项目6.杆件变形及其刚度条件1
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项目6 根据研究对象内力图， 研究杆件变形及其刚度计算
教学目标：
1、理解轴向拉压变形的纵向和横向应变，掌握胡克定 律，会刚度计算；
2、理解圆轴的扭转变形并进行刚度计算； 3、理解梁的弯曲变形，会计算简单梁的最大转角和挠
度，会校核梁的刚度。——重点
任务6.1 轴向拉伸与压缩变形
a1 a
纵向变形：
横向变形：
表6-2介绍
6.3.2 梁的刚度条件与合理刚度设计
1.梁的刚度条件 指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即
max fmax f
弯曲构件的刚度条件。
2 刚度的合理设计
对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件 和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满 足弯曲刚度条件。
教材例6-4，6-5
例：简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130 mm， 定子与转子的许用间隙δ=0.35mm；校核轴的刚度。
P=3.5 kN q=1.035 kNm
ALeabharlann Baidu
C
B
500
500
解 (a) 用叠加法求梁的最大挠度
f max
vC
Pl 3 5ql 4 48EI 384EI
6.3.1 挠度与转角
梁变形前后形状的变化称为变形。梁变形前后位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移，如图所示。在小变形和忽略 剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位 移，称为挠度，用y表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称 为转角，用θ表示。
规定：挠度：向下为“+”，反之为“-” 教材例表6-2 转角：顺时针为“+”，反之为“-”
梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载 荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：
1）. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；
2）. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支 座；或使集中力分散成分布力；
3）. 减小梁的跨度；增加支承约束； 其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁 的挠度和转角的。
6.2 圆轴的扭转变形及其刚度条件
圆截面直杆在扭转时，小变形情况下，可认为各横截面 之间的距离保持不变，仅绕轴线作相对转动，两横截面间相
对转过的角度称为扭转角，用φ表示。 当在某一段杆内T、G、Ip为常量时，杆的扭转角为：
圆轴扭转的刚度条件：
l
T GIp
l
教材例6-2
任务6.3 梁的变形 及其刚度条件
• 不要以为梁的弯曲只发生在结构构件上，在施工 阶段模板支承不当照样发生弯曲问题
理实结合法应用：过梁——简支梁
过梁变形过大 对门窗的影响
约束特点：一端固定铰 支、一端可动铰支
过梁
简支梁
梁在各种简单荷载作用下的变形
在建筑工程中，通常不需要建立梁的挠 曲线方程，而只需要求出梁的最大挠度 和转角。为使用方便，将常见梁在简单 荷载作用下的挠曲线方程、端截面转角 和最大挠度列于表6-2，以便查用。
-------胡克定律 （6-5）
---------- 称为抗拉（压）刚度。
在弹性范围内有：
-------泊松比，见表6---1
教材例6-1
【例 】已知α=30。，杆长L=2m,直径d=25mm，E=210GPa， P=100kN,求节点A的位移。
【解】
100×1000×2000/(2×210×1000 ×3.14×12.52×COS30°)=1.12 （mm）
4）. 预加反弯度（起拱）：如吊车梁，起拱l/500~l/700.
