初三数学中考动点问题
中考动点问题经典题型归类总结附答案
专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π． 故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。
九年级中考压轴——动点问题集锦
九年级中考压轴——动点问题集锦1、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动。
过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。
1) 当四边形MNQP为矩形时，有MN=QP，即MN在运动t秒后，线段QP的长度为3+t。
因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的面积为2根号3*t平方+2t。
2) 四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。
因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的高为2根号3.由于四边形MNQP是矩形，所以MN=QP=3+t，PQ=2根号3.因此，S=PQ*MN=2根号3*(3+t)。
函数关系式为S=2根号3*t+6根号3，t的取值范围为t≥0.2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45度。
动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。
设运动的时间为t 秒。
1) 因为三角形ABD和三角形CBD相似，所以BD=AB-AD=39.由于三角形BCD是直角三角形，所以BC=BD/根号2=39/根号2.2) 当MN∥AB时，由于三角形BMD和三角形BAC相似，所以BD/AB=MD/MN，即39/42=2t/(3+t)，解XXX13秒。
3) 当△MNC为等腰三角形时，由于三角形MNC和三角形ABD相似，所以CN/AD=MN/BD，即CN/3=(3+t)/39，XXX13秒。
3、在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上。
动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点。
(中考数学)动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
(完整)初三数学动点问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE.（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD 、DF 、AF ， AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中， PQ 的中点O 所经过的路径的长。
图1FEDCABP(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.【答案】（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析； （3）PQ 的中点O 所经过的路径的长为6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为113． 【解析】试题解析：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x ，则PB=8-x ，根据题意得这两个正方形面积之和=x 2+（8-x ）2=2x 2-16x+64=2（x-4）2+32， 所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ． 依题意画出图形，如图所示．图3OHG FE D CA BPMN图2OQCD ABP P设AP=a ，则PB=BF=8-a ． ∵PE ∥BF ，∴PK APBF AB =， 即88PK a a =-， ∴PK=(8)8a a -，∴DK=PD-PK= a-(8)8a a -=28a ， ∴S △APK =12PK•PA=12•(8)8a a -•a=2(8)16a a -，S △DFK =12DK•EF=12•28a •（8-a ）=2(8)16a a -，∴S △APK =S △DFK ；所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为：34×2π×4=6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为113．如图，分别过点G 、O 、H 作AB 的垂线，垂足分别为点R 、S 、T ，则四边形GRTH 为梯形．如图，作点M 关于直线XY 的对称点M′，连接BM′，与XY 交于点O ．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt △BMM′中，由勾股定理得：BM′=22113MM BM '+=． ∴OM+OB 的最小值为113． 考点：四边形综合题．原创模拟预测题2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当y=34时，x 的取值是【 】A. 1B. 14C. 1或3D. 3【答案】C。
初中数学动点问题大全
初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
中考数学专题复习之几何图形动点问题
12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二 几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二 几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二 几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二 几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二 几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P ,Q 两点之间的距离是多少？例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，（1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）A ．32B ．18C ．16D ．10ACB By例4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；图（3）BC PQBA MN（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件
∴
=
4
Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，
25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，
4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，
∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展
中考数学动点问题题型及解题方法归纳
中考数学动点问题题型及解题方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点例1：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
二、 特殊四边形边上动点例2：如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为BO 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练(含答案)
九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。
动点题初三数学技巧
动点题初三数学技巧
1.利用图像解题：在解决动点题时，可以先画出图像，从中找出规律，进而得出解题方法。
2. 列方程解题：动点题中经常涉及到时间、距离等变量，可以将其列成方程，从而解决问题。
3. 利用相似三角形求解：在动点题中，经常存在相似三角形的情况，可以利用相似三角形的性质求解。
4. 利用勾股定理求解：在动点题中，勾股定理也是一个常用的解题方法，可以帮助我们找到两点之间的距离。
5. 利用三角函数求解：在某些情况下，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数来求解动点题。
6. 注意图像的变化：在解决动点题时，要注意动点的运动轨迹以及图像的变化，这可以帮助我们更好地理解问题并找到解决方法。
7. 多做练习：练习是提高解题能力的有效途径，多做动点题练习可以帮助我们熟悉解题方法，并提高解题速度和准确率。
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初三数学几何动点题及方法精选幻灯片
【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静 止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的 变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂 直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
6
【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简 单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
A
D
N
B
M
C
2
【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动， 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目 来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意 味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的 条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也 是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问 题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
A
M
D
60°
B P
Q C
11
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现 特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求 解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不 变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下 来我们看另外两道题.
