数学物理方程与特殊函数第二三章作业
数学物理方程与特殊函数
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例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量：
温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S n
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
热场
横向： T cos T 'cos '
纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
其中： cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
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T T'
其中： m ds
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方 程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
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思考判断下列方程的类型
2u 2t
a2
2u 2x
x
2u x2
a2
u t
xu
2u x2
a2
2u t 2
u1u源自122u2
0
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
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2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
第二章 分离变量法 数理方程课件
2 0 X 2 X 0
X (0) A 0
n
n
10
,n
1,2,3,
X (x) Acosx Bsin x X (10) Bsin10 0
n
n2 2
100
n
X n (x) Bn sin 10 x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104
2u x2
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为 (x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
2u u(t02,
t)
104 u
2u x2
,
(1 0, t )
0,
u(x,0)
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t 0 0 x 10
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Aex Bex
X (l) Ael Bel 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
▪求特征值和特征函数 n n / l2
▪求另一个函数
Tn
Cn
cos
na
l
t
Dn
X n (x) Bn
sin na t
l
sin
n
l
x
na
na n
▪求通解 u un X nTn (Cn cos
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总
1.证明二维laplace 方程 在极坐标下 证：2.长为l 的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ）， 杆的初始温度分布为x (l-x ) / 2 ，试写出相应的定解问题。
解：对于杆上的一个微元d x ，流入的热量为：温度变化所需的热量为：两式相等：定解问题为：02222=∂∂+∂∂y u x u 22,arctan y x x y+==ρθθρθρρθθρθθsin ,cos 221cos ,sin /1122222=∂∂=⋅+=∂∂=∂∂-=-⋅+=∂∂y x y x x y x y x y x 2222222222222sin cos cos 2sin sin ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u u u y u x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2222222222222sin sin sin 2sin cos ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u u u x u ρρθρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u u y u x u 11222222222ρθθθρθθρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y u y u y u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θρρρρρu u ρθθθρsin cos ∂∂-∂∂=u u 02222=∂∂+∂∂y ux u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂θρρρρρu u3.设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
解如果琴弦像上图的方法来放置，是不是边界条件将不再是齐次的。
4.解下列问题解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=∂∂=∂∂><<∂∂=∂∂lxxxutxt luxtut lxxuatu),()0,(,0),(,0),0(,,222ϕ)()(),(tTxXtxu=XTaXT''='2XXTaT''='22=+'=+''TaTXXλλ⎩⎨⎧='='<<=+'')(,0)0(lXXlxXXλ)()(),()()0(),0(='=∂∂='=∂∂tTlXxt lutTXxtu)(,0)0(='='lXX,3,2,1,22=⎪⎭⎫⎝⎛==nlnnnπβλsin)(=-='lBlXββ)0(=='βAXxlnBXnnπcos=lnnπβ=xBxAXββcossin+=2=+''XXβ2>=βλBX=BAxX+==''X=λ==BAll eBeAlXββββ--=')()0(=-='ββBAXxx BeAeXββ-+=2=-''XXβ2<-=βλ2=+'TaTλ=λ0='T00T A=>λ02222=+'nnTlnaTπtlnanneAT2222π-=nnnTXu=xlneC tlnanππcos2222-=CAB==∑∑∞=-∞=+==1cos2222ntlnannnxlneCCuuππTXu=xlneBA tlnannππcos2222-=001()d2l lC x xlϕ==⎰022()cos d2(1)1()lnnnC x x xl llnπϕπ=⎡⎤=--⎣⎦⎰xx=)(ϕ5.达朗贝尔公式推导 解：做如下代换得：所以 因为所以所以 又因为 因为 所以所以得：即因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂x x t x u x x u t x x u a t u ),()0,(),()0,(0,,22222ψϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=t a x 121⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂=t a x 121)()(21at x f at x f u -++=ηηη∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x ξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x a t 2ηξ-=2ηξ+=x at x -=ηat x +=ξ)()(21ηξf f u +=)(ξξf u =∂∂02=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ηξηξu u t a x ∂∂⋅-∂∂=∂∂1ηt a x ∂∂⋅+∂∂=∂∂1ξ011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂u t a x t a x 0122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂u t a x 0122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂u t a x 0122222=∂∂⋅-∂∂t u a x u )()()()0,(21x x f x f x u ϕ=+=)()()()0,(21x x f a x f a t x u ψ='-'=∂∂C a x f x f x +=-⎰021d )(1)()(ξξψ2d )(21)(21)(01C a x x f x ++=⎰ξξψϕ2d )(21)(21)(02Ca x x f x --=⎰ξξψϕ2d )(21)(212d )(21)(2100C a at x C a at x u at x at x ---++++=⎰⎰-+ξξψϕξξψϕ[]11()()()d 22x atx at u x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰6.