高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文

第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b 2

(a ，b ∈R ＋)

1.了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知识梳理

一、算术平均数与几何平均数的概念

若a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b

2，几何平均数是ab .

二、常用的重要不等式和基本不等式

1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

(当且仅当a ＝b 时取等号)． 三、均值不等式(基本不等式)

两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b

2

≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 变式： ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R ＋)． 四、最值定理

设x >0，y >0，由x ＋y ≥2xy ，有：

(1)若积xy ＝P (定值)，则和x ＋y 最小值为2P . (2)若和x ＋y ＝S (定值)，则积xy 最大值为⎝⎛⎭⎫S 22

. 即积定和最小，和定积最大．

运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．

基础自测

1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f (x )＝x ＋1

x －2(x >2)在x ＝n 处有最小值，则

n ＝( )

A ．1＋2

B ．1＋ 3

C ．4

D ．3

解析：f (x )＝x －2＋

1

x －2

＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1

x －2

，

即x －2＝1，x ＝3时，f (x )有最小值．故选D.

答案：D

2．(2013·广州二模)已知0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围为( )

A ．(0，a 2]

B ．(0，a ]

C ．(0，1

a

]

D ．(01a

2]

解析：因为0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，所以log a x ＞0，log a y ＞0，

所以log a x ＋log a y ＝log a (xy )≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当log a x ＝log ay ＝1时取等号．所以0＜xy ≤a 2.故选A.

答案：A

3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b >0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a ＋1

b

的最小值是________．

答案：4

4．当x >2时，不等式x ＋1

x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

解析：因为x ＋1

x －2

≥a 恒成立，

所以a 必须小于或等于x ＋

1

x －2

的最小值． 因为x >2，所以x －2>0.

所以x ＋1x －2＝(x －2)＋1

x －2

＋2≥4.

所以a ≤4. 答案：(－∞，4]

1．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]

B ．[－2,0]

C ．[－2，＋∞)

D ．(－∞，－2]

解析：因为1＝2x ＋2y ≥22x ×2y ，即2x ＋y ≤2－2，又因为2x ＋y 是增函数，所以x ＋y ≤－2，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y 时取等号．

答案：D

2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x

8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的

生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A ．60件

B ．80件

C ．100件

D ．120件

解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x

8×x ×1

x ＝800x ＋x

8≥2

800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x

8

(x ＞0)，即x ＝80时，取得最小值．故选B.

答案：B

1．(2012·高州三中模拟)已知a >0，b >0，则1a ＋1

b ＋2ab 的最小值是( )

A ．2

B ．22

C ．4

D ．5

解析：1a ＋1

b ＋2ab ≥21

ab ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，

即a ＝b ＝1时，表达式取得最小值为4.故选C.

答案：C

2．(2013·东莞二模)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9

y

＝1，则2x ＋3y 的最小值为________．

解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y

＋29≥23y x ·18x

y ＋29＝

29＋66，

当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9

y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x

＋3y 的最小值为29＋6 6.

答案：29＋6 6