拉压
扭转
弯曲
外载荷
内力
轴力
扭矩
应力 强度条件
N
A
max
max
T WP
max
变形计算 E l Nl
EA
T
GI P
刚 度 EA：抗拉刚度 GIP：抗扭刚度
剪力 弯矩
M WZ
max
y,, M EI Z
EIZ：抗弯刚度
求杆件的变形的叠加法
在线弹性和小变形的条件下，杆件的变形和 位移与载荷成线性关系，可利用叠加原理求杆件的 变形和位移。以梁为例，即欲求几项载荷共同作用 下在梁上某点引起的位移，可先分别计算每一项载 荷单独作用下同一点处的位移，然后进行代数相加。
由于一些基本梁（简支架、悬臂梁）在典型载荷 作用下的挠度与转角均已按积分法算出并编制成表6 －2，因而利用这些结果，由叠加法可以很方便地求 得各种梁在复杂载荷作用下的挠度与转角。
64
Ed
4
Pl3 48
5ql 4 384
64
200 109
0.134
3.5
10 48
3
1
5 1.035 104 384
1
0.031 103 m
(b ) 刚度校核 轴的刚度足够。
fmax 0.031 mm
6.3.3 提高梁刚度的措施 由梁的挠曲线近似微分方程: v'' d 2v M (x) 可见 dx2 EI
教学目标：
1、理解轴向拉压变形的纵向和横向应变，掌握胡克定 律，会刚度计算；
2、理解圆轴的扭转变形并进行刚度计算； 3、理解梁的弯曲变形，会计算简单梁的最大转角和挠
度，会校核梁的刚度。——重点
任务6.1 轴向拉伸与压缩变形
a1 a
纵向变形：
横向变形：
表6-2介绍
6.3.2 梁的刚度条件与合理刚度设计
1.梁的刚度条件 指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即
max fmax f
弯曲构件的刚度条件。
2 刚度的合理设计
对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件 和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满 足弯曲刚度条件。
教材例6-4，6-5
例：简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130 mm， 定子与转子的许用间隙δ=0.35mm；校核轴的刚度。
P=3.5 kN q=1.035 kNm
ALeabharlann Baidu
C
B
500
500
解 (a) 用叠加法求梁的最大挠度
f max
vC
Pl 3 5ql 4 48EI 384EI
6.3.1 挠度与转角
梁变形前后形状的变化称为变形。梁变形前后位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移，如图所示。在小变形和忽略 剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位 移，称为挠度，用y表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称 为转角，用θ表示。
规定：挠度：向下为“+”，反之为“-” 教材例表6-2 转角：顺时针为“+”，反之为“-”
梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载 荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：
1）. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；
2）. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支 座；或使集中力分散成分布力；
3）. 减小梁的跨度；增加支承约束； 其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁 的挠度和转角的。
6.2 圆轴的扭转变形及其刚度条件
圆截面直杆在扭转时，小变形情况下，可认为各横截面 之间的距离保持不变，仅绕轴线作相对转动，两横截面间相
对转过的角度称为扭转角，用φ表示。 当在某一段杆内T、G、Ip为常量时，杆的扭转角为：
圆轴扭转的刚度条件：
l
T GIp
l
教材例6-2
任务6.3 梁的变形 及其刚度条件
• 不要以为梁的弯曲只发生在结构构件上，在施工 阶段模板支承不当照样发生弯曲问题
理实结合法应用：过梁——简支梁
过梁变形过大 对门窗的影响
约束特点：一端固定铰 支、一端可动铰支
过梁
简支梁
梁在各种简单荷载作用下的变形
在建筑工程中，通常不需要建立梁的挠 曲线方程，而只需要求出梁的最大挠度 和转角。为使用方便，将常见梁在简单 荷载作用下的挠曲线方程、端截面转角 和最大挠度列于表6-2，以便查用。
-------胡克定律 （6-5）
---------- 称为抗拉（压）刚度。
在弹性范围内有：
-------泊松比，见表6---1
教材例6-1
【例 】已知α=30。，杆长L=2m,直径d=25mm，E=210GPa， P=100kN,求节点A的位移。
【解】
100×1000×2000/(2×210×1000 ×3.14×12.52×COS30°)=1.12 （mm）
4）. 预加反弯度（起拱）：如吊车梁，起拱l/500~l/700.
拉压
扭转
弯曲
外载荷
内力
轴力
扭矩
应力 强度条件
N
A
max
max
T WP
max
变形计算 E l Nl
EA
T
GI P
刚 度 EA：抗拉刚度 GIP：抗扭刚度
剪力 弯矩
M WZ
max
y,, M EI Z
EIZ：抗弯刚度
求杆件的变形的叠加法
在线弹性和小变形的条件下，杆件的变形和 位移与载荷成线性关系，可利用叠加原理求杆件的 变形和位移。以梁为例，即欲求几项载荷共同作用 下在梁上某点引起的位移，可先分别计算每一项载 荷单独作用下同一点处的位移，然后进行代数相加。
由于一些基本梁（简支架、悬臂梁）在典型载荷 作用下的挠度与转角均已按积分法算出并编制成表6 －2，因而利用这些结果，由叠加法可以很方便地求 得各种梁在复杂载荷作用下的挠度与转角。
64
Ed
4
Pl3 48
5ql 4 384
64
200 109
0.134
3.5
10 48
3
1
5 1.035 104 384
1
0.031 103 m
(b ) 刚度校核 轴的刚度足够。
fmax 0.031 mm
6.3.3 提高梁刚度的措施 由梁的挠曲线近似微分方程: v'' d 2v M (x) 可见 dx2 EI