九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质第4课时二次函数y=a(x_h)2+k的图象与性质
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第4课时)-北师大版九年级数学下册
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
北师大版九年级数学下册 (二次函数的图象与性质)二次函数教学课件(第4课时)
第4课时
复习旧知
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y=2(x－1)2 －3
(2)y=－0.5(x+3)2
(3) y = 3(x+2)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
新知讲解
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质, 你能
2
(4) y x 1 2 x .
直线x=1.25
直线x= 0.5
5
5
,
4
1
,
2
9
8
9
4
课堂练习
6．已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．
(1)求b，c满足的关系式；
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解
解：y=ax²+bx+c a x 2
b
x c
a
2
2
2
b
b
b
a x 2
x
c
2a
2a
2a
b
4ac b 2
a x
2a
4a
2
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形
新知讲解
如何用描点法画二次函数y=2(x－1)2+3的图象？
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时(教案)-北师大版数九年级下册
第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.【难点】用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.导入一:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?[设计意图]通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.问题公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?[设计意图]通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.问题你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?【学生活动】学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.【师生活动】要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.[设计意图]通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.求二次函数y=2x-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.【学生活动】要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7;(2)y=2x2-12x+8.【学生活动】学生独立解答,代表展示,师生共同订正.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).[设计意图]让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.2求二次函数y=ax+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.【师生活动】学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得y=ax2+bx+c=a+c=a+c=a+.因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.【教师点评】1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.[设计意图]引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.2【做一做】如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?你有哪些计算方法?与同伴交流.解析:解决实际应用问题的关键是什么.学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.【教师活动】提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.【学生活动】学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.解法1:y=x2+x+10=(x2+40x)+10=(x2+40x+400-400)+10=(x+20)2+1.∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).解法2:这里a=,b=,c=10,∴-=-=-20,===1,∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4m.故填4.5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).第4课时求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:1.配方法:一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.2.公式法:二次函数y=ax2+bx+c:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.一、教材作业【必做题】1.教材第41页随堂练习.2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.【选做题】教材第41页习题2.5第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是()A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)C.函数图象过点(3,0),(-1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是.4.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.【能力提升】5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+66.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.(1)求铅球推出的水平距离;(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【拓展探究】9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?【答案与解析】1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)2.B (解析:A ,∵y =x 2-2x -3,∴当x =0时,y =-3,∴函数图象与y 轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C ,∵y =x 2-2x -3,∴当y =0时,x 2-2x -3=0,解得x =3或x =-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴对称轴为直线x =1,又∵a =1>0,图象开口向上,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,故本选项说法正确.故选B .)3.(1,-2)(解析:∵y =-x 2+2x -3=-(x 2-2x +1)-2=-(x -1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)4.解:(1)x =1(1,3)(2)填表及画抛物线如下:x …-10123…y …-1232-1…(3)因为在对称轴直线x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2.5.B (解析:将y =x 2-2x +3化为顶点式,得y =(x -1)2+2.将抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y =(x -4)2+4.故选B .)6.四(解析:根据图象得:a <0,b >0,c >0,故一次函数y =bx +c 的图象不经过第四象限.)7.解:(1)当y =0时,-x 2+x +=0,解得x 1=10,x 2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10m .(2)y =-x 2+x +=-(x 2-8x +16-16)+=-(x 2-8x +16)++=-(x -4)2+3.当x =4时,y 取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4m ,最高能达到3m .8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.随堂练习(教材第41页)解:(1)直线x=3;(3,-15).(2)直线x=8;(8,1).(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).习题2.5(教材第41页)1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).=1135,即经3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大过15s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135m.4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低.(2)经过13min,学生的接受能力最强.5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.已知:二次函数y=-x2+2x+3.(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.(2)画出函数图象.(3)根据图象:①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②写出当-2<x<2时,函数值y的取值范围.〔解析〕(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:(3)①当y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,-5<y<4.[解题策略]本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时湘教版九年级下册
3. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所 用的时间x（单位：min)之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x +43(0≤x≤30),y值越大，表示接受能力越强.
（1）ห้องสมุดไป่ตู้在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什
么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10min时，学生的接受能力是多少？ （3）多长时间时，学生的接受能力最强？
解析：(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的 图象由y=3x2向左平移1个单位得y=3(x+1)2.它是轴对称图 形.它的对称轴和顶点坐标分别是直线x=-1和(-1,0)
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象由二次函数y=-3x2的图
象向右平移2个单位再向上平移4个单位而得. 对于二次函数y=3(x+1)2,当x≥-1时,y的值随x值的增大 而增大.当x≤-1时,y的值随x值的增大而减小.二次函数 y=3(x+1)2+4的增减性与y=3(x+1)2相同.
