断裂力学 第二章 能量守恒和断裂判据
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断裂力学概述 2
第一章线弹性断裂力学线弹性断裂力学研究对象是线弹性裂纹固体，认为裂纹体内各点的应力应变关系是线性的。
金属材料中，严格的线弹性断裂问题几乎不存在，因为裂纹的扩展总伴随有裂纹尖端的苏醒变形。
但理论和实践都证明，只要塑性区尺寸远小于裂纹的尺寸，经适当修正，用线性理论分析不会产生太大误差。
对于低韧高强度钢，或处于低温条件下工作的构件，往往在断裂前裂纹尖端的塑性区尺寸较小，可用线弹性断裂理论进行分析。
一裂纹及其对强度的影响1.1裂纹分类1.按几何特征a 穿透裂纹: 通常把裂纹延伸到构件厚度一半以上的都视为穿透裂纹。
b 表面裂纹c 深埋裂纹2.按裂纹力学特征张开型裂纹裂纹受垂直于裂纹面的拉应力，是裂纹面产生张开位移滑开型裂纹裂纹受平行于裂纹面且垂直于裂纹前缘的剪应力，裂纹在平面内滑开撕开型裂纹裂纹受平行于裂纹面且平行于裂纹前缘的剪应力，裂纹相对错开复合型裂纹裂纹同时受正应力和剪应力的作用，或裂纹与正应力成一角度，这是就同时存在和，或和，称为复合型裂纹，实际裂纹体中裂纹可能是两种或两种以上基本型的组合。
1.2 裂纹对材料强度的影响带裂纹弹性体受力后，在裂纹尖端区域产生局部应力集中。
但是这种集中是局部性的，离开裂纹尖端稍远处应力分布趋于正常。
裂纹尖端区域应力集中程度与裂纹尖端的曲率半径有关，裂纹越尖锐应力集中程度越高。
这种应力集中必然导致材料的实际断裂强度远低于材料理论断裂强度。
二、能量释放率理论2.1 格瑞菲斯理论（Griffith）二十世纪二十年代初，英国学者Griffith最先应用能量法对玻璃、陶瓷等脆性材料进行了断裂分析，成功解释了“为什么玻璃等材料的实际断裂强度比用分子结构理论所预期的强度低得多”的问题。
Griffith研究如图厚度为t的薄平板。
两端施加均不载荷，处于平行状态并固定两端，构成能量封闭系统，板内总应变能为U0，板内开一长为2a的贯穿裂纹，裂纹处形成上下两个自由表面，作用在两表面的拉应力消失，同时两表面产生张开位移，拉应力做负功，使应变能减小到U0-U。
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
(1913), pp.219–230.
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
断裂力学总结
在脆性断裂的情况下，所释放能量与形成裂纹面积所需要能量的差额，是随着裂纹增长越来越大还是越来越小，以致最后差额趋近于零。数学表达式如下：
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
断裂力学讲义
目录第一章绪论§断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。
因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。
断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。
因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。
或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。
它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。
断裂力学讲解chGriffith理论
E'/L
通过计算做功来计算
能量差异
u2
u2
对于无限大板含裂纹(a<<L) u2x14 1 a2x1 2, x1a
弹性应变能： U e
1a2B 8
2
【题
2-1】
：剪切模量， 313－4，，平平面面应应力变
计算弹性应变能U e （有限板情形），采用叠加原理
E' / L
上面是位移边界
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用u2叠加原理计算能量？u2讨论
