行列式章末总结

行列式章末总结

一、本章知识拓展

行列式按一行（列）展开的公式可以推广到按行（列）展开，为此先需要将余子式和代数余子式的概念加以扩充.

定义1在n阶行列式D中，任取k行k列，由这k行k列交叉处的k2个元素按照原来的相对位置构成的k阶行列式N称为原行列式D的一个k阶子式.划去这k行k列后，余下的元素按照原来的相对位置构成的(n－k)阶行列式Ｍ，称为N的余子式.

例1设

在D中取第二、四两行及第三、五两列，则它们交叉处的元素的构成D的一个三阶子式.

而划去这两行两列，余下的元素构成的三阶行列式

便是N的余子式.

定义2 如果行列式D的子式N所在行的序号数分别为所在列的序号数为

则称与N的余子式M的乘积称为子式N的代数余子式，记为A，即

如例1中N的代数余子式为

拉普拉斯(Laplace)展开定理在n阶行列式D中，任取k行k列，则这k行k列上所有k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于D，即

D=N1 A1 +N2 A2 +…+N S A S.

（证明从略）.

利用Laplace展开定理计算行列式，当行列式的某些行（列）上的零元素很多，因而这些行（列）上许多子式都等于零，只有极少数子式不为零，按这些行（列）展开，将大大减少计算量，特别是只有一个子式不为零时，例如

的前k行只有一个k阶子式不为零，按前k阶展开，则

例2计算行列式

.

解

例3计算2n阶行列式

.

解将D2n按第一行和第2n行展开可得：

二、练习题

利用Laplace展开计算下列行列式.

⑴；⑵. （答案：⑴60；⑵128）

三、行列式单元综合测试题Ⅰ（60分钟）

1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）

⑴134782695；⑵n(n-1)…21.

2、写出4阶行列式

中含因子的项，并指出它们所带的正、负号.（10分）

3、由行列式定义计算：

中与的系数，并说明理由.（10分）

4、计算下列行列式.（每小题10分，共60分）

⑴；⑵；

⑶；⑷；

(5)；(6)

5、证明下列n阶行列式（10分）

四、行列式单元综合测试题Ⅰ答案

1、解⑴，此排列为偶排列.

⑵

当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.

2、解由行列式的定义，4阶行列式中含因子的项共有项，分别为：

；；；

；；.

3、解含的项只有，其系数为2；含的项只有，其系数为－１.

4、解⑴

⑵.

⑶.

⑷当n=1时，D1= a1+b1；

当n=2时，D2=(a1–a2) (b2–b1) ；

当n≥3时，把第1行的－1倍分别加到第i行，i=2,3,…,n，行列式不变，得

.

综上可得

⑸

⑹

5、证明：利用教学归纳法证明.

当n=2时，有

命题成立.

设命题对时成立，下面证明命题对也成立.将按第一行展开，有

这即证明时命题成立.

综上可得命题成立.

五、行列式单元综合测试题Ⅱ（60分钟）

1、求下列排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性.（每小题5分，共10分）

⑴217986354；⑵135…(2n-1)246…(2n)

2、证明下面的2001阶行列式不等于零（10分）

3、设有行列式

D中的元素a ij都是实数，且至少有一个不等于零，证明：如果D的每一个元素都等于它自己的代数余子式，那么D n-2=1.（10分）

4、计算下列行列式（每小题10分，共60分）

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸；⑹.

5、设f (x)=C0+C1x+C2x2+…+ C n x n，证明：若f (x)有n+1个互异零点，则.（10分）

六、行列式单元综合测试题Ⅱ答案

1、解⑴，此排列为偶排列.

⑵

当n=4k或n=4k+1时，为偶数，故此时排列为偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，为奇数，故此时排列为奇排列.

2、证明：题中行列式次对角线下的元素都是偶数.由定义可知，D的每一项由不同行不同列的元素的乘积得到，故除去次对解线元素这一项外，其余每项必有次对角线的元素，故这些项都为偶数.而次对角线上元素的乘积为奇数，从而所有项的代数和为奇数，故D的值为奇数，所以D不等于零.

3、证明：因为

且，所以有

故

由题意a ij都为实数，且至少有一个不为零，故

，从而.

4、解⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

故

5、证明：设是f (x)的n+1个互异零点，则有

(1)式是关于的线性齐次方程组，其系数行列式为

由克莱姆法则知(1)只有唯一零解，即，故f (x)=0.