A
M
D
G
E
FN
B
C
图2 14
【思路分析】如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在△BEF的
旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造
(完整版)(完整word)初三数学动点问题总结,推荐文档
解得：t=< (5分)
33
而MN=..NC= ..(1+t)
(4)①当MP=Mffl-(如图1)贝U有：NP=NC
即PC=2NC・4-t=2(1+t)
2当CM=CP^(如图2)
则有：
5
(1+t)=4-t
11
解得：t=/3当PM=PC寸(如图Fra bibliotek)则有：
在Rt△MNF中,PM2=MN2+PN2
33
而MN=.-NC= ..(1+t)
BC, CB DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm(xm0),贝U AP=2xcm
CM=3xcm DN=x2cm
(1)当x为何值时，以PQ MN为两边，以矩形的边(AD或BC的一部分为第三边构成一个三角形；
(2)当x为何值时，以P,Q, M, N为顶点的四边形是平行四边形；
以P,Q,MN为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时，AP=MCBQ=ND当点P在点N的右侧时，AN=MC BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式.
1当皿卩=皿时，那么PC=2NC据此可求出t的值.
2当CM=CPt，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
3当MP=PC寸，在直角三角形MNP中先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值.
综上所述可得出符合条件的t的值.
解答：
解: (1)vAQ=3-t
•CN=4-(3-t)=1+t
四边形PCDQ勾成平行四边形就是PC=DQ列方程4-t=t即解；
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC 中.∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发.沿射线AB 向点B 方向运动.动点Q 从C 点出发.沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒.点Q 的速度是2CM/秒.它们同时出发.几秒钟后.△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下.P,Q 两点之间的距离是多少？例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1.E 为CD 边的中点. P 为正方形ABCD 边上的一个动点发.沿A →B →C →E 运动.到达点E.若点P 经过的路程为自变量x.△APE 的面积为函数y . （1）写出y 与x 的关系式(2)求当y ＝13时.x 的值等于多少？例3：如图1 .在直角梯形ABCD 中.∠B=90°.DC ∥AB.动点P 从B 点出发.沿梯形的边由B →C → D → A 运动.设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 .那么△ABC 的面积为（ ）A ．32B ．18C ．16D ．10 例4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点.动点P Q 、同时从O点出发.同时到达A 点.运动停止．点Q 沿线段OA运动.速度为每秒1个单位长度.点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒.OPQ △的面积为S .求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时.求出点P 的坐标.并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米.长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时.点M 与点A 重合.点N 到达点B 时运动终止）.过点M N 、分别作AB 边的垂线.与ABC △的其它边交于P Q 、两点.线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中.t 为何值时.四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中.四边形MNQP 的面积为S .运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式.并写出自变量t 的取值范围．例6：如图（3）.在梯形ABCD 中.906DC AB A AD ∠==∥，°，厘A米.4DC =厘米.BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动.动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动.两个动点同时出发.当其中一个动点到达终点时.另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时.PC 与BQ 相互平分；（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式.求t 为何值时.y 有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
初三动点试题及答案
初三动点试题及答案
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒
2个单位的速度移动，经过5秒后，点P的坐标是（）。
A. (0, 0)
B. (10, 0)
C. (5, 0)
D. (0, 5)
答案：B
2. 动点Q从点(1, 2)出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动，经过3秒后，点Q的坐标是（）。
A. (1, 5)
B. (1, 2)
C. (4, 5)
D. (4, 2)
答案：A
二、填空题
3. 动点R从点(-3, 4)出发，沿直线y=2x+1以每秒3个单位的速度移动，经过2秒后，点R的坐标是（）。
答案：(3, 11)
4. 动点S从点(2, -1)出发，沿直线y=-x+3以每秒2个单位的速度移动，经过4秒后，点S的坐标是（）。
答案：(-6, 7)
三、解答题
5. 动点T从点(0, 0)出发，沿直线y=x以每秒1个单位的速度移动，求点T在移动了6秒后的位置。
答案：点T在移动了6秒后的位置为(6, 6)。
6. 动点U从点(-2, 3)出发，沿直线y=-2x+7以每秒1.5个单位的速度移动，求点U在移动了8秒后的位置。
答案：点U在移动了8秒后的位置为(-10, 5)。
最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案
