利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角
1.二面角的概念：
二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为
l αβ--.
2．二面角的平面角：
过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线
,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角
3、二面角的大小
（1）二面角的平面角范围是[0,180]；
（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
4、用法向量求二面角
5、面面角的求法
（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

D C
β
α
B
A O m 2
m 1
n 2
n 1
D
C
β
α
l
如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。

如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。

cos cos ,AB CD AB CD AB CD
θ⋅==
⋅
小结：
1.异面直线所成角：
2.直线与平面所成角：
3.二面角:
二.求二面角的平面角:
例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？
例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。

（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。

cos cos ,AB CD
AB CD AB CD θ⋅==⋅
1
A
例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.
解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，
∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角
1C BD C --的平面角，
可以求得：3
6
sin 1=
∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为
3
6 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值
分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，
∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，
∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥
又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，
∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，
设BD a =，则2AB BC a ==，
在Rt
BCD ∆中，
1
1
22
BCD S BC DF BD CD ∆=
⋅=⋅
，∴DF =
同理，
Rt ACD ∆
中，DE =，
∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．
A
B C D
E
F
通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：
)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC
设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得
)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=
n n ，即二面角的平面角3
6sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,2
1
,23(
),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：
)1,0,0(1=n ，)33,33,
1(2=n ，5
15cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10
．。