复数的乘幂
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z1z2 r1r2 (cos1 i sin 1 )(cos2 i sin 2 )
r1r2[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
定理 z1z2 z1 z2 Arg(z1z2 ) Arg(z1) Arg(z2 )
z1 z2
y
z1
注意多Leabharlann Baidu性
0 的幅角称为Arg z的主值。记为 0 arg z
2)复数“零”的幅角没有意义,其模为 零。 3)当 r = 1时,复数z称为单位复数。
利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
浙江大学
设 z1 r1(cos1 i sin 1), z2 r2 (cos2 i sin 2 )
y O
z=x+iy x
浙江大学
e) 复数的几种表示法
几何表示:平面上一矢量与一复数z构成一一对应,复 数的加减与矢量的加减一致。
y
z2
O 加法运算
z1 z2
z1
x
z1 z2 z1 z2
浙江大学
y
z1 z2
O
z2
减法运算
z1
z2
x
z1 z2 z1 z2
浙江大学
复数的三角形式与指数形式
规定:
i 2 1
z1 z2 x1 x2 , y1 y2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 y1x2 )
浙江大学
z1 x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2 z2 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
(1 i)( 1 3 i) 22
1 3 1 3 i
2
2
y
z3 z2
O z1
x
z3
3 2
3
1 2
3i
z3
3 2
3
1 2
3i
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 z n
z n zz z r n (cos n i sin n )
x1x2 y1 y2 ix2 y1 x1 y2
x22 y22
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
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c) 共轭复数:
z x iy, z x iy
互为共轭复数
容易
验证 z z,
zz x 2 y 2
利用极坐标来表示复数z, 则复数 z 可表示为
三角式: z rcos i sin
x r cos
y
r
sin
r x 2 y 2
arctan
y x
指数式: z rei
r z
Arg z
复数的 模 复数的 幅角
浙江大学
讨论:
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
i sin
2k
)
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
3
8
2
k 1
1 i 3 k 2
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复球面与无穷远点
球极平面射影法
N
取一个在原点O与z平面相切的球面, 过O点作z平面的垂线与球面交于N 点(称为北极或者球极)。
对于平面上的任一点z,用一 条空间直线把它和球极连接起 来,交球面于P。
S 2 \ {N}
z平面
P
z
P z
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从几何上可以看出:
Z平面上每个以原点为圆心
N
的圆周对应于球面上的某一个纬
圈,这个圆周以外的点则对应于
z2
O
x
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指数形式表示
z1 z2
r1ei1 r2ei2
r r ei(12 )
12
推广至有限个复数的乘法
z1 z2 zn r1ei1 r2ei2 rnein
r1r2
r ei(12 n ) n
浙江大学
除法运算 z1 0
z2
z2 z1
z1
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
复数及其代数运算
a) 复数:一对有序实数(x, y),记为 z=x+ i y
即 n r , 2k , k 0,1,2,
n
wn
i 2k
re n
r
1 n
(cos
2k
i sin 2k )
n
n
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当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根:
w0
1
rn
(cos
n
i sin
)
n
w1
r
1 n
(cos
z z 2x 2 Re z, z z 2iy 2i Im z
z1 z2 z1 z2
z1z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
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d) 复平面
一对有序实 数(x,y)
平面上一点P
复数 z = x + i y 实轴、 虚轴、复平面
Z 平面、 w 平面
z2 z2 , z1 z1
z2
z2 z1
z1
Arg
z2
Arg
z2 z1
Arg
z1
Arg
z2 z1
Arg
z2
- Arg
z1
或者
z2 r e 2 i(2 1 ) z1 r1
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例:已知正三角形的两个顶点为 z1 1, z2 2 i
求三角形的另一个顶点。
i
z3 z1 (z2 z1 )e 3
2
n
i sin
2 )
n
w2
r
1 n
(cos
4
n
i sin
4 )
n
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
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例: 3 8
8 23 (cos i sin )
3
8
2(cos
2k
复数的方根
设 z re i 为已知复数,n为正整数,则称满足方程 wn z
的所有w值为z的n次方根,并且记为 w n z
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设 w ei , 则 nein re i
n r ein ei
n r , n 2k , k 0,1,2,