第二十四节二次函数图象与性质-(一)

二次函数图象与性质 (一)
【知识要点】
1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2
ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2
)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?
4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2
的数学模型？
【典型例题】
例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。

例2 试在同一坐标系内画出2
2x y -=与322+-=x y 以及322
--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线2
2x y -=与322+-=x y 和322
--=x y 有什么关系？
小结：y=ax 2
+c 的图象与y=ax 2
的图象形状
①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）
③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。

④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。

简称“ ”
例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －
21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－2
1
(x-1)2
结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－
21(x+1)2，y=－21(x-1)2
与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－
2
1 (x+1)2
的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－
2
1 (x-1)2
的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。

小结：y=a(x －h)2
的图象与y=ax 2
的图象形状 ，
①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)
③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0
④当h>0时，由y=ax 2
的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2
向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=x
k
（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
例5 如果二次函数m ax y +=2
的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数
B 、a ＞0，m ＞0
C 、a ＜0，m ＞0
D 、a ，m 均可取任意实数
例 6 若二次函数c ax y +=2
，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．
A 、c a +
B 、c a -
C 、c -
D 、c
例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.
例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。

（精确到0.1米）
例9（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯
形ABCD 中，AB DC ∥，20cm 30cm 45AB DC ADC ==∠=，，°．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O ，且过A B 、两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ．
（1）如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系内，点C 的坐标为(150)，
， 试求A B 、两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
【经典练习】
1、（2009年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y ＝2x 2＋3
B ．y ＝2x 2－3
C ．y ＝2（x ＋3）2
D ．y ＝2（x －3）2
题图 3题图
（图①）
2、（2009年嘉兴市）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
3、（2009年甘肃庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形 状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线 的关系式是（ ）
A ．2
2y x =- B ．2
2y x = C ．2
1
2
y x
=-
D ．212y x =
4．函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ． 5．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 2上一点，则m= ．
6．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于 对称，也可以认为y=－x 2，是函数y=x 2的图象绕 旋转得到．
7．抛物线322
--=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y 随x 的增大而增大， 当x 时， y 随x 的增大而减小. 8．将抛物线2
3
1x y =
向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。

9．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2
，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。

其中判断正确的是 。

10．抛物线122
-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x ＝ 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。

11．（2009年兰州）二次函数2
23
y x =
的图象如图所示，
点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二
次函数2
23
y x =
位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .
12．已知函数：221x y -
=， 3212+-=x y 和12
1
2--=x y 。

（1）在同一坐标轴中画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
O
y x
1
-1A ． x
y
O
1
-1
B ． x
y O
1
-1
C ． x
y
O
1
-1
D ．
图（1） 图（2）
（3）说出函数62
12
+-
=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）试说明函数3212+-=x y 、1212--=x y 、6212+-=x y 的图象分别有抛物线22
1
x y -=作怎样的平移才能得到
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
22
1
x y -=
32
12
+-=x y 12
12
--
=x y 62
12
+-
=x y
13、（2009年衢州）如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．
(1) 求a 的值
(1)求点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 2．函数y=x 2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
4 x 2 2
A
8 -2 O
-2 -4 y
6 B -4
4
3．点A （2
1
，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在
函数 上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上．
4．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 5．当m= 时，y=（m －1）x
m
m +2－3m 是关于x 的二次函数．
6．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 7．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x
m
m +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的
增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．
8.试写出抛物线2
3x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移3
2
个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

9.二次函数()2
h x a y -=的图象如图：已知2
1
=
a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

10.已知函数()412
-+=x y 。

（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；
（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。

（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。