单边裂纹vs双边
A
代表面积，
G
的量纲为
N
/
m
，是广义能量力，
G
2
E
a
A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率： G
Ue A
1 2B
U e a
材料对裂纹临界扩展的抗力：
Gc
A
2
（理想脆断）
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向
◎ 热能区别于其他能量形式
◎ 很多能量都最终耗散转化为热能
◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
如何检查叠加是否正确？
线性系统（线弹性、小变形、小u2 转动）
u2
检查以下等式是否都满足
(c) (b) (d) ， (c) (b) (d)
断裂力学——2Griffith 理论(1)
3
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
第一节-断裂力学理论基础(2)
美国电力研究院（EPRI）根据J控制的裂纹扩展的概念 ，给出基于J积分的失效评定图
各断裂参量之间的关系
应力强度因子K
J积分
COD参量
线弹性断裂力学
弹塑性断裂力学
各断裂参量之间的关系
在线弹性条件下,这几个参量可以互相替换,它们各自的 断裂判据都是等效的
对I型裂纹
4 KI2 4 GI Es s
积分路线可以在裂纹附近的整个弹性区域内,也可以在 接近裂纹的顶端附近。 ➢ J积分值反映了裂纹尖端区的应变能,即应力应变的集中 程度。
J积分原理及全塑性解
守恒性的证明
J*(dyTi uxi d)s=0
*1234
y
T
Hale Waihona Puke ds2o3x
4
1
J积分原理及全塑性解
J积分守恒性存在的条件
小变形应变位移条件
单调加载条件下 J积分与路径无关性的存在是不允许卸载为条件的
COD参量及其计算
D-B模型的简化
塑性区周围为弹性区，塑性区和弹性区的交界 面上，作用有垂直于裂纹面的均匀结合力σs
简化为求点A
y
的张开位移
s y s
x
R 2a R 2c
A
A
x
R
2a
R
2c
COD参量及其计算
利用叠加原理
s y s
A
A
x
R
2a R
2c
＝1+2
1 y
A
A
x
R
2a R
2c
s 2 y s
对高强度钢，由于裂纹尺寸很小，以致塑性 尺寸和裂纹尺寸达到相同的数量级，断裂在应 力接近或超过屈服应力的情况下发生。
各断裂参量之间的关系
应力强度因子K
J积分
COD参量
线弹性断裂力学
弹塑性断裂力学
各断裂参量之间的关系
在线弹性条件下,这几个参量可以互相替换,它们各自的 断裂判据都是等效的
对I型裂纹
4 KI2 4 GI Es s
积分路线可以在裂纹附近的整个弹性区域内,也可以在 接近裂纹的顶端附近。 ➢ J积分值反映了裂纹尖端区的应变能,即应力应变的集中 程度。
J积分原理及全塑性解
守恒性的证明
J*(dyTi uxi d)s=0
*1234
y
T
Hale Waihona Puke ds2o3x
4
1
J积分原理及全塑性解
J积分守恒性存在的条件
小变形应变位移条件
单调加载条件下 J积分与路径无关性的存在是不允许卸载为条件的
COD参量及其计算
D-B模型的简化
塑性区周围为弹性区，塑性区和弹性区的交界 面上，作用有垂直于裂纹面的均匀结合力σs
简化为求点A
y
的张开位移
s y s
x
R 2a R 2c
A
A
x
R
2a
R
2c
COD参量及其计算
利用叠加原理
s y s
A
A
x
R
2a R
2c
＝1+2
1 y
A
A
x
R
2a R
2c
s 2 y s
对高强度钢，由于裂纹尺寸很小，以致塑性 尺寸和裂纹尺寸达到相同的数量级，断裂在应 力接近或超过屈服应力的情况下发生。
02 能量平衡断裂理论
© Kylinsoft, 2010
能量平衡断裂理论-4
裂纹割开前初始应变能：
1 2V U 0 V 2 2E
裂纹割开后释放应变能：
2 a 2 B E U1 2 2 2 1 a B E
平面应力
平面应变
裂纹割开后增加表面能：
c ～104 max
!