解定解问题解：令所以因为 所以得7.P81T1求方程0,1,22>>=∂∂∂y x y x yx u满足边界条件y y u x x u cos ),1(,)0,(2==的解解：用积分法求解：对y 进行积分)(2122x g y x x u ==∂∂，再对x 积分)()(612123y f x f y x u ++=利用边界条件得 ，再用一次边界条件用积分变换法求解：对y 取拉普拉斯变换利用边界条件 得22d 2d d 3d y x y x --x y +=η2=∂∂∂ηξu )()3()0,(21x f x f x x u +-==)()3(0)0,(21x f x f y x u '+-'==∂∂Cx f x f =+--)()3(3121Cx x f 4343)3(1-=-C x x f 4341)(21-=C x x f 4343)(2+=()2222343)(4343341y x C y x C y x u +=+++--=(d 3d )(d d )0y x y x =-+=)()3(21x y f x y f ++-=x y 3-=ξ)()(21ηξf f u +=y y f f y y u x f x f x u cos )()1(61),1(,)0()()0,(212221=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂∂+∂∂x y x u x x u x y y u y x u x u ,0)0,(,)0,(,0,032222228.推导空间格林公式由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ++=∂∂+∂∂+∂∂dS x n R y n Q x n P dV z R y Q x P )],cos(),cos(),cos([)(推导 证：设函数u(x,y,z)和υ(x,y,z)在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数。
高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业3北师大版必修1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质课时作业3 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质课时作业3 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质课时作业3 北师大版必修1的全部内容。
2.4.2 二次函数的性质|基础巩固|(25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y＝x2－2x＋3在（－1，5）上的最小值为( ）A．2 B．6C．18 D．22【解析】判断对称轴x＝1在区间（－1，5）内部，在x＝1取得最小值2.【答案】A2．函数f(x）＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称,则( )A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】函数f（x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－错误!,且只有一条对称轴，所以－错误!＝1，即m＝－2.【答案】A3．二次函数f(x）＝ax2＋bx＋c的顶点为(4，0），且过点(0，2），则abc等于（) A．－6 B．11C．－错误! D.错误!【解析】因为f（x）图像过点(0，2)，所以c＝2。
又顶点为（4，0）,所以－错误!＝4，错误!＝0.解得b＝－1，a＝错误!,所以abc＝－错误!。
【答案】C4．若f（x)＝(m－1）x2＋2mx＋3（m≠1)的图像关于y轴对称,则f(x)在（－3，1)上( ）A．单调递增 B．单调递减C．先增后减 D．先减后增【解析】由f(x)的图像关于y轴对称，得m＝0，所以函数f（x)＝－x2＋3，由f（x)的图像(图略)知其在（－3,1）上先增后减．故选C.【答案】C5．函数f(x）＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间（－2，＋∞)上是单调递减，则a的取值范围是（）A．[－3,0] B．(－∞，－3]C．[－3,0） D．[－2,0]【解析】若a＝0，则f（x）＝－6x＋1（符合题意)，a〉0不合题意，若a<0,则－错误!≤－2,解得－3≤a<0，综上得－3≤a≤0。
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数学物理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
数学物理方程 第三章(东南大学王元明)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 y y y 2u 2u 2u 2u u u u u A 2 ( A B) B 2 A B A B xy y y
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
2u 2u 2u ( A B) AB 2 2 x xy y 2 2 2u 2u 2u 2u 2 u 2 u A 2 AB B ( A B) A 2 ( A B) B 2 2 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2u 2 u x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t f2 u f1 ( x at) f 2 ( x at) t
2 utt a u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
高中数学第二章函数4.2二次函数的性质课时作业北师大版必修1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章函数4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章函数4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章函数4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1的全部内容。
4.2 二次函数的性质[学业水平训练］1．(2014·太原五中月考）如果函数f（x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x,都有f（1＋x)＝f （－x），那么（）A．f(－2)＜f（0)＜f（2）B．f（0）＜f（－2)＜f(2)C．f(2）＜f（0)＜f(－2）D．f(0)＜f(2)＜f（－2）解析:选D。
函数f(x）＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f（1＋x）＝f（－x)．可知函数f（x）图像的对称轴为x＝错误!,又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大,故选D.2．如果函数y＝x2＋(1－a）x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是( ）A．a≥5 B．a≤－3C．a≥9 D．a≤－7解析：选C.由题意知对称轴x＝－1－a2≥4，∴a≥9.3．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m］，值域为［－8，－4]，则m的取值范围是( ) A．（0,2] B．（2，4)C．[0,4］D．［2，4］解析:选D。
由图像知对称轴为x＝2，f(0）＝－4，f(2)＝－8，f（4）＝－4,若函数在[0，m]上有最小值－8,∴m≥2.若函数在［0，m]上有最大值－4,∵f(0）＝f(4）＝－4,∴m≤4。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
2020_2021学年高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质作业课件北师大版必修1
15．(15 分)设函数 f(x)＝x2＋x－14， (1)若函数 f(x)的定义域为[0,3]，求 f(x)的值域； (2) 若 当 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， a ＋ 1] 时 ， f(x) 的 值 域 为 －12，116，求 a 的值．
解：∵f(x)＝x＋122－12， ∴函数 f(x)的对称轴为 x＝－12. (1)∵3≥x≥0>－12， ∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即－14，447.