2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，3cos5B=，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD于点F．设,AFBC x yAC==(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC∥AE，求AF的长．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF(1)如图，当点落在BD上时，求AE的长；(2)如图，当2AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由；(3)在点E从点A出发后，当BCF△为等腰三角形时，直接写出AE的长．3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ；(3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 14=，则当CE ＝ 时，∥AMN 是等腰三角形．4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ．(1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离；(3)在点F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BHF 是以FH 为腰的等腰三角形？若存在，求CF 的长；若不存在，请说明理由．5．已知，在矩形ABCD 中，BCAB＝m ，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ． （1）如图，当F 为AB 的中点，G 与D 重合时，将∥AFD 沿FD 翻折至∥EFD ，连AE ，BE ．∥若C ，E ，F 三点共线，求m 的值．（2）当F ，G 不与端点重合时，将四边形AFGD 沿FG 翻折至四边形FHPG ，点H 恰好落在BC 上，HP 交CD 于点Q ，连AH ，交GF 干占O ，若m ＝1516，tan∥CGP ＝247，GF ＝752，求CP 的长．6．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD ．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为()3,4-，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）．（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，M PB ∠与BCO ∠互为余角，并求此时直线OP 的解析式．8．如图，菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点P 是线段BC 上一动点（不与点B 重合），AP 与对角线BD 交于点E ，连接EC ． （1）求证：△ABE ∥ △CBE ；（2）如图∥，若∥ABC ＝60°，BPBE 的长；（3）若AB ＝AC ，如图∥，点P 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同速度沿BC 、CA向终点C 和A 运动，连接AP 和BN 交于点G ，当tan ∥CBN 求BG 与GN 的比值．9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15BC =，25AB =．动点P 从点A 出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC CB -向终点B 运动，当点P 不与ABC 顶点重合时，作135CPQ ∠=︒，交边AB 于点Q ，以CP 、PQ 为边作CPQD ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求AC 的长（2）当点P 在边AC 上时，求点Q 到边AC 的距离（用含t 的代数式表示） （3）当CPQD 的某条对角线与ABC 的直角边垂直时，求CPQD 的面积（4）以点P 为直角顶点作等腰直角三角形EPQ ，使点E 与点C 在PQ 同侧，设EQ 的中点为F ，CPQD 的对称中心为点O ，连结OF ．当//OF PQ 时，直接写出t 的值10．如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8,点P 是对角线BD 上一动点,PQ∥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得N 点落在射线PD 上，点O 是边CD 上一点， 且OD ：BP=3:4.（1）联结DQ ，当DQ 平分∥BDC 时，求PQ 的长； （2）证明：点O 始终在QM 所在直线的左侧；（3）若以O 为圆心，半径长为0.8作∥O,当QM 与∥O 相切时，求BP 的长．11．如图，已知∥ABC 中，∥ABC ＝45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．（1）如图1，若∥ABE ＝15°，BC1，求DF 的长；（2）如图2，若BF ＝AC ，过点D 作DG ∥BE 于点G ，求证：BE ＝CE ＋2DG ； （3）如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角∥BRH ，M 为RH 的中点．在（2）的条件下，将∥CEF 绕点C 旋转，得到∥CE ′F ′，E ，F 的对应点分别为E ′，F ′，直线MF ′与直线AB 交于点P ，tan∥ACD ＝13，直接写出当MF ′取最小值时'RMPF 的值．12．（1）问题发现如图1，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90,45ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ． 填空：∥BEAD的值为___________________，∥DBE ∠的度数为__________； （2）类比探究如图2，在Rt ABC 和Rt CDE 中，90,60ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请判断BEAD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变．取线段DE 的中点M ，连接,BM CM ，若2AC =，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是菱形时，则菱形的边长是多少？请直接写出答案．13．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，A α∠=，点D 为射线AC 上一动点，作BDE α∠=，过点B 作BE BD ⊥，交DE 于点E ，（点A ，E 在BD 的两侧）连接CE ．（1）如图1，若45α=︒时，请直接写出线段AD ，CE 的数量关系：（2）如图2，若60α=︒时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由：（3）若30α=︒，6AC =，且ABD △为等腰三角形时，请直接写出线段CE 的长．14．