能量平衡断裂理论-7
Griffith公式提出30年后，Orowan对该式提出修正。 裂纹扩展后除了增加表面能，还消耗塑性变形功：
Up U 2 4aB 2aBUp 4aB 2 2aBUp
EU P a c EU P 2 a 1
1 P G 2 A
1 2 d G P 2 dA
1 2 d P 2B da
(Irwin-Kies公式)
© Kylinsoft, 2010
能量平衡断裂理论-14
(2) 固定载荷情况
U W U 2U U
G G U A A P
G
1 2 d P 2 dA
1 2 d P 2B da
(Irwin-Kies公式)
© Kylinsoft, 2010 能量平衡断裂理论-16
作业
© Kylinsoft, 2010
能量平衡断裂理论-17
பைடு நூலகம்
平面应力
平面应变
© Kylinsoft, 2010
能量平衡断裂理论-8
三 裂纹扩展的能量（释放）率
1 定义
U 2 2 aB 4 B 0 a E 2U 2 2 B 0 2 a E
断裂力学基础
断裂力学基础目 录第一章 绪论第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础第一章 绪 论ssss2a2bss2a?一、引例][s s ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a 21maxs s Inglis(1913)用分子论观点计算出绝大部分固体材料的强度103MPa ，而实际断裂强度100MPa ？——材料缺陷第一章 绪论第一章 绪论 二、工程中的断裂事故1．1860~1870英国铁路事故死200人/年；2．1938年3月14日比利时费廉尔大桥断成三节，1947~1950比利时又有14座大桥脆性破坏； 3．美国二次大战期间2500艘自由轮，700艘严重破坏，其中145艘断成两段，10艘在平静海面发生。
同时期大量的战机事故——广泛采用焊接工艺和高强度材料； 4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠落，同时期共三架坠落；二、工程中的断裂事故5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆炸； 6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁；8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等第一章 绪论二、工程中的断裂事故 第一章 绪论 二、工程中的断裂事故9．2007年11月2日美国F15 空中解体；第一章 绪论三、断裂力学发展简史1．1913年，C. E. Inglis(英格列斯)将裂纹(缺陷)简化为椭圆形切口，用线弹性方法研究了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸问题——按应力集中观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
2．1921 年，A. A. Griffith(格里非斯)用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则，成为线弹性断裂力学的核心之一—能量释放率准则。
第一章 绪论 三、断裂力学发展简史3．1955~1957年，G. R. Irwin(欧文)通过对裂尖附近应力场的研究，提出了新的断裂参量—应力强度因子，并建立断裂判据，成为线弹性断裂力学的另一核心—应力强度因子断裂准则。
01_断裂参数的数值计算方法_02
11
断裂参数的数值计算方法
1.6.1 全局虚拟裂纹扩展法
Fracture Mechanics
华中科技大学船海学院 袁锐
12
断裂参数的数值计算方法
1.6.1 全局虚拟裂纹扩展法
APPROXIMATE ENERGY TOTALS RECOVERABLE STRAIN ENERGY 46.4131 KINETIC ENERGY 0.00000 *NSET,NSET=node_crack,GEN EXTERNAL WORK 46.4131 21,101,1 PLASTIC DISSIPATION 0.00000 CREEP DISSIPATION 0.00000 VISCOUS DISSIPATION (IN DAMPERS ETC) 0.00000 STATIC DISSIPATION (STABILIZATION) 0.00000 ENERGY LOST AT IMPACTS 0.00000 ENERGY TO CONTROL SPURIOUS MODES 0.00000 ENERGY LOST THROUGH QUIET BOUNDARIES 0.00000 ELECTROSTATIC ENERGY 0.00000 裂纹扩展 ENERGY DUE TO ELECTRICAL CURRENT 0.00000 一个单元 ENERGY LOST TO FRICTIONAL DISSIPATION 0.00000 BUCKLING DISSIPATION (FOR FRAME ELEMT.) 