1

an1 bn1 cbn2

bn1 an1 cbn2
an r cbn1
r an cbn1
f x g x f x g x f x g x ;
2、 cf x cf x ; 3、
m 4、 f x mf m1 x fx 的 3 重因式， x 1 x 2 是 f x 的单因式， 故 是
故 f x 在Q上的标准分解式为
3
f x x 1 x 2 2
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问题：多项式 f x 在 F x 中没有重因式， f x 在 F x 中是否也没有重因式？
f x 与 f x 互素。
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推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以 利用辗转相除法得到。 在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多 项式有没有重因式。 设多项式 f x 的标准分解式为：
ks k2 f x an p1k1 x p2 x p s x ,
如果 f x 的标准分解式为：
ks k2 f x an p1k1 x p2 x p s x ,
则 p1 x ,, ps x 分别是 f x 的因式，且分别为
k1 ,, ks 重。
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要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
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证：由带余除法：设 f x x c q x r,
有没有确定带余除法： 问题1、
f x x c q x r
中 q x 和 r 的简单方法？ 设 f x a0 xn a1xn1 an1x an
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定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。 证明：设 f x x c q x r, 若 f c 0, 即 r 0, 故 x c 是 f x 的一个因式。 若 f x 有一个因式 x c , 即 x c f x ,
3
例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式
f x x5 3x4 x3 5x2 6x 2
在Q上的标准分解式。
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f ' x 5x4 12x3 3x2 10x 6, 利用辗转相除法求得：
解：
f x , f x x
p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
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p x 是f (k 1) x 的（k-(k-1)=1）单因式，
因而不是 f ( k ) x 的因式。 不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的 推论2： 充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。 证：必要性由推论1立得。 充分性，若 p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则 p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。 推论3： 多项式 f x 无重因式的充要条件是
2
x 3
2
3 f x px q 有重因式的条件。 例1.6.2：求多项式 9q 1 2 3 3 x 3 x p x x px q p0 3 2p 9 q p 3x 2 x x3 x 2p 3
2p r1 x xq 3 3 3q 9q 27q 2 2 p r1 x x 2 p x 2p 4 p2
于是：
1、判别 f x 有没有重因式，只要求 f x , f x 的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x 中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单 因式：
从而 p x
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。 推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式 ' ( k 1) f x , f x , , f p x x 的因式，但 是 （k>1），则 不是 f (k ) x 的因式。 证：
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因 式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因 式。 证：
f x pk x g x ,
p k 1 x kp x g x p x g x
式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项 式分解为不可约因式的乘积。 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因 式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。 定义2： 多项式 f x a0 a1x an xn 的一阶导数指的是多项式：
f x a1 2a2 x nan xn1 （形式定义）
f

x
an f x , f x
f x
p1 x p2 x ps x
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式 f x x4 2x3 11x2 12x 36
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f x x 2
由于多项式 f x 的导数以及两个多项式互素
与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变，
故 f x 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
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一、多项式函数
n f x a a x a x F x , 对 1. 定义：设 0 1 n
因此，利用 f x 与 q x 之间的系数关系可以方便
q x 和r，这就是下面的综合除法：
a0
b0 a0
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a1
a2

an1
an
c
cb0
b1
cb1
b2

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cbn2 cbn1 bn 1 r
于是得 q x b0 xn1 b1xn2 bn2 x bn1,
r 53
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利用综合除法求 q x 与r时应注意：
2、除式 x b 要变为 x b
5 3 2 f x x x 2 x 8x 5 表成 x 2 例1.7.2：把
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
的方幂和。