如图1，在Rt∥ABC 中，点C 为直角顶点，点D 为AB 上的一点，且AB ＝10． （1）当CD ∥AB 时，求证：BC 2＝AB ·BD ；（2）如图2，当点D 为AB 的中点时，AC ＝8，点E 是边BC 上的动点，连结DE ，作DF ∥DE 交AC 于点F ，连结EF 、CD 交于点G ，当EG ∥FG ＝1∥2时，求线段CE 的长； （3）当∥CAB ＝15°时，点P 是AC 上一点，求12P A ＋PB 的最小值．15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝20，cos A ＝4，点D 为AC 边上的动点（点D 不与点A ，C 重合），以D 为顶点作∥BDF ＝∥A ，射线DE 交BC 边于点E ，过点B 作BF ∥BD 交射线DE 于点F ，连接CF ． （1）求证：△ABD ∥∥CDE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AD 的长；（3）点D 在AC 边上运动的过程中，若DF ＝CF ，则CD ＝ ．16．平行四边形ABCD 中，N 为线段CD 上一动点．（1）如图1，已知90ADC ∠<︒．若DR BN =，求证：四边形DRBN 为平行四边形； （2）如图2，已知60ABC ∠=︒．若BN 为ABC ∠的角平分线，T 为线段BN 上一点，DT 的延长线交线段BC 于点M ，满足：1tan 2BTM ∠=且DN BM =．请认真思考（1）中图形，探究MDAD的值． （3）如图3，平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AB BC ==，P 在线段BD 上，Q 在线段CD 上，满足：2BP CQ =．直接写出()2QA AP +的最小值为________．17．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝16，cos B ＝45，点P 是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长 （3）当∥AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．18．（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：如图∥，当四边形ABCD 是矩形时，Rt EMF 的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与线段BA 、线段CD 交于E 、F 两点，在点M 运动的过程中，始终存在着EBM MCF ∽.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图∥，在ABC 中，A B ∠=∠，点D 为AB 边上的动点，过点D 作EDF A ∠=∠，交AC 于点E ，交BC 于点F ，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）结合上述规律，解决下列问题：如图∥，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥交AC 于点F ，若PEF 为等腰三角形，求PC 的长.19．在Rt ABC 中，90BCA A ABC D ∠︒∠∠＝，＜，是AC 边上一点，且DA DB ＝，O 是AB 的中点，CE 是BCD △的中线．()1如图a ，连接OC ，请直接写出OCE ∠和OAC ∠的数量关系：；()2点M 是射线EC 上的一个动点，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得射线ON ，MON ADB ON ∠∠＝，与射线CA 交于点N ．∥如图b ，猜想并证明线段OM 和线段ON 之间的数量关系；∥若30BAC BC m ∠︒＝，＝，当15AON ∠︒＝时，请直接写出线段ME 的长度（用含m 的代数式表示）．20．在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点A （0，2），B （1，0），点C 为线段AB 的中点．将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，连结CD ，AD ．点P 是直线BD 上的一个动点．（1）求点D 的坐标和直线BD 的解析式； （2）当∥PCD ＝∥ADC 时，求点P 的坐标；（3）若点Q 是经过点B ，点D 的抛物线y ＝ax 2+bx +2上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点Q ，使得以点P 、点Q 、点D 为顶点的三角形与∥ACD 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(2)220425y x x =---（0＜x ＜5）；2．(1)6(2)CF BF ⊥，(3)12+12-3． (3)43或2或454．(1)BGF 是等边三角形 (2)10029 (3)195或2535．（1）∥∥AEB ＝90°；∥m（2）CP． 6．（1）1；（2）)3PB x -；（3）222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩7．（1）1522y x =-+；（2）52524S t =-（552t <≤）；（3）1,22t y x ==-或256t =；13y x = 8．（2）125；（3）34 9．（1）20；（2）3MQ t =；（3）36或3600121；（4）2013t =或4t = 10．（1）PQ =3;（3）163BP =． 11．（1（312．（1）1；90︒；（2）90BE DBE AD=∠=︒；（3）2或13．（1）AD CE =；（2）不成立，EC ；（33或14．（2）7541；（3）15．（2）252；（3）14．16．（2（3）17．（1）10；（2）72；（3）18．（1）存在两个相似的三角形，AED BDF ∽；（2）PC 的长为94或10843或2.19．（1）∠∠＝ECO OAC （2）∥＝OM ON ；∥满足条件的EM 的值为m 或12m ． 20．（1）1122y x =-；（2）点P 的坐标为（2，12）或（8，72）；（。
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（ C 1、已知：把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图（1）摆放（点 C 与点 E 重合），点 B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB =
∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．
如图（△2）， DEF 从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点 P
从△ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动△.当 DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时，△DEF 停止移动，