0.00000 DAMAGE DISSIPATION 0.00000 TOTAL STRAIN ENERGY (STRESS POWER) 46.4131 ENERGY BALANCE -2.302158E-12 APPROXIMATE ENERGY TOTALS RECOVERABLE STRAIN ENERGY 46.5637 KINETIC ENERGY 0.00000 *NSET,NSET=node_crack,GEN EXTERNAL WORK 46.5637 22,101,1 PLASTIC DISSIPATION 0.00000 CREEP DISSIPATION 0.00000 VISCOUS DISSIPATION (IN DAMPERS ETC) 0.00000 STATIC DISSIPATION (STABILIZATION) 0.00000 ENERGY LOST AT IMPACTS 0.00000 ENERGY TO CONTROL SPURIOUS MODES 0.00000 ENERGY LOST THROUGH QUIET BOUNDARIES 0.00000 ELECTROSTATIC ENERGY 0.00000 ENERGY DUE TO ELECTRICAL CURRENT 0.00000 ENERGY LOST TO FRICTIONAL DISSIPATION 0.00000 BUCKLING DISSIPATION (FOR FRAME ELEMT.) 0.00000 DAMAGE DISSIPATION 0.00000 TOTAL STRAIN ENERGY (STRESS POWER) 46.5637 ENERGY BALANCE -2.053469E-12
清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
5
Legendre变换
的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的
差就是新函数。 Leຫໍສະໝຸດ endre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
6
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
Charles Inglis, 1913
断裂力学讲义ch2-Griffith理论_474608451
E' / L
u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理
通过计算做功来计算 能量差异
E' / L
u2 u2
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
上面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统和外界功 的交换，即 W 0 下面的例子试件子系统与外界会有功的交换， 但是若将试验机和试件视为一个总系统，首先 仍研究没有功交换的情形
断裂力学PPt
b πa tan s cr π a K IC 解： K I K IC πa b K IC 38 s cr 99.7MPa πa 0.04π b tan 0.2 tan b 0.2
A：裂纹单侧自由表面面积
2a
2)表面自由能 ES 4ab 2 A
s
V E S πs 2 A 2 A A 2 Eb
一、Griffith理论
3) 给定裂纹长度 2 E G 2 EGC a：裂纹半长 sf πa πa 给定应力 2 E EGC —容限裂纹半长 aC 2 2 πs πs 4) Griffith理论适用范围 2 E E 8 —足够尖的裂纹， b0 Griffith裂纹 πa 4ab0 π
KIIC 或KIIIC 不容易测定，目前一般通过复合型裂纹断裂 判据建立KIIC或KIIIC与KIC关系。复合型裂纹断裂判据类 似材料力学中的强度理论人们在科学分析的基础上提 出的一种断裂假说，通过典型试验验证，同时满足I型 裂纹断裂判据。
三、例题
1．中心具有穿透裂纹厚板，远端受均匀拉伸作用， 板宽200mm，裂纹长80mm，板材料为铝合金， 其 K IC 38MNm 3 / 2 ，求此板临界载荷(有限宽板 b πa 中心贯穿裂纹均匀拉伸 K I tan s π a )。 πa b
裂纹扩展阻力率等于表面自由能密度的2倍。
一、Griffith理论
3．Griffith理论
6) 断裂过程的能量平衡
能量
ES
V +ES a
ac V
例题
1．铝合金圆柱管道：GC=20N/mm，E=76GPa， 管道内压引起300MPa环向应力，求此应力作 用下，裂纹的可能扩展长度。
第二章-断裂物理基础
，对应一个平衡间距r0。
当原子偏离该平衡位置 时，原子受周围原子间的作 用力，使原子趋向于平衡位 置。
第2章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度
2.1.2 理论断裂强度
1) 第一性原理原子间相互作用对势
