卢氏一高 数列求和的常用方法

专题二 数列求和的常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。

下面介绍数列求和的几种常用方法：
一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n n
3、 )1(21
1
+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3)]1(21
[+==∑=n n k S n
k n
例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知
37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，
求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2
a a a a a a ++=⎧⎪
⎨+++=⎪⎩，
解得22a =．
设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132
2a a q q
==，．
又37S =，可知2
227q q ++=，即22520q q -+=，
解得121
22
q q ==，．由题意得12q q >∴=，．
11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．
（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n b b +-= {}n b ∴是等差数列．
12n n T b b b ∴=+++
1()2
(3ln 23ln 2)
23(1)ln 2.
2n n b b n n n +=
+=+=
故3(1)
ln 22
n n n T +=
．
二、错位相减法
设数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理 改编）
1、在数列{}n a 中，(1)n n a n λ=-，其中0λ>．求数列{}n a 的前n 项和n T ；
2、在数列{}n a 中，12,(1)2n n n a a n λ==-+，其中0λ>．求数列{}n a 的前n 项和n S ； 解：1: 234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①
345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②
当1λ≠时，①式减去②式，
得21
2
3
1
1(1)(1)(1)1n n
n n n T n n λλλλλλλλλ
+++--=+++--=
--- ， 211212
22
(1)(1)(1)1(1)
n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 当1λ=时，(1)
2
n n n T -=
． 2：前半部分与上面相同
这时数列{}n a 的前n 项和1(1)
222
n n n n S +-=
+- 这时数列{}n a 的前n 项和212
12
(1)22(1)
n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．
①
②
三、倒序相加法
把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
例4 设函数2
22)(+=x x x f ，若;求,),1
(
)3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈-+⋯+++= 解：因为(
)11x f x --==
又因为 (
)x
f x = 所以 ()11f x f x +-=
的和：求例n n 2232221732++++ n n S 2232221++++= 解：132221222121++-+++=n n n n n S 221212121)211(-++++=-n n S 相减得：1
22112112121+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n S n n n n S 22121--=∴-
()()12111212n n n f f f n n n n f f f n n n S S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又，（1）+（2）得：
1122121111
1
2
n n n n n f f f f f f n n n n n n n n S S ⎡-⎤⎡-⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++=--∴=
四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1
1
1)1(1+-
=+=
n n n n a n （2）)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n
（3）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n 等。

例5 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1
,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=
111
（裂项） 则 1
1
321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-
＝11-+n
评析：一般地，若数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑
=+n
i i i a a 1
1
1
首先考虑=∑
=+n
i i i a a 111∑=+-n
i i i
a a d 11)1
1(1则∑=+n
i i i a a 11
1=1111)11(1++=-n n a a n
a a d 。

下列求和：∑=++n
i i i a a 1
11
也可用裂项求和法。

练习：已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S ； （2）令 ()*2
1
1
n n b n a =
∈N -，求数列{}n b 的前n 项和n T 五、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列
适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7 数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。

解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，
两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，
,21
=∴
+n
n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,
222
12132
2211
2
1
1+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--
=.12222
121-+=+--n n n n 练习：已知数列{}n a ，()1n a n n =+求其前n 项和n S
点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例9 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k
k k
个个 （找通项及特征）
∴
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）
＝)1111(91
)10101010(911
321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091n
n ---⋅
＝)91010(81
1
1n n --+。