4ac b 2 个单位 (当 4ac b 2 >0时向上平 体上(下)平移 | | 4a 4a
4ac b 2 <0时,向下平移)得到的. 移;当 4a
2a
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
y=a(x-h)2+k
a>0 a<0
开口方向
向上 向下
对称轴
x=h x=h
顶点坐标
（h,k） （h,k）
2.2
二次函数的图象与性质
第4课时
1.经历把函数y＝ax2的图象沿x轴、y轴平移得到函数y＝ a(x+h)2＋k的图象的探究过程，图象变换的实质
九年级数学二次函数的图象和性质课件
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第4课时二次函数y=ax-h2+k的图象与性质
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
教学时间
课题
第4课时 二次函数y=a +k的图象和性质
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1．使学生理解函数y=a(x+h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x+h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过 程
和
方 法
让学生经历函数y=a(x+h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
情 感
态 度
价值观
教学重点
确定函数y=a(x+h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x+h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?
教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－ (x－1)2＋2的图象与函数y=－ x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
第4课时二次函数y=a(xh)2k的图象与性质课件北师大版数学九年级下册
y8 6
4
2
-4 -2
O4x -2
试一试 画出二次函数
开口方向： 向下 ； 对称轴： 直线 x = -1 ； 顶点坐标是 (−1，−1) ； 增减性：_当___x_＜__-_1_时__，
的图象，并填空. y
-4 -2 O 2 4 x -2
-4 -6
_y_随___x_增__大__而__增__大__；___
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1.
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物 线上，
Ox O
x
Ox O x
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向左平移3个单位
y = 2(x + 3)2
1 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
解：先列表：
x
…
…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 … 1.5 -0.5 1.5 7.5 17.5 31.5 49.5 …
解得 a＝1.
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件
轴左侧）， y 的值随
x 的值的增大而 减
增减性 小 ；当 x ＞－ 时
（对称轴右侧）， y
的值随 x 的值的增大
而 增大
y ＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ＜0）
当 x ＜－ 时（对称轴左
侧）， y 的值随 x 的值的
增大而 增大 ；
当 x ＞－ 时（对称轴右
侧）， y 的值随 x 的值的
动点.
（1）求抛物线的表达式；
解：（1）将点 A （3，0）和 B （0，3）代
入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得
= ，
− + ＋ = ，
ቊ
解得ቊ
= ，
= .
∴抛物线的表达式为 y ＝－ x2＋2 x ＋3.
（2）过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，交 x 轴于点 F ，连接
＝ − ，
联立方程组ቊ
＝ − + + ，
+
−
＝
，
＝
，
解得൞
或൞
−+
−−
＝
，
＝
.
∵点D在第一象限，
∴点D
+
−+
，
Байду номын сангаас
.
跟踪训练
2
4. 如图，抛物线 y ＝－ x 平移后经过原点 O 和点 A
（6，0），平移后的抛物线的顶点为点 B ，对称轴与抛
增大而 减小
注意：（1）探究一般式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的性质往往是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质
一、选择题：
1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）
2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）
A 、顶点坐标为（-3,2）
B 、对称轴是直线3-=y
C 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大
D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小
3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A 、3)1(2++=x y
B 、3)1(2+-=x y
C 、3)1(2-+=x y
D 、3)1(2--=x y
4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线2
2x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A 、y=（x+1）2-1
B ．y=（x+1）2+1
C ．y=（x-1）2+1
D ．y=（x-1）2-1
6、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--
=2)2
1(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）
A 、1y <2y <3y
B 、2y <1y <3y
C 、3y <1y <2y
D 、2y <3y <1y
7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）
A ．m =l
B ．m >l
C ．m ≥l
D ．m ≤l
8、二次函数n m x a y ++=2
)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）
A 、第一、二、三象限
B 、第一、二、四象限
C 、第二、三、四象限
D 、第一、三、四象限
二、填空题：
1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
2、抛物线k h x y ++=2)(4的顶点在第三象限，则有k h ,满足h 0，k 0。
3、已知点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数1)1(2+-=x y 的图象上，若121>>x x ，则1y 2y （填“＞”、“＜”或“=”）．
4、抛物线的顶点坐标为P （2,3），且开口向下，若函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围为 。
5、在平面直角坐标系中，点A 是抛物线k x a y +-=2)3(与y 轴的交点，点B
是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 。
6、将抛物线2x y -=先沿x 轴方向向 移动 个单位，再沿y 轴方向向 移动 个单位，所得到的抛物线解析式是1)3(2+--=x y 。
7、将抛物线12+-=x y 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是 。
8、将抛物线1)1(22++-=x y 绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ； 将抛物线1)1(22++-=x y 绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 。
9、抛物线k h x a y +-=2)(的顶点为（3，-2），且与抛物线231x y -
=的形状相同，则a ，h = ，k = 。
10、如图，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2
122+-=x y 交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则
以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是 。
三、解答题：
1、若二次函数图象的顶点坐标为（-1,5），且经过点（1,2），求出二次函数的解析式。
2、若抛物线经过点（1,1），并且当2=x 时，y 有最大值3，则求出抛物线的解析式。
3、已知：抛物线y=3
4（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y 轴的交点为P ，与x 轴的交点为Q ，求直线PQ 的函数解析式．
4、在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A （1、-4），且经过点B （3,0）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当33<<-x 时，函数值y 的增减情况；
（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点。
5、如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M （1，-4）
（1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=
4
5，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。