复合函数零点问题专题

复合函数零点问题

例1：设定义域为R 的函数()1

,111,1x x f x x ⎧≠⎪

-=⎨⎪=⎩

，若关于x 的方程

()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212

3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为

()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得：

1230,1,2x x x ===，所以222

1235x x x ++=

答案：5

例2：关于x 的方程(

)

2

2

213120x x ---+=的不相同实根的个

数是（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 8

思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：

1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即

可，共有5个 答案：C 例3：已知函数

11

()||||f x x x x x

=+

--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程

2

()()0f x a f x b ++=可视为()()2

0f x a f x b ++=，故考虑作出

()f x 的图像：()2

,12,01

2,102

,1x x x x f x x x x x

⎧>⎪⎪

<≤⎪=⎨

--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得

42a -<<-

答案：42a -<<-

例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22

x x f x f x x -⎧-<≤⎪

=⎨->⎪⎩，则关于x 的方

程()()2

610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 思路：已知方程()()2

610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得

()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23

y y ==-

与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出

0x >的图像，2x >时，()()1

22

f x f x =

-，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩

为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B

小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程

()()()2

320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根，观察到方程①与()

()

()2

320f x af x b ++=结构完全相同，

所以可得()

()

()2

320f x af x b ++=的两根为

()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若12x x <，

可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。且

()()2211f x x x f x =>=，所以()1y f x =与()f x 有两

个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若

12x x >，可判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。且

()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个

交点，共计3个。综上所述，共有3个交点 答案：A

例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）

A. ()2,0-

B. ()2,1--

C. ()0,1

D. ()0,2 思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为

()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七

个

根

，

则

()()()

121,0,1f x f x =∈，所以

()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--

答案：B

例7：已知函数()x

x f x e

=

，若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等

的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e

⎛⎫ ⎪

⎝⎭

B. 1,1e ⎛⎫

⎪⎝⎭

C.

11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.

1,e e ⎛⎫

⎪⎝⎭