(2)∵f(x)＝－12x2＋x 的图像的对称轴为直线 x＝1， ∴当 x∈[0,3]时，f(x)max＝f(1)＝－12＋1＝12， f(x)min＝f(3)＝－92＋3＝－32. ∴函数 f(x)的值域为－32，12.
13．(13 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加 50 元时，未 租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费 150 元， 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．
第二章 函数
§4 二次函数性质的再研究 第14课时 二次函数的性质
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．能通过二次函数配方，讨论其图像的开口方向、大小，顶 点、对称轴，单调性等性质； 2．能利用二次函数的图像或解析式求其最值； 3．初步体会利用二次函数的图像的性质解决有关简单实际问 题； 4．能够解决一些含参数的二次函数的综合问题．
综上得－3≤a≤0.故选 A.
8．已知函数 f(x)＝x2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，
最小值 2，则 m 的取值范围是( C )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2]
D．(－∞，2]
数学物理方程练习题第九版(学生用)
u(r, π=) 2
0,
0 < r < 1,
u(1,θ )=
θ (π −θ ), 2
0<θ < π . 2
练习六
3
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
2．求解如下定解问题：
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
保持零度，而外圆温度保持 u0 (u0 > 0) 度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布
规律 u(r,θ ) . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 ∆u= uxx + uy问题：
u1r (∂r∂1r,θ= )r
∂u ∂r
0,
+ 1 ∂2=u r 2 ∂θ 2 u(r2 ,θ=)
= u(0, t) s= in t, ux (π ,t) 0,
u(x,0) = 0.
4
3. 求解以下定解问题：
= uu= (t0,tu) xx
+2ux , u= (1, t )
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程(1)课时作业 新人教B版必修1(2021年最新整理)
2017-2018年高中数学第二章函数2.4 函数与方程（1）课时作业新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年高中数学第二章函数2.4 函数与方程（1）课时作业新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4 函数与方程(1）A级基础巩固一、选择题1．函数f（x）＝2x＋7的零点为导学号 65164602( C ）A．7 B．错误!C．－错误!D．－7[解析]令f(x）＝2x＋7＝0，得x＝－错误!，∴函数f（x)＝2x＋7的零点为－错误!。
2．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是导学号 65164603( A )A．0 B．1C．2 D．3[解析］令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11〈0，∴方程无实数根,故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．3．下列图象对应的函数中没有零点的是错误!( A ）[解析]因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此,若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象,可知A中的图象对应的函数没有零点．4．函数f（x）＝x－错误!的零点有错误!（ C ）A．0个B．1个C．2个D．无数个[解析]令f（x)＝0,即x－错误!＝0，∴x＝±2。
故f（x）的零点有2个．二、填空题5．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点,则m的值为12.错误![解析]由题意，得2m－1＝0,∴m＝错误!。
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点分别为－2、3，且f（－6)＝36，则二次函数f(x）的解析式为__f（x)＝x2－x－6__.错误
故域 内 所 含 电 量 的 d 4E i倍 d v ， V 即 4 dV
数学物理方程与特殊函数
制作：北京理工大学 闫桂峰等
2019/10/4
主讲教师： 闫桂峰 E-mail: Tel：68912131(中教630)
2019/10/4
参考书目
梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教 育出版社,2019。
闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版 社,2009。
即
E n d S 4 (x ,y ,z )dV
d E i4 v ( x ,y ,z )
2019/10/4
1.1 基本方程的建立
静电场 E是有势场，故存在势函数 u, 有 Egraud
故
d g iu r v 4 a ( x ,d y ,z )
热场
1.1 基本方程的建立
傅立叶实验定律:
dQkudSdt n
物体在无穷小时段dt内沿法线方向n
流过一个无穷小面积dS的热量dQ与
时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS
法线方向的方向导数成正比.