原子间相互作用势最常用的模型是Lnenard-Jones(L-J) 势 :
U (r)
A rn
滑移面上原子互作用力也可用正弦曲线近似：
m
ax
sin(
2x
a
)
τmax ： 滑移面上原子从一个平衡位置 （x=0）到另一个平衡位置
（x=a）时所遇到的最大阻力（对应x=a/4）。
当外加切应力大于或等于τmax，滑移可以不断进行，从而导致剪切 断裂，故就是理论剪切强度。它也等于完整晶体滑移阻力，即完整晶体 的理论剪切强度。
第二章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度 2.2 韧断和脆断 2.3 断口分形理论
第2章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度
2.1.1 断裂类型及分类
按服役条件:
过载断裂是由于载荷不断增大，或工作载荷突然增加从而导致试样或 构件的断裂称为过载断裂。按加载速率可分为静载断裂或动载断裂 （如冲击、爆破）。
第.1 韧性断裂
1） 韧性断口
裂纹向四周放射状的快速扩展就形成放射区。在放射区中往往存在 平行于裂纹扩展方向的放射线（如材料韧性好则不存在放射区）。
当裂纹快速扩展到试样表面附近时，由于试样剩余厚度很小，变为 平面应力状态，从而剩余的表面部分剪切断裂，断裂面沿最大剪应力面， 故和拉伸轴成45°。
对板状试样，中心纤维区成椭圆形，放射区呈人字花样，其尖端指 向裂纹源，最外面是45°的剪切唇。
当原子偏离该平衡位置 时，原子受周围原子间的作 用力，使原子趋向于平衡位 置。
第2章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度
2.1.2 理论断裂强度
1) 第一性原理原子间相互作用对势
原子间相互作用势最常用的模型是Lnenard-Jones(L-J) 势 :
U (r)
A rn
滑移面上原子互作用力也可用正弦曲线近似：
m
ax
sin(
2x
a
)
τmax ： 滑移面上原子从一个平衡位置 （x=0）到另一个平衡位置
（x=a）时所遇到的最大阻力（对应x=a/4）。
当外加切应力大于或等于τmax，滑移可以不断进行，从而导致剪切 断裂，故就是理论剪切强度。它也等于完整晶体滑移阻力，即完整晶体 的理论剪切强度。
第二章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度 2.2 韧断和脆断 2.3 断口分形理论
第2章 断裂物理基础
2.1 断裂类型及断裂强度
2.1.1 断裂类型及分类
按服役条件:
过载断裂是由于载荷不断增大，或工作载荷突然增加从而导致试样或 构件的断裂称为过载断裂。按加载速率可分为静载断裂或动载断裂 （如冲击、爆破）。
第.1 韧性断裂
1） 韧性断口
裂纹向四周放射状的快速扩展就形成放射区。在放射区中往往存在 平行于裂纹扩展方向的放射线（如材料韧性好则不存在放射区）。
当裂纹快速扩展到试样表面附近时，由于试样剩余厚度很小，变为 平面应力状态，从而剩余的表面部分剪切断裂，断裂面沿最大剪应力面， 故和拉伸轴成45°。
对板状试样，中心纤维区成椭圆形，放射区呈人字花样，其尖端指 向裂纹源，最外面是45°的剪切唇。
工程断裂力学第二章new
Griffith裂纹
图(2－1)的Griffith裂纹问题(即无限大平板带有穿透板厚的 中心裂纹，且受到无穷远处的单向均匀拉伸的裂纹问题)，以 及图(2－2)的矩形平板带有单边裂纹(single edge crack)的问题。 设两平板的厚度均为B，Griffith裂纹长度为2a，单边裂纹的长 度为a。
可以考虑塑性
的断裂判据
此为包括塑性变形的带裂纹物体断裂判据。
两个断裂判据的等价性
对于发生脆性断裂的材料，在断裂发生前，裂端 区塑性变形所消耗的能量通常是可以忽略不计的。此
U ) 0成为脆性断裂 时，表面能即为表面自由能，则 d (W dA
p t
的判据。由于Irwin —Orowan断裂判据和Griffith断裂判
Griffith是本世纪二十年代英国著名的科学家，他在 断裂物理方面有相当大的贡献，其中最大的贡献要算 提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个 观点而建立的断裂判据。本节要介绍根据Griffith观点 而发展起来的弹性能释放理论，此理论在现代断裂力 学中仍占有相当重要的地位 。
a
2
2 E s
纹的长度，将可计算出发生断裂的
临界应力；或者，若已知当前的应 力水平，将可知会发生断裂的临界 裂纹长度。
课外作业
用有机玻璃板制成50×150毫米的矩形板，在板正中央钻一小孔， 然后用线锯和刀片制成Griffith裂纹。要求裂纹长度不得大于15毫 米，试检验
2a
2 E s
2-3 内聚应力理论
断裂的结果是造成新的裂纹面积，从原子间距的 观点来看，就是把平行且相邻的晶体平面间的原子分 离。作为物理模型，可视为把有相互作用力而结合在
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对于小应变情况，由
c
2 x
2.1 固体的理论断裂强度
c
2 x
引入弹性系数E，则
E Ex
.
