多元函数最值问题(1)

多元函数最值问题

一．方法综述

多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等. 二．解题策略 类型一 导数法

例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式()2

2

2x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．

【答案】4

【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数()f x 的定义域是R ，

()()()2

10 811(0)

x a x x f x ln x x ⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩（a 为小于0的常数）设12x x <且()()12

''f x f x

=，若2

1

x

x -的最小值

大于5，则a 的范围是__________． 【答案】(),4-∞-

类型二 消元法

例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x ，都存在实数y 与之对应，则当

()220x y

y x

e

y x a e

----=时，实数a 的取值范围为（ ）

A. 1,

2e ⎛

⎤

-∞ ⎥⎝

⎦

B. (),0-∞

C.

10,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 1,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦ 【答案】D

【解析】由题设有()33x y

a y x e

-=-，令x y t -=，则3,t

a t e t R =-∈，所以()3'13,t

a t e t R =-+∈，当

1,3t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时， '0a >， 3t a te =在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭为增函数；当1,3t ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， '0a <， 3t

a te =在

1,3⎛

⎫-∞- ⎪

⎝⎭

为减函数，所以m a x 13a e =，注意到当0t >时， 0a <，故选D. 【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把x y -看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 类型三.基本不等式法

例 3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数()2

f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为

()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则

2

2

2

b

a c

+的最大值为__________．

【答案】2

【举一反三】【2018四川省成都市第七中学一诊】设函数()()

2

1,,x

x x f x g

x x

e

+=

=

对任意()12,0,,

x x ∈+∞不等式

()

()

121

g

x f

x k

k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．

【答案】1

21

k e ≥

-

【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式

()

()

121

g

x f

x k

k ≤

+恒成立，则等价为

()()

121

g x k f

x k ≤

+恒成立，

(

)

2

112x f

x x x x

+=

++

≥=，当且仅当1x x

=

，即1x =时取等号，即()f x 的最小值是2，由

()

x

x g

x e

=

，则()()

2

1'x

x

x

x

e x e

x g x e

e --=

=

，由()'0g x >得01x <<，此时函数()g x 为增函数，由()'0

g x >得1x >，此时函数()g x 为减函数，即当1x =时， ()g x 取得极大值同时也是最大值()11g e

=

，则

()()

12g x f

x 的最大值为1

12

2e e

=，则由

11

2k k e

≥+，得21ek k ≥+，即()211k e -≥，则121

k e ≥

-，故答案为1

21

k e ≥

-.

类型四 换元法

例4.若a 1x ≤sin x ＜a 2x 对任意的x ∈(0,]2

π

都成立，则a 2－a 1的最小值是________．

【答案】2

1π

-

【举一反三】【2018

四川省广元市统考】若正项递增等比数列{}n a 满足

()()()24

3510a a

a a

R λλ+-+-=∈，则8

9a a λ+的最小值为（ ）

A. 94

-

B. 94

C.

274

D. 274

-

【答案】C

【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意知1q >． ∵()()243510a a a a λ+-+-=， ∴3

24

114

253

1111a a a q a q a a a q a q

λ+-+-=

=

--．

∴3

3

6

7

87

6

1111891114

2

2

2

111111

a q a q a q a q

q

a a a q a q a q q

a q a q

q q λ+-+-+=+

⋅=+

⋅=

---，

设()6

2

,(1)1

x

f x x x =

>-，则()()

()

5

2

2

2

223

1

x

x

f x x

-'=

-，

故当12

x <<

时， ()()0,f x f x '<

单调递减；当2

x >

时， ()()0,f x f x '>单调递增．

∴当2

x =

232

x =

时， ()f x 有最小值，且()m in 32724f x f ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

． ∴89a a λ+的最小值为274

．故选C ．

三．强化训练

1．【2018四川省绵阳市南山二诊】在A B C ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数