n
S
M
VS
热场
从时刻 t 1 到时刻 t 2 经过曲面S 流入区 域V 的热量为
Q1
c u t xku x yku y zku z
(非均匀的各向同性体的热传导方程)
对于均匀的各向同性物体，
高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业2北师大版必修1
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2.4.2二次函数的性质一、选择题1．下列区间中，使y ＝－2x 2＋x 增加的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[14，＋∞)D ．(－∞，14][答案] D[解析] 由y ＝－2(x －14)2＋18，可知函数在(－∞，14]上是增加的．2．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0 D ．a ，b 的符号不定[答案] B[解析] 因为函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a <0，且在对称轴x ＝－b2a＝－1处取最大值，故b ＝2a <0，选B.3．函数y ＝－x 2＋4x 的增区间是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2][答案] D[解析] 函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，函数是增加的．4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4[答案] D[解析] ∵y ＝－x 2＋bx ＋c ＝－(x －b2)2＋b 2＋4c4最高点为(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－1，b 2＋4c 4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－4.故选D.5．函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]，则函数( ) A ．有最小值0，最大值9 B ．有最小值2，最大值5 C ．有最小值2，最大值9 D ．有最小值1，最大值5[答案] A[解析] 由于f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，图像的对称轴是x ＝－1，所以f (x )在x ＝－1处取得最小值且f (－1)＝0.又f (－2)＝1，f (2)＝9.因此函数的最大值等于9.6．某生产厂家生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的解析式为y ＝x 2－85x ，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( )A ．35B ．45C ．55D ．65[答案] C[解析] 生产x 台时，所获利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋110x ＝－(x －55)2＋3 025. 所以当x ＝55时，f (x )取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55. 二、填空题7．已知函数f (x )＝4x 2－ x －8在[2,10]上具有单调性，则实数 的取值范围是________． [答案] ≤16或 ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k8，∴k 8≤2或k8≥10， ∴ ≤16或 ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ x ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝ x ＋1中得a ＝4， ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax －3. (1)如果f (a ＋1)－f (a )＝9，求a 的值； (2)问a 为何值时，函数的最小值是－4?[解析] (1)∵f (a ＋1)－f (a )＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)－3－(a 2＋2a 2－3)＝4a ＋1＝9，∴a ＝2.(2)∵由－－4a24＝－4，得a 2＝1，∴a ＝±1.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上是增加的，求实数t 的取值范围． [解析] (1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0,1)，知c ＝1. ∵f (－2＋x )＝f (－2－x )， ∴函数f (x )的对称轴x ＝－22a ＝－1a＝－2. ∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是增加的， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.11．(1)当－2≤x ≤2时，求函数y ＝x 2－2x －3的最大值和最小值． (2)当1≤x ≤2时，求函数y ＝－x 2－x ＋1的最大值和最小值． (3)当x ≥0时，求函数y ＝－x (2－x )的取值范围．[解析] (1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x ＝1， 所以当x ＝1时，y min ＝－4； 当x ＝－2时，y max ＝5.(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x ＝－12.所以当x ＝1时，y max ＝－1； 当x ＝2时，y min ＝－5.(3)作出函数y ＝－x (2－x )＝x 2－2x 在x ≥0时的图像，如图(3)． 可以看出：当x ＝1时，y min ＝－1，无最大值． 所以，当x ≥0时，函数的取值范围是y ≥－1.一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0[答案] A[解析] 由题意得f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ＝c ， 即16a ＋4b ＝0,4a ＋b ＝0，f (1)＝a ＋b ＋c ， 因为f (4)>f (1)，所以a ＋b <0，a >0，故选A.2．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m 8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.二、填空题3．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f (－1)＝________.[答案] 1 [解析] ∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．[答案]3或－1[解析]由图像知f(3)＝0，∴m＝3.由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.三、解答题5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围．[解析]y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出如下函数图像：图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．∵函数的最小值为2，∴1∈[0，m]．又∵当y＝3时，解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.再观察图像得：1≤m≤2.6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m 的取值范围．[解析](1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2－3x ＋1－m >0.设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0， 因为x ∈[－1,1]时，g (x )是减少的， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1－m ， 因此有－1－m >0，得m <－1.