b0
综
合 考 虑
c
2 x
2
2 0
dx
c
2
2 0
dx
c
c
E
b0
1/ 2
此式即为完整晶体的理 想断裂强度的计算公式
2.1 固体的理论断裂强度 公式的几点说明
c
E
b0
1/ 2
裂纹对材料强度的影响
2.2 裂纹对材料强度的影响
一：实际的断裂强度
1：金属的实际断裂强度要比理论计算的断裂强度低的 多，至少低一个数量级，而陶瓷、玻璃的实际断裂强 度则更低。
2：原因 (1) 实际断裂强度低的原因是因为材料内部存在有裂纹
2.2 裂纹对材料强度的影响
裂纹萌生:
（a）玻璃结晶后，由于热应力产生固有的裂纹；
2.2 裂纹对材料强度的影响
例如如图所示无限大薄平板，
承受单向均匀拉应力作用，板
中存在贯穿的椭圆形切口，其
长轴为2a，短轴为2b，则最大
y
拉应力发生在椭圆长轴端点A(
或A′)处，其值为
A 2b
Ax
y
(1 2 a)
max
b
2a
2.2 裂纹对材料强度的影响
端点A点处的 曲率半径
b2
a
y
2.2 裂纹对材料强度的影响
(2)裂纹尖端的应力集中必然导致材料的实际断裂强度 远低于该材料的理论断裂强度
具有裂纹的弹性体受力以后，在裂纹尖端区域将 产生应力集中现象。但是应力集中是局部性的，离开 裂纹尖端稍远处，应力分布又趋于正常。
在裂纹尖端区域应力集中的程度与裂纹尖端的曲 率半径有关，裂纹越尖锐，应力集中的程度越高。这 种应力集中必然导致材料的实际断裂强度远低于该材 料的理论断裂强度。
（4）可见理论断裂强度即相 当于克服最大引力 c 。
2.1 固体的理论断裂强度 c sin 2 x /
2 xm
图中正弦曲线下所包围的面
积代表是使金属原子完全分离所
需的能量。分离后形成两个新表
面，表面能用 来表示，则
有：
x
2
2 0
dx
c
c sin 2 x / sin 2 x / 2 x /
b 间的距离拉大，结合力会迅
速变小。
2.1 固体材料的理论断裂强度
一对原子之间的结合力可以看成均匀分布作用在 b0 b0
的结晶面上的正应力，即 F (b) / b02 现在将左图的纵坐标除以 b02 变成应力轴 ，横坐标减去 b0
变成位移轴 x b b0 ，可得应力位移曲线如下右图，这条曲线
能量守恒与断裂理论
主要内容：
2.1 固体的理论断裂强度 2.2 裂纹对材料强度的影响 2.3 格里菲斯(Griffith)断裂理论 2.4 能量平衡理论
固体材料的理论断裂强度
2.1 固体材料的理论断裂强度
以金属材料立方晶格为例，晶格的八个原子排列在八
个定点上，原子间有原子键相连接(如图)。
图中每个小圆点代表一个原子，在材料左右两侧沿原
子轴向施以力 作用，加载前原子间距离为b0 。
假设力足够大，克服了x-x 断. 裂面两边原子间的吸引
x
A
A
力，使晶体沿 x-x 面断。
B
B
断裂面两边的一对原子，
除受到它们之间的相互作
C
C
用之外，其它原子对它们
D
D
也有作用力。为了简单起
E
E
见，只考虑两原子之间的
F
F
相互作用力。
b0
x
