卢氏一高 数列求和的常用方法

专题二 数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪

⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n n

3、 )1(21

1

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知

37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，

求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2

a a a a a a ++=⎧⎪

⎨+++=⎪⎩，

解得22a =．

设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132

2a a q q

==，．

又37S =，可知2

227q q ++=，即22520q q -+=，

解得121

22

q q ==，．由题意得12q q >∴=，．

11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．

（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n b b +-= {}n b ∴是等差数列．

12n n T b b b ∴=+++

1()2

(3ln 23ln 2)

23(1)ln 2.

2n n b b n n n +=

+=+=

故3(1)

ln 22

n n n T +=

．

二、错位相减法

设数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理 改编）

1、在数列{}n a 中，(1)n n a n λ=-，其中0λ>．求数列{}n a 的前n 项和n T ；

2、在数列{}n a 中，12,(1)2n n n a a n λ==-+，其中0λ>．求数列{}n a 的前n 项和n S ； 解：1: 234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①

345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②

当1λ≠时，①式减去②式，

得21

2

3

1

1(1)(1)(1)1n n

n n n T n n λλλλλλλλλ

+++--=+++--=

--- ， 211212

22

(1)(1)(1)1(1)

n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 当1λ=时，(1)

2

n n n T -=

． 2：前半部分与上面相同

这时数列{}n a 的前n 项和1(1)

222

n n n n S +-=

+- 这时数列{}n a 的前n 项和212

12

(1)22(1)

n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．

①

②

三、倒序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

例4 设函数2

22)(+=x x x f ，若;求,),1

(

)3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈-+⋯+++= 解：因为(

)11x f x --==

又因为 (

)x

f x = 所以 ()11f x f x +-=

的和：求例n n 2232221732++++ n n S 2232221++++= 解：132221222121++-+++=n n n n n S 221212121)211(-++++=-n n S 相减得：1

22112112121+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n S n n n n S 22121--=∴-

()()12111212n n n f f f n n n n f f f n n n S S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又，（1）+（2）得：

1122121111

1

2

n n n n n f f f f f f n n n n n n n n S S ⎡-⎤⎡-⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++=--∴=

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）1

1

1)1(1+-

=+=

n n n n a n （2）)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n

（3）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n 等。

例5 求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1

,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项） 则 1

1

321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-

＝11-+n

评析：一般地，若数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑

=+n

i i i a a 1

1

1

首先考虑=∑

=+n

i i i a a 111∑=+-n

i i i

a a d 11)1

1(1则∑=+n

i i i a a 11

1=1111)11(1++=-n n a a n

a a d 。下列求和：∑=++n

i i i a a 1

11

也可用裂项求和法。 练习：已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S ； （2）令 ()*2

1

1

n n b n a =

∈N -，求数列{}n b 的前n 项和n T 五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列