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的条件是f (x )在x∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a 24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. [解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c a<2， 即有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a >0h－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.9．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4( ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，解得 ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25) (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20 )． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55 0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .。
数学物理方程谷超豪第三章答案
第三章 调 和 方 程§1 建 立 方 程 定 解 条 件 1． 设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明 221)(-+=n rc c r f )2(≠nrIn c c r f 1)(21+= )2(=n其中21,c c 为常数。
证： )(r f u =, rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(rx r f r r f r x r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f r x r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+= 即方程 0=∆u 化为 0)(1)('"=-+r f rn r frn r f r f 1)()('"--= 所以 )1(1')(--=n r A r f若2≠n ，积分得 1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则 221)(-+=n rc c r f若2=n ，则 rA r f 1')(=故 I n r A c r f 11)(+= 即2=n ，则 rInc c r f 1)(21+= 2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1)(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z = （1）222222zu yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行 ϕρcos =x ， ϕρsin =y （2）θρsin r =， θcos r z = （3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)c o s ()s i n (s i n c o s ϕρϕρϕϕϕρy u x u u y u x u u 由此解出⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u+∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222s i n c o s s i n 2c o s ϕρϕϕρρϕϕρϕuu uρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+uu 22s i n c o s s i n 2 )c o s s i n (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u uρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=uu uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5） ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u 112222222222222 再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
高中数学第三章函数的概念与性质知识汇总大全(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质知识汇总大全单选题1、设f (x )为定义在R 上的函数，函数f (x +1)是奇函数.对于下列四个结论：①f (1)=0；②f (1−x )=−f (1+x )；③函数f (x )的图象关于原点对称；④函数f (x )的图象关于点(1,0)对称；其中，正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：令g (x )=f (x +1)，①：根据求解出f (1)的值并判断；②：根据g (x )为奇函数可知g (−x )=−g (x )，化简此式并进行判断；根据y =f (x +1)与y =f (x )的图象关系确定出f (x )关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.令g (x )=f (x +1)，①因为g (x )为R 上的奇函数，所以g (0)=f (0+1)=0，所以f (1)=0，故正确；②因为g (x )为R 上的奇函数，所以g (−x )=−g (x )，所以f (−x +1)=−f (x +1)，即f (1−x )=−f (1+x )，故正确；因为y =f (x +1)的图象由y =f (x )的图象向左平移一个单位得到的，又y =f (x +1)的图象关于原点对称，所以y =f (x )的图象关于点(1,0)对称，故③错误④正确， 所以正确的有：①②④，故选：C.小提示：名师点评通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若f (x +a )为偶函数，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；（2）若f (x +a )为奇函数，则函数y =f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称.2、已知函数f (x )=2x 2−6x +3，x ∈[−1，2]，则函数的值域是（ ）()00g =A ． [−32，11）B ． [ 32，11）C ． [ −1，11]D ．[−32，11]答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x 2−6x +3=2(x −32)2−32,对称轴x =32,当x ∈[−1，2],f (x )min =f (32)=−32,又因为f (−1)=11,f (2)=1,∴f (x )max =f (−1)=11,所以函数的值域为[−32，11]. 故选:D3、若函数f (x )=2x+m x+1在区间上的最大值为52，则实数m =（ ） A ．3B ．52C ．2D ．52或3答案：B分析：函数f (x )化为f (x )=2+m−2x+1，讨论m =2，m >2和m <2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．函数f (x )=2x+m x+1，即f (x )=2+m−2x+1，x ∈[0,1]，当m =2时，f (x )=2不成立；当m −2>0，即m >2时，f (x )在递减，可得f (0)为最大值， 即f (0)=0+m 1=52，解得m =52成立；当m −2<0，即m <2时，f (x )在递增，可得f (1)为最大值， 即f (1)=2+m 2=52，解得m =3不成立；综上可得m =52．故选：B ．4、若函数y =f (x )在R 上单调递增，且f (2m −3)>f (−m )，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−1)B ．(−1,+∞)C ．(1,+∞)D ．(−∞,1)答案：C[]0,1[]0,1[]0,1分析：由单调性可直接得到2m −3>−m ，解不等式即可求得结果.