点 P 也随之停止移动．DE 与 AC 相交于点 Q ，连接 PQ ，设移动时间为 t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？
（2）连接 PE ，设四边形 APEC 的面积为 y （cm 2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t ，使面积 y 最
小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻 t ，使 P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由． 备
用图供同学们做题使用）
A
A
A
D
D
P
Q
B
（E ）
F B E C
F B
C
图（1）
图（2）
备用图
2、 已 知 ： 如 图 ， 直 线 y = - 3x + 4 3 与 x 轴 相 交 于 点 A ， 与 直 线 y =
3x 相 交 于 点 P ．
（ 1 ） 求 点 P 的 坐 标 ；
（ 2 ） 请 判 断 △ OP A 的 形 状 并 说 明 理 由 ；
（ 3 ）动 点 E 从 原 点 O 出 发 ，以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 沿 着 O 、P 、A 的 路 线 向 点 A 匀 速 运 动（ E 不 与 点 O ， A 重 合 ），过 点 E 分 别 作 EF ⊥ x 轴 于 F ，EB ⊥ y 轴 于 B ，设 运 动 t 秒 时 ，矩 形 EBOF 与 △ OP A 重 叠 部 分 的 面 积 为 S ．
求：① S 与 t 之间的函数关系式．②当 t 为何值时， S 最大，并求出 S 的最大值．
3、如图甲，四边形 OABC 的边 OA 、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A 、D ，交 y
轴于点 E ，连接 AB 、AE 、BE ．已知 tan ∠CBE = 1 3
，A （3，0），D （﹣1，0），E （0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；
（2）求证：CB △是 ABE 外接圆的切线；
（3△）设 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0＜t ≤3）时，△ AOE 与△ ABE 重叠部分的面积为 s ，求 s 与 t 之间的
函数关系式，并指出 t 的取值范围．
（3）在点 E 从 B 向 O 运动的过程中，完成下面问题：
4、如图，在 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC= 3 ，BC=4，过点 B 作射线 BB ∥ AC ．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC
1
方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH
⊥AB 于 H ，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB 于 F ，G 是 EF 中点，连结 DG ．设点 D 运动的时间为 t 秒．
1
(1)当 t 为何值时，AD=AB ，并求出此时 DE 的长度；
(2)当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值； (3)以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A ′C ′．
①当 t 3 5
时，连结 C ' C ，设四边形 ACC' A' 的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式；
②当线段 A' C ' 与射线 BB ，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)．
5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝10，AD ＝15，BC ＝27．动点 P 从点 B 出发，以每秒 5 个单位长 的速度沿折线段 BA －AD －DC 向点 C 匀速运动；动点 Q 从点 C 出发，以每秒 3 个单位长的速度沿线段 CB 向点 B 匀速 运动，过点 Q 作 QE ⊥BC ，交折线段 CD －DA －AB 于点 E ．设 P 、Q 两点同时出发，运动时间为 t 秒，当点 P 与点 C 重合时整个运动随之结束．
（1）当点 P 在 AD 上运动时，若 PQ ∥DC ，求 t 的值；
（2）设直线 QE 扫过梯形 ABCD 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式； （△3） PQE 能否成为直角三角形？若能，求 t 的取值范围；若不能，请说明理由．
A D
P
E
B
Q
C
6、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A ， 与 y 轴交于点 B ， 且 OA = 3，AB = 5．点 P 从点 O 出发沿 OA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AO 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着 P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ ，且交 PQ 于点 D ，交折线 QB －BO －OP 于点 E ．点 P 、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P 、Q 运动的时间是 t 秒（t ＞0）．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积 S 与 t 之间的函数关系式（不必写出 t 的取值范围）；
y
①四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，请求出 t 的值； 若不能，请说明理由；
②当 DE 经过点 O 时，请你直接写出 t 的值．
B
E
Q
D
O P A x
△7、如图，ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、△RQ，并作PQR 关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（△s），PQ'R与△P AR重叠部分的面积为S（cm2）．（1）用含t的代数式表示BQ=_______，QQ'=________.
（2）t为何值时，点Q'恰好落在AB上？
（3）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
B l B
R
Q Q'
C P A C A
8、在一个边长为6cm的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①当点F是边AB中点时，求CM的长度．
②在点E，M的运动过程中，除正方形的边长外，图中是否还存在始终相等的线段，若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，请说明理由。