2.1 固体的理论断裂强度
（b）陶瓷粉末在压制烧结时也不可避免地残存裂纹。
（c）金属结晶是紧密的，并不是先天性地就含有裂纹。
金属中含有裂纹来自两方面：一是在制造工艺过程中 产生，如锻压和焊接等；一是在受力时由于塑性变形不均 匀，当变形受到阻碍(如晶界、第二相等)产生了很大的应 力集中，当应力集中达到理论断裂强度，而材料又不能通 过塑性变形使应力松弛，这样便开始萌生裂纹。
1 这个公式是从理想情况下导出的，它的意义很重要。
它说明完整晶体的理想断裂强度完全取决于原子间的
作用力 ，其与材料的弹性模量E 、表面能密度 、
平衡状态下原子间距 b0 有关。
2： 1.0J / m2
b0 3.0 108 cm
c
1 10
E
实际工程材料的断裂强度要比这个值小得多，说明了工 程实际中材料不可避免地存在裂纹或其他缺陷，使材料 的断裂强度急剧下降 。
两原子之间的相互作用力 又称之为结合力
（1）图中纵坐标表示原子间 结合力，横轴表示两原子 间的距离，纵轴上方为吸
引力，下方为排斥力。
原子间相互结合力如图
（2当两原子间距为b0 ，原子
Fb b0
处于平衡位置，原子间的作
用力为零。如金属受拉伸离
开平衡位置，位移越大需克
服的引力越大。直到最大，
过了最大值后，随着原子之
可以近似看成正弦曲线的半个波。 c sin 2 x /
Fb b0
2
b
xm
x
2.1 固体的理论断裂强度
2Байду номын сангаасxm
（3）当位移达到 xm 时吸力最 大为 c ，拉力超过此值以
后，引力逐渐减小，在位
移达到正弦周期之半
2
时
，原子间的作用力为零，
即原子键已完全破坏，达
到完全分离的程度。
x
c sin 2 x /
格里菲斯(Griffith)断裂理论
2.3 格里菲斯(Griffith)断裂理论
Griffith 是上世纪二十年代英国著名的科学家， 他在断裂力学方面有相当大的贡献，其中最大的贡献就 是提出了能量释放率的观点，以及根据这个观点而建立 的断裂判据。
本节要介绍的是根据Griffith观点发展起来的弹性 能释放理论,此理论在现代断裂力学中仍占有相当重要 的地位
t
E
4a
2.2 裂纹对材料强度的影响
t
E
4a
上式即为固体有非常尖锐的裂纹存在时,固体材料 的实际强度.
如果固体材料的表面能密度值为 0.01b0E 时，现在 取宏观裂纹尺寸 2a 5000b0 ，则其断裂应力比材料的理 论强度值降低约100倍 .
这就从应力集中观点解释了固体材料的实际断裂强 度远低于理论强度这一客观事实，因为固体材料中难免 存在裂纹(缺陷)。
(1 2 a)
max
b
y
(1 2
max
a )
固体材料的理论断裂强度值为:
当切口端点处的最大应力达到材料 理论强度时材料断裂:
1/ 2
c
E
b0
y max c
2.2 裂纹对材料强度的影响
y max c
则有 a ，此时临界应力的大小
E
t
b0
1 2 a
E
4ab0
当固体材料中的缺陷是尖裂纹缺陷时，裂纹尖端的曲率 半径就要用原子间距来代替，此时上式变为