∵f (x )在R 上单调递增，f (2m −3)>f (−m )，∴2m −3>−m ，解得：m >1，∴实数m 的取值范围为(1,+∞).故选：C.5、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.6、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ）A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2xC ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对．对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D7、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=（ ）A ．−3B ．−2C ．0D ．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，令x =1,y =0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，f (y )+f (−y )=2f (y )，即f (y )=f (−y )，所以函数f (x )为偶函数，令y =1得，f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cosxcosy ，可设f (x )=acosωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,acosω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f (x )=2cos π3x ，则 f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3xcos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，从而可求出m的取值范围解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2=1−m，因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D多选题9、关于函数f(x)=xx−1，下列结论正确的是（）A．f(x)的图象过原点B．f(x)是奇函数C．f(x)在区间(1,+∞)上单调递减D．f(x)是定义域上的增函数答案：AC分析：作出f(x)=xx−1的图像，根据图像逐一判断即可.解：f(x)=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，将f(x)=1x 的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到f(x)=xx−1，图像如下：观察图像可得A,C正确，故选:AC.小提示：思路点睛：本题考查函数的性质的判断，如果能画出函数图像，根据图像观察则快速而准确. 10、下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x C．f(x)=x12D．f(x)=x−1答案：AB分析：根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.解：对于A，函数f(x)=x3的定义域为R，且f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数f(x)=x3在区间(0,+∞)上单调递增，故A正确；对于B，函数f(x)=x的定义域为R，且f(−x)=−x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，易知f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，故B正确；对于C，函数f(x)=x 12的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)为非奇非偶函数，故C错误；对于D，函数f(x)=x−1在区间(0,+∞)上单调递减，故D错误. 故选：AB.11、已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有（）A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的值域为(−1,1)D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立答案：BC解析：判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得正确选项.f(x)=2x−12x+1的定义域为R关于原点对称,f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)2x(2−x+1)2x=1−2x1+2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<12x+1<1，−2<−22x+1<0，所以−1<1−22x+1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C正确；设任意的x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−(1−22x2+1)=22x2+1−22x1+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，因为2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2<0，所以2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故选项D不正确；故选：BC小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；（2）作差变形：即作差，即作差f(x1)−f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差f(x1)−f(x2)的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.12、我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”：（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f(x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是（）A．若f(x)为“Ω函数”，则f(0)=0B．函数g(x)={0,x∈Q1,x∉Q在[0,+∞)上是“Ω函数”C．函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数”D．若f(x)为“Ω函数”，x1>x2≥0，则f(x1)≥f(x2)答案：ACD分析：根据“Ω函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“Ω函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)，可判断D.A选项，由（1）知f(0)≥0，由（2）得x=y=0时，f(0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0，∴f(0)=0，故A 正确；B选项，显然g(x)满足（1），若x，y∈Q，则g(x+y)=0，g(x)+g(y)=0+0=0，若x，y∉Q，设x=√2，y=√3，则g(x+y)=1，g(x)+g(y)=1+1=2，与（2）不符，故B不正确；C选项，g(x)=x2+x=x(x+1)，∵x∈[0,+∞)，∴g(x)≥0，满足（1），g(x+y)−g(x)−g(y)=(x+y)2+x+y−x2−x−y2−y=2xy≥0，满足（2），故C正确；D选项，∵x1>x2≥0，∴f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)≥f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)，∵x1−x2>0，∴f(x1−x2)≥0，∴f(x1)≥f(x2)，故D正确.故选：ACD.13、已知函数f(x)=x|x|，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，则整数t的取值可以是（）A．−1B．1C．3D．5答案：CD分析：首先判断f(x)在R上为增函数，将不等式转化为x+t≥√3x，即t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.f(x)=x|x|，当x≥0时，f(x)=x2，在[0,+∞)递增，当x≤0时，f(x)=−x2，在(−∞,0]上递增，且f(0)=0，f(x)为连续函数，所以f(x)在R上为增函数，且3f(x)=f(√3x)，由对任意的x∈[t，t+1]，不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，即f(x+t)≥f(√3x)，即x+t≥√3x，所以t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，由y=(√3−1)x在[t，t+1]上递增，可得y=(√3−1)x的最大值为(√3−1)(t+1)，即t≥(√3−1)(t+1)，解得t≥√3+1.故选：CD小提示：关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为t≥(√3−1)x对任意的x∈[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力. 填空题14、若幂函数y=(m2−m−1)x m为偶函数，则m= ________ .答案：2分析：利用幂函数和偶函数的定义即可求解.∵函数y=(m2−m−1)x m为幂函数，∴m2−m−1=1，解得m=2或m=−1，又∵y=x m为偶函数，∴m=2，所以答案是：2.15、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−116、函数y=√3−x−√2x+4的值域为_______________．答案：[−√10，√5]分析：根据函数的单调性确定最值即可.解：因为{3−x≥02x+4≥0所以−2≤x≤3，所以此函数的定义域为[−2，3]，又因为y=√3−x−√2x+4是减函数，当x=−2时y=√3−x−√2x+4取得最大值√5，当x=3时y=√3−x−√2x+4取得最小值−√10，所以值域为[−√10，√5]所以答案是：[−√10，√5]．解答题17、已知函数f(x)=x+mx，且f(1)=5．（1）求m；（2）判断并证明f(x)的奇偶性；（3）判断函数f(x)在(2,+∞)，上是单调递增还是单调递减？并证明．答案：（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.分析：（1）根据题意，将x=1代入函数解析式，求解即可；（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．（1）根据题意，函数f(x)=x+mx，且f(1)=5，则f(1)=1+m=5，解得m=4；（2）由（1）可知f(x)=x+4x，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又由f(−x)=−x−4x =−(x+4x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数；（3）f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．证明如下：设2<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，因为2<x1<x2，所以x1x2>4，x1−x2<0，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(2,+∞)上是单调递增函数．18、2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Q(x)（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①Q(x)=ax+b，②Q(x)=a|x−25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)（1≤x≤30，x∈N∗）（元）的最小值．答案：(1)k =1(2)选择②，Q(x)=125−|x −25|，（1≤x ≤30，x ∈N ∗）(3)121元分析：（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定Q(x)=a|x −25|+b 描述该商品的日销售量Q(x)与时间x 的关系，代入表述数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以P(10)⋅Q(10)=(1+k 10)⋅110=121，解得k =1；（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:Q(x)=a|x −25|+b代入数据可得：{110=a |10−25|+b 120=a |20−25|+b，解得a =−1，b =125， 所以Q(x)=125−|x −25|，（1≤x ≤30，x ∈N ∗）（3）由（2）可得，Q (x )=125−|x −25|={100+x,1≤x <25,x ∈N ∗150−x,25≤x ≤30,x ∈N ∗， 所以，f (x )=P (x )⋅Q (x )={101+x +100x ,1≤x <25,x ∈N ∗149+150x−x,25≤x ≤30,x ∈N ∗， 所以当1≤x <25，x ∈N ∗时，f(x)=101+x +100x 在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增， 所以当x =10时，f(x)有最小值，且为121；当25≤x ≤30，x ∈N ∗时，f(x)=149+150x −x 为单调递减函数，所以当x =30时，f(x)有最小值，且为124，综上，当x =10时，f(x)有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．。
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习 题 2.14. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由题意可知定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=-<<===========)(,)/(,)0(,0,00,0)/(000002L x L I u L x u u u u u a u Y u t t t t t x x x xx xxtt εερερ习 题 2.23. 设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u 4，即d Q =k u 4d S d t ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数 ),,,(t z y x ϕ。
试写出边界条件。
解：由题意可知：dsdt u dsdt nuk)(44ϕσ-=∂∂- ∴边界条件为：)(44ϕσ--=∂∂u knu s习 题 2.34. 由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰=⋅VSV S E d 1d 0ρε，求证：0▽ερ=⋅E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：由题意可知由静电场高斯定理：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅VSVV V divE S E d 1d d 0ρε∴ 00▽ερερ=⋅⇒=E divE 习 题 2.42. (1) 032=-+yy xy xx u u u 解：由题意可知：△=12－1×(-3)=4﹥0 => 双曲型03d d 2d d 2=--⎪⎭⎫⎝⎛x y x y => 3d d =x y 或 -1 令 ⎩⎨⎧+=-=yx yx ηε3则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1113 y x y x Q ηηεε => ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''08801113311111132212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε∴ )()3()()(016y x g y x f g f u u ++-=+=⇒=ηεεη (5) 031616=++yy xy xx u u u 解：由题意可知：△=82－16×3=16﹥0 => 双曲型03d d 16d d 162=+-⎪⎭⎫⎝⎛x y x y =>43d d =x y 或 41 令 ⎩⎨⎧-=-=y x yx 443ηε则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=4143y x y x Q ηηεε => ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''03232044133881641432212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε∴ )4()43()()(064y x g y x f g f u u -+-=+=⇒=-ηεεη习 题 2.52.试证明：若),,(τt x V 是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====),(,00,0,0,002ττττx f V V V V t L x V a V t t t L x x xx tt的解，则⎰=td t x V t x u 0);,(),(ττ是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====0,00,00,0),,(0002t t t L x x xx tt u u u u t L x t x f u a u的解。
证明：由题意可知：00==t u 0);0,(0===τx V u t t其次，因),,(τt x V 是齐次定解问题的解，因此，0,00====L x x u u∴ ⎰=td t x V t x u 0);,(),(ττ是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====0,00,00,0),,(0002t t t L x x xx tt u u u u t L x t x f u a u的解。
习 题 2.61. (3) 证明公式：)0()()(≠=a ax ax δδ证明：由题意可知：1)()(1)()(=⇒=⎰⎰+∞∞-+∞∞-x d ax a ax d ax δδ且 1)()(=⎰+∞∞-x d x δ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=)()()()(x d ax x d ax δδ∴ )0()()(≠=a ax ax δδ习 题 3.13. (4) []⎪⎩⎪⎨⎧=+'==+''==0,0002L x x hX X X X Xβ解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令2βλ=）a) 当02==βλ时，方程0=''X 的通解为X(x)=Ax+B. （A 、B 为任意常数） 代入边界条件得X(0)= B=0 [X ´(L)+hX(L)]=A+h(AL+B)=0 => (1+hL) A=0b) 当02>=βλ时，方程0=+''X X λ的通解为x x x X λλBsin Acos )(+=.（A 、B 为任意常数） 代入边界条件得 X(0)=A=0[]L hBsin L hAcos L cos B L sin A(L)(L)λλλλλλ+++-=+'hX X=> 0L hBsin L cos B =+λλλ => hL tg λλ-=∴ 边值问题的固有值n λ为 hL tg λλ-=的正根。
相应的固有函数为 x x X n n n λsin B )(=7. 一根长为L 的杆，一端固定，另一端受力F 0而被拉长。
求杆在去掉F 0时的振动。
设杆的截面积为S ，杨氏模量为Y 。
解：由题意可知定解问题为：⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====0,)(0,00,0,00002t t t L x x x xx tt u x SY F u u u t L x u a u=> ⎩⎨⎧='==+'' 0)L (,0)0(0X X X X λ=> 当0< λ时，边值问题只有零解。
当0= λ时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B ≠0时，方程满足条件。
当0> λ时， x x x X λλBsin Acos )(+=. （A 、B 为任意常数） 代入边值条件得： X(0)= A=0，0L cos B )(=='λλL X =>2)12(πλ+=n L(n=0,1,2··)则固有值为2224)12(L n n πλ+= ，相应固有函数为x Ln x X n n 2)12(sin B )(π+=（B n 为任意非零常数） ∴x Ln L at n L at n t x u n n n 2)12(sin ]2)12(sin D 2)12(cosC [),(0πππ++++=∑∞= (n=0,1,2··)代入初始条件为：∑∑∞=∞=++==+==002)12(sin 2)12(D )()0,(,2)12(sin C )()0,(n n t n n x L n L a n x x u x L n x x u ππψπϕ=> ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅=+-=+=⎰⎰L n L n n d L n a n L L n SY LF d L n L 0022002)12(sin )(2D )12()1(82)12(sin)(2C ξπξξψππξπξξϕ∴ ∑∞=+++-=02202)12(sin 2)12(cos )12()1(8),(n n L xn L at n n SY LF t x u πππ (n=0,1,2··) 习 题 3.22. 一根长为L 的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为)(x ϕ。
求细杆上的温度变化的规律。
其定解问题为：⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(0,00,0,002x u u u t L x u a u t L x x x x xx t ϕ解：由题意可知定解问题的固有值问题为：⎩⎨⎧='='=+'' 0)L (,0)0(0X X X X λ => 当0< λ时，边值问题只有零解。
当0= λ时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B=0时，边值问题只有零解。
当0> λ时， x x x X λλBsin Acos )(+=. （A 、B 为任意常数） 代入边值条件得：0)0(=='B X λ，0L sin A )(=='λλL X =>πλn L = (n=0,1,2··)∴固有值为222L n n πλ= ，相应固有函数为x Ln x X n n πcos A )(=（A n 为任意非零常数）又 t a n n n e t T t T a t T 2C )(0)()(2λλ-=⇒=+' ∴ x Ln et x u tL a n n ππcos A ),(2222-= ， ⎰=L n d L n L 0cos )(2A ξξπξϕ习 题 3.34. 求解圆域内Laplace 方程Neumann 问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂<<-<<=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=)(,0,011222θρπθπρθρρρρρρf uR uu R 解：由题意可知Laplace 方程一般解为：∑∞=++=100)sin cos (2),(n n n nn b n a a u θθρθρ 其中0a 为任意常数⎰--=ππθθθπd n f R n a n n cos )(11，⎰--=ππθθθπd n f Rn b n n sin )(11 （n=1,2，··） 习 题 3.42. 一个长、宽各为a 的方形膜，边界固定，膜的振动方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<<<+=====0,0,0),(002a y y a x x yy xx tt u u u u t a y a x u u k u 求方形膜振动的固有频率。
解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为()2222m nanm +=πλ求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：t m n at m n at T )(sinB )(cosA )(22mn 22mn +++=ππ∴相应的方形膜振动的固有频率am n m n af nm2)(2)(2222+=+=υυππ习 题 3.52. 求解定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧===><<=+-===-00020,00,0,0T u u u t L x Ae u a u t L x x x xx